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2.2.2用样本的数字特征估计总体(第1课时)


2.2.2用样本的数字特征 估计总体的数字特征
第1课时

【复习引入 】 1、频率分布直方图
2、频率分布折线图 3、总体密度曲线 4、茎叶图 我们学习了用图、表来组织数据,以及通过 图、表提供的的信息,用样本的频率分布估计总 体的分布 . 为了更好的把握总体的规律,还需要 通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。

> 1、 众数、中位数、平均数
名称 众数 定义 一组数据中出现 次数最多的数 特征
(1)反映了数据的集中趋势; (2)只能表达样本数据很少的一部分信 息,无法客观反映总体特征

一组数据按大小依次 (1)反映了数据的集中趋势; 排列,中间位置的一 (2)不受少数极端值的影响,但对极端 中位数 个数(或中间两个数 值不敏感 的平均数)
(1)反映了数据的平均水平; (2)反映出更多的关于样本数据全体的 信息; (3)受少端值的影响较大,任何一个数 据的改变都会引起平均数的改变

一组数据的和与这组 平均数 数据的个数的商

练习:

从甲、乙、丙三个厂家生产的同一件产品中抽取 8 件产品,对其寿命进行跟踪调查结果如下(单位:年) : 甲:3,4,5,6,8,8,8,10; 乙:4,6,6,7,9,9,12,13; 丙:3,4,6,8,9,10,12,12; 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年, 请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、 众数、 中位数中哪一种集中趋势的特征数: 众数 乙:_________, 中位数 丙:_________ 平均数 。 甲:________,

探究2:
下图是城市居民月均用水量样本数据的频率分布 直方图,如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、 平均数? 频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

(1)你认为众数应在哪个小矩形内?
由此估计总体的众数是什么?

取最高矩形
频率 组距

中点的横坐标 2.25作为众数.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

(2)直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是:
0.04, 0.08, 0.15, 0.22, 0.25, 0.14, 0.06, 0.04, 0.02. 中位数左右两侧的直方图的面积有什么关系?由此 估计总体的中位数是什么? 频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01, 0.01÷0.5=0.02,

中位数是2.02.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

4.5 月均用水量/t

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”, 由此估计总体平均数为多少?
平均数的估值 = 频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和 频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.25×0.04+0.75×0.08 +1.25×0.15+1.75×0.22 +2.25×0.25+2.75×0.14 +3.25×0.06+3.75×0.04 +4.25×0.02=2.02(t).

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

(4)从居民月均用水量样本数据可知,该样本 的众数是2.3,中位数是2.0,平均数是 1.973,这与我们从样本频率分布直方图得 出的结论有偏差,你能解释一下原因吗?
这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直 观地表明分布的形状,损失了一些样本数据,得到

的是一个估计值,且所得估计值与数据分组有关 .
因此,在只有样本频率分布直方图的情况下,我们 可以按上述方法估计众数、中位数和平均数,并由 此估计总体特征.

【小结】
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数

(1)众数:最高的矩形的底边的中点的横坐标.
(2)中位数:左右两侧直方图的面积相等.

(3)平均数:每个小矩形的面积乘以小矩形底边
中点的横坐标之和.

注:利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,

与实际数据可能不一致.

练习: 某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行 整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中 从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、 0.15、0.10、0.05. 求高一参赛学生的成绩的众数、中位数、平均 成绩.

众数为65, 中位数为65, 平均成绩约为67.

【知识归纳 】 1、 众数、中位数、平均数
2、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数:最高的矩形的底边的中点的横坐标.
(2)中位数:左右两侧直方图的面积相等.

(3)平均数:每个小矩形的面积乘以小矩形底边
中点的横坐标之和.

3、 标准差、方差


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