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高中数学必修一2.2.2对数函数及其性质1

时间:2017-07-06


一 导入新课
引例 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放 射性碳14.碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为 自然界的“标准时钟” .动植物在生长过程中衰变 的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以 活着的动植物每克组织中的碳14的含量保持不变.死 亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体 中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其 “半衰期”为

5730年.湖南长沙马王堆古墓女尸出土 时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王 堆古墓的年代. 生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系:

1 P=( ) (t ≥ 0) 2 即 t = log 5730 P = log 5730
1 2

t 5730

1 2

0.767 ? 2193.

如果生物体内碳14含量P分别取下列值 时,则生物死亡年数t为 碳14含量P
0.767 0.3 0.1 0.01 0.001

生物死亡年数t 2193 对于碳14含量的每一个值P,通过对应关系
1 2

t = log 5730 P

,都有唯一确定的死亡年数t与之对应.

所以,t是P的函数。

二 新课 1 、对数函数的概念:

一般地,函数 y = loga x (a > 0, 且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义域 +∞) 是(0, .

2、对数函数的图象和性质的探究:
? 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

(1) y ? log2 x
(2) y ? log1 x

y
y=log x
2

(3) y ? log3 x
(4) y ? log1 x
3

2

y=log x
3

0

1

y ? log 1 x x

y ? log 1 x
2

3

观察以上四个函数的的图象,指出他们的共 同点和不同点?并思考影响它们形状的主要因 素是什么?

新授内容:

2、 对数函数的图像和性质
a>1 0<a<1
(1,0)
0

图 象

(1,0) x=1

0

x=1

性 质

(0,+∞) 定义域: (-∞,+∞) 值域: 过点(1,0),即当x=1时,y=0
x∈(0,1) ? y < 0 x∈(1,+∞) ? y > 0
x∈(0,1)
x∈(1,+∞)

? y>0
? y <0

在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减 函数

y

图 形
0 1

y=log x
2

y=log x
3

y ? log 1 x

x

y ? log 1 x
2

3

补充 底数互为倒数的两个对数 性质 函数的图象关于x轴对称。 一

在第一象限,底数越大,图 补充 像越靠右。
性质 二

指数函数、对数函数的图像有何关系呢? 先看y=2x 与y=log2x

y=2x

x y=2

y=log2x
y=x

指数函数与对数函数

图 象 间 的 关 系

指数函数与对数函数

图 像 间 的 关 系

3、指数函数与对数函数的图像的关系: 对数函数

y ? loga x

与指数函数

的图象关于直线

y ? x 对称。
与指数函数

y?a

x

对数函数 y ? loga x

y ?a

x

互为反函数。
函数 y=f(x) 的反函数记作:y=f-1(x)

函数与其反函数的图象关于直线

y= x 对称。

4、对数函数的图象和性质的应用 例1 比较大小.

(1) log23.4 , log28.5 ; (2) log0.31.8 , log0.32.7; (3) loga5.1, loga5.9 (a>0,a≠1)
(4)

log 0.3 0.7与log 0.4 0.3

解: ∵

log0.3 0.7 ? log0.3 0.3 ? 1
log0.4 0.3 ? log0.4 0.4 ? 1
log0.3 0.7 ? log0.4 0.3



(5)

?1? log 0.6 0.8,log 3.4 0.7和 ? ? ?3?

-

1 2

解: ∵

0 ? log0.6 0.8 ? 1

log3.4 0.7 ? 0
?1? ? ? ? 3?
? 1 2

?1
? 1 2

?1? ∴ log3.4 0.7 ? log0.6 0.8 ? ? ? ? 3?

小结

比较大小的方法

(1) 利用函数单调性(同底数)
(2) 利用中间值(如: 0,1.) (3) 利用图象比较 (4) 变形后比较 (5) 作差比较

例2 解下列关于x的不等式:
(1) log0.5x > log0.5(1-x) (2) log2(x+3) > 2

(3)

logx 2 ? 1

依据:单调性

(1)若a ? 1,loga m ? loga n ? m ? n ? 0
(2)若0 ? a ? 1,loga m ? loga n ? 0 ? m ? n

例3

求下列函数的定义域.
2

(1)y=loga x , (a ? 0, a ? 1);
(2)y=loga (4 ? x),(a ? 0, a ? 1);

(3)y=log(x-2)(5 ? x);
(4)y= log 1 (4 ? x);
2

(5)y= log5 ( x ? 3x ? 2);
2

小 结 求函数定义域的方法:
1. 分数的分母不能为零; 2. 零的指数不能为零和负数; 3. 偶次方根的被开方数大于等于零; 4. 对数的真数必须大于零; 5. 指数、对数的底数必须大于零且不等于1.

例4:求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.

变式:
(1)已知函数y=logax(a>0,a≠1),当x∈[3,9] 时,函数的最大值比最小值大1,

1 3或 则a=________ 3
(2)求函数 y=log3(x2-4x+7)的值域.

例3:求下列函数的最大、最小值。
(1)

y ? log2 (2 x ?1), x ? ?2,4?
2 2

(2)

y ? log1 (1 ? x) ? log1 ( x ? 3)

诱思:a、b分别为何值时,对数 (1)大于零 ;(2)小于零;

log b
a

小 结
在logab中,当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时,有logab>0;当a,b
不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0.

例2 求下列函数的定义域.
(1) f ( x) ? log3[log 1 (log3 x)];
3

1 (2) y ? (a ? 0, a ? 1); 1 ? log a ( x ? a)

x2 ? 4 (3) f ( x) ? ? log( x?1) (16 ? 2x ); 2 lg( x ? 2 x ? 3)
(4)已知函数y ? f [lg( x ? 1)]的定义域为 (0,99],求y ? f [log 2 ( x ? 2)]的定义域.

例3 求下列函数的值域.

(1) y ? log 2 ( x ? 4 x ? 5);
2

(2) y ? log 3 (2 x ? 1), x ? ? 2,14? ; (3) y ? log 1 (1 ? x) ? log 1 ( x ? 3).
2 2

例4 已知 f (e ) ? x ? 2x ? 3, x ??2, 4? ,求函数
x 2

f ( x) 的解析式、定义域和值域.

练习 (1)如下图是对数函数 y ? log a x, y ? logb x,
y ? logc x, y ? log d x 的图象,则 a, b, c, d 与1的大小关系是 ;
1? x 1 (2)已知函数 f ( x) ? lg ,若 f (a) ? , 1? x 2 则 f ( ?a ) ?

讲解范例 例1求下列函数的定义域: y ? loga x 2 (1) 解 : 由 x2 ? 0 得 x ? 0 ∴函数 y ? loga x 的定义域是
2

?x | x ? 0?

(2) y ? loga (4 ? x)

解 : 由4 ? x ? 0 得
∴函数 y ? loga (4 ? x) (3) y ? loga (9 ? x 2 )
2

x?4
的定义域是 ?x | x ? 4?

解 : 由 9 ? x ? 0得 ? 3 ? x ? 3 y ? loga (9 ? x 2 ) 的定义域是 ?x | ?3 ? x ? 3? ∴函数

讲解范例 例2求下列函数的反函数
?1? (1) y ? ? ? ? 1 ?2?
x
x

(2)
x

1 x2 y ? ( ) ?3 2

( x ? 0)

解 (1)y ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? y ? 1 : ? ? ? ? ?2? ?2?

? x ? log1 ( y ? 1)
2

? f ?1 ( x) ? log1 ( x ? 1)
2
2
2

( x ? ?1)

1 x 1 x ? ( ) ? y ?3 (2) y ? ( 2 ) ? 3 2 ? x ? ? log 1 ( y ? 3)

? f ( x ) ? ? log 1 ( x ? 3)
2

?1

2

(3 ? x ? 4)

讲解范例 例3 比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log2 3.4, log2 8.5 (2) log0.3 1.8, log0.3 2.7
5.5

解(1) 考查对数函数 y ? log2 x 因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数,于是 log2 3.4 ? log2 8.5 解(2) 考查对数函数 y ? log0.3 x 因为它的底数0<0.3<1,所以它在 (0,+∞)上是减函数,于是
f?x? = 2x

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

f?x? = 0.3x

1.4

1.2

1

log0.3 1.8 ? log0.3 2.7

0.8

0.6

0.4

0.2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

练习 1.画出函数 y ? log3 x, y ? log1 x 的图象,并且说明
3

这两个函数的相同性质和不同性质.
4 4

解:相同性质: 两图象都位于 y轴右方,都经过点(1,0), 这说明两函数的定义域 都是(0,+∞),且当 x=1,y=0. 不同性质: y ? log3 x
-4

3 3

y=log 1 x
3

2 2

1 1

-2 -2

2 2

-1 -1

y=log3x
44

66

-2 -2

-3 -3

的图象是上升的曲线,在(0,+∞)上是增函数; y ? log1 x 的图象是下降的曲线, 在(0,+∞) 上是减函数. 3

练习 2.求下列函数的定义域: (1) y (2) y

? log3 (1 ? x)

? (??,1) ? [1,??)
1 ? (?? , ) 3 ? (0,1) ? (1,??)

? log3 x

1 (3)y ? log 7 1 ? 3x
1 (4) y ? log x 2

小结 : 1.对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数; 它是指数函数

y?a

x

(a ? 0且a ? 1)的反函数。

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??)
值域为 (??,??)

小结 : 2.对数函数的图象和性质 a>1
3

0<a<1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5
-2

-2
-2.5

-2.5

定义域:

值域:

(0,+∞) (??,??)
? y?0
? y?0
x ? (0,1)

性 质

过点(1,0),即当x=1时,y=0

x ? (0,1)

x ? (1,??)

? y?0
? y?0

函数

x ? (1,??)

在(0,+∞)上是 增 函数

在(0,+∞)上是


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