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衡水中学2013—2014学年度第二学期高三期中考试理科数学试题及答案.


2013—2014 学年度第二学期高三期中考试 理 科 数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 60 分)

选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

案的序号填涂在答题卡上) 1.已知复数 z ? A. 2 ? i

1 ? 2i ,则它的共轭复数 z 等于( i5
B. ?2 ? i C. 2 ? i

)

D. ?2 ? i

2.已知集合 A ? x x ? 2 ? 0, x ? N , B ? x 集合 C 的个数为( )

?

?

?

x ? 2, x ? Z ,则满足条件 A ? C ? B 的

?

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3.甲、乙两位同学,升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如下表: 甲 乙 108 109 112 111 110 108 ) B.同学甲,同学乙 D.同学乙,同学乙 109 108 111 109

则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是( A.同学甲,同学甲 C.同学乙,同学甲 4 .已知平面向量 m, n 的夹角为

??? ? ?? ? ?? ? ? , 且 m ? 3, n ? 2 ,在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n , 6 ??? ? ?? ? ???? AC ? 2m ? 6n , D 为 BC 中点,则 AD ? ( )
?? ?
) D.

A.2 B.4 C.6 D.8 5.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围是 (

7 15 ?P? 8 16 3 7 ?P? 4 8
A.

B. P ?

15 16

C.

7 15 ?P? 8 16

第 1 页 共 11 页

6.若函数

1 f ( x) ? ? e ax ( a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,则 b

4

a ? b 的最大值是(
A.4 B. 2 2

C.2

D. 2
主 视 图 侧 视 图 3 2

7.右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积 等于( ... A. 34 ? 6 5 B. 6 ? 6 5 ? 4 3 D. 17 ? 6 5



3

2

C. 6 ? 6 3 ? 4 13

俯 视 图 6

第 7 题图 8.将一个白球,两个相同的红球,三个相同的黄球摆放成一排。则白球与黄球不相邻的放 法有( ) A.10 种 B.12 种 C.14 种 D.16 种 9.双曲线M:

第 7 题

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除A、B外 a2 b2


的一个动点,若 QA ? PA 且 QB ? PB ,则动点Q的运动轨迹为( A .圆 B.椭圆 C. 双曲线

D. 抛物线 )

10. 设函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2014? ) , 则函数 f ( x) 的各极小值之和为 ( A. ?

e 2? (1 ? e 2014? ) 1 ? e 2?

B. ?

e 2? (1 ? e1007? ) e 2? (1 ? e1007? ) C. ? 1 ? e? 1 ? e 2?

D. ?

e 2? (1 ? e 2012? ) 1 ? e 2?

11.三棱锥 P-ABC 中,顶点 P 在平面 ABC 上的射影为 o ,满足 OA ? OB ? OC ? 0 ,A 点在 侧面 PBC 上的射影 H 是△PBC 的垂心,PA =6,则此三棱锥体积最大值是( ) A.12 B.36 C.48 D.24 12.已知 f(x)是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,如果函 数 g(x)=f(x)-(x+m)有两个零点,则实数 m 的值为( ) A.2k(k∈ Z) C.0

??? ? ??? ? ??? ?

1 (k∈ Z) 4 1 D.2k 或 2k 一 (k∈ Z) 4
B.2k 或 2k+

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13.设等比数列 {an } 满足公比 q ? N * , an ? N * ,且{ a n }中的任意两项之积也是该数列中 的一项,若 a1 ? 2 81 ,则 q 的所有可能取值的集合为
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14.已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 a a ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 , …,若 6 ? ? 6 (a, t 均为 3 3 8 8 15 15 t t


正实数) ,类比以上等式,可推测 a,t 的值,t-a=

?x ? y ? 2 ? 0 a ?b ?3 ? 15.动点 P (a, b) 在区域 ?x ? y ? 0 上运动,则w ? 的范围 a ?1 ?y ? 0 ?
16. 定义一个对应法则 f : P ? m, n ? ? P?



?

m, n , 现有点 A ? 2,6 ? 与 点B ? 6, 2 ? , ? m ≥ 0, n ≥ 0 ? .

?

点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开 始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M ? 所经过的路线长度为 .

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分,17---21 必做,每题 12 分;22、23、24 选做,每 题 10 分,多选以第一题为准,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的 相应位置) 17.(本小题满分 12 分) 若 f ( x) ? 3 cos2 ax ? sin ax cosax (a ? 0) 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相切,并且切 点横坐标依次成公差为 ? 的等差数列. (1)求 a 和 m 的值; (2) ⊿ABC 中 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边。若 ( 个对称中心,且 a=4,求⊿ABC 周长的取值范围。

A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的一 2 2

18. (本小题满分 12 分) 今年我校高二理科班学生共有 800 人参加了数学与语文的学业水平测试,现学校决定利 用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样统计,先将 800 人按 001,002, 。 。 。 。 。800 进行 编号: (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的三个人的编号: (下面 摘取了第 7 行至第 9 行)

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(2)抽出 100 人的数学与语文的水平测试成绩如下表:

成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向、纵向分别表示语文成绩与数学成绩,若在该样 本中,数学成绩优秀率是 30%,求 a、b 的值; (3)在语文成绩为及格的学生中,已知 a ? 10, b ? 8 ,设随机变量 ? ? a ? b ,求① ? 的分 布列、期望;②数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率

19. (本小题满分 12 分) 如图,五面体

A ? BCC1B1 中, AB1 ? 4 .底面 ABC 是正三角形, AB ? 2 .四边形

BCC1B1 是矩形,二面角 A ? BC ? C1 为直二面角.

(Ⅰ) D 在 AC 上运动,当 D 在何处时,有 AB1 ∥平面 BDC1 ,
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并且说明理由; (Ⅱ)当 AB1 ∥平面 BDC1 时,求二面角 C ? BC1 ? D 余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,过 a2 b2

点 E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c

(Ⅰ)求椭圆的离心率(Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ?AF1C 的外 接圆上,求

n 的值。 m

21. (本小题满分 12 分) 对于函数 f(x) (x∈D) ,若 x∈D 时,恒有 f ?( x) > f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上 的 J 函数. (Ⅰ)当函数 f(x)=m e x lnx 是定义域上的 J 函数时,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g(x)为(0,+∞)上的 J 函数, ① 试比较 g(a)与 e a ?1 g(1)的大小; ② 求证:对于任意大于 1 的实数 x1,x2,x3,…,xn,均有 g(ln(x1+x2+…+xn) )>g(lnx1)+g(lnx2)+…+g(lnxn) .

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E ,

D ,连接 EC, CD . (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; 1 (Ⅱ)若 tan ?CED ? , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 2
长.



23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
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已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? 点 A(0,? 3) , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点.

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,定 ? y ? 3 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的 直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)在(I)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E , F 两点,求弦 EF 的长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 在平面直角坐标系中,定义点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 之间的直角距离为

L( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | ,点 A( x,1) , B(1, 2) , C (5, 2) (1)若 L( A, B) ? L( A, C ) ,求 x 的取值范围; (2)当 x ? R 时,不等式 L( A, B) ? t ? L( A, C ) 恒成立,求 t 的最小值.

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2013—2014 学年度第二学期高三期中考试 理科数学参考答案
1-5 CB B A D 6-10 D A C C D 11.B 12.D 13. {2, 23 , 29 , 227 , 281} 14.29 15. (??,?1???3,??) 16.
2? 3

17.解: (1) f ( x) ? 3 cos2 ax ? sin ax cosax =

3 ? ? sin(2ax ? ) ………………3 分 2 3 3 ?1 ? 0 2

由题意,函数 f ( x) 的周期为 ? ,且最大(或最小)值为 m ,而 m ? 0 ,

所以, a ? 1 , m ?

3 ?1 2

………… ……………………6 分

(2)∵(

A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心 2 2

∴ sin( A ?

?
3

)?0

又因为 A 为⊿ABC 的内角,所以 A ?

?
3

………… ……………………9 分

⊿ABC 中, 则由正弦定理得:

b c a ? ? ? sin B sin c sin A

4 sin

?
3

?

8 3 , 3

?b ? c ? a ? b ? c ? 4 ?

8 3 ? ? ? ?sin B ? sin C ? ? 4 ? 8 3 ? sin B ? sin(B ? )? ? 4 ? 8 sin(B ? ) ? 4 ? 3 3 ? 3 ? 6

?0 ? B ?

2? 3

∴b+c+a ? (8,12] ………… ……………………12 分 …………3 分 …………5 分

18、解: (1)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785,667,199; (2)由

7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 , 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 , ∴ b ? 17 ;
(3)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 ,

…………7 分

∴满足条件的 ( a, b) 有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 组, 且每组出现的可能性相同.
第 7 页 共 11 页

….…9 分

?
P

1

3

5

7

9

11

13

15

1 7 50 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 14

1 14

E? ?

数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为

6 3 ? 14 7

19.解: (Ⅰ)当 D 为 AC 中点时,有 AB1 // 平面 BDC1 (2 分) 证明:连结 ∴O 为 ∵

B1C 交 BC1 于 O ,连结 DO ∵ 四边形 BCC1B1 是矩形

B1C 中点又 D 为 AC 中点,从而 DO // AB1 (4 分)

AB1 ? 平面 BDC1 , DO ? 平面 BDC1 ∴ AB1 // 平面 BDC1 (6 分)

(Ⅱ)建立空间直角坐标系 B ? xyz 如图所示,

则 B(0, 0, 0) , A( 3,1,0) , C (0, 2,0) ,

D(

3 3 , , 0) C (0,2,2 3) (7 分) 2 2 , 1

??? ? 3 3 ? BD ? ( , , 0) ???? BC 1 ? (0,2,2 3) . 2 2 所以 ,

(8 分)

? 3 3 x? y ?0 ? 2 ? 2 ?2 y ? 2 3z ? 0 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 BDC1 的法向量,则有 ? ,,即 ?? n ? (3, ? 3,1) , 令 z ? 1,可得平面 BDC1 的一个法向量为 1

? ? x ? 3z ? ? ? y ? ? 3z

n ? (1,0,0) 而平面 BCC1 的一个法向量为 2

?? ?

(10 分)

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 3 13 3 13 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 13 | n || n | 13 C ? BC ? D 1 1 2 所以 ,故二面角 的余弦值为 13 (12 分)
| EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

20.解 (1)解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得

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a2 ?c 1 c 3 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 2 a a 3 ?c c
2 2 2 2

………….3 分

(2)解:由(1)知,b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可以写为 2x 2 ? 3 y 2 ? 6c 2 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) c
? y ? k ( x ? 3c )
2 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 6c

由已知设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?

消去 y 整理,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 cx ? 27k 2 c 2 ? 6c 2 ? 0 依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,?
2 2

3 3 ?k? 3 3

18k 2 27k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x2 ? 而 x1 ? x 2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
以 x1 ? 3c ? 2 x2 联立三式,解得 x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 , x ? ,将结果代入韦达定理中解得 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

k ??

2 3

………………………………….8 分

(3)由(2)知, x1 ? 0, x 2 ?

3c 2 ,当 k ? ? 时,得 A (0, 2c) 由已知得 C(0,? 2c) 2 3 c 2c 2 c ?? ( x ? ), 直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0) 2 2 2 2

线段 AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

是 ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) ? y ? ( ? c)
2 2

c 2

c 2

2

直 线 F2 B 的 方 程 为 y ?

2 ( x ? c) , 于 是 点 H (m, n) 满 足 方 程 组

? c 2 9c 2 2 5c 2 2c n 2 2 ?(m ? ) ? n ? ,故 ? 2 4 由 m ? 0 ,解得 m ? , n ? ? 3 2 m 5 ?n ? 2 ( m ? c ) ?

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当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5
x

…………………………….12 分

21 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? me ln x ,可得 f ? ? x ? ? m ? e ln x ?
x

? ?

ex ? ?, x?

? x ex ? me x x 因为函数 f ? x ? 是 J 函数,所以 m ? e ln x ? ? ? me ln x ,即 ?0, x? x ?
ex 因为 ? 0 ,所以 m ? 0 ,即 m 的取值范围为 (0, ??) .……………………………3 分 x
(Ⅱ)①构造函数 h ? x ? ?

g ? x? , x ? ? 0, ?? ? , ex

则 h? ? x ? ?

g? ? x? ? g ? x? ? 0 ,可得 h ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数, ex g ? a ? g ?1? a ?1 ,得 g ? a ? ? e g ?1? ; ? a e e g ? a ? g ?1? a ?1 ,得 g ? a ? ? e g ?1? ; ? a e e

当 a ? 1 时, h ? a ? ? h ?1? ,即

当 0 ? a ? 1 时, h ? a ? ? h ?1? ,即

当 a ? 1 时, h ? a ? ? h ?1? ,即

g ? a ? g ?1? a ?1 ,得 g ? a ? ? e g ?1? .…………………6 分 ? ea e

②因为 x1 ? x2 ? ? ? xn ? x1 ,所以 ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ln x1 , 由①可知 h ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? h ? ln x1 ? , 所以

?

?

g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? e
ln ? x1 ? x2 ??? xn ?

?

x1 g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? g ? ln x1 ? ? g ? ln x1 ? , , 整理得 ln x1 e x1 ? x2 ? ? ? xn xn g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ? g ? ln x2 ? , ? g ? ln xn ? . …, x1 ? x2 ? ? ? xn
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同理可得

x2 g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn

把 上 面

n 个 不 等 式 同 向 累 加 可 得

g ? ln ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? ? g ? ln x1 ? ? g ? ln x 2 ? ? ? ? g ? ln xn ? . …………………………
12 22. 证明: (1)如图,连接 OC,? OA ? OB, CA ? CB,? OC ? AB

E O

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D A C B

? OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.-------------3 分
(2) ED 是直径,? ?ECD ? 90? ,? ?E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90? , ?OCD ? ?ODC,? ?BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC ,

? ?BCD ∽ ?BEC ,?

BC BD ? ? BC 2 ? BD ? BE ,-----------5 分 BE BC

CD 1 ? , EC 2 BD CD 1 ?BCD ∽ ?BEC , ? ? -----------------------7 分 BC EC 2 tan ?CED ?
设 BD ? x, 则BC ? 2 x, ? BC 2 ? BD ? BE ? (2x) 2 ? x( x ? 6) ? BD ? 2 --------9 分

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 ------------------------10 分
23.解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

x2 y2 ? ? 1 ----------------------------------------------2 分 所以普通方程为 C : 4 3

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3( x ? 1)

? ? 直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ? ) ? 3 ---5 分 3
x2 y2 ? ? ?1 ? 5x 2 ? 8x ? 0 , (2) ? 4 3 ? y ? 3 ( x ? 1)
MN ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 16 ---------------------------------------10 分 5

24. 解(1)由定义得 x ?1 ? 1 ? x ? 5 ? 1,即 x ?1 ? x ? 5 ,两边平方得 8 x ? 24 , 解得 x ? 3 ;------------------------------(4 分) (2)当 x ? R 时,不等式 x ?1 ? x ? 5 ? t 恒成立,也就是 t ? x ?1 ? x ? 5 恒成立,
? ?4 ? 法一:函数 令 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 5 ? ? 2 x ? 6 ?4 ?
要使原不等式恒成立只要 t ? 4 即可,故 tmin ? 4 . 法二:三角不等式性质 因为 x ? 1 ? x ? 5 ? ? x ? 1? ? ? x ? 5 ? ? 4 ,所以 t ? 4 ,

x ?1 1 ? x ? 5 ,所以 f ? x ?max ? 4 , x?5

tmin ? 4 .----------(10 分)

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