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【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第一章 集合的概念及其运算课件 新人教A版


§1.1

集合的概念及其运算

[高考调研 明确考向] 考纲解读 ?了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ?能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)描述不同的具体问题. ?理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集 合的子集.

考 纲 解 读 ?在具体情境中,了解全集与空集的含义. ?理解两个集

合的并集与交集的含义, 会求两个简单 集合的并集与交集. ?理解在给定集合中一个子集的补集的含义, 会求给 定子集的补集. ?能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

考情分析 ?集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基 本运算为主,题目简单、易做,大多都是送分题. ?近几年部分省市也力求创新,创造新情境,尽可 能做到灵活多样,甚至进行一些小综合,比如新定 义题目,与方程、不等式、函数、数列等内容相联 系的题目出现. ?题型以选择题为主,大多都是试卷的第1、2题.

知识梳理 1.元素与集合 1 ______□ 2 ______□ 3 ______. (1)集合中元素的特性:□ 4 __________或□ 5 _________. (2)元素与集合的关系:□

(3)常用数集的符号表示: 数 集 符 号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数 集 复数 集 11 __ □

6 ____ □ 7 ____ □ 8 ___ □ 9 __ □ 10 □

12 ________、 □ 13 ________、 □ 14 (4)集合的表示法: □ ________.

2.集合间的基本关系 表示 关系 子集 文字语言 A中任意一个元素 均为B中的元素 符号语言 15 _____ □ 图形表示

表示 关系

文字语言 A 中任意一个元素均

符号语言

图形表示

真子集

为 B 中的元素,且 B 中至少有一个元素不 是 A 中的元素

16 _____ □

表示 关系

文字语言

符号语言 A=B?A

图形表示

相等

集合A与集合B中 的所有元素都相同

?B且 17 _____ □

3.空集及其相关结论 18 _____表 (1)空集是指不含有任何元素的集合,用符号 □ 19 ________,是任何非空集合的 □ 20 示.空集是任何集合的 □ ________. (2)如果一个集合含有n个元素,那么这个集合子集的个 21 ________,非空子集的个数为□ 22 __________. 数为□

4.集合的基本运算 并集 符号 表示 交集 补集 若全集为U,A A∪B A∩B ?U,则集合A 的补集为?UA

并集 图形 表示 意义

交集

补集

23 ______ □ 24 ______ □ 25 _________ □

5.常用主要性质 26 ________?A?B?A∪B=□ 27 ________. (1)A∩B=□ 28 ________;?U(A∪B)=□ 29 __________. (2)?U(A∩B)=□

1 确定性 答案: □ 于(∈)

2 互异性 □

3 无序性 □


4 属 □

5 不属于(?) □ 6 N □

7 N*(或N □

)

8 Z □ 9 Q □

10 R □ 11 C □ 12 列举法 □ 13 描述法 □ 14 韦恩(Venn)图法 □ 15 A?B或B?A □ 16 A? 17 B?A □ 18 □ B或B? A □ 集 20 真子集 □ 21 □ 2n ? 19 子 □

22 2n-1 □ 23 {x|x∈A,或x∈B} □

24 {x|x∈A,且x∈B} □ 25 ?UA={x|x∈U,且x?A} □ 26 A □

27 B □ 28 (?UA)∪(?UB) □ 29 (?UA)∩(?UB) □

名 师 微 博 ●一个性质 要注意应用A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、 A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性. ●两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的 常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是 空心.

●三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是 任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏 解. (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互 异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错 误.

基础自测 1.已知全集U=R,那么正确表示集合M={-1,0,1}和N ={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是( )

A.

B.

C.

D.

解析:∵M={-1,0,1},N={0,-1},∴N? M.

答案:B

2.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 C.6 个 ) B.4 个 D.8 个

解析: 由题意得 P=M∩N={1,3}, ∴P 的子集为?, {1}, {3},{1,3},共 4 个,故选 B.

答案:B

3.集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩(?RB) =( ) A.{x|x>1} C.{x|1<x≤2} B.{x|x≥1} D.{x|1≤x≤2}

解析:由题意,得?RB={x|x≥1},

由数轴,得 A∩(?RB)={x|1≤x≤2}.

答案:D

4.已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B ={3},(?UB)∩A={9},则 A=( A.{1,3} C.{3,5,9} B.{3,7,9} D.{3,9} )

解析:∵A∩B={3},∴3∈A. 又∵(?UB)∩A={9},∴9∈A. 综上,可得 A={3,9}.

答案:D

5.若集合 M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y= 2-x2}, 则 M∩N=( ) B.[-1, 2] D.?

A.[-1,+∞) C.[ 2,+∞)

解析:∵M={y|y=x2-1,x∈R} ={y|y≥-1}=[-1,+∞), N={x|y= 2-x2={x|2-x2≥0} ={x|- 2≤x≤ 2} =[- 2, 2], ∴M∩N=[-1, 2].选 B.

答案:B

考点一

集合的含义与表示

[例 1]

(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x, ) D.10

y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 C.8

解析:因为 B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},所以 x >y, x=5?y=1,2,3,4;x=4?y=1,2,3;x=3?y=1,2;x=2 ?y=1,所以 B 中有 4+3+2+1=10 个元素,所以选 D.

答案:D

方法点睛

加强对集合中元素的特征的理解,互异性常

常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法 常用于解决集合问题.

变式训练 1

(1)若集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A, ) B.[1,+∞) D.(-∞,1)

则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1] C.[0,+∞)

(2)已知集合 A={x|ax2-3x+2=0,x∈R,a∈R}.若 A 中只有一个元素,则 a 的值为__________.

解析:(1)∵1?A={x|x2-2x+a>0}, ∴12-2×1+a≤0,解得 a≤1. (2)若 A 中只有一个元素,即方程 ax2-3x+2=0 有一个 解. 2 当 a=0 时,方程有一解 x=3; 9 4 当 a≠0 时,即 Δ=9-8a=0,a=8时,方程有一解 x=3.

9 故 a 的值为 0 或8.

9 答案:(1)A (2)0 或 8

考点二

集合间的基本关系

[例 2]

A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}, )

若 A?B,则实数 a、b 必满足( A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3 B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3

解析:A={x|a-1<x<a+1},B={x|x<b-2,或 x>b +2}. ∵A?B,∴a+1≤b-2,或 a-1≥b+2. ∴a-b≤-3,或 a-b≥3,即|a-b|≥3.

答案:D

方法点睛

在解决两个数集关系问题时,避免出错的一

个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,这是数形结合 思想的具体体现.若两个集合相等,首先分析已知元素在另 一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程 组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.

变式训练 2

(1)设 A={x|2≤x≤6}, B={x|2a≤x≤a+3}, )

若 B?A,则实数 a 的取值范围是( A.[1,3] C.[1,+∞) B.(3,+∞) D.(1,3)

b (2)已知 a∈R,b∈R,若{a,a,1}={a2,a+b,0},则 a2 014+b2 014=__________.

?2a≤a+3, ? 解析:(1)①当 B≠?时,则有?2a≥2, ?a+3≤6, ? 解得 1≤a≤3; ②当 B=?时,2a>a+3,解得 a>3.综合①②得 a≥1.故 选 C. (2)由题意,得 b=0,且 a2=1,解得 a=± 1.当 a=1 时不 合题意,舍去,故 a=-1,a2 014+b2 014=1.
答案:(1)C (2)1

考点三

集合的基本运算

[例 3]

(2012· 浙江)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2 )

-2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( A.(1,4) C.(1,3) B.(3,4)

D.(1,2)∪(3,4)

解析: 由于 B={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}, 则?RB ={x|x<-1 或 x>3},那么 A∩(?RB)={x|3<x<4}=(3,4), 故应选 B.

答案:B

方法点睛

集合运算的常用方法:①集合元素离散时借

助 Venn 图运算;②集合元素连续时借助数轴运算,借助数轴 运算时应注意端点值的取舍.

变式训练 3

(1) 已知全集 U = {0,1,2,3,4} ,集合 A = )

{1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

(2)(2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B= {x ∈ R|(x - m)(x - 2) < 0} , 且 A∩B = ( - 1 , n) , 则 m = __________,n=__________.

解析: (1) 由题意可知, ? UA = {0,4} ,从而 ( ? UA) ∪ B = {0,2,4},故答案选 C. (2)∵A={x|-5<x<1},A∩B=(-1,n), 所以 n=1,B=(m,2),∴m=-1,n=1.

答案:(1)C (2)-1,1

考点四

Venn 图的理解与应用

[例 4]

(2013· 银川一中月考)设全集 U=R,集合 M={x|x2 )

>4},N={x|1<x≤3},则图中阴影部分表示的集合是(

A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}

解析:M={x|x<-2 或 x>2},N={x|1<x≤3}. 图中阴影部分表示的集合为 N∩( ? UM) = {x|1 < x≤3}∩{x| - 2≤x≤2} = {x|1 < x≤2}.故选 C.

答案:C

方法点睛

识别 Venn 图阴影部分所表示的集合的含义

或把抽象集合借助 Venn 图表示,往往可将问题直观化、形象 化,使问题简捷、准确地获解.

变式训练 4 已知全集 U=R, 集合 M={x|-2≤x-1≤2} 和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的关系的 Venn 图如图所示, 则阴影部分所示的集合的元素共有( A.3 个 C.1 个 B.2 个 D.无穷多个 )

解析:∵M={x|-2≤x-1≤2}={x|-1≤x≤3},N={x|x =2k-1,k=1,2,?}={1,3,5,7,?}, 由 Venn 图知 M∩N={1,3}. ∴阴影部分所示的集合元素共有 2 个.故选 B.

答案:B

考点五

与点集有关的交集问题

[例 5]

m (2011· 江苏)设集合 A={(x, y)| 2 ≤(x-2)2+y2≤m2,

x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若 A∩B≠ ?,则实数 m 的取值范围是__________.

解析:若 A∩B≠?,则 A≠?, m 1 2 ∴ ≤m ,即 m≤0 或 m≥ . 2 2 当 m≤0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以|m|为半径的圆, 集合 B 是在两条平行线之间的部分,

|2-2m-1| 2 ∵ = 2 +| 2m|>|m|,此时 A∩B=?,无解; 2 1 当 m≥2时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 2 和|m|为半径的

圆环,集合 B 是在两条平行线之间,则只需(2,0)到直线 x+y
?1 ? |2-2m| =2m 的距离不大于 m 即可, ≤m, 得 m∈?2,2+ 2?, 2 ? ? ?1 综上,m∈?2,2+ ? ? 2?. ?

?1 答案:?2, ?

? 2+2? ?

方法点睛

求解与点集有关的交集问题,往往转化为曲

线公共点的问题,利用数形结合的思想求解.

变式训练 5 已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+ y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元 素个数为( A.4 ) B.3 C.2 D.1

解析:圆 x2+y2=1 的圆心(0,0)到直线 x+y=1 的距离 d 2 = <1,因此,直线 x+y=1 与圆 x2+y2=1 相交,有两个 2 交点,因此,A∩B 的元素个数为 2.

答案:C

考点六

以集合为背景的新定义题

[例 6]

(2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集, 如果?a,

b∈S 有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集, T∪V=Z 且?a, b, c∈T 有 abc∈T; ?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( )

A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的

解析:若 T={偶数},V={奇数},则 T、V 中每一个关 于乘法都是封闭的,故 B、C 不正确;若 T={非负整数},V ={负整数},则 T 关于乘法是封闭的,V 关于乘法不封闭, 故 D 不正确;事实上,T、V 必有一个含有 1,由题目条件知 含有 1 的这个集合一定关于乘法封闭.综合以上分析只有 A 正确,故选 A.
答案:A

方法点睛 注以下两点:

对于以集合为背景的新定义,在备考时要关

(1)认真阅读,准确提取信息,是解决此类问题的前提. (2)剥去新概念、新方法的外表,将陌生转化为熟悉,是 解决此类问题的关键.

变式训练 6 设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 x, y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S;③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集, 则满足 S?T?C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号)

解析:①②为真命题对于①.整数的加减乘均为整数. ∴S 封闭. 对于②由于集合中元素任意取,所以同一元素取两次, 差为 0.②为真. ③为假,比如{0}为封闭集但有限. ④假,若 T 中有一个虚数的实部取小数,且含①中 S?T. 则 T?C.但 T 不封闭.
答案:①②

易错矫正(一) [试题]

以偏概全性错误

(2013· 江西南昌三中月考)设 M, P 是两个非空集

合,定义 M 与 P 的差集为 M-P={x|x∈M,且 x?P},则 M -(M-P)等于( A.P C.M∪P ) B.M∩P D.M

错解:令 M={1,2,3,4,5},P={1,3},则 M-P={2,4,5}, M-(M-P)={1,3}=P,故选 A. 错因:以偏概全往往致错.同学们解题时不可随意改变 题设条件,扩大或缩小研究对象的内涵与外延.

上面的解法等于增加了一个题设条件:P? M.因而犯了以 偏概全的错误.例如:令 M={1,2,3,4,5},P={1,3,6},则 M -(M-P)={1,3}≠P,而是 M-(M-P)=M∩P.

正解:当M∩P≠?时,由下图可知,M-P为图中的阴 影部分,则M-(M-P)=M∩P.当M∩P=?时,M-P=M, 此时有M-(M-P)=M-M={x|x∈M且x?M}=?=M∩P,综 上,应选B.
答案:B


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