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四川省新津中学2014届高三4月月考数学(理)试题


四川省新津中学 2014 届高三 4 月月考数学(理)试题
考试时间 120 分钟 满分 150 分

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.)
1.设复数 z ? ?1 ? i (i 是虚数单位) , z 的共轭复数

为 z ,则 (1 ? z ) ? z ? ( )
?

?

A. 10

B. 2

C. 2
?1 ? ?2?

D. 1

2.已知集合 A ? 1,2 a , B ? ?a, b?,若 A ? B ? ? ? ,则 A ? B 为() A、 ? ,1, b?
? ?1 ?2 ?

? ?

B、 ?? 1, ?
?

?

1? 2?

C、 ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D、 ?? 1, ,1?
?

?

1 ? 2 ?

3.已知直线 a 和平面 ? , ? , ? ? ? ? l, a ? ? , a ? ? ,且 a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b, c ,则直线 b, c 的位 置关系为( ) B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面

A.相交或平行

4.对任意非零实数 a, b ,若 a ? b 的运算规则如下图的程序 框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是( A. 0 B. ) D. 9

1 2

C.

3 2


5. {a n } 为 各 项 都 是 正 数 的 等 比 数 列 , S n 为 前 n 项 和 , 且

S10 ? 10, S30 ? 70 ,那么 S 40 ? (
A. 150 B.? 200

C. 150 或 ? 200

D.400 或 ? 50
1 倍,纵坐标不变,再 2

6、已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ,将 f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 将所得图像向右平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像。则函数 y ? g ( x) 的解析式为() 4 3? A、 g ( x) ? 2 sin x B、 g ( x) ? 2 cos x C、 g ( x) ? 2 sin(4 x ? ) D、 g ( x) ? 2 cos 4 x 4

7. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 如图所示,则该截面的面积为( A. ) C.

3 10 2
2 2

B. 4

9 2

D. 5

8.已知 log(1x ? y ? 4) ? log(13 x ? y ?2) ,若 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是() A、 ?9,??? B、 ?9,??? C、 ?10,??? D、 ?10,???

9.将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互 不相等, 则不同的分配方法种数为( A.96
第页

) C.128
1

B.114

D.136

10.若实数 a,b,c,d 满足 (b ? a 3 ? 2 ln a) 2 ? (c ? d ? 2) 2 ? 0 ,则 (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 的最小值为() A、 2 B、2 C、 2 2 D、8

第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
1 11. 若直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0 与 l2 : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则二项式 (ax2 ? ) 5 展开式中 x 的系数为_______ x

12.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制成频率分布直方图,若第一组至第六组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于______________ 13.已知向量 a ? ( 2,?1), b ? (? ,?2) ,若 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是 14. 已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线
2
? ?
? ?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 7 9

K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
15. 给出以下五个命题: ①对于任意的 a>0,b>0,都有 a lg b ? b lg a 成立; ②直线 y ? x ? tan? ? b 的倾斜角等于 ? ③已知异面直线 a,b 成 60? 角,则过空间一点 P 且与 a,b 均成 60? 角的直线有且只有两条。 ④在平面内,如果将单位向量的起点移到同一个点,那么终点的轨迹是一个半径为 1 的圆。 ⑤已知函数 y ? f ( x) ,若存在常数 M>0,使 f ( x) ? M ? x 对定义域内的任意 x 均成立,则称 f ( x) 为“倍约束 函数” 。对于函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 1 ,该函数是倍约束函数。 其中真命题的序号是_________________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.)
16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? m 在区间 ? 0, (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C ,
2

? ?? 上的最大值为 2. ? 2? ?

?ABC 面积为

3 3 ,求边长 a . 4


17.(本小题满分 12 分)自“钓鱼岛事件” ,中日关系日趋紧张,不断升级.为了积极响应“保钓行动” , 学校举办了一场保钓知识大赛,共分两组.其中甲组得满分的有 1 个女生和 3 个男生,乙组得满分的有 2 个女生和 4 个男生.现从得满分的同学中,每组各任选 2 个同学,作为保钓行动代言人. (Ⅰ)求选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 4 个同学中女生的个数,求 X 的分布列和数学期望.

第页

2



18. (本小题满分 12 分)已知数列 {bn } 满足 bn+ 1 = (Ⅰ)求证:数列 {bn -

7 1 1 bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 2 4

1 } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2
12 k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范围. 12 ? n ? 2Tn


(Ⅱ)如果对任意 n ? N ? ,不等式

19. (本小题满分 12 分)如图甲,圆 O 的直径 AB=2 ,圆上 C 、 D 两点在直径 AB 的异侧,且
?CAB ?

?
4

, ?DAB ?

?
3

。沿直径 AB 折起,使得两个半圆所在的平面垂直(如图乙) ,F 为 BC 的中点。根

据图乙解答下列问题。

(1)求三棱锥 C-BOD 的体积; (2)求二面角 C-AD-B 的余弦值; (3)在弧 BD 上是否存在点 G,使得 GF//平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置,并求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,说明理由。 ▲ 20.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1 (?1, 0) , P 为椭圆 G 的上顶点,且 ?PF1O ? 45? . (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 : y ? kx ? m1 与椭圆 G 交于 A , B 两点,直线 l 2 : y ? kx ? m2 ( m1 ? m2 )与椭圆 G 交于 C , D 两点,且 | AB |?| CD | ,如图所示.
第页 3
B C O l1 A y l2 D

x

①证明: m1 ? m2 ? 0 ;②求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值。



21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1) 。
2

(Ⅰ)求函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? x 的单调区间及最大值;
2

(Ⅱ)当 x ? [0,??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证: (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ...... ? (1 ? 2 ) ? e ,其中 n ? N * 。 2 2 3 n



第页

4

新津中学高 2011 级高三(下)4 月月考试题
数学(理工类) 参改答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 答案 三、解答题:
16. 解 : ( 1 ) ∵

1 A

2 D

3 D

4 C

5 A

6 C

7 C

8 D

9 B

10 B

11 -40

12
60

13
? ? ?1, ? ? 4

14 32

15
①④⑤

f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m

? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
∵ 函数 y ? sin t 在区间 ?

?

? ?? x ? ?0, ? ? 2?



2x ?

?

? ? 7? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

?? ? ? ? ? 7? ? , ? 上是增函数,在区间 ? , ? 上是减函数 ?6 2? ?2 6 ?
时,函数 f ( x) 在区间 ? 0,

∴当 2 x ?

?
6

?

?
2

即x?

?
6

? ?? 上取到最大值. ? 2? ?
????????6 分

此时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1

?

6

(2)∵ f ( A) ? 1

6 a b c ∵ sin B ? 3sin C , ? ? sin A sin B sin C
∵ ?ABC 面积为

∴ 2sin(2 A ?

?

) ? 1 ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ?
∴ b ? 3c ①

?
3

?8 分

3 3 1 1 ? 3 3 ∴ S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? 4 2 2 3 4

即 bc ? 3

…………②

由①和②解得 b ? 3, c ? 1

??????????10 分

∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos

?
3

∴ a?

7

??12 分

17.解: (1)设“从甲组内选出的 2 个同学均为男同学;从乙组内选出的 2 个同学中,1 个是男同学,1 个为 女同学”为事件 A ,“从乙组内选出的 2 个同学均为男同学;从甲组内选出的 2 个同学中 1 个是男同学,1 个为女同学”为事件 B ,由于事件 A ? B 互斥,且 P ( A) ?
1 1 1 2 C32C2 C4 4 C3 C4 1 ? , P ( B ) ? ? 2 2 2 2 C4 C6 15 C4 C6 5

∴选出的 4 个同学中恰有 1 个女生的概率为 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?
第页 5

4 1 7 ? ? ??5 分 15 5 15

(2) X 可能的取值为 0,1,2,3,
1 7 3 1 P( X ? 0) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 5 15 10 30

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 5

7 15

3 10

1 30
????10 分

7 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 15 10 30 6 ??????????12 分 1 1 1 1 1 * 18. (Ⅰ) 对任意 n ? N ,都有 bn ?1 ? bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2 1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 2 2 2
∴ X 的数学期望 EX ? 所以 bn ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 , bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? 2 2 2 2 1 2
n ?1

(Ⅱ) 因为 bn ? 3 ? ( )

?

1 2

1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n 所以 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 12k 2n ? 7 * ? 2n ? 7 ,化简得 k ? 因为不等式 对任意 n ? N 恒成立 (12 ? n ? 2Tn ) 2n
设 cn ?

2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ,则 cn ?1 ? cn ? ? ? n?1 n 2 2n?1 2n 2

当 n ? 5 , cn ?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , cn ?1 ? cn , {cn } 为单调递增数列

1 3 3 ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 , ? c4 ? c5 ? 16 32 32 3 2n ? 7 * 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N 恒成立, k ? 。 n 32 2

第页

6

20.(理科)

第页

7

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? y ? kx ? m1 , ? (ⅰ)证明:由 ? x 2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4km1 x ? 2m12 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2
则 ? ? 8(2k 2 ? m12 ? 1) ? 0 ,





| CD |? 2 2 1 ? k 2

2 2k 2 ? m2 ?1

1 ? 2k 2
2

.

因为 | AB |?| CD | ,
2 2k 2 ? m2 ?1

所以 2 2 1 ? k

2k 2 ? m12 ? 1 1 ? 2k 2

? 2 2 1? k 2

1 ? 2k 2

.

? m1 ? m2
m1 ? m2 1? k
2

? m1 ? m2 ? 0

( ii )由题意得四边形 ABCD 是平行四边形,设两平行线 AB,CD 间的距离为 d , 则d ? 。因为 m1 ? m2 ? 0 ,所以 d ?

2m1 1? k 2



第页

8

所以 S ?| AB | ?d ? 2 2 1 ? k

2

2k 2 ? m12 ? 1 2m1 ? 1 ? 2k 2 1? k2

2k 2 ? m12 ? 1 ? m12 (2k 2 ? m12 ? 1)m12 2 ?4 2 ?4 2 ?2 2. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
所以 当 2k ? 1 ? 2m1 时, 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为 2 2 .
2 2

21.

( ii )当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x[2ax ? (2a ? 1)] 1 ?1 。 ? 0 ,因为 x ? [0,??) ,所以 x ? 2a x ?1

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