2012年全国高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷

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2012 年上海市高中数学竞赛
一、填空题（本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小 题每小题 8 分） 1.如图,正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又
B1 A2 F2 F1 A1

围成一个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 ,如此继续下去,则所有这些 六边形的面积和是 .
aj
C1 B2

E2

C2

3 ? ,1 ? i ? j ? 10 ,则 a10 2.已知正整数 a1 , a2 ,? , a1 0 满足: ai 2

D2

E1

的最小可能值是

.

D1

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?

17 4 ， cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? , cot ? cot ? 6 5 17 . ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? ，则 tan ?? ? ? ? ? ? ? 5
A D

4． 已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实数解， 则实数 k 的 取值范围是 .

F

5．如图， ?AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形，已知

?AEF ? 90? ， AE ? a, EF ? b, a ? b ，则 x ?
6．方程 2m ? 3n ? 3n?1 ? 2m ? 13 的非负整数解 ? m, n ? ?

B

E

C

.

.

7．一个口袋里有 5 个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一 个是黑色的，依次从中摸出 5 个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率 是 .（用数字作答） 8 ． 数 列 ?an ? 定 义 如 下 ： a1 ? 1, a 2 ? 2, an ? 2 ?
am ? 2 ? 2011 ，则正整数 m 的最小值为 2012

2 ? n ? 1? n?2

an ? 1?

n an , n ? 1, 2,? . 若 n?2

.

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二、解答题 9．（本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB ? x ， BC ? 1 ，对角 线 AC 与 BD 的夹角 ?BOC ? 45? ，记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x) ． 求 h( x) 的表达式，并写出 x 的取值范围．
A D C

O B

10．（本题满分 14 分）给定实数 a ? 1 ，求函数 f ( x) ? 值．

(a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小 1 ? sin x

11．（本题满分 16 分）正实数 x, y, z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ，求证： （1） xy ? yz ? zx ?
4 ； 3

（2） x ? y ? z ? 2 ．

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12．（本题满分 16 分）给定整数 n(? 3) ，记 f (n) 为集合 ?1, 2,? , 2 n ? 1? 的满足如 下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值： （a） 1? A, 2n ? 1? A ； （b） A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求 f (3) 的值； （2）求证： f (100) ? 108 ．

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2012 年上海市高中数学竞赛答案
1、
9 3 4

2、92 4、 ? ??, 0 ? ? ?4?
a2

3、11 5、 7、

a 2 ? (a ? b) 2

6、 ? 3, 0 ? , ? 2, 2 ?

2 8、4025 5 9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 1 1 ① OB 2 ? OC 2 ? ( AB 2 ? BC 2 ) ? ( x 2 ? 1) ． 2 2 ???????（2 分）

在△OBC 中，由余弦定理
BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC cos ?BOC ，

所以 由①， ②得

OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? 1 ，
x2 ?1 OB ? OC ? ． 2 2

② ③ ???????（5 分）

所以

SA B C D 4 S ? ?

O B C

1 ? 4 ? O B ? O Ci n ? B O C s 2

? 2OB ? OC ?

x2 ?1 ， 2 x2 ?1 ， 2

故

AB ? h( x) ?

所以

x2 ?1 h( x ) ? ． 2x

??????? （10 分）

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由③可得， x2 ? 1 ? 0 ，故 x ? 1 ． 因为 OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ，结合②，③可得
1 2 x2 ? 1 ( x ? 1) ? 2 ? ， 2 2 2

解得（结合 x ? 1 ） 综上所述， h( x) ? 10．解 f ( x) ? 当1 ? a ?

1 ? x ? 2 ?1 ．
x2 ?1 ，1 ? x ? 2 ? 1 ． 2x

???????（14 分）

(a ? sin x)(4 ? sin x) 3(a ? 1) ? 1 ? sin x ? ?a?2． 1 ? sin x 1 ? sin x

7 时， 0 ? 3(a ? 1) ? 2 ，此时 3 3(a ? 1) f ( x) ? 1 ? sin x ? ? a ? 2 ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 ， 1 ? sin x

且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ?? ? ?1,1?? 时不等式等号成立， f min ( x) ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 ． 故 ???????（6 分） 7 3(a ? 1) 当 a ? 时， 3(a ? 1) ? 2 ，此时“耐克”函数 y ? t ? 在 0, 3( a ? 1) ? ? 3 t 内是递减，故此时 3(a ? 1) 5(a ? 1) ． f min ( x) ? f (1) ? 2 ? ?a?2? 2 2

?

7 ? ?2 3(a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? 3 ; 综上所述， f min ( x) ? ? ? 7 ? 5(a ? 1) , a? . ? 2 3 ?

???????（14 分）

11．证 （1）记 t ?

xy ? yz ? zx ，由平均不等式 3
xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx)

?

3 2

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? ． 3 ? ?

3

???????（4 分）
于是 所以

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9t 3 ? 3t 2 ，

? 3t ? 2 ? ? 3t 2 ? 3t ? 2 ? ? 0 ，
2 ，从而 3

而 3t 2 ? 3t ? 2 ? 0 ，所以 3t ? 2 ? 0 ，即 t ?

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4 x y? y z z ? ． ? x 3

???????（10 分）

（2）又因为
( x ? y ? z )2 ? 3( xy ? yz ? zx) ，
所以 故

( x ? y ? z )2 ? 4 ，
x? y?z ? 2．

???????（16 分）

12． （1） 解 设集合 A ? ?1, 2,? , 23 ? 1? ， A 满足 且 （a） （b） 则 1? A 7 ? A ． ， ． 由 , 于 ?1, m, 7? ? m ? 2,3,? , 6 ? 不满足（b），故 A ? 3 ． 又 ?1, 2,3, 7? , ?1, 2, 4, 7? , ?1, 2,5, 7? , ?1, 2, 6, 7? , ?1,3, 4, 7? , ?1,3,5, 7? , ?1,3, 6, 7? ,

?1, 4,5, 7? , ?1, 4, 6, 7? , ?1,5, 6, 7? 都不满足

（b），故 A ? 4 ．

而集合 ?1, 2, 4, 6, 7? 满足（a），（b），所以 f (3) ? 5 ． ???????（6 分） （2）首先证明
f (n ? 1) ? f (n) ? 2, n ? 3, 4,? ．
①

事实上，若 A ? ?1, 2,? , 2n ? 1? ，满足（a）， （b），且 A 的元素个数为 f (n) ． 令 B ? A ? ?2n ?1 ? 2, 2n ?1 ? 1? ，由于 2n?1 ? 2 ? 2n ?1 ，故 B ? f (n) ? 2 ． 又 2n?1 ? 2 ? 2(2n ? 1), 2n?1 ? 1 ? 1 ? (2n?1 ? 2) ，所以，集合 B ? ?1, 2,? , 2 n ?1 ? 1? ， 且 B 满足（a），（b）．从而

f (n ? 1) ? B ? f (n) ? 2 ．
其次证明：

???????（10 分）

f (2n) ? f (n) ? n ? 1, n ? 3, 4,?．

②

事实上， A ? ?1, 2,? , 2n ? 1? 满足 设 （a） （b） 且 A 的元素个数为 f (n) ． ， ， 令
B ? A ? ?2(2n ? 1), 22 (2n ? 1),? , 2n (2n ? 1), 2 2 n ? 1? ，

由于

2(2n ? 1) ? 22 (2n ? 1) ?? ? 2n (2n ? 1) ? 22 n ? 1 ，

所以 B ? ?1, 2,? , 2 2 n ? 1? ，且 B ? f (n) ? n ? 1 ．而

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2k ?1 (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1) ? 2k (2n ? 1), k ? 0,1,?, n ? 1 ， 22 n ? 1 ? 2n (2n ? 1) ? (2n ? 1) ，

从而 B 满足（a），（b），于是

f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 ． ???????（14 分）
由①，②得 反复利用②，③可得

f (2n ? 1) ? f (n) ? n ? 3 ．

③

f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92

? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 ．

???????（16 分）

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