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江苏省2016届高考数学模拟试题按章节分类汇编——第5章 三角函数


目录(基础复习部分) 第五章 三角函数 ............................................................................................................................................... 2 第 26 课 三角函数的有关概念 ........

....................................................................................................... 2 第 27 课 同角三角函数的基本关系式及诱导公式................................................................................ 2 第 28 课 两角和与差的三角函数 ........................................................................................................... 2 第 29 课 二倍角的三角函数 ................................................................................................................... 3 第 30 课 三角函数的图象 ....................................................................................................................... 3 第 31 课 三角函数的性质 ....................................................................................................................... 5 第 32 课 三角函数的值域与最值 ........................................................................................................... 7 第 33 课 正弦定理和余弦定理 ............................................................................................................... 8 第 34 课 综合应用 ................................................................................................................................. 16

-1-

第五章 三角函数 第26课 三角函数的有关概念
(扬州期中) 4.若 sin

?

1 ? ? , ? ? [2? ,3? ] ,则 ? ? 2 2





7? 3
▲ ▲ .

(盐城期中) 3. 设点 P(m, 2) 是角 ? 终边上一点,若 cos ? ? (无锡期中) 4.已知角 ? 的终边经过点 P ?10, m ? ,且 tan ? ? ?

2 ,则 m ? 2
4 ,则 m 的值为 5

2
. ?8

第27课 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(苏州期中)3.已知 sin ? ?

? 1 ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan ? = 2 4



. ?

15 15
▲ .?

(苏州期末)10.已知 ? 是第三象限角,且 sin ? ? 2cos? ? ? ,则 sin ? ? cos? = (南通调研一)10.已知 sin( x ?
【答案】

?
6

)?

1 5? ? ,则 sin( x ? ) ? sin 2 ( ? x) 的值是 3 6 3

2 5

31 25

5 . 9

【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函数的恒等变换, 考查运算能力,难度中等. 【解析】 sin ? x ?

? ?

5? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?? ? ? sin ? ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? x ? ? ? 6 ? 6? 6 ?? ?3 ? ?? ? ?2 ?

?? ?? 5 ? ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? sin 2 ? x ? ? ? . 6? 6? 9 ? ?
第28课 两角和与差的三角函数 4 ? (苏州期初)8. 已知 ? ? (0, ? ), cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) ? 5 4
1 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) ? 3 2 5.sin135°cos(-15°)+cos225°sin15°等于
(苏锡常镇调研二)8.若 tan ? ? A.-

?


1 7
.?

1 7

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2

(盐城期中)已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ? ?1 ,求 cos(
[来源:学科网 ZXXK]

2? ? 2 x) 的值. 3 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 解: (1)因为 f ( x) ? 2 2
-2-

…………2 分

3 cos 2 x 1 ? 1 sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2 2? ?? . 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? 1 ? 1 (2)因为 f ( x) ? ?1 ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ?1 ,即 sin(2 x ? ) ? ? , 6 2 6 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ?? 所以 cos ? ? 2 x ? ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 6 ? 6 2 ? 3 ? ?2 ?

…………6 分 …………8 分 …………10 分 …………14 分

第29课 二倍角的三角函数
(无锡期中) 12.若 ? ? ?

?? ? , ? ? ,且 3cos 2? ? sin(? ? ? ) ,则 sin 2? 的值为 4 ?2 ?
?



.?

17 18

(无锡期末)7、已知 sin(? ? 45 ) ? ?

2 ? ? 且 0 ? ? ? 90 ,则 cos 2? 的值为 10

7 25

π 5 (南京盐城二模)已知 α 为锐角,cos(α+ )= . 4 5 π (1)求 tan(α+ )的值; 4 π (2)求 sin(2α+ )的值. 3 π π π 3π 解: (1)因为 α∈(0, ) ,所以 α+ ∈( , ), 2 4 4 4 π 所以 sin(α+ )= 4 π 所以 tan(α+ )= 4 π 2 5 1-cos2(α+ )= ,……………………………………………………………3 分 4 5 π sin(α+ ) 4 =2.………………………………………………………………………6 分 π cos(α+ ) 4

π π π π 4 (2)因为 sin(2α+ )=sin[2(α+ )]=2 sin(α+ ) cos(α+ )= ,…………………………………9 分 2 4 4 4 5 π π π 3 cos(2α+ )=cos[2(α+ )]=2 cos2(α+ )-1=- ,………………………………………………12 分 2 4 4 5 π π π π π π π 4 3+3 所以 sin(2α+ )=sin[(2α+ )- ]=sin(2α+ )cos -cos(2α+ )sin = .………………14 分 3 2 6 2 6 2 6 10

第30课 三角函数的图象
(苏州期中)9.将函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? 的图象向右平移 ? ? 0 ? ? ? ? 个单位后,得到函数 f ? x ? 的图 6? 2? ?
-3-

象,若函数 f ? x ? 是偶函数,则 ? 的值等于





? 3

1 (苏北三市三模)10.已知函数 f(x)=sinx(x∈[0,π])和函数 g(x)= tanx 的图象交于 A,B,C 三点,则△ABC 2

3 π 4 (苏北四市摸底) 12.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位,若所得
的面积为 ▲ .

y A 2 O -2


? 3 π ) ,则 ? 的最小值为 ▲ . 的图象过点 ( , 6 2 6 (苏北四市期末) 5.函数 f ( x) ? 2sin(? x + ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示,若
AB= 5,则 ? 的值为 ▲ .

x B

? 3

苏北四市期

(南京三模)9.如图,已知 A,B 分别是函数 f(x)= 3sinωx(ω>0) 在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且∠AOB= π ,则该函数的周期是________ ▲ .4 2 π (南京盐城二模)8.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正 2 π π 周期为 π, 且它的图象过点(- , - 2), 则 φ 的值为________ ▲ . - 12 12

y

A

O

x

南京三模

B

? 1 (? ? ? ) ,则 ? ? ? ? (扬州期末)9.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? )(0 ? x ? ? ) ,且 f (? ) ? f ( ? ) ? 3 2
▲ .

7? 6

(扬州期中) 9. 将函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 图象上每一点的横坐标变为原来的

2 倍(纵坐标不变) ,然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向右平移 象,则 f (? ) ? ▲ .0

? 个单位,得到函数 y ? 2sin x 的图 3

(盐城期中) 7.已知直线 x ?

?
3

过函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (其中 ?

?
2

?? ?

?
2

)图象上的一个最高点,则

f(

5? ) 的值为 6



. -1

(无锡期末)5、将函数 f ? x ? ? 2sin 2x 的图象上没一点向右平移 则 g ? x? ?

? 个单位,得到函数 y ? g ? x ? 的图象, 6

2sin(2 x ? ) 3

?

(南京期初)7.如图,它是函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0,?>0,??[0,2?) )图象的一部分,则 f (0)的值 y 3 2 为________ ▲ . 3 2

-1
-4-

O

3

x

-3
南京期初

(南京盐城一模)设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [ ?

?
2

?? ?

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示.

? ?

, ] 时,求 f ( x) 的取值范围. 2 2

y 2 O

? 3
第 15 题图

5? 6

x …………2 分 …………4 分

15.解: (1)由图象知, A ? 2 ,

T 5? ? ? 2? ? ? , ? ? 0 ,所以 T ? 2? ? 又 ? ,得 ? ? 1 . 4 6 3 2 ?
所以 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ,将点 ( 即? ?

?

?
6

? 2k? (k ? Z ) ,又 ?

?
2

3

, 2) 代入,得

?

?? ?

?
2

3

?? ?

?

,所以 ? ?

?
6

2

? 2 k? ( k ? Z ) ,
…………6 分 …………8 分 …………10 分 …………14 分

.

所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2)当 x ? [ ?

?
6

).

? ? 2? , ] 时, x ? ? [? , ] , 2 2 6 3 3 ? 3 所以 sin( x ? ) ?[ ? ,1] ,即 f ( x) ? [ ? 3,2] . 6 2
? ?

(盐城三模) 9 .若 f ( x ) ? ▲ . ?

?
3

第31课 三角函数的性质 ? ? 3 sin( x ?? ? ) cos( x ?? ? )( ? ? ? ) 是定义在 R 上的偶函数,则 ? ? 2 2

(镇江期中)8.若函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) cos x(0 ? x ? ? ) 是偶函数,则 ? 的值等于

π 2

(泰州期末)14.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ) ? cos x cos( π ? x ) (其中 A 为常数,? ? (? π, 0) ) ,若实

2

6

2

数 x1 , x2 , x3 满 足 : ① x1 ? x2 ? x3 , ② x3 ? x1 ? 2π , ③ f ( x 1 )? ▲ .?

f(2 x? )

f (3 x, )则? 的值为

2? 3

(苏州期中)15.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos

?x
2

( 3 cos

?x
2

? sin

?x
2

) ?? ? 0 ? 的最小正周期为 2? .

(1)求函数 f ? x ? 的表达式;

-5-

(2)设 ? ? ? 0,

? ?

??

6 ? ,且 f (? ) ? 3 ? 5 ,求 cos ? 的值; 2?

15.(本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? 2 cos

?x
2

( 3 cos

?x
2

? sin

?x
2

) ? 2 3 cos 2

?x
2

? 2 cos

?x
2

sin

?x
2

? 3 ?1 ? cos ? x ? ? sin ? x …………………………………………2 分
=

?? ? 3 ? 2sin ? ? x ? ? 3? ?

…………………………………………4 分

因为函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? ,所以

2?

?

? 2? , ? ? 1 .………………6 分

?? ? ? f ? x ? ? 3 ? 2sin ? x ? ? 3? ?
(2) 由 f (? ) ?

……………7 分

6 ?? 3 ? 3 ? , 得 sin ? ? ? ? ? ? 5 3? 5 ?

? ? ? ?? ?? 4 ? ?? ? Q ? ? ? 0, ? , ?? ? ? ? ? , ? , ? cos ? ? ? ? ? …………9 分 3 ? 3 6? 3? 5 ? 2? ?

? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ………12 分 ? cos ? ? cos ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin 3 3? 3? 3 3? 3 ? ? ?
4 1 ? 3? 3 4?3 3 ? ? ? ? ? ?? ? 5 2 ? 5? 2 10
第(2)题另解:
? ? ?? 3 ?sin ? ? ? ? ? ? , 2 3 5 ?1 0 0 c o ? s? ? ? ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
c o? s 60 3 ?? c o s? ? 11 0? 3 3? 4 . 10

…………………………………………14 分

3 3?4 ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,所以 cos ? ? 0 ,故 cos ? ? . 10 ? 2?

(扬州期中) 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin(

?

x ? ) ? cos x . 4 6 4

?

?

(1)求 f ( x ) 的单调增区间; (2)若 x ? (0, 4) ,求 y ? f ( x) 的值域. 15.解: (1) f ( x) ? sin(

?

? ? 3 ? 3 ? ? ? x ? ) ? cos x ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) 4 6 4 2 4 2 4 4 3
……4 分
-6-

∵?

?
2

? 2 k? ?

?
4

x?

?
3

?

?
2

? 2k?

∴?

2 10 ? 8k ? x ? ? 8k , k ? Z 3 3

2 10 ? 8k , ? 8k ](k ? Z ) ……7 分 3 3 ? ? ? 2? 3 ? ? (2)∵ x ? (0,4) ∴? ? x? ? ∴? ? sin( x ? ) ? 1 3 4 3 3 2 4 3 3 ∴ f ( x ) 的值域为: (? , 3] ……14 分 2
∴ f ( x ) 的单调增区间为: [?

第32课 三角函数的值域与最值
(苏州期中)5.函数 y ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? x ? 0 ? 的值域是 (南通二调)7.设函数 y ? sin ? ? x ? 的值为 ▲ .2 ▲ . ? ?4,0?

? ?

??

? ,当且仅当 x ? 时, y 取得最大值,则正数 ? ? (0 ? x ?? ) 12 3?

(无锡期中)已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , 0 ? ? ? 两条对称轴间的距离为

?
2

)的图象经过点 0, 3 ,且相邻

?

?

? . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)若将 f ( x) 的图象向左平移 值和最小值. 15. (本小题满分 14 分) 解:(1) ∵ f ? x ? 的图象过点 0, 3 ,∴ sin ? ? 又0 ?? ?

? ? ?? 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最大 4 ? 2?

?

?

?
2

,∴ ? ?

?
3

3 , 2
…………………3 分



又∵ 相邻两条对称轴间的距离为

? ,∴周期为 ? , 2
…………………5 分



2?

?? ? ? ? , ? ? 2 ,∴ f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? . ? 3? ?
?
? 2k? 剟2 x ?

令?

?
3

?
2

2 5? ? k? 剟 x 则? 12

? 2k? ,其中 k ? Z ,

?

12

? k? , 其中 k ? Z ,

∴函数 f ? x ? 的单调增区间是 ? ? 知,得: g ? x ? ? f ? x ?

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z .………………7 分 12 ? 12 ?

(2) 由 已

? ?

??

? ? ?? ?? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? , 4? 4 ? 3? ? ?
-7-

即 g ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

?
2

?

??

? =2cos(2 x ? ) . 3? 3

?

…………………9 分

? ? 4? ? ?? , ? , 3 ?3 3 ? ? ? ?? ? 故当 2 x ? ? ? 即 x ? 时, g ? x ?min ? g ? ? ? ?2 ; 3 3 ?3?
a ? b ? c ? 3 ,∴ 2 x ?
当 2x ?

?

…………………11 分

?
3

?

?
3

即 x ? 0 时, g ? x ?max ? g ?

?? ? ? ?1. ?3?

…………………14 分

? ? (苏锡常镇调研一)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 3 sin(2 x ? ) . 3 6
(1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2) 当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,试求 f ( x) 的最值,并写出取得最值时自变量 x 的值。 6 3

【命题立意】本题旨在考查两角和与差的正弦公式,三角函数的最小正周期及单调区间的求法,求三角函 数在指定区间的最值.难度中等. 【解析】 (1)由题意知, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 当?

? 2? ? ? 2k ?≤2x ? ≤ ? 2k ? (k ? Z) 时, f ( x ) 单调递增, 2 3 2 ?? ? 解得 x ?[? ? k ??? ? k ?] (k ? Z) , 12 12 ?? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [? ? k ??? ? k ?] (k ? Z) .………………………8 分 12 12 ? ? ? 2? ?? (2)因为 x ?[? , ] ,所以 ≤2 x ? ≤ , ………………………………10 分 6 3 3 3 3 2? ? ? 当 2x ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x ) 取得最大值 2, …………………………12 分 3 2 12 2? ?? ? 当 2x ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? 3 . …… ? 3 3 3

2? ??. 2

? 3

? 3

2? ) ,……4 分 3

…………………………………………6 分

第33课 正弦定理和余弦定理
(南京盐城一模) 9.在 ?ABC 中,设 a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 a ? 5 , A ? 边c= ▲ . 7

?
4

, cos B ?

3 ,则 5

(镇江期中) 5.在 ?ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 tan C ?

? 15

?ABC 的面积为 (盐城期中) 8. 在锐角 ?ABC 中,AB ? 2 ,BC ? 3 ,
-8-

3 3 , 则 AC 的长为 2



.

[来

7
C 所对的边分别为 a , b, (苏北四市摸底) 在锐角Δ ABC 中, 角 A, b=4, c=6, 且 an i s B 2? 3 c, B,



(1)求角 A 的大小; (2)若 D 为 BC 的中点,求线段 AD 的长. 15. (1)由正弦定理,得 a sin B ? b sin A , 3 因为 b=4, a sin B ? 2 3 ,所以 sin A ? , 2 π π 又 0 ? A ? ,所以 A ? . 2 3 (2)若 b=4,c=6,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=16+36-2×24× 所以 a= 2 7 . 又因为 a sin B ? 2 3 ,所以 sin B ? ……………………………2 分 ……………………………4 分 ………………………………6 分

1 =28, 2
………………………………8 分

21 2 7 ……………………10 分 ,从而 cos B ? 7 7 因为 D 为 BC 的中点,所以 BD = DC = 7 . 在 ?ABD 由余弦定理,得 AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD ? cos B ,

AD 2 ? 36 ? 7 ? 2 ? 6 ? 7 ? 2 7 ? 19 , 7

所以, AD ? 19 .

………………………………14 分

(苏北四市期末)在锐角三角形 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sin A ?

3 , 5

1 tan( A ? B) ? ? . 2
(1)求 tan B 的值; (2)若 b ? 5 ,求 c . 15. (1)在锐角三角形 ABC 中,由 sin A ? 所以 tan A ?

4 3 ,得 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , 5 5

sin A 3 ? . cos A 4 tan A ? tan B 1 由 tan( A ? B) ? ? ? ,得 tan B ? 2 . 1 ? tan A ? tan B 2

………………7 分

(2)在锐角三角形 ABC 中,由 tan B ? 2 ,得 sin B ?

2 5 5 , cos B ? , 5 5 11 5 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? , 25 b c b sin C 11 由正弦定理 ,得 c ? … ……………14 分 ? ? . sin B sin C sin B 2
a cos B +b cos A c ? 2cos C .

(苏州期末) 在 ?ABC 中, 三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 (1)求角 C 的大小; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 , a ? b ? 6 ,求边 c 的长.
-9-

15.解: (1)由余弦定理知 a cos B + b cos A ? a ?

a 2 ? c2 ? b2 b 2 ? c 2 ? a 2 2c 2 ?b? ? ? c ,…3 分 2ac 2bc 2c
…………………………………5 分 ………………………7 分 ………………………10 分
2

a c o sB + b c o sA 1 ? 1 ,? cos C ? , c 2 ? 又 C ? ? 0, ?? , C ? . 3 ?
1 (2)? S? ABC ? ab sin C ? 2 3 ,? ab ? 8 , 2

又? a ? b ? 6 ,?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? ? a ? b? ? 3ab ? 12 ,
?c ? 2 3 .

…………………13 分

…………………………………14 分

(南京期初)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acosB=bcosA. b (1)求 的值; a 1 π (2)若 sinA= ,求 sin(C- )的值. 3 4 15.解: (1)由 acosB=bcosA,得 sinAcosB=sinBcosA, 即 sin(A-B)=0. 因为 A,B∈(0,π),所以 A-B∈(-π,π),所以 A-B=0, b 所以 a=b,即 =1. a ………………………………………………………………………6 分 …………………………………3 分

1 2 2 (2)因为 sinA= ,且 A 为锐角,所以 cosA= . ………………………………………8 分 3 3 4 2 所以 sinC=sin(π-2A)=sin2A=2sinAcosA= , ………………………………………10 分 9 7 cosC=cos(π-2A)=-cos2A=-1+2sin2A=- .…………………………………………12 分 9 π π π 8+7 2 所以 sin(C-4)=sinCcos4-cosCsin4= 18 .……………………………………………14 分 (盐城三模)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 B ? 60 , a ? c ? 4 . (1)当 a , b, c 成等差数列时,求 ?ABC 的面积;
?

(2)设 D 为 AC 边的中点,求线段 BD 长的最小值. 15.解: (1)因为 a , b, c 成等差数列,所以 b ?

a?c ?2, …………2 分 2 2 2 2 2 由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 3ac ? 16 ? 3ac ? 4 ,解得 ac ? 4 , ……6 分
从而 S?ABC ?

1 3 ac sin B ? 2 ? ? 3. 2 2

…………8 分

(2)方法一:因为 D 为 AC 边的中点,所以 BD ? 则 BD ?

??? ?

? ??? ? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 1 ??? 1 ??? ( BA ? BC ) 2 ? ( BA ? 2 BA ? BC ? BC ) 4 4 1 1 2 1 ? (c ? 2ac cos B ? a 2 ) ? ((a ? c) 2 ? ac) ? 4 ? ac 4 4 4
- 10 -

??? ?2

? ??? ? 1 ??? ( BA ? BC ) , 2

…………10 分

…………12 分

1 a?c 2 ? 4? ( ) ? 3 ,当且仅当 a ? c 时取等号, 4 2 所以线段 BD 长的最小值为 3 . 方法二:因为 D 为 AC 边的中点,所以可设 AD ? CD ? d ,
由 cos ?ADB ? cos ?CDB ? 0 ,得 即 BD ?
2

…………14 分

BD 2 ? d 2 ? c 2 BD 2 ? d 2 ? a 2 ? ?0, 2d ? BD 2d ? BD
…………10 分

a2 ? c2 ? d 2 ? 8 ? ac ? d 2 , 2 2 又因为 b ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? (a ? c)2 ? 3ac ? 16 ? 3ac , 3 2 2 即 4d ? 16 ? 3ac ,所以 d ? 4 ? ac , 4 1 1 a ? c 2 ) 2 ? 3 ,当且仅当 a ? c 时取等号, 故 BD ? 4 ? ac ? 4 ? ( 4 4 2 所以线段 BD 长的最小值为 3 .
(镇江期中) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c .

…………12 分

…………14 分

(1)若 sin( A ?

) ? 2 sin A ,求 A 的值; 4 1 (2)若 cos A ? , sin B ? sin C ? 2 sin A ,试判断 ?ABC 的形状,并说明理由. 2
15.解: (1)由题意,若 sin( A ? ) ? 2 sin A , 4 则 即
2 2 sin A ? cos A ? 2 sin A 2 2 2 2 cos A ? sin A , 2 2

?

?

……2 分 ……4 分 ……5 分 ……7 分

可得 tan A ? 1 ,由 A ? (0, π) , 故 A?

?
4



(2)△ ABC 中, sin B ? sin C ? 2sin A ,由正弦定理可得: b ? c ? 2 a ,……9 分

1 b2 ? c 2 ? a 2 1 由 cos A ? 得: cos A ? ? , 2 2bc 2
故 b2 ? c2 ? a 2 ? bc , 又 b ? c ? 2a ,

……10 分 ……9 分

则 (b ? c)2 ? a2 ? 3bc ? 3a2 , 故 a2 ? bc ? (

b?c 2 ) , 2

……11 分 ……13 分 ……14 分

可得 (b ? c)2 ? 0 ,故 b ? c , 则 b ? c ? a , 故△ ABC 为正三角形.

- 11 -

( 苏 州 期 初 ) 15. 在 △ ABC 中 , 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c . 已 知

sin 2

A? B 2? 2 ? sin A sin B ? 2 4

(1)求角 C 的大小; (2)若 b=4,△ABC 的面积为 6,求边 c 的值. 解: (1)
1 ? cos(A ? B) 2 sin A sin B 2 ? 2 , ? ? 2 2 4

1 ? cos A cos B ? sin A sin B 2 sin A sin B 2 ? 2 , ? ? 2 2 4 1 ? cos A cos B ? sin A sin B 2 ? 2 1 ? (cos A cos B ? sin A sin B) 2 ? 2 , , ? ? 2 4 2 4 1 ? cos(A ? B) 2 ? 2 1 ? cos(? ? C ) 2 ? 2 1 ? cosC 2 ? 2 ? , ? , ? , 2 4 2 4 2 4 cosC ? 2 ? ,C ? , 2 4
1 ? ab sin C ? 6 , b ? 4, C ? , 2 4

(2)因为 S ?

所以 a ? 3 2 ,∵ c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ? 10, ∴ c ? 10 。
(苏锡常镇调研二)15. (本小题满分 14 分)
cos C ) , n ? (4a ? b ,c) ,且 在△ ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ,已知向量 m ? (cos B ,
m∥n .

(1)求 cos C 的值; (2)若 c ? 3 ,△ ABC 的面积 S =
15 ,求 a ,b 的值. 4

15. 解: (1)∵ m ∥ n ,∴ c cos B ? (4a ? b)cos C , 由正弦定理,得 sin C cos B ? (4sin A ? sin B) cos C , 化简,得 sin( B ? C ) ? 4sin A cos C ﹒ ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin A ? sin( B ? C ) ﹒ 又∵ A ? ? 0, p ? ,∵ sin A ? 0 ,∴ cos C ? (2)∵ C ? ? 0, p ? , cos C ?

…………2 分

…………4 分

1 . 4

…………6 分

1 15 1 ? ,∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? . 16 4 4
- 12 -

∵S ?

1 15 ab sin C ? ,∴ ab ? 2 ﹒① 2 4

…………9 分

1 ∵ c ? 3 ,由余弦定理得 3 ? a2 ? b2 ? ab , 2
∴ a 2 ? b2 ? 4 ,② …………12 分

由①②,得 a 4 ? 4a 2 ? 4 ? 0 ,从而 a 2 ? 2 , a ? ? 2 (舍负) ,所以 b ? 2 , ∴a?b? 2 . …………14 分

π tan ?ADC ? ?2 . (苏北三市三模) 如图, 在梯形 ABCD 中, 已知 AD∥BC, AD=1, BD=2 10, ∠CAD= , 求: 4 (1)CD 的长; (2)△BCD 的面积. B (第 15 题) 2 5 5 , cos ?ADC ? ? 15. (1)因为 tan ?ADC ? ?2 ,所以 sin ?ADC ? .………………2 分 5 5
π π 所以 sin ?ACD ? sin(? ? ?ADC ? ) ? sin(?ADC ? ) 4 4
10 π π , ? sin?ADC ? cos ? cos?ADC ? sin ? 10 4 4 AD ? sin ?DAC 在△ ADC 中,由正弦定理得 CD ? ? 5. sin ?ACD

A

D

C

………………6 分 ………………8 分

5 . ………………10 分 5 在△ BDC 中,由余弦定理 BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2 ? BC ? CD ? cos ?BCD , 得 BC 2 ? 2 BC ? 35 ? 0 ,解得 BC ? 7 , ………………12 分 1 1 2 5 ?7. 所以 S?BCD ? ? 7 ? 5 ? sin ?BCD ? ? 7 ? 5 ? ………………14 分 2 2 5 (南通调研一)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab 。
(2)因为 AD ? BC ,所以 cos ?BCD ? ? cos ?ADC ?

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2a cosB, b ? 2 ,求 ? ABC 的面积。
【答案】 (1)

2 ?; (2) 3 . 3

【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积 等基本知识,考查运算求解能力.难度较小. 【解析】 (1)在△ABC 中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 因为 0<C<π,所以 C=

a 2 ? b2 ? c 2 1 1 ? ? ,即 cosC= ? .………3 分 2 2ab 2

2? .……………………………………………………………6 分 3
- 13 -

(2) (法一)因为 c=2acosB,由正弦定理,得

sinC=2sinAcosB, …………………………………………………………………………8 分 因为 A+B+C=π,所以 sinC=sin(A+B), 所以 sin(A+B)=2sinAcosB,即 sinAcos B-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0, 又-
? ? <A-B< , 3 3

………10 分

所以 A-B=0,即 A=B,所以 a=b=2.………………………………………………12 分 1 1 2? 所以△ABC 的面积为 S△ABC= absinC= × 2× 2× sin = 3. ………………………14 分 2 2 3 (法二)由 c ? 2 a cos B 及余弦定理,得 c ? 2a ?

a 2 ? c 2 ? b2 ,…………………………8 分 2ac

化简得 a ? b ,………………………………………………………………………………12 分 1 1 2? 所以,△ABC 的面积为 S△ABC= absinC= × 2× 2× sin = 3.………………………14 分 2 2 3 (南京三模)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.若向量 m=(a,cosA),向量 n=(cosC, c),且 m·n=3bcosB. (1)求 cosB 的值; 1 1 (2)若 a,b,c 成等比数列,求 + 的值. tanA tanC 15.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为 m·n=3bcosB,所以 acosC+ccosA=3bcosB. 由正弦定理,得 sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosB,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 sin(A+C)=3sinBcosB,所以 sinB=3sinBcosB. 1 因为 B 是△ABC 的内角,所以 sinB≠0,所以 cosB= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 (2)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac. 由正弦定理,得 sin2B=sinA· sinC. 分 1 2 2 因为 cosB= ,B 是△ABC 的内角,所以 sinB= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 3 3 又 = sinC+sinA· cosC 1 1 cosA cosC cosA· + = + = tanA tanC sinA sinC sinA· sinC sin(A+C) sinB sinB 1 3 2 = = = = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 sinA· sinC sinA· sinC sin2B sinB 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9

(盐城期中) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别 为角 A, B, C 的对边,已知 A ? (1)若 sin B ?

?
4

,a ? 3.

3 ,求边 c 的长; 5
- 14 -

(2)若 | CA ? CB |? 6 ,求 CA ? CB 的值. 解: (1)在 ?ABC 中,因为 sin B ? 所以 cos B ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? 3 2 ,所以 B ? A ? , ? sin A ? 4 5 2
...............2 分

4 , 5

2 4 ? ? 2 5 a c 3 ? 由正弦定理 ,得 sin A sin C 2 2 ??? ? ??? ? 2 (2)因 CA ? CB ? 6 ,得 b ? 3 ? 2
所以 sin C ? sin( A ? B) ?
2

2 3 7 2 , ? ? 2 5 10 7 3 c ,所以 c ? . ? 5 7 2 10 3b cos C ? 6 ①,
2

...............4 分 ...............6 分

...............8 分

由余弦定理,有 b ? 3 ? 2 3b cos C ? c ①+②,得 c ? 2b ,
2 2

②, ...............10 分 ...............12 分 ……………14 分

再由余弦定理,有 b ? c ? 2bc ? 3 ,解得 b ? 3, c ? 6 ,

??? ? ??? ? ? 2 2 2 所以 a ? b ? c ,即 C ? ,所以 CA ? CB ? 0 . 2
(说明:其它方法类似给分) (常州期末) 15、 (本小题满分 14 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos( B ? C ) ? 1 ? cos A ,且 b, a, c 成等比数列, 求: sin C 的值; (1) sin B? (2)A; (3) tan B ? tan C 的值。

- 15 -

第34课 综合应用
(盐城三模) 14 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 ?ABC 为锐角三角形,且满足

b2 ? a 2 ? ac ,则

1 1 ? 的取值范围是 tan A tan B



.

(1,

2 3 ) 3

(苏锡常镇调研一)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列,且最大边与最小边之比为 m,则实数 m 的 取值范围是

?

.

答案: (2, ??) (苏州期中)12. ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 tan A ? 2 tan B, a ? b ?
2 2

c ? ▲答案 1
12. tan A ? 2tan B ?

1 c ,则 3

1 2 ? 3a 2 ? 3b 2 ? c 2 . ? 2 2 2 2 2 b ?c ?a a ?c ?b
2

(镇江期中) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2a sin( x ?

?
4

) ? 2 ,设 t ? sin x ? cos x ,且 x ? ( ?

? 3?
4 , 4

).

(1)试将函数 f ( x) 表示成关于 t 的函数 g (t ) ,并写出 t 的范围; (2)若 g (t ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? 0 有四个不同的实数根,求 a 的取值范围.
π 18.解: f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 asin( x ? ) ? 2 ? 2sin xcos x ?2 a(sin x ?cos x ) ?2 , …… 2 分 4
π 3π π (1)因为 x ? (? , ) , t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? (0, 2] , 4 4 4
所以 sin 2 x ? t 2 ? 1 . 从而 f ( x) ? g(t ) ? t 2 ? 2at ? 1 , t ? (0, 2] . ……3 分 ……4 分 …… 6 分

1 (2)由 g(t ) ? 0 恒成立,可得 2a ? t ? 在(0, 2] 上恒成立, t 1 记 h(t ) ? t ? ? 2 ,当且仅当 t ? 1 时等号成立, t
所以 2a ? h(t)min ? 2 ,即 a ? 1 . (3) 若方程 f ( x) ? 0 有四个不同的实数根, 等价于方程 t 2 ? 2at ? 1 ? 0 在 (0, 2] 上有两个不同的实数根, 根据根的分布可知: 由 g (0) ? 0 , g( 2) ? 0 ,得 a ?
3 2 4
- 16 -

……10 分

……12 分

……13 分

由 ? ? 4a 2 ? 4 ? 0 ,得 a ? ?1或者a ? 1 又0? a ? 2 , 解得 1 ? a ?
3 2 . 4

……14 分 ……15 分 ……16 分

(苏州期中)如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两个报名点,满足 A,B,C 中任意两点间的距离为 10 km.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两处 游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘轮游轮前往 C 岛.据统 计, 每批游客 A 处需发车 2 辆, B 处需发车 4 辆, 每辆汽车每千米耗费 2 a 元, 游轮每千米耗费 12a 元. (其 中 a 是正常数)设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元. (1) 写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2) 问:中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小? π 2π 解:(1) 由题知在△ACD 中,∠CAD= ,∠CDA=α,AC=10,∠ACD= -α. 3 3 由 正 弦 定 理 知 CD π sin 3 = AD 2π ? sin? ? 3 -α? =

10 ,……………………………..2 分 sin α 即 CD = 5 3 sin α , AD =

2π ? 10sin? ? 3 -α? sin α

,……………………………………..3 分

所以 S=4aAD+8aBD+12aCD= (12CD-4AD+80)a 2π ? 60 3-40sin? ? 3 -α? =[ ]a+80a…………………………………………..5 分 sin α =[20 3 3-cos α 2? ? ?? ]a+60a ? ? ? ? ? . ………………..6 分 sin α 3 ? ?3 1-3cos α · a,…………………………………..……………..8 分 sin2α

(2) S′=20 3

1 令 S′=0 得 cos α= ……………………………………………………..10 分 3 1 当 cos α> 时,S′<0; 3 1 当 cos α< 时,S′>0,………………………………..12 分 3
- 17 -

1 所以当 cos α= 时,S 取得最小值,…………………………………………………..14 分 3 5 3cos α+5sin α 2 2 5 6 此时 sin α= ,AD= =5+ ,…………………..15 分 3 sin α 4 20+5 6 所以中转点 C 距 A 处 km 时,运输成本 S 最小.……………………..16 分 4 (盐城三模)一位创业青年租用了一块边长为 1 百米的正方形田地 ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜,他 在 正 方 形 的 边 BC , CD 上 分 别 取 点 E , F ( 不 与 正 方 形 的 顶 点 重 合 ) , 连 接 AE, EF , FA , 使 得

?EAF ? 45? . 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区, ?AEF 部分规划为蜂巢区, ?CEF 部 5 分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为 2 ?10 元/百米 2, 蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约 F 5 C 2 D 为 10 元/百米 ,则这三个区域的总投入最少需要多少元?
E

A 17.解:解法一:设阴影部分面积为 S ,三个区域的总投入为 T . 则 T ? 2 ?105 ? S ? 105 ? (1 ? S ) ? 105 ? (S ? 1) ,从而只要求 S 的最小值. 则 S ?ABE ?

B 第 17 题图 ...............2 分

设 ?EAB ? ? (0? ? ? ? 45?) ,在 ?ABE 中,因为 AB ? 1, ?B ? 90? ,所以 BE ? tan ? ,

1 1 AB ? BE ? tan ? ; 2 2

...............4 分 ...............6 分 ...............8 分 ...............10 分

1 tan(45? ? ? ) , 2 1 1 1 ? tan ? ), 所以 S ? (tan ? ? tan(45? ? ? )) ? (tan ? ? 2 2 1 ? tan ? 1 1? x 1 x ?1 1 2 ) ? (x ? ) ? (x ? ? 1) 令 x ? tan ? ? (0,1) ,则 S ? ( x ? 2 1? x 2 x ?1 2 x ?1 1 2 1 ? [( x ? 1) ? ? 2] ? [2 2 ? 2] ? 2 ? 1 , 2 x ?1 2 2 当且仅当 x ? 1 ? ,即 x ? 2 ? 1 时取等号. x ?1 5 从而三个区域的总投入 T 的最小值约为 2 ? 10 元. (说明:这里 S 的最小值也可以用导数来求解:
又 ?DAF ? 45? ? ? ,所以 S ?ADF ? 因为 S ? ?

...............12 分 ...............14 分

( x ? ( 2 ? 1))( x ? ( 2 ? 1)) ,则由 S ? ? 0 ,得 x ? 2 ? 1 . 2(1 ? x)2 当 x ? (0, 2 ?1) 时, S ? ? 0 , S 递减;当 x ? ( 2 ?1,1) 时, S ? ? 0 , S 递增.
2 ? 1 时, S 取得最小值为 ( 2 ?1) .) 解法二:设阴影部分面积为 S ,三个区域的总投入为 T . 5 5 5 则 T ? 2 ?10 ? S ? 10 ? (1 ? S ) ? 10 ? (S ? 1) , 从而只要求 S 的最小值. ...............2 分 如图,以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴,
建立平面直角坐标系. 设直线 AE 的方程为 y ? kx(0 ? k ? 1) , 即 k ? tan ?EAB ,因为 ?EAF ? 45? ,
- 18 -

所以当 x ?

y D F C E

A

B

x

所以直线 AF 的斜率为 tan(?EAB ? 45?) ? 从而直线 AF 方程为 y ?

1? k x. 1? k

1? k , 1? k
...............6 分

1 1 AB ? BE ? k ; 2 2 1? k 1? k 1 1 1? k x 中,令 y ? 1 ,得 F ( ,1) ,所以 S?ADF ? AD ? DF ? ? 在方程 y ? ; 1? k 1? k 2 2 1? k 1 1? k ), k ? (0,1) . 从而 S ? (k ? ...............10 分 2 1? k
在方程 y ? kx 中,令 x ? 1 ,得 E (1, k ) ,所以 S?EAB ? 以下同方法一. 解法三:设阴影部分面积为 S ,三个区域的总投入为 T . 则 T ? 2 ?105 ? S ? 105 ? (1 ? S ) ? 105 ? (S ? 1) ,从而只要求 S 的最小值. ...............14 分 ...............2 分 ...............4 分 ..............8 分 ..............10 分

1 (tan ? ? tan ? ) . 2 tan ? ? tan ? ?1, 因为 ? ? ? ? 90? ? ?EAF ? 45? ,所以 tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 2 ) , 所以 tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? ? 1 ? ( 2 2 即 2S ? 1 ? S ,解得 S ? 2 ? 1 ,即 S 取得最小值为 ( 2 ?1) ,
设 ?DAF ? ? , ?BAE ? ? (0? ? ? , ? ? 45?) ,则 S ? 从而三个区域的总投入 T 的最小值约为 2 ? 10 元.
5

...............14 分

(南通三模)15.(本小题满分 14 分)已知 ?ABC 是锐角三角形,向量

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? m ? ? cos ? A ? ? ,sin ? A ? ? ? , n ? ? cos B,sin B ? ,且 m ? n . 3? 3 ?? ? ? ?
(1)求 A ? B 的值;

3 , AC ? 8 ,求 BC 的长. 5 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 15.(1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? cos ? A ? ? cos B ? sin ? A ? ? sin B ? cos ? A ? ? B ? ? 0 3? 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 5? ? 又 A, B ? ? 0, ? ,所以 ? A ? ? B ? ? ? ? , ? ,所以 A ? 3 ? B ? 2 ,即 A ? B ? 6 ; 3 ? 2? ? ? ? 6 6 ? 3 4 ? ?? (2)因为 cos B ? , B ? ? 0, ? ,所以 sin B ? 5 5 ? 2?
(2)若 cos B ? 所以 sin A ? sin ? B ?

? ? sin B cos ? cos B sin 6? 6 6 4 3 3 1 4 3 ?3 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 4 3 ?3 sin A 由正弦定理,得 BC ? ? AC ? 10 ? 8 ? 4 3 ? 3 . 4 sin B 5 (南通二调)15.在斜三角形 ABC 中, tan A ? tan B ? tan A tan B ? 1 .
- 19 -

? ?

??

?

?

(1)求 C 的值; (2)若 A ? 15? , AB ? 2 ,求 ?ABC 的周长. 解: (1)因为 tan A ? tan B ? tan A tan B ? 1 ,即 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B , 因为在斜三角形 ABC 中, 1 ? tan A tan B ? 0 , 所以 tan ? A ? B ? ?

tan A ? tan B ?1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 1 ? tan A tan B

由正弦定理

BC CA AB ? ? ,得 sin A sin B sin C

BC CA 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ? ? ? 2, 0 0 sin15 sin 30 sin1350
故 BC ? 2sin15 ? 2sin 45 ? 30
0 0

?

0

? ? 2 ?sin 45

0

cos300 ? cos 450 sin 300 ? ?

6? 2 , . . . . . . .12 分 2

CA ? 2sin 300 ? 1 .
所以 ?ABC 的周长为 AB ? BC ? CA ?

2 ?1?

6 ? 2 2? 6 ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分 ? 2 2

(扬州期末) 已知函数 f ( x) ? 3cos 2 ?x ? sin ?xcos ?x( ? ? 0) 的周期为 ? . (1)求 ? 的值,并求函数在 [0, ] 的值域; 2

?

A b?c?5, (2) 在已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长, 若 f( )? 3, 且a ? 4, 求 ?ABC 2 的面积.
16.解: (1) f ( x) ?
3 1 ? 3 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? sin(2? x ? ) ? 2 2 3 2

…………2 分

? 3 2? …………4 分 ? ? ,解得 ? ? 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 3 2 2? 3 ? ? ? ? 4 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 又 0 ? x ? , 得 ? 2x ? ? ? , ? 2 3 2 3 3 3 ? 3 3 3 ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? 1 即函数 y ? f ( x) 在 x ?[0, ] 上的值域为 [0, ? 1] .………7 分 3 2 2 2 2 ? 3 A ? ? 4 (2)? f ( ) ? 3 ? sin( A ? ) ? 由 A ? (0, ? ) ,知 ? A ? ? ? , 3 2 2 3 3 3 ? 2 ? 解得: A ? ? ? ,所以 A ? …………9 分 3 3 3
? f ( x) 的周期为 ? ,且 ? ? 0 ,?
- 20 -

由余弦定理知: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 16 ? b2 ? c 2 ? bc ?16 ? (b ? c)2 ? 3bc ,因为 b ? c ? 5 ,所以 bc ? 3 1 3 ∴ S?ABC ? bc sin A ? 3. 2 4

…………12 分 …………14 分

( 扬州期中 ) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? (cos C ,sin

??

? ?? ? C n ? (sin , cos C ) ,且 m / / n . 2 (1)求角 C 的大小;
2 2 2 (2)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值.

C ), 2

16.解: (1)∵ m / / n ∴ cos C ?
2

??

?

∴ cos C ? sin
2

2

1 ? cos C 1 ? 0 整理得: 2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 ,解得: cos C ? 或 cos C ? ?1 2 2
∴C ?

C ?0 2

……3 分

∵ C ? (0, ? ) (2)∵ C ?

?
2

? a 2 ? b 2 ? ab 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ∵ a ? 2b ? c ∴ a ? 2b ? a ? b ? ab ∵ b ? 0 ∴ a ? 3b ∴ c ? 7b ……10 分 7b2 ? b2 ? 9b2 1 ∴ cos A ? ∵ A ? (0, ? ) ∴ tan A ? ?3 3 ……14 分 ?? 2 2 7b 2 7
2 2

?

3

……7 分

∴ c ? a ? b ? 2ab cos

?

(镇江期中) 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成

的平面图由半径为 2 m 的扇形 AOB 和三角区域 BCO 构成,其中 C , O, A 在一条直 线上, ?ACB ? 其中

?
4

,记该设施平面图的面积为 S ( x)m 2 , ?AOB ? x rad ,

?
2

? x??.

(1)写出 S ( x) 关于 x 的函数关系式; (2)如何设计 ?AOB ,使得 S ( x) 有最大值?
π 1 19.解:(1)由已知可得 ?CBO ? x ? , S扇形AOB = lr ? 2 x , 4 2
在△ BCO 中由正弦定理可得: ……2 分

CO BO ,所以 CO ? 2(sin x ? cos x) , ? sin ?C B O s i n C

……4 分 ……6 分

1 从而 S?CBO ? BO ? CO ? sin ?BOC ? 2sin 2 x ? 2sin xcos x , 2

π 所以 S ( x) ? 2sin 2 x ? 2sin xcos x ? 2 x ? 2sin x(sin x ?cos x) ?2 x ,( ? x ? π). ……8 分 2
- 21 -

π (2) S ?( x) ? 2(sin 2x ? cos 2x) ? 2 ? 2 2 sin(2 x ? ) ? 2 , 4
由 S ?( x) ? 0, 解得 x ?

……10 分 ……12 分

3π , 4

π 3π π 3π 令 S ?( x) ? 0, 解得 ? x ? ,? 增区间是 ( , ) ; 2 4 2 4
令 S ?( x) ? 0, 解得 所以 S ( x) 在 x ?

3π 3π ? x ? π, ? 减区间是 ( , π) ; 4 4

……14 分 ……15 分 ……16 分

3π 3π 处取得最大值是 2 ? m2 . 4 2 3π 3π 时,该设施的平面图面积最大是 2 ? m2 . 2 4

答:设计成 ?AOB=

(无锡期中)如图,某自行车手从 O 点出发,沿折线 O–A–B–O 匀速骑行,其中点 A 位于点 O 南偏
东 45 且与点 O 相距 20 2 千米.该车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C,其中点 C 位于点 O
?

(45 ? ?) 南偏东 (其中 sin ? ?
?

1 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 O 相距 5 13 千米(假设所有路面及观测 26

点都在同一水平面上) . (1)求该自行车手的骑行速度; (2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E,假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内有长时间 的持续强降雨.试问:该自行车手会不会进入降雨区,并说明理由. 北
B


E O

C A

1 解: (1)由题意,知:OA=20 2 ,OC=5 13 ,∠AOC= ? , sin ? ? . 26
? ? 由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (

1 2 5 26 . ) ? 26 26

…………………3 分

由余弦定理,得 AC= OA ? OC ? 2OA ? OC ? cos? ? 5 5 .
2 2

…………………5 分

所以该自行车手的行驶速度为

5 5 . ? 15 5 (千米/小时) 1 3
B
- 22 -

…………………6 分

(2)如图,设直线 OE 与 AB 相交 AOC 中,由余弦定理,得:

于点 M .在△
H O E M C A

cos ?OAC ?

OA2 ? AC 2 ? OC 2 3 10 202 ? 2+52 ? 5 ? 52 ?13 , = = 2OC ?AC 10 2 ? 20 2 ? 5 5

从而 sin ?OAC ? 1 ? cos2 ?OAC = 1 ? 在△AOM 中,由正弦定理,得:

9 10 . ? 10 10

…………………9 分

10 OA sin ?OAM 10 = ? 20 . OM ? ? sin(45 ? ?OAM ) 2 3 10 10 ( ) 2 10 10 20 2 ?
过点 E 作 EH ? AB 于点 H,则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离. 在 Rt△EHM 中,

…………………12 分

由于 OE=27.5>40 = OM,所以点 M 位于点 O 和点 E 之间,且 ME=OE-OM=7.5.

EH ? EM ? sin ?EMH =EM ? sin ?EMH

=EM ? sin(45? ? ?OAC) ? 7.5 ?
所以该自行车手会进入降雨区. ( 无 锡 期 末 )

5 3 5 ? ? 3.5 . 5 2
…………………16 分

在 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

? a?( s i B n?

sC in

? ? ? ,C ? sin, Ab s ?i (sin n B) ? sin C,sin a) ,且 a ? b 。

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? c cos A, ?ABC 的外接圆的半径为 1,求 ?ABC 的面积。

- 23 -

(无锡期末)在一个直角边长为 10m 的等腰直角三角形 ABC 的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形 PQR 的花地,要去 P、Q、R 三点分别在 ? ABC 的三边上,且要使 ? PQR 的面积最小,现有两种设计方案: 方案一:直角顶点 Q 在斜边 AB 上,R、P 分别在直角边 AC、BC 上; 方案二:直角顶点 Q 在直角边 BC 上,R、P 分别在直角边 AC,斜边 AB 上, 请问应选用哪一种方法?并说明理由。

- 24 -

(常州期末) 18、 (本小题满分 16 分)如图,直线 l 是湖岸线,O 是 l 上一点,弧 AB 是以 O 为圆心的半圆形 栈桥,C 为湖岸线 l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛 D,同时沿线段 CD 和 DP(点 P 在半圆形栈桥上 且不与点 A,B 重合)建栈桥。考虑到美观需要,设计方案为 DP =DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥 BP 在∠CDP 的内部,已知 BC=2OB =2(km) ,没湖岸 BC 与直线栈桥 CD,DP 及圆弧栈桥 BP 围成的区 域(图中阴影部分)的面积为 S(km2) ,∠BOP= ? 。 (1)求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)试判断 S 是否存在最大值,若存在,求出对应的 cos ? 的值, 若不存在,说明理由。

- 25 -

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