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线性规划章节复习


《简单的线性规划》章节复习
编写:高级教师李亚和 班级 姓名 审核:高级教师李亚和 成绩

一、典例精解
1、求线性目标函数的最值

?y ? x ? 例 1.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?



A.2 B.3 C.4 D.9 2、求平面区域的面积问题 例 2.在平面直角坐标系 xOy 内,已知平面区域 A ={( x , y )| x ? y ? 1 ,且 x ? 0 , y ? 0 },则平 面区域 B ={( x + y , x – y )|( x , y ) ? A }的面积为( ) A.2 B.1 C.

1 2

D.

1 4

3、求距离的最值问题

?x ? 1 ? 2 2 例 3.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值是( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.5 B.25 4、求斜率的范围问题 C.1 D. 5



?x ? y ? 2 ? 0 y ? 例 4.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A.[



9 ,6] 5

B. (?? ,

9 ] ? [6, ? ?) 5

C. (?? ,3] ? [6, ? ?)

D.[3,6]

5、求线性规划的整点最优解问题

?3 x ? 2 y ? 10 ? x ? 4 y ? 11 ? 例 5.设变量 x , y 满足条件 ? ,则 s ? 5x ? 4 y 的最小值为 ?x , y ? Z ? ? x ? 0, y ? 0
6、求参数的范围问题



?x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 例 6.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( y ? 0 ? ? ?x ? y ? a 4 4 4 A. a ? B. 0 ? a ? 1 C. 1 ? a ? D. 0 ? a ? 1 或 a ? 3 3 3



?x ? 0 ?y ? 0 ? 例 7.在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 ?x ? y ? s ? ? y ? 2x ? 4
( ) A.[6,15] B.[7,15] 7、线性规划问题与其他知识的交汇 例 8.已知 D 是由不等式组 ? 长为( A. ) C.[6,8] D.[7,8]

?x ? 2 y ? 0 ,所确定的平面区域,则圆 x 2 ? y 2 ? 4 在区域 D 内的弧 ?x ? 3 y ? 0
C.

3? 3? D. 4 2 2 2 ?x ? y ? x ? y 例 9.在坐标平面内,不等式组 ? 所表示平面区域的面积为 y?x ?
B.

? 4

? 2



?x ? 0 4 ? 例 10.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ,所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分成面积相等的两部分, 3 ?3 x ? y ? 4 ?
则 k 的值是( ) B.

7 A. 3

3 7

C.

4 3

D.

3 4

二、强化训练
1.不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( ) A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.右下方 2.满足 | x | ? | y |? 2 的整点的点( x , y )的个数是( ) A.5 B.8 C.12 D.13

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 3. 点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上, 点 Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1 上, 那么 | PQ | 的最小值为 ( ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
A. 5 ? 1 B.



4 ?1 5

C. 2 2 ? 1

D. 2 ? 1

?x ? y ? 1 ? 4. 若 x , y 满足 ? x ? y ? ?1 , 目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 ?1,0 ? 处取得最小值, 则 a 的取值范围是 ( ?2 x ? y ? 2 ?
A. (–1,2) B. (–4,2) C. (–4,2 ] D. (–2,4) )



?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是( ?x ? 2 ?
A. 4 2 B.4 C. 2 2 D.2

6.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品 要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该 企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 ( ) A.12 万元 B.20 万元 C.25 万元 D.27 万元

? x ? y ? 5 ? ?, ? 7.若不等式组 ? y ? a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围( ?0 ? x ? 2 ? A. a ? 5 B. a ? 7 C. a ? 5 或 a ? 7 D. 5 ? a ? 7



?2 x ? y ? 4 ? 8.若实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,目标函数 z ? tx ? y 有最小值 2,则 t 的值可以为( ?x ? 2 y ? 2 ?



A.3

B. ?3

C.1

D. ?1 )

?1 ? x ? 2 ? 9.如果 x , y 满足不等式组 ? y ? 3 ,那么目标函数 z ? x ? y 的最小值是( ?x ? y ? 5 ?
A.–1 B.–3 C.–4 D.–9

?2 x ? y ? 0 ? 10.若实数 x , y 满足 ? y ? x 且 z = 2 x ? y 的最大值为 3,则 m 的值为( ?y ? ?x ? m ?
A.0 B.2 C.



9 4

D.3

11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) ,若目标函数 z = x + ay 取得最小值的

y 的最大值是( ) x?a 2 2 1 1 A. B. C. D. 3 5 6 4 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 12.已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是( ) ?3 x ? y ? 3 ? 0 ? 1 9 A.2 B.5 C. D. 5 5 ?x ? 1 ? 13.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,最小值为 1,其中 ? ax ? by ? c ? 0 ?
最优解有无数个,则

c b ? 0 ,则 的值为有( b
A. 4 B.3

) C. 2 D. 1

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 14.如果实数 x , y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0 ,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 12,最小值为 3,那么实 ?x ? 1 ? 数 k 的值为( ) 1 A.2 B.–2 C. D.不存在 5 ?x ? y ? 1 ? 0 ? 15.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z=3x+y 的最小值是( ) ?x ? 0 ?
A.0 B.1 C. 3 D.9

?x ? y ?1 ? 0 ? 16.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2, ? ax ? y ? 1 ? 0 ? 则 a 的值为( ) A. ? 5 B.1 C.2 D.3
? x?0 ? 17.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从–2 连续变化到 1 时,动直线 x ? y ? a 扫 ?y ? x ? 2 ? 过 A 中的那部分区域的面积为( )
A.

3 4

B.1

C.

7 4

D.2

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? 18.已知 O 是坐标原点,若点 M ( x , y )为平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 上的一个动点,则 OA ? OB 的 ?x ? 0 ?
最大值是( A.-1 ) B.-

1 2

C .0

D.1

?x ? 1 ? 19. 设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ? 平面区域是 ?2 与 ? 1, 1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对 ?y ? x ?
A 与 ?2 中的任意一点 B , | AB | 的最小值等于( 称,对于 ? 1 中的任意一点
A. )

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

?x ? 0 ? 20.若不等式组 ? x ? 2 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 2 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 ?2 x ? y ? 4 ?
( ) A.1 B.2 C.

1 2

D. ? 1

《简单的线性规划》参考答案:
二、典例精解 例 1.解析:由约束条件在坐标系中画出可行域 ?ABC (图 1) , A (2,0) , B (1,1) , C (3,3) . 平移直线 l 0 : 2 x ? y ? 0 ,可见当该直线过点 B (1,1)时,则目标函数 z ? 2 x ? y 取最小值为 3,选 B. 例 2.解析:令 ?

y x C x B Ox x 图1 v M x C O x 图 2 y 1 x N x u x

?u ? x ? y u?v u?v ,得 x ? ,y? . 2 2 v ? x ? y ?

A x

x x

?x ? 0 ?u ? 1 ? ? 又( x , y ) ? A ,则由 ? y ? 0 ,得 ?u ? v ? 0 , ?x ? y ? 1 ?u ? v ? 0 ? ?
则点( u , v )所在的平面区域 B 为如图 2 所示的 阴影部分,即等腰直角三角形 OMN 的边界及内部 的点构成.这里 N (1,–1) , M (1,1) ,所以

y x

S ?OMN ?

1 ? 2 ? 1 ? 1 选 B. 2

B A

例 3.解析:由约束条件画出可行域,图 3 阴影. 由图形知点 B 与原点 O 的距离最小.

?x ? 1 联立方程 ? ,得 B (1,2) . ?x ? y ? 1 ? 0
2 2 因此 x ? y 的最小值为 5 .故选 D.

O x

1

x x x A B

例 4.解析:画出可行域如图 4,为一个 ?ABC 的边界及 内部的点构成,三顶点为 C (1,3) 、 A (1,6)

图3 O x

C

5 9 y , ) . 表示可行域内的点( x , y ) 2 2 x y 9 与原点(0,0)连线的斜率, 取最小值 ,故选 A. 5 x
和B ( 例 5.解析:依约束条件作出可行域,如图 5 的四边形 阴影部分.平移直线 l 0 : 5 x ? 4 y ? 0 到 l1 ,使 l1 过可行域内点 A ,由方程组 ? y x l1 l0 3x+2y=10

图4

?3x ? 2 y ? 0 ,解得 ?x ? 4 y ? 11

9 23 P( , ) .因为当直线 s ? 5x ? 4 y 平移时, 5 10 从 P 点起向左下方移动时第一个通过的整点是 A (2,1) ,所以 A (2,1)是所求的最优解.
故 smax ? 5 ? 2 ? 4 ?1 ? 14 . 点评:本题易出现错误, s max ? 5 ?

P O x

x+4y=11 x x

图5 18.2 错误. 例 6. 解析: 由不等式前三个不等式画出可行域, 即 ?ABC 的边界及内部的点构成, 三顶点分别为 A(0,

9 23 9 23 91 ? 4? ? ? 18.2 ,因为 P ( , )不是整点,所以结果 5 10 5 10 5

l
x x

2 2 , ) . 第四个不等式 x ? y ? a , 表示的是斜率为-1 的直线的下方, 所以当 0 ? a ? 1 3 3 4 时,表示的平面区域是一个三角形;当 a ? 时,表示的平面区域也是一个三角形.选 D. 3 y ?x ? y ? s ?x ? 4 ? s y ? 2x ? 4 例 7.解析:由 ? ?? y ? 2 x ? 4 y ? 2 s ? 4 C? ? ? y?x?s 交点为 A (2,0) , B ( 4 ? s , 2s ? 4 ) , C (0, s ) , C B C ? (4,4) ,如图 2:当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC , 此时, 7 ? z ? 8 ;当 4 ? s ? 5 时可行域是 ?OAC ? ,此时, z max ? 8 .故选 D. x A O 点评:本题设计新颖,我们可作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数 Z 关于 S 的函数关
B(1, C( 0) 、 0) ,
系来求解. 图2 例 8.解析:如图 12 所示,图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别 y 1 1 是 , ? ,所以圆心角 ? 即为两直线 x 2 3

1 1 ? (? ) | ? ? ? 2 3 的夹角.由 tan? ? ? 1 ,得 ? ? .所以弧长是 2 ? ? ,故选 B. 1 1 4 4 2 O | 1 ? ? (? 0 | 2 3 x 2 2 例 9.解析:作出线性规划区域图, x ? y ? x ? y ? 0 ,先作出第一象限内的图像,即 图 1 1 1 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ,因为图像关于原点,坐标轴对称便得整个的图像 12 2 2 2 ? 求出第所围成的图像的面积为 ? 1 . 2 |

x-2y =0 x+3y =0 x x

y 点评:在求线性规划围成的面积时,正确作出图形,在遇到有绝对值时,要考虑图像的对称性,便可快 速作出图像求出面积. 例 10.解析:不等式组所表示的平面区域如图 13 所示

阴影部分.因为 B 的坐标为(0,

4 ) ,故直线 3

P2

y C

c1

j

x

4 y ? kx ? 过点 B .因为平面区域被直线 3 4 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,所以直线 3 4 1 5 1 5 y ? kx ? 过 AC 的中点( , ) .将( , ) 3 2 2 2 2 5 1 4 7 代入直线方程,即 = k ? ? ,得 k ? .故选 A. 2 2 3 3

B O

A x 图 1 3

二、强化训练

1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 11.B 12.D 13.A 14.A 15.B 16.D 17.C 18.D 19.B 20.A


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