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宁夏固原市一中2015届高三最后冲刺模拟数学(理)试卷 (Word版含答案)

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固原一中 2014-2015 学年第二学期数学(理)模拟试题 6.3
命题人:邱鹏飞 审题人:赵志禄 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的) 1 . 设 为 虚 数 单 位 , 则 复 数 z ? ( ) B.第二象限 下 列 说 法 C.第三象限 中 正 D.第四象限 确 的 是

/>i 2015 1 ? i 2015

在 复 平 面 中 对 应 的 点 在

A.第一象限 2 ( . )

A.命题“若 a ? b ? 0 ,则

x 1 1 ? ”的逆命题是真命题 B.命题 p : ?x ? R , 2 a b

? 0 ,则

?p : ?x0 ? R , 2

x0

?0
D. “ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”成立的

C.“ a ? 1,b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”成立的充分条件 充分不必要条件

3.已知错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。为平面向量,若错误!未找到引用 源。与错误!未找到引用源。的夹角为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 与错误!未找到引用源。的夹角为错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 4. ( ) B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. a ? b ? c 设

a ? log 3 3



b ? ln 2



c?5

?

1 2





A. c ? b ? a

5.已知 ?a n ? 为等差数列且公差 d ? 0 , 其首项 a1 ? 20 , 且 a3 , a 7 , a9 成等比数列, S n 为 ?a n ? 的前 n 项和

n ? N * ,则 S10 的值为(
A. ? 110

) C.

B. ? 90

90
? ( x ? ?i ) 2 2? i2

D. 110

? ( x) ? 6.已知三个正态分布密度函数 i
则 ( ) A. ? 1 ?

1 2? ? i

e

( x ? R, i ? 1,2,3 )的图象如图所示,

? 2 ? ?3 ,? 1 ? ? 2 ? ? 3

B. ? 1 ?

? 2 ? ?3 ,? 1 ? ? 2 ? ? 3
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C. ? 1 ?

? 2 ? ?3 ,? 1 ? ? 2 ? ? 3

D. ? 1 ?

? 2 ? ?3 ,? 1 ? ? 2 ? ? 3
第 6 题图

7. 某班有 34 位同学,座位号记为 01,02,…34,用下面的随机数表选 取 5 组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.

49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和

第 7 列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 4 个志愿者的座号是 ( A.23 ) B.09 C.02 D.16

8.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) ,

r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则
( ) B. r2 ? 0 ? r1 C. 0 ? r2 ? r1 D. r2 ? r1 A. r2 ? r1 ? 0

?x ? 0 ? y ?1 9. 若实数 x 、 y 满足不等式组 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,若使得目标函数 z ? 有最小值的最优 x ?1 ? y ? a ( x ? 1). ?
解为有无穷多 个 , ( ) A.
1 3


1 2





a







B.

C. 2

D.3

10. 光线从点 A(?2, 3 ) 照射到 x 轴的点 B 后,被 x 轴反射,这时反射光线恰好经过点

C (1,2 3 )
( A. )

,





线

BC







线











?
6
方 程

B.

?
3

C.

2? 3
表 示 的

D.

5? 6
曲 线 是

11.

y ? 1 ? 1 ? ( x ? 1) 2
B. 两个圆

( ) A. 两个半圆 圆

C. 抛物线

D. 一个

A
D

B

12.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。通过普通高中课 程实验教科书《数学》2-1 第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道,用一

C
A?
P
图2

M

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B?

D?

C?

个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.实际上, 设圆锥母线与轴所成角为 α,不过圆锥顶点的截面与轴所成角为 θ. 当? ?

?

2

时,截口曲线为圆,当 ? ? ? ?

?

2

时,截口曲线为椭圆;

当 0 ? ? ? ? 时,截口曲线为双曲线; 当 ? ? ? 时,截口曲线为抛物线; 如图 2,正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, M 为 BC 边的中点,点 P 在底面 A?B ?C ?D ? 上 ( 运 ) B.一段椭圆弧 C. 一段圆弧 D.一段抛物线弧 动 并 且 使

?MAC ? ? ?PAC ?









P









A. 一段双曲线弧

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.从双曲线 x ? y ? 1 上点 Q 引直线 x ? y ? 2 的垂线,垂足为 N, 则线段 QN 中点 P 的轨
2 2

迹方程是

.

14.三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 、A 、B 、C 都在半径为 3 的球面上,若 AB ? BC ? AC 且 PA 、
PB 、 PC

两两垂直 ,点 P 在底面 ABC 的投影位于△ ABC 的几何中心,则球心到截面 ABC 的距离为 ____________. 15.设数列 {a n } 满足:a1 ? 3a 2 ? 3 2 a3 ? ? ? ? ? 3 n ?1 a n ? 是 .
n n ?1 ? n ? Cn 2 ? n(1 ? 2) n ?1 ,可以采用以下方法: n n n ? Cn 2 x ? (1 ? 2 x) n ,
n n n ?1 ? n ? Cn 2 x ? 2n(1 ? 2 x) n ?1 , n n ?1 ? n ? Cn 2 ? n(1 ? 2) n ?1 ? n ? 3n ?1 , n n ? n 2 Cn 2 ?

n , n ? N ? ,则数列 {a n } 的通项公式 3

1 2 16.计算 Cn ? 2 ? Cn 2?

0 1 2 2 2 构造恒等式 Cn ? Cn 2 x ? Cn 2 x ?
1 2 2 两边对 x 求导,得 Cn 2 ? 2 ? Cn 2 x? 1 2 在上式中令 x ? 1 ,得 Cn ? 2 ? Cn 2?

1 2 2 3 3 类比上述计算方法,计算 Cn 2 ? 2 2 Cn 2 ? 32 Cn 2 ?



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .

17.(本小题满分 12 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正 半轴重合,终边交单位圆于点 A ,且 ? ?? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) .

? ? 6 2

? ,交 3

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(Ⅰ)若 x1 ?

1 ,求 x 2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S 2 .若 S1 ? 2 S 2 ,求角 ? 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD ,
PA // BE , AB ? PA ? 2 BE ? 4 . (Ⅰ)求证: CE // 平面 PAD ; (Ⅱ)在棱 AB 上是否存在一点 F ,使得平面 DEF ? 平面 PCE ?
P

如果存在,求

AF 的值;如果不存在,说明理由. AB

E

A

D

B

(第 18 题图)

C

19.(本小题满分 12 分)2014 年 7 月 18 日 15 时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计, 本次台风造成全省直接经济损失 119.52 亿元.适逢暑假,小明调查住在自己小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率 分布直方图(图 1) :

(图 2)

(图 1)

(Ⅰ)根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失; (Ⅱ) 台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款, 小明调查的 50 居民捐款情况如下表, 在图 2 表格空白处填写正确数字,并说明是否有 95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或 少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? (Ⅲ) 台风造成了小区多户居民门窗损坏, 若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人 进行维修,李师傅每天早上在 7:00 到 8:00 之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在 7:30 到 8:30 分之间的任意时刻来到小区,求连续 3 天内,有 2 天李师傅比张师傅早到小区 的概率. n(ad ? bc) 2 附:临界值表参考公式: K 2 ? ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

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20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C : y 2 ? 4 x , O 是原点, A, B 为抛物线上两动点,且 满足 OA ? OB , 若 OM ? AB 于 M 点. (Ⅰ)求 M 的轨迹方程. (Ⅱ) 过点 F (1, 0) 作互相垂直的两条直线 l1 ,l2 ,分别交抛物线 C 于点 P 、Q 和点 K 、L . 设 线段 PQ , KL 的中点分别为 R 、 T ,求证:直线 RT 恒过一个定点; 21.(本小题满分 12 分)对于函数 h( x) ? ln x ? ax ? a , g ( x) ? e x . (Ⅰ)求函数 h( x) 的单调区间; (Ⅱ)设直线 l1 : y ? k1 x 和直线 l2 : y ? k2 x 分别与 y ? h( x) 和 y ? g ( x) 相切, k1k2 ? 1 , 求证实数 a 满足: a ? 0 或 1 ? e?1 ? a ? e ? e ?1 . 四、选考题(从下列三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做 题计入总分,满分 10 分. 请将答题的过程写在答题卷 中指定 的位置) . ... .. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 A 分别作圆 O 的两条切线 AB 、 AC ,延长 BA 于 点 D ,使 DA ? AB ,直线 CD 交圆 O 于点 E , AE 交圆 O 于点 F , 交 BC 于点 I , AC 与 DF 交于点 H . (Ⅰ)证明: A 、 D 、 C 、 F 四点共圆. (Ⅱ)若 HI // DE ,求证:△ BED 为等腰直角三角形.
(第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,圆 C2 的极坐标

? 方程为 ? ? 4 cos(? ? ) ,已知 C1 与 C2 交于 A 、 B 两点,点 B 位于第一象限. 6
(Ⅰ)求点 A 和点 B 的极坐标; (Ⅱ)设圆 C1 的圆心为 C1 ,点 P 是直线 BC1 上的动点,且满足 BP ? m BC1 ,若直线 C1 P 的
? 3 x? 3? ? ? ? 2 ( ? 为参数) 参数方程为 ? ,则 m : ? 的值为多少? ?y ?1? 1 ? ? ? 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲.设 a , b , c ? R? ,且 ab ? bc ? ac ? 1 ,证明
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下列不等式: (Ⅰ)
1 1 1 ? ? ?3 3; a b c 1 . 3

(Ⅱ) abc(a ? b ? c) ?

固原一中 2014-2015 学年第二学期数学(理)模拟试题 6.3
命题人:邱鹏飞 一.选择题 CCDBD, DDBBB, AA 二.13. 2 x 2 ? 2 y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 14. 审题人:钱慧萍

3 3

15. a n ?

1 3n

16. 2n(2n ? 1)3n ? 2 ………………2 分

17.(Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 所

? ? 6 2

? ). 3

1 , 3

2 2 . 3

………………3 分 以 ………………5 分

? 1 3 1? 2 6 . x2 ? cos(? ? ) ? cos ? ? sin ? ? 3 2 2 6
(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以

? ). 3

1 1 1 ………………7 分 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S 2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) . ……………9 分 2 2 3 3 4 3 2? 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? ), 3 S1 ?
整理得

cos 2? ? 0 .
? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? , 6 2 3 ? ? 所以 2? ? , 即 ? ? . 2 4 18.解: (Ⅰ)设 PA 中点为 G ,连结 EG , DG . ∵ PA // BE ,且 PA ? 4 , BE ? 2 , ∴ BE // AG 且 BE ? AG , ∴四边形 BEGA 为平行四边形. ∴ EG // AB ,且 EG ? AB .
因为

………………11 分

………………12 分

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∵正方形 ABCD , ∴ CD // AB , CD ? AB , ∴ EG // CD ,且 EG ? CD . ∴四边形 CDGE 为平行四边形. ∴ CE // DG . ∵ DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , ∴ CE //平面 PAD . ----------------------------------------------5 分 (Ⅱ) 如图建立空间坐标系, 则 B (4,0,0) , C (4, 4,0) , E (4,0, 2) , P(0,0, 4) , D (0, 4,0) , ∴ PC ? (4, 4, ?4) , PE ? (4,0, ?2) , PD ? (0, 4, ?4) .
z

设平面 PCE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) , ∴?

P

? ?m ? PC ? 0

?x ? y ? z ? 0 . ?? ? ? m ? PE ? 0 ? 2 x ? z ? 0
E
A

?x ?1 ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,∴ m ? (1,1, 2) .---------8 分 ?z ? 2 ?

D y

F B x C

可设 F (a, 0, 0) ,则 FE ? (4 ? a, 0, 2) , DE ? (4, ?4, 2) . 平面 DEF 的一个法向量为

? x?2 ? ? a ?n ? DE ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ? ?? .令 x ? 2 ,则 ? y ? , n ? ( x, y, z ) ,则 ? 2 ? ? ? n ? FE ? 0 ?(4 ? a) x ? 2 z ? 0 ? ?z ? a ? 4
∴ n ? (2, , a ? 4) . 由平面 DEF ? 平面 PCE ,得 m ? n ? 0 ,即 2 ? 点 F(

a 2

a 12 ? 2a ? 8 ? 0 , a ? ? 4, 2 5

12 AF 3 , 0, 0) . 得: ? .--------------------------------------------------------------------12 分 5 AB 5

19. 解: (Ⅰ)记每户居民的平均损失为 x 元,则:

x ? (1000 ? 0.00015 ? 3000 ? 0.0002 ? 5000 ? 0.00009 ? 7000 ? 0.00003 ? 9000 ? 0.00003) ? 2000 ? 3360
(Ⅱ)如图:

------------------------3 分

K2 ?

50 ? (30 ? 6 ? 9 ? 5) 2 39 ?11? 35 ?15 , ? 4.046 ? 3.841
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所以有 95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关. -----------------------------------6 分 (Ⅲ)设李师傅,张师傅到小区的时间分别为 x , y ,则 ( x, y ) 可以看成平面中的点.试 验的全部结果所构成的区域为 ? ? ( x, y ) 7 ? x ? 8, 7.5 ? y ? 8.5 ,则 S? ? 1 ,事件 A 表 示 李 师 傅 比 张 师 傅 早 到 小 区 , 所 构 成 的 区 域 为

?

?

A ? ?( x, y ) y ? x, 7 ? x ? 8, 7.5 ? y ? 8.5? ,即图中的阴影部分:
面积为 S A ? 1 ?

S 1 1 1 7 7 ? ? ? ,所以 P( A) ? A ? , ----------------------------------------10 2 2 2 8 S? 8

分 事件 B 表示连续 3 天内,有 2 天李师傅比张师傅早到小区的概率,则

7 1 147 P( B) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 8 8 512

--------------------------------------------------------------------------12 分

20.解:(Ⅰ)设动点 M ( x, y ) , A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,设 AB : x ? my ? n 与 y ? 4 x 联立得 y ? 4my ? 4n ? 0
2 2

? y1 y2 ? ?4n, x1 x2 ? n 2
由 OA ? OB 得 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 0

? n 2 ? 4n ? 0 即 n ? 4 ①
而 OM ? AB ? m ?

y ② x

2 2 将①②代入 x ? my ? n 得 x ? y ? 4 x ? 0( x ? 0)

(Ⅱ)设 P 、Q 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则点 R 的坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

显然直线 l1 斜率存在且不为 0,由题意可设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ,

? y 2 ? 4 x, 2 2 2 2 由? 得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 . ? y ? k ( x ? 1),
D = (2k + 4) - 4k = 16k + 16 > 0 .
因为直线 l1 与曲线 C 于 P, Q 两点,所以 x1 ? x2 ? 2 ? 所以点 R 的坐标为 (1 ?
2 2 4 2

4 4 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? . 2 k k

2 2 , ). k2 k

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1 2 ,同理可得点 T 的坐标为 (1 ? 2k , ?2k ) . -----------8 分 k 2 ? 2k k 2 2 k 当 k ? ?1 时,有 1 ? 2 ? 1 ? 2k ,此时直线 RT 的斜率 k RT ? . ? 2 2 1 ? k k 2 1 ? 2 ? 1 ? 2k k k 所以,直线 RT 的方程为 y ? 2k ? ( x ? 1 ? 2k 2 ) , 整理得 yk 2 ? ( x ? 3)k ? y ? 0 . 2 1? k
由题知,直线 l2 的斜率为 ? 于是,直线 RT 恒过定点 E (3, 0) ; -----------------------------------------10 分

当 k ? ?1 时,直线 RT 的方程为 x ? 3 ,也过 E (3, 0) . 综上所述,直线 RT 恒过定点 E (3, 0) 21.解: (Ⅰ) h?( x) ? -------------------------------------12 分

1 1 ? ax ?a? ( x ? 0) . x x (ⅰ)当 a ? 0 时,对任意 x ? 0 , h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 的单调递增区间是 (0, ? ?) ;3 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,若 0 ? x ? 递增区间为 (0,

1 1 , h?( x) ? 0 ;若 x ? , h?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 的单调 a a

1 1 ) ,单调递减区间为 ( , ? ?) ;---------------------------------6 分 a a y (Ⅱ)设直线 l2 与 y ? g ( x) 相切于点 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? e x2 , k2 ? g ?( x2 ) ? e x2 ? 2 ,联立得 x2

x2 ? 1 , y2 ? e ,从而 k2 ? e x2 ? e .从而 k1 ?

1 1 1 ? ,则直线 l1 的方程为 y ? k1 x ? x . k2 e e 1 1 y ?a ? ? 1 ,所以 x1 e x1

设 直 线 l1 与 曲 线 y ? h( x) 的 切 点 为 ( x1 , y1 ) , 则 k1 ? f ?( x1 ) ?
y1 ?

1 1 x1 ? 1 ? ax1 ①, a ? ? ②. x1 e e 1 1 ? ? 0. x1 e

又因为 y1 ? ln x1 ? ax1 ? a ,代入①,②得 ln x1 ? 1 ? 令 u ( x) ? ln x ? 1 ?

1 1 1 1 x ?1 ? ,则 u ?( x) ? ? 2 ? 2 ,从而 u ( x) 在 (0, 1) 上单调递减,在 x e x x x [1, +?) 上单调递增.

1 1 1 1 1 1 当 x1 ? (0, 1) 时, 注意到 u ( ) ? ?2 ? e ? ? 0 , 所以 x1 ? ( , 1) , 而a ? ? u (1) ? ? ? 0 , x1 e e e e e

e ?1 e2 ? 1 1 ?a? 在 x1 ? ( , 1) 上单调递减,所以 ,即 1 ? e?1 ? a ? e ? e ?1 ;------------10 分 e e e 1 1 当 x1 ? [1, ? ?) 时,u ( x) 在 [1, +?) 上单调递增, 且 u (e) ? 0 , 从而 x1 ? e , 代入 a ? ? 得 x1 e
a ?0.

综上,实数 a 满足: a ? 0 或 1 ? e?1 ? a ? e ? e ?1 --------------------------------12 分 22.证明: (Ⅰ)连接 CF ,由已知,在△ BCD 中, AB ? AC ? AD ∴ ?BCD ? ?BCE ? 90 ,
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∴ BE 是圆 O 的直径.------------- -------- 2 分 ∵ ?CBE ? ?DBC ? 90 , ?BDC ? ?DBC ? 90 , ∴ ?BDC ? ?CBE . ∵ ?CBE ? ?CFE , ∴ ?CFE ? ?BDC , ∴ A 、 D 、 C 、 F 四点共圆. . ------------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ)连接 HI , BF ,由(Ⅰ) A 、 D 、 C 、 F 四点共圆.得 ?ADF ? ?ACF ? ?FBC ∵ AC 是圆 O 的切线, ∴ ?ACF ? ?CEF , ∵ HI // DE , ∴ ?CEF ? ?HIF ? ?HCF , ∴ H 、 C 、 I 、 F 四点共圆.----------------------------------------------------------------------3 分 ∴ ?HDC ? ?FHI ? ?FCI ? ?ABF ∴ ?ADC ? ?DBC ? ?CBE ,又 BC ? DE ∴△ BED 为等腰直角三角形.---------------------------------------------------------------------5 分 ? ? ? 4sin ? ? ? 23.解(Ⅰ)联立 C1 与 C2 的极坐标方程 ? ? ,得 4sin ? ? 4 cos(? ? ) , 6 ? ? 4cos(? ? ) ? 6 ? 当 ? ? 0 时,得交点 A 极坐标为 A(0, 0) ,-------------------------------------2 分 当 ? ? 0 时,化简得 tan ? ? ∴点 B 的极坐标是 B(2,
3 ? 7? ,从而 ? ? , ? ? 2 或 ? ? , ? ? ?2 (舍去) , 3 6 6

?
6

) . ----------------------------------------------5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得点 B 的直角坐标为 B( 3, 1) , 将圆 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程得 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 从而 C1 的直角坐标为 C1 (0, 2) , 设点 P 对应的参数为 ? ,即 P( 3 ?
3 1 ? , 1 ? ? ) ,----------------------------7 分 2 2

? 3 ? ? ? ?m 3 ? 3 1 ? 则 BP ? (? , ? , ? ) , BC1 ? (? 3, 1) ,由 BP ? mBC1 ,得 ? 2 2 2 ?1 ? ? m ? ?2 ∴ m : ? ? 1: 2 -----------------------------------------------------------10 分
1 1 1 ab ? bc ? ac 1 , ? ? ? ? a b c abc abc 1 ab ? bc ? ac ? 1 ? 3 3 a 2b 2 c 2 ,得 abc ? , 3 3

24.证明: (Ⅰ)

1 1 1 ? ? ? 3 3 --------------------------------------------------------5 分 a b c (Ⅱ)注意到: abc(a ? b ? c) ? (ab)(ac) ? (ab)(bc) ? (ac)(bc)



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∵ (ab ? bc ? ac)2 ? 1 ? 3[(ab)(ac) ? (ab)(bc) ? (ac)(bc)] , ∴ abc(a ? b ? c) ?
1 . 3

-------------------------------------------------10 分

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