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《步步高


综合测试
3.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( 5 3 A. 2 B. 21 2 C. 37 2 3 5 D. 2 )

x2 y2 3a 5.设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 a b 2 是底角为

30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 A. 2 2 B. 3 3 C. 4 4 D. 5 ( )

8.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线 的距离之和的最小值为 A. 17 2 B.3 C. 5 9 D. 2 ( ) ( )

11.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为 A. 2 4 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 2

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 14.命题 p:若 a,b∈R,则“ab=0”是“a=0”的充分条件,命题 q:函 数 y= x-3的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“綈 p”中是 真命题的有________. x2 y2 15. 设 F1、 F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 是椭圆上一点, 且|PF1|-|PF2|=1, 则 cos∠F1PF2 3 4 =________.

16.如图,已知 A(-3p,0) (p>0),B、C 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动,并且 → → → 1→ 满足AB· BQ=0,BC= CQ,则动点 Q 的轨迹方程为____________. 2 三、解答题(共 6 个小题,共 74 分) 18.(12 分)已知椭圆 x2+(m+3)y2=m (m>0)的离心率 e= 的长、焦点坐标和顶点坐标. 21.(12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, → 1→ PB⊥BC,PD⊥CD,且 PA=2,E 点满足PE= PD. 3 (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求二面角 E—AC—D 的正切值; (3)在线段 BC 上是否存在点 F 使得 PF∥平面 EAC?若存在,确定 F 在,请说明理由. x2 y2 22. (14 分)已知椭圆 + =1 与射线 y= 2x (x≥0)交于点 A, 过 A 作倾斜角互补的两条直线, 2 4 它们与椭圆的另一交点为点 B 和点 C. (1)求证:直线 BC 的斜率为定值,并求出这个定值; (2)求△ABC 面积的最大值. 1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.A 1 1 1 13. a+ b+ c 2 4 4 14.p∨q,綈 p 3 15. 5 16.y2=4px (p>0) 17.解 由于不等式|x-1|>m-1 的解集为 R, 所以 m-1<0,m<1; 又由于 f(x)=-(5-2m)x 是减函数, 所以 5-2m>1,m<2. 即命题 p:m<1,命题 q:m<2. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 和 q 中一真一假.
? ?m<1, 当 p 真 q 假时应有? m 无解. ?m≥2, ? ?m≥1, ? 当 p 假 q 真时应有? ? ?m<2,

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴 2

的位置;若不存

9.D

10.B 11.C 12.D

1≤m<2.

故实数 m 的取值范围是 1≤m<2. x2 y2 18.解 椭圆的方程可化为 + =1. m m m+3 m?m+2? m m ∵m- = >0,∴m> , m+3 m+3 m+3 m 即 a2=m,b2= ,c= a2-b2= m+3 由 e= 3 ,得 2 m+2 3 = ,∴m=1, m+3 2 m?m+2? . m+3

y2 1 3 ∴椭圆的标准方程为 x2+ =1,∴a=1,b= ,c= . 1 2 2 4 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 两焦点分别为 F1?-

?

3 ? ? 3,0?, ,0 ,F2 2 ? ?2 ?

1? 四个顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1? ?0,-2?, 1? B2? ?0,2?. c 2 = , ? ?a 2 (1)由题意得? a =2b, ? ?b =a -c ,
2 2 2 2

19.解

?a= 2, ? 解得?c=1, ? ?b=1,

y2 故椭圆的方程为 x2+ =1. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). y ? ?x2+ 2 =1, 联立直线与椭圆的方程得? ?x-y+m=0, ? 即 3x2+2mx+m2-2=0, x1+x2 m 2m 所以 x0= =- ,y0=x0+m= , 2 3 3 m 2m? 2 2 即 M? ?- 3 , 3 ?,又因为 M 点在圆 x +y =5 上, m?2 ?2m?2 所以? 3. ?- 3 ? +? 3 ? =5,解得 m=± 20.证明 如图,连接 OP,以点 O 为坐标原点,分别以 OB,OC, OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,则
2

O(0,0,0),B(8,0,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3),G(0,4,0). → → 因为OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3), 设平面 BOE 的法向量为 n=(x,y,z), → ? OB=8x=0, ?n· 则? → ? OE=-4y+3z=0, ?n· 解得 x=0,4y=3z,令 z=4,则 n=(0,3,4), 所以平面 BOE 的一个法向量为 n=(0,3,4). → → 由FG=(-4,4,-3),得 n· FG=0, 又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG∥平面 BOE. 21.(1)证明 在正方形 ABCD 中,AB⊥BC, 又∵PB⊥BC,∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PA. 同理 CD⊥PA,∴PA⊥平面 ABCD. (2)解 由(1)知 AB、AD、AP 两两垂直,故以 A 为原点,AB、AD、

AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建系,如图. 则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0), 2 4? → → ? 2 4? E? ?0,3,3?,AC=(2,2,0),AE=?0,3,3?. 设 m=(x,y,z)是平面 ACE 的一个法向量, 2x+2y=0, ? ? 则?2 4 取 z=1,得 y=-2,x=2, ?3y+3z=0, ? ∴m=(2,-2,1). → 又AP=(0,0,2)是平面 ACD 的一个法向量, 2 1 → → ∴cos〈AP,m〉= = .∴tan〈AP,m〉=2 2, 2×3 3 即二面角 E—AC—D 的正切值为 2 2. (3)解 假设存在满足条件的 F 点,

→ 设 F(2,a,0) (0≤a≤2),则PF=(2,a,-2). 由(2)知平面 ACE 的一个法向量 m=(2,-2,1). → 要使 PF∥平面 ACE,只需PF· m=0 即可. ∴(2,-2,1)· (2,a,-2)=0,解得 a=1. ∴F(2,1,0),即 F 是 BC 的中点.

x y ? ? 2 + 4 =1, 22.(1)证明 由? ?y= 2x ?x≥0? ?

2

2

得 A(1, 2).

设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AC 的斜率为-k. 直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+ 2,① 直线 AC 的方程为 y=-k(x-1)+ 2,② 将①代入椭圆方程并化简得 (k2+2)x2-2(k- 2)kx+k2-2 2k-2=0. k2-2 2k-2 ∵1 和 xB 是它的两个根,∴xB= , k2+2 - 2k2-4k+2 2 yB=kxB+ 2-k= . k2+2 k2+2 2k-2 - 2k2+4k+2 2 同理可得 xC= ,yC= . 2 k +2 k2+2 yB-yC ∴kBC= = 2. xB-xC (2)解 设直线 BC 的方程为 y= 2x+m,

代入椭圆方程并化简得 4x2+2 2mx+m2-4=0, |BC|= 3|x1-x2|= 3 16-2m2 . 2 |m| , 3

∵A 到 BC 的距离为 d= ∴S△ABC=

2 2 m2?16-2m2? 1 2m +?16-2m ? ≤ · = 2, 当且仅当 2m2=16-2m2, 即 m=± 2 4 2 4 2

时,上式“=”成立.故△ABC 面积的最大值为 2.


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