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【答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题二


清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

清北学堂 2014 暑假物理竞赛模拟试题(二)参考答案
一、 (15 分) 一半径 R = 10cm 的水平圆盘以 ω = 2π / s 的角速度绕过圆心 O 的竖直轴 匀速转动,一小物块从离盘面高 h = 10cm 处由静止开始自由下落,落到盘面上与盘面 发生碰撞, 碰前后小物块竖直方向的速率大小不变

, 已知小物块与盘面之间的摩擦系数

? = 0.1 ,为使小物块跳起后不会落到圆盘外,则它第一次下落点离轴的距离 r 应取何
值? 【解析】 (1)小物块与盘面碰时的速度 v0 =

2 gh

反弹后竖直方向( y 方向)速度仍为 v0 ,故此方向圆盘对它的竖直方向支持力(平均)的 冲量为 I y = N ?t = 2mv0

?t= I y = 2 mv0 ,摩擦力的冲量为 I f= N mmm 在水平方向( x 方向)
根据动量定理可得反弹后小物块 x 方向的速度 vx

2 ? v0 = I f 2= m mv0 mvx ∴ vx =

= t 小物体跳起后又落下,所经时间为 t , ?

2v0 2h = 2 g g
v0 2 = 8? h g

在此期小物块沿 x 方向的位移 ?x = vx ?t = 2 ?

x 8? h ≤= l 由图可知,只要满足下式关系,小物块就不会落到圆盘外 ?=
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R2 ? r 2
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∴ r ≤ R 2 ? (8m h) 2 = 6cm
在求解过程中,我们是假设小物块与盘面碰撞的极短时间 ?t 内两者间始终存在相对滑动, 这就要求 vx ≤ ω r 由于 vx = 2 mm v0 = 2 2 gh = 2 × 0.1× 2 = 0.2 2m / s 而 ωr = 2π × 0.06 = 0.12π m / s 可见 vx < ω r ,则以上计算有效。

二、

(20 分)一环形圆管沿一直径截成两部分,一半竖立在铅垂面内,管口连线在一

水平面上。向管内装入与管壁相切的小滚珠,左、右侧第一个滚珠都与圆管截面相切。 已知单个滚珠重 W,共有 2n 个。求从右边起第 k 个和第(k+1)个滚珠之间的压力 Nk 。假设系统中处处无摩擦。 【解析】

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三、 (20 分)设想宇宙中有 1 个由质量分别为 m1、m2……mN 的星体 1、2……N 构成 的孤立星团,各星体空间位置间距离均为 a,系统总质量为 M,由于万有引力的作用, N 个星体将同时由静止开始运动。试问经过多长时间各星体将会相遇? 【解析】 设系统的质心为 O,可先研究质量为 m1 的质点 1,它将受到其它各质点的引力:

F 21 =

Gm1m2 (r 2 ? r1 ) ; a3

?? Gm1m3 ? ? = F 31 (r 3 ? r1 ) a3

……
?? ? Gm1mN ? (r N ? r1 ) = F N1 3 a

上列各式中, r i (i = 1,2,? N ) 为各质点对质心 O 位置的矢径。则质点 1 所受合力为

∑F

1

=

Gm1 [m1 r1 + m2 r 2 + ? + mN r N ? (m1 + m2 + ? + mN )r1 ] a3

由于 O 为质心,系统不受外力,故

∑m r

1 1

= 0,

则有

∑F

1

=

Gm1 Gm1M [?(m1 + m2 + ? + mN )r1 ] = r1 。 若 设 矢 量 r1 的 大 小 为 3 a a3

r1 = ka ,那么质点 1 所受其它质点引力的合力大小为 ∑ F1 =
3

Gm1M Gm1k 3 M ka = a3 r12

质点 1 所受各质点引力的合力等效于质量为 k M 的质点对它发生的引力,1 在这个平 方反比作用下,在以 O 为 1 个焦点,以 r/2 为长半轴,而短半轴为零的“椭圆轨道”运动,初 始位置为“远地点”,经半个周期,到达“近地点”O。对于其它各质点,情况相同,故相遇时 所经历的时间为

ka ( )3 T a3 2 t = =π = π 2 Gk 3 M 8GM
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四、

如右图所示,立方体框架 ABCDEFGH ,它的 12 条边为 电导率均匀的导线,每边电阻均为 R,现在,AG 间接上一直流电

源,忽略所有接触电阻,试求(1)该电源的外电阻为多大?(2) 若电源在 G 点的接线沿一条边做微小移动, 请问这一电阻是增大 还是减小? 【解析】 (1) RAG

=

5 R 6

(2)如图所示,设 Gs / GC = x ,可得

1 (10 + 4 x ? 5 x 2 ) R 12 dRAS R = (4 ? 10 x) dx 12 dR 2 当 0 < x < 时, AS > 0 ,由此可见,若电源在 G 点的接线沿一条边做微小移动( x 5 dx 2 很小时) ,则电源外电阻将增大,若移到 x = ,则达最大。 5 RAS =
五、 (20 分)在图示电路中,电容器 CI 、 CII 、 CIII 的电容值都是 C,电源的电动势为 , R1 、 R2 、为电阻,K 为双掷开关.开始时,三个电容器都不带电.先接通 oa,再接通 ob,再接通 oa,再接通 ob, 如此反复换向.设每次接通前都已达到静电平衡,试求: (1) 当 K 第 n 次接通 ob 并达到平衡后,每个电容器两端的电压各是多少? (2) 当反复换向的次数 n 为无限多次时,在所有电阻上消耗的总电能是多少?

【解析】 (1) 为了求每个电容器两端的电压,我们先来求每个电容器上的电荷量.原来 3 个电容 器都不带电,所以当第 1 次接通 oa 后电路为 CI 和 CII 串联,两者的电容又相等,所 以等效电容应为

C ,由此可知, C1 的电荷量应为 2 Q1 = Cξ 2
(1)

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下面来求第 n 次接通 oa 后 C1 上的电量.我们用 Q1 、 Q2 、…依次表示每次接通 oa 时,电 池在该次中对 C1 充电(增加)的电量,因 C1 和 CII 串联,根据电荷守恒,每次充电时给 CII 增 加的电量也应是 Q1 、 Q2 、….oa 接通 n 次后, C1 上的电量应为

QI = Q1 + Q2 + ? + Qn

(2)

在第 n 次接通 oa 之前,即第 n- 1 次接通 ob 之后, CI 上的总电荷量为 Q1 + Q2 + ? Qn?1 ,根 据电荷守恒,此时 CII 、 CIII 上的总电荷量应为 Q1 + Q2 + ? Qn?1 ,因为 CII 、 CIII 并联,两

者的电容又相等,所以 CII 、 CIII 上电荷量也相等,都是 第 n 次接通 oa 后, CII 上的电荷量应为

(Q1 + Q2 + ? + Qn?1 ) 由此可知, 2

QII =
所以 CI 和 CII 上的电压应为

(Q1 + Q2 + ? + Qn?1 ) + Qn 2

(3)

UI =

(Q1 + Q2 + ? + Qn ) C

(4)

? (Q1 + Q2 + ? + Qn?1 ) ? + Qn ? ? 2 ? U II = ? C
由电压关系知

(5)

U I + U II =
由(4)、(5)、(6)式可得

(6)

Q1 + Q2 + ? + Qn +
同理,对 n+1 次接通 oa 后有

(Q1 + Q2 + ? + Qn?1 ) + Qn = C 2

(7)

Q1 + Q2 + ? + Qn+1 +
用(8)式减去(7)式,得

(Q1 + Q2 + ? + Qn ) + Qn+1 = C 2

(8)

Qn+1 =

Qn 4

(9)

这就是说,后一次接通 oa 时, CI 上充电增加的电荷量与前一次之比总是—个常数

1 .可 4

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见,每次充电, CI 上增加的电荷量是按等比级数增长的.上式对 n=1,2,… 任何正整数都 成立. 我们已知第 1 次接通 oa 后, CI 上的电荷量为(1)式,由(1)和(6)式可知,第 n 次接通 oa 后, CI 上的总电荷量为
n?1 ?1 1 1 1 ? 1 ?2 1?1? ? Q1 = ? + × + ? ? + ? + ? ? ?C 2? 4? ? ? ?2 2 4 2 ? 4 ? ?

1 ? ?1? ?1? = ?1 + ? ? + ? + ? ? 2? ? 4? ? ? 4?
2

n?1

? ?C ? ?

由等比级数求和,可得
n 2 ? ?1? ? QI = ?1 ? ? ? ?C 3? ? ? 4? ? ?

(10)

第 n 次接通 oa 后, CI 上的电量不变,仍为(10)式所示, CII 、 CIII 上的电荷量 QII 、 QIII 相等,且皆为 QI 的一半,故
n 1? ?1? ? QII = QIII = ?1 ? ? ? ?C 3? ? ? 4? ? ?

(11)

所以三个电容器上的电压分别是为
n QI 2 ? ? 1 ? ? UI = = ?1 ? ? ? ? C 3? ? ? 4? ? ? n QI 1 ? ? 1 ? ? = ?1 ? ? ? ? 2C 3 ? ? ? 4? ? ?

U II = U III =

(2)当 n 趋于无穷时, CI 上的电量也就是通过电源的总电量,由(10)式可知所有电 源提供的能量为

? 2? W = Q = ? ?C ? 3?
各电容器储存的能量分别为

2

?1? 2 ? ?Q 2 ? 2? WI = ? ? = ? ?C C ?9?

2

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? Q? ? ? ?1? ?1? 2 WII = WIII = ? ? ? ? = ? ?C ? 18 ? ? 2? C
根据以量守恒,可得电阻上消耗的电能为

2

2

?1? WR = W - (WI + WII + WIII ) = ? ?C ? 3?
六、

2

(20 分)如图所示,两个盛有空气额容器 A 和 B,中间用备有活塞的细管相连。
? ?

容器 A 浸入到温度为 t1 = 100C 的水槽中, 容器 B 浸入温度为 t 2 = ?20C 的冷却器中。 开始时容器被活塞所分开,容器 A 中空气压强

P1 = 400mmHg , 而 容 器 B 中 空 气 的 压 强 P2 = 150mmHg 。 若 容 器 的 体 积 分 别 为
V1 = 250cm 3 , V2 = 400cm 3 ,求活塞打开后稳
定的压强。 ( 1mmHg = 133.322 Pa ) 【解析】 根据系统的质量不变求解 (1)以 A、B 容器中的空气系统为研究对象。设活塞打开前,A、B 中的质量分别为 M 1 和

M 2 ,由理想气体状态方程得
M1 = ? P1V1 RT1


M2 = ?

P2V2 RT2



′何M2 ′ ,由理想气体状态方 (2)设活塞打开后稳定的压强为 P ,A、B 中的质量分别为 M 1
程得

M 1′ = ?

PV1 RT1 PV2 RT2



′ =? M2



(3)因系统不漏气,打开活塞前后系统的质量不变。即

′ + M 1′ M1 + M 2 = M 2
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将①、②、③、④式代入⑤式中有

P=
七、

P1V1T1 ? P2V2T2 = 224mmHg = 298 × 10 4 Pa V2T1 + V1T2

(20 分)图示 A 为折射率为 玻璃棒的一端,B 为折 凸面的曲率半径为 R, 厚度为 l, 射率为 的塑料平凸透镜, A、B 两端面平行且间距为 t,一点光源 S 位于 A 内,与端 面的距离为 d,与光轴的距离为 h,试求: (1)点光源 S 发出的光经此光学系统后成平行光束,则 t 应 为多大? (2)要获得平行光束则对 l 有何限制? (3)平行光束与光轴的夹角 为多大? 【解析】 (1)先经 A 端面折射成像: + =0 ∵u1= d ∴ v1 = -d/n1

再经塑料 B 平面折射成像:

u2 = + =0

+t v2 = -n2u2 = -( d + n2t )

最后经球面折射成像: u3 =

+l=

d + n2 t+ l ,

(1)

V3→∞ 由(1) , (2)式解得: t=

u3 =

R

(2)

(2) (3)

t≥0, 即 l ≤ O 点为球面的球心,S 为 S 经前两次折射所成的像点


d’=
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d + n2t + l – R

tanθ=h/d’=

=(n2-1)h/R
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( 20 分) 一个静止质量为 M 的物体静止在实验室中, 裂变为静止质量为 m1 和 m2 的两部分,试求裂变产物的相对论动能 E K 1 和 E K 2 。 【解析】 根据相对论能量守恒有 八、

MC 2 = γ 1 m1C 2 + γ 2 m2 C 2
化简得: 根据相对论动量守恒有 但 将

γ1 =
v c

1 [M ? γ 2 m2 ] m1
c

① ②

O = γ 1 m1v1 ? γ 2 m2 v 2

γ = 1/ 1 ? ( )2 , v =

v1 =

c

γ1

γ 12 ? 1 和 v 2 =

γ c

γ 2 ? 1,
2 γ2 ?1

γ2

代入②式化简得 :
2 ?1 m1 γ 12 ? 1 = m2 γ 2



由①、③两式可解得:

r1 = ( M 2 + m 21 ? m 2 2 ) / 2Mm1 , r2 = ( M 2 + m 2 2 ? m 21 ) / 2Mm2 , E k1 = (γ 1 ? 1)m1C 2 = C 2 ? [( M ? m1 ) 2 ? m 2 2 ]/ 2M ;
E k 2 = (γ 2 ? 1)m2 C 2 = C 2 ( M ? m2 ) 2 ? m 21 / 2M .

[

]

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