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(数学)执信中学2013届高一下学期期中考试


执信中学 2013 届高一下学期期中考试 数
注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和 答卷密封线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的

钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各 题目指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。



本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 3 6 ? 化为弧度制为( ★ ) A.
?
5

B.

1 5

C. 5

D. 5 ?

2.已知角 ? 的终边经过点 P(4,-3),则 c o s ? 的值等于( ★ ) A. 4 3. 函数 f ( x ) ? A.R
x
2

B. ? 3

C.

4 5

D. ? ★ )

3 5

x ?1

? lg (1 0 ? x ) 的定义域为(

B.[1,10]

C. ( ? ? , ? 1) ? (1 , 1 0 )

D. (1,10)

2 2 4. 函数 y ? c o s 2 x ? s in 2 x 是( ★ )

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为
?

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为
?
?

?
2

的奇函数
?

?
2

的偶函数

5. 已知向量 a ? 2 ,向量 b ? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 则 a 在 b 方向上的投影是( ★ A. 1 B. ? 1
? ?

2? 3



) C. 2 D. ? 2

1

6.为了得到函数 y ? s in ( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移 7.设 y 1 ? 4
0. 9

?
6

) 的图象,只需把函数 y ? s in 2 x 的图象( ★



?
12

个长度单位 个长度单位
0. 48

B.向右平移 D.向右平移
1 2 )
?1. 5

?
12

个长度单位 个长度单位

?
3

?
6

, y2 ? 8

, y3 ? (

,则( ★ ) C. y 1 ? y 3 ? y 2
??? ? ???? ??? ? ?

A. y 3 ? y 1 ? y 2
??? ? ???? ????

B. y 2 ? y 1 ? y 3

D. y 1 ? y 2 ? y 3

8.在 ? ABC 中,有命题 ① AB ? AC ? BC ;
??? ? ???? ??? ? ????

② AB ? BC ? CA ? 0 ;

③若 ( A B ? A C ) ? ( A B ? A C ) ? 0 ,则 ? ABC 为等腰三角形; ④若 A C ? A B ? 0 ,则 ? A 为锐角. A.①② B.①④
???? ??? ?

上述命题正确的是( ★ ) C.②③
3?

D.②③④

? ? ? x ? 0 ?cos x , ? 9.设 f ( x ) 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数。若 f ( x ) ? ? , 2 2 ? s in x , 0 ? x ? ? ?

则 f (?

1 5? 4

) 等于(

★ )
2 2 2 2

A.1

B. ?

C.0
n? 2

D.

10.数列 { a n } 的通项公式 a n ? n cos A.1006 B.2012

,其前 n 项和为 S n ,则 S 2 0 1 3 等于( ★ ) C.503 D.0

第二部分 非选择题 (共 100 分)
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 11.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3
s in ? ? c o s ? 3 s in ? ? 2 c o s ?

:4

,现用分层抽样的方法从该校高中三 ★ ;

个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高一年级抽取 12.已知 tan ?
?
? 2

,则

?

____★_____;
? ?

13.已知 a ? (c o s x , 2 ) , b ? ( 2 s i n x , 3 ) ,且 a / / b ,则 ta n ( x ? 14.函数 y ? 2 s in ( x ?
?
) 在区间 [ 0 ,

?

?
4

) ?





] 上的最小值为____★_____; 2 ???? ???? ???? ??? ? ???? 15. 如图, △ A B C 中, B D ? 2 D C ,A D ? m A B ? n A C , m = ★ ,n = ★ 在 则 ?? ?? ? 16.如图,设 O x 、 O y 是平面内相交成 6 0 ? 角的两条数轴, e 1 、 e 2 分别是与 x 轴、

?

3



2

???? ???? ?? ?? ? 若向量 O P ? x e 1 ? y e 2 , 则把有序实数对 ( x , y ) 叫做向量 O P y 轴正方向同向的单位向量。

在坐标系 x O y 中的坐标。若 O P ? ( 2 , 3 ) ,则 O P = A

????

????

★ y P
? a

B

D 第 15 题图

C O

? e2
? e1

x 第 16 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已知 a ?
2, b ? 1 . ? ? ? ? (1)若 a , b 的夹角 ? 为 45° ,求 a ? b ; ? ? ? ? ? (2)若 ( a ? b ) ? b ,求 a 与 b 的夹角 ? .

ta n ( ? ? ? ) ? c o s ( 2 ? ? ? ) ? s in (

?
2

??)

18. (本题满分 10 分) 已知 f ( ? ) ?

co s( ?? ? ? )



(1)化简 f ( ? ) ; (2)若 f ( ? ) ?
4 5 ? ?

,且 ? 是第二象限角,求 c o s ( 2 ? ?

?
4

) 的值.

19. (本题满分 12 分) 设 a ? (c o s 2 x , s in 2 x ), b ? (s in (1)求 f ( x ) 解析式; (2)求函数 y ? f ( x ) 的单调递减区间;

?
4

, cos

?
4

? ? ) 函数 f ( x ) ? a ? b

(3)在给出的直角坐标系中用“五点作图法”画出函数 y ? f ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上的图像. (要求列 表、描点、连线)

3

20. (本题满分 12 分)已知等差数列 ? a n ? 首项 a 1 ? 1 ,公差为 d , 且数列 ? 2 a
n

? 是公比为 4 的等比数列,

(1)求 d ; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n 及前 n 项和 S n ; (3)求数列 {
1 a n ? a n ?1 } 的前 n 项和 T n .

2 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 s in x ?

3 s in 2 x ? 1



(1)求函数 f ( x ) 的零点;
?
6
?π π? , 上有解,求实数 a 的取值范围. ?6 2? ? ?

(2)若方程 f ( x ?

) ? 4 s in x ? 1 ? a 在 x ?

* 22. (本题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 a n ? 2 ( n ? N ) .

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2) 令 b n ? n ? a n ? lo g 1 a n , 数 列 { b n } 的 前 n 项 和 为 T n , 若 不 等 式
2

( n ? 1)( S n ? 2 ) ? T n ? t ?

19 32

n

2

对任意 n ? N 恒成立,求实数 t 的取值范围.

?

4

参考答案
一、选择题:ACDDB ACDBA 二、填空题:11、15; 三、解答题 17. (本题满分 12 分) 解: (1) | a ? b | ?
? ? ?
? ? ?2 ? ? ?2 a ? 2a ?b ? b ? 2 ? 2? 2 ?1? 2 2 ?1 ?1

12、

3 4

; 13、7; 14、 m ?

1 3

,n ?

2 3

; 15、1; 16、 1 9

.................................... 6 分

(2)∵ ( a ? b ) ? b , ∴ ( a ? b ) ? b ? a ? b ? b ?
2 2

?

?

?

? ?

?2

2 ? 1 ? c o s ? ? 1 ? 0 ....................

10 分

∴cos ? ?

,又∵ 0 ? ? ? ?

∴? ?

?
4

....................................................... 12 分

18. (本题满分 10 分) 解: (1) f (? ) ?
? ta n ? ? c o s ? ? c o s ? ? cos ? 4 5 ? s in ?

.................................................... 4 分

(2) f (? ) ? s in ? ?

又∵ ? 为第二象限角,∴ c o s ? ? ?
? s in 2 ? ? 2 s in ? c o s ? ? ? 24 25

3 5

, ........................................................ 6 分
2 2

,? c o s 2 ? ? c o s ? ? s in ? ? ?
?
4 7 25 2 2 24 25

7 25

∴ c o s ( 2? ?

?
4

) ? c o s 2? c o s

?
4

? s in 2 ? s in

? (?

)?

?

?

2 2

?

17 50

2

..... 10 分

19. (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ? a ?b ? c o s 2 x s in (2)由 2 k ? ?
?
2 ? 2x ?

?? ? ?

?
4

? s in 2 x c o s
3? 2

?
4

? s in ( 2 x ?
? x ? k? ?

?
4

) ....................................2 分
,k ? Z

?
4

? 2k? ?

得k? ?
, k? ? 5? 8

?
8

5? 8

所以, f ( x ) 的单减区间是 [ k ? ? (3)列表如下
2x ?

?
8

], k ? Z . ........................................5 分

?
4

?
4

?
2

?
3? 8

3? 2 5? 8

9?

2?
7? 8

4

?
x

0
2

8

?
2 2

f (x)

1

0

-1

0

2

.............................................................................................9 分 作出图像 . ...................................................................................................... 12 分
5

20. (本题满分 12 分) 解: (1)∵数列 { a n } 是公差为 d 的等差数列,数列 { 2 } 是公比为 4 的等比数列,
2
a n ?1 an a n ?1 ? a n
an

所以

? 2

? 2

d

? 4 ,求得 d ? 2 .......................................................................... 4 分

2

2 (2)由此知 a n ? 1 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 1 , S n ? n

..................................................... 8 分
? 1 2 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1

(3)令 b n ?

1 a n ? a n ?1

?

1 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)

(

)

...............................10 分

则T n ? b 1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b n ?

? ?? 1 ? 1 1 1? ?1 1 ? 1 1 ?1 ?? ? ?( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 2 ? 1 3 5? ?5 7 ? 2n ? 1 ?? ?3 ? ?? ?

?

1 ? 1 n ? ?1 ? ? ? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1

......................................................................... 12 分

21. (本题满分 12 分) 解: (1) f 令: 2 x ?
( x ) ? 1 ? cos 2 x ? 3 s in 2 x ? 1 ? 2 (s in 2 x c o s

?
6

? c o s 2 x s in

?
6

) ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

)

...3 分

?
6

? k ? ,得 x ?

?
12

?

k? 2

,所以 f ( x ) 的零点为 x ?
?
3
2

?
12

?

k? 2

。......................6 分

(2) a ? f ( x ?

?
6

) ? 4 s in x ? 1 ? 2 s in ( 2 x ?

?

?
6

) ? 4 s in x ? 1 ? ? 2 c o s 2 x ? 4 s in x ? 1

= ? 2 (1 ? 2 s in x ) ? 4 s in x ? 1 = 4 s in x ? 4 s in x ? 1
2

= 4 (s in x ? 当x?[
?
6 ,

1 2

) ? 2 ....................10 分
2

?
2

] 时, s in x ? [

1 2

, 1] , 4 (s in x ?

1 2

) ? 2 ? [ 2 , 7 ] .......................11 分
2

因为 f ( x ?

?
12

) ? 4 s in x ? a 在 x ? [

?
6

,

?
2

] 上有解,所以 a ? [ 2 , 7 ] .....................12 分

22. (本题满分 12 分) 解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 当n ∴ an 故 an
? 2

2 a1 ? 2

,解得 a 1

? 2



时, a n

? S n ? S n ?1 ? 2 a n ? 2 ? ( 2 a n ?1 ? 2 ) ? 2 a n ? 2 a n ?1 , ? 2

? 2 a n ?1

,故数列 { a n } 是以 a 1
? 2
n

为首项,2 为公比的等比数列,

? 2?2

n ?1

. ··································4 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·
? n?2
n

(2)由(1)得, b n

? lo g 1 2
2

n

? n?2

n

? n



6

∴ Tn 令 Rn

? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n )
2 3 n

········· 分 ········ 5 ········

? 2 ? 2?2 ? 3?2 ?? ? n?2
2 3 2 3 4

n


n ?1

则 2 Rn

? 2 ? 2?2 ? 3?2 ?? ? n?2


n ?1

两式相减得 ? R n ∴ Rn 故 Tn
? ( n ? 1) 2

? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? n?2
2 3 n

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

? n?2

n ?1

n ?1

? 2

, ··········· ··········· ·········· · 分 ··········· ·········· ··········· 7 ·········· ··········· ···········
n ?1

? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? ( n ? 1) 2

? 2?

n ( n ? 1) 2

, ··········· ······· 8 分 ··········· ······· ·········· ········

又由(1)得, S n 不等式 ( n ? 1)( S n 即为 t 设
? ? 3 32 f (n) ? ? 3 32
2 2

? 2an ? 2 ? 2

n ?1

? 2

, ························9 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··
? 1) 2
n ?1

? 2 ) ? Tn ? t ?
1 2

19 32

n

2

即为 ( n

? ( n ? 1) 2

n ?1

? 2?

n ( n ? 1) 2

? t ?

19 32

n

2



n ?

n ? 2

对任意 n ? N * 恒成立, ·················· 分 ················· 10 ·········· ······· ,则
f (n) ? ? 3 32 43 32 (n ? 8 3 ) ?
2

n ?

1 2

n ? 2

4 3



∵ n ? N * ,∴

f ( n ) m a x ? f (3) ? ?

, .................................................... 12 分

故实数 t 的取值范围是 ( ?

43 32

, ?? )



7


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