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【答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题一


清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题

清北学堂 2014 暑假物理竞赛模拟试题(一)参考答案
一、 (15 分)系在湖边的小船与绳脱开, 被风吹离湖岸, 船以速度 v0 与岸成 α = 15° 角 的方向离岸,在船刚被吹离岸的同时,船主就开始去追,已知他在岸上行走和在水中游 的速度分别为 v1 = 4m / s , v2 = 2m / s

,则他要能追上船,对船速 v0 有何限制?

【解析】 解法一: 船主要追上船, 最佳方案应按光折射路径去追, 根据光的折射定律 n1 sin i = n2 sin θ 其中= θ i 90° , sin =

n1 n1 v2 1 sin i = = = n2 n2 v1 2

∴θ = 30°

∴ β= 90° ? θ ? α= 45°
即人沿岸从 A 点走到 C 后入水游到 B 追上船,在船静止的参照系中,船主在岸上和水中运

′ v1 ? v0 , v2= ′ v2 ? v0 动的相对速度分别为 v1=

?? ?

?? ?? ?

?? ?

?? ? ?? ?

各矢量关系如图所示,船主先以 v1 速度远离船,然后入水后再以 v2 速度靠近船,直至追上

??′

?? ?′

? ?? ? ?? 船, 由于 v2 是确定的, 收到 v2 的限制, 要能追上船, 图示 v2 ⊥ v2′ 时, 对应的是最大的 v0 值,
即 v0 ≤

v2 = 2 2m / s cos β

解法二:由于人在岸上和在水中的速度分别为 v1 和 v2 ,于是可以从人出发点 A 作一条与岸

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成 φ 角的直线, sin = φ

v2 1 ,∴φ = 30° = v1 2

因此,人从 A 点沿岸走到 D 点,然后入水游到 B 点所需的时间,与人从 C 点游至 D ,然 后再游到 B 点所需的时间相等,故人在 B 点追上船所需的最短时间,相当于从 E 点沿直线 游在 B 的时间,故船速 v0 应满足 v0 sin(α + φ ) ≤ v2

∴ v0 ≤

v2 = 2 2m / s sin 45°

解法三:若人在时间 t 内全部在岸上走可到达 M 点,人若在时间 t 内全部在水中游,则可到 达以 A 为圆心,以 v2t 为半径的圆周上的任一点,过 M 点作此圆的切线 MN,此线与岸的夹 角为 θ , sin = θ

AN v2t v2 1 = = = AM v1t v1 2

人若在时间 t1 内走到 C 点, 然后在 t ? t1 时间内水中游, 则可到达以 C 点为圆心,v2 (t ? t1 ) 为 半径的圆周上任一点,过 M 点作此圆的切线 MN ′ ,此线与岸的夹角为 θ ′ ,

′ sin θ =

CN ′ v2 (t ? t1 ) v2 1 = = = CM v1 (t ? t1 ) v1 2

′ θ= 30° ,即不管人在什么地方下水,在时间 t 内,可到达“包络线” NN ′ 某点处, 可见 θ =
故 人 要 追 上 船 , 则 船 在 时 间 t 内 , 不 能 到 达 此 包 络 线 之 外 , 即 v0t cos β ≤ v2t , 其 中

β= 90° ? α ? θ= 45°
∴ v0 ≤ v2 = 2 2m / s cos β
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二、

(15 分)质量为 M 1 的汽车通过一根绳子与质量为 M 2 的平板车相连,在平板车的

右前端放置一质量为 M 3 的箱子,开始平板车与箱子静止,绳子松弛,而汽车在关闭发 动机后,以速度 v0 运动,一会儿绳子被绷紧后,箱子相对平板车向左滑动,试求最终 已知箱子与平板车之间的摩擦系数为 ? , 两车与地面之 箱子相对平板车滑过的距离 s , 间的摩擦阻力可忽略。

【解析】

M= ( M 1 + M 2 )v1 1v0

(1) (2)

M 1v0 = ( M 1 + M 2 + M 3 )v2

? ? M 3 gs =

1 1 ( M 1 + M 2 + M 3 )v2 2 ? ( M 1 + M 2 )v12 2 2

(3)

M 12 v0 2 1 由(1) 、 (2) 、 (3)式可解得 s = 2 ? g ( M 1 + M 2 )( M 1 + M 2 + M 3 )
凡是用质点系动能定理求解的问题,也都可以用质点系动能定理求解。

(1) 、 (2)式与前解相同,有

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1 1 ? 2 2 ?? ? M 3 gL = 2 ( M 1 + M 2 )v2 ? 2 ( M 1 + M 2 )v1 ? 1 ? ? M 3 gl M 3v2 2 ? 0 (4) ?= 2 ? s (5) ?L ? l = ? ?
由(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5)式求解得

(3)

s=

M 12 v0 2 1 2 ? g ( M 1 + M 2 )( M 1 + M 2 + M 3 )

* 用质点系动能定理求解的一个错误方程为

? ? M 3 gs =

1 1 ( M 1 + M 2 + M 3 )v 2 ? M 1v0 2 2 2

原因在于绳子绷紧过程中存在能量损失。 三、 (25 分)如大家所知,海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用,而在较小一些的 程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化,作如下假设: a)地球和月球组成一个封闭系统; b)月球到地球的距离为常量; c)地球完全由海洋覆盖; d)不计地球的自转。 1、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮汐力。设月球质量为 M,地 月中心间距离为 r,万有引力常量为 G,地球半径为 R。 2、求地球上任意位置处的水位变化 h( θ ) 【解析】 1.地球一月球系统绕其质心转动,对连接于地心的转动参照系,分析地球表面上任一点 P 处的水粒 m 运动规律。 对于地面上任意一点 P 处的水粒 m,其受力为月球的万有引力和惯性离心力,则在 x 方向的合力为(如图所示)

Fx =

GMm GMm GMm GMm ? cos 2 a ? 2 (因为 a 很小) ? cos a ? 2 = 2 r?x 2 (r ? x) r r ( ) cos a



GMm GMm 2GMm x ? 2 ≈ 2 r2 (r ? x) r

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所以单位质量物质位于 P 处受到的潮汐力为(x 分量)

fx =
同理,得 y 方向的潮汐力为:

2GM 2GM x = 2 R cos θ 2 r r

fy = ?
所以

GM y sin α , sin α ≈ 2 r r

fy = ?

GMy M = ?G 3 R sin θ 3 r r

2.如图所示,考察一水粒(质量为 m)被潮汐力从 D 点带到任意点 P 的过程中所做的 功

W = ∑ ( Fx ?x + Fy ?y ) =
=

GMm GMm 2 y 2 x x y y ( 2 ? ? ) + ? (x + ) = ∑ 2 r3 r3

1 GMm ? 1 ? GMm 2 R (cos 2 θ + sin 2 θ ) ( R cos θ ) 2 + ( R sin θ ) 2 ? = 3 3 ? 2 2 r r ? ?

由 W = mg ( hP (θ ) ? hD ) ,得

hP (θ ) ? hD = h(θ ) =
四、

GMR 2 1 (cos 2 θ + sin 2 θ ) 3 2 gr

(20 分)两个理想导体板 α 和 β 平行近距离放置,分别带有电量-Q 和+q(Q>q>0). 均为 s.导体板 γ 从静止状态释放后能够自由运动,假设平板 α 和 β 是固定的.假设平 板 β 和 γ 之间碰撞是弹性的,忽略装置的边缘效应和重力.假设在两个板碰撞过程中,

另一想理导体板 γ 其质量为 m,带电量为+Q.距 β 导体板距离为 d,平行放置.平板面积

平板 β 和 γ 之间的电量有足够的时间重新分布.试求: (1) 平板 γ 和平板 β 碰撞之前,α、β 板作用在平板 γ 的电场强度 E1 ; (2) 在碰撞后平板上的电量 Qβ 和 Qr ,是多少; (3) 平板 γ 在碰撞后距离 β 平板 d 时的速度 v.

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【解析】 (1) 平板 γ 和平板 β 碰撞之前作用在平板 γ 的电场强度为

E1 = 2k π
平板 γ 受的电场力为

q?Q . S

(1)

F1 = E1Q = 2k π
平板 γ 移动距离 d 时电场力作功为

(q ? Q)Q s

(2)

A1 = F1 d = 2k π

(q ? Q)Qd S

(3)

(2) 设平板 γ 和平板 β 碰撞之前各板上的电荷面密度从左到右分别 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 、 σ 4 、

σ 5 、 σ 6 ,则
(s 1 + s 2 ) s = ?Q
(4) (5) (6)

(s 3 + s 4 ) s = q (s 5 + s 6 ) s = Q
静电平衡时三块导体板内的场强等于零,故有

2k π(σ 1 ? σ 2 ? σ 3 ? σ 4 ? σ 5 ? σ 6 ) = 0 2k π(σ 1 + σ 2 + σ 3 ? σ 4 ? σ 5 ? σ 6 ) = 0 2k π(σ 1 + σ 2 + σ 3 + σ 4 + σ 5 ? σ 6 ) = 0
设板的面积为 S,由(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)求得

(7) (8) (9)

σ1 = σ 6 =

q 2S

q? ? ?Q + ? 2? σ 2 = ?σ 3 = ? ? 2S

q? ? ?Q ? ? 2? σ 4 = ?σ 5 = ? ? S

所以,平板 γ 和平板 β 碰撞后的电量为
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Qβ = Q + Qγ = q . 2

q , 2

(10)

(11)

(3) 平板 γ 在碰撞后距离 β 平板 d 时电场力又对平板 γ 做功

A2 = F2 d =

k πq 2 d 2S
2

(12)

mv 2 2k πd ? q? ( A1 + A2 ) = ?Q ? ? 2? 2 S ?

(13)

q ? 4k πd ? v = ?Q ? ? 2 ? mS ?
五、

(14)

(20 分)一条直导线和半径为 a 的导体圆环叠放在光滑的水平面上,直导线到圆

环圆心的距离为 a/2,直导线固定,而圆环可沿水平面自由移动,两者之间电接触良好, 在圆环区域内, 有一个边界与圆环重合、 且方向垂直于圆环的匀强磁场, 磁感强度为 B, 现磁场在极短时间内迅速地变为 0,试求:磁场刚变为零时圆环的速度 v,已知直导线 与圆环都是由相同的导线制成,导线单位长度的质量为 【解析】设磁场的变化率为 k= B/Δt ,电阻为 。

图中θ= π/3

ε1 =4πa2k/3 R1 =4πar0/3

ε2= πa2k/3 R2=2 πar0/3

ε3 = R3=

a2k/4 ar0

等效电路如图所示

I1 = I2 + I3 I1R1 + I 3R 3 = ε1 + ε3
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(1) (2)
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I1R1 + I2R2 =ε1 + ε2 由以上三式,解得: I1 = I2 =

(3)

在 adc 段上任取一小段ΔL=aΔθ,所受的力为ΔF 1 = I1ΔL ,求和得: F1 = 同理,a’bc’段所受合力沿-X 方向 F2 = I2a cosθ=I1
COSθ=i1

=

I1a

而 aa’,cc’段受合力为零,则整个圆环受的合力为 F= F1–F2= 由动量定理:FΔt = mv,解得: (I1-I2)

v=

=

=

六、

(20 分)如图所示,在绝热容器中用质量为 m 的绝热活塞容器分成两个相等的部 分。两部分初始的温度、体积和压强均为 T0 、 P0 和 V0 = L0 。若活塞的面积为 S = L0 ,
3 2

活塞与器壁之间的摩擦力可以忽略不计, 当活塞略受一外力微微偏离平衡位置时, 再除 去外力,证明活塞作简谐振动并求周期。

【解析】 (1)取活塞的平衡位置为坐标原点,向右为 x 轴同正方向。设在外力作用下活塞向右有一 小的位移 x ,如图 2-3 所示。由于容器时绝热的,所以容器左边的 A 部分做绝热膨胀,容器 右边 B 部分被绝热压缩,若 A、B 两部分对活塞的压强分别为 PA 和 PB ,则由绝热方程有

P0V0γ = PAV A = PA (V0 + Sx) γ ① P0V0γ = PBVB = PB (V0 ? Sx) γ ②
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式中 PA 方向向右为正, PB 方向向左为负。若活塞受的净压强为 P ,显然有

P = PA ? PB ③
由①、②两式分别求 PA 和 PB 代入③式得

P=

P0V0γ P0V0γ ? = P0 [ (V0 + SX ) γ (V0 ? Sx) γ

1 1 ? ] Sx γ Sx γ (1 + ) (1 ? ) V0 V0



依题给条件 x 是很微小的所以 Sx << V0 , 用二项式展开

(1 +

Sx ?γ Sx ) = 1? γ V0 V0 Sx ?γ Sx ) = 1+ γ V0 V0

(1 ?
代入④中得

P = P0 [(1 ?
作用在活塞上的力

2 P γS Sx Sx ) ? (1 + γ )] = ? 0 x V0 V0 V0 2 P0 γS x = ?2γP0 L0 x V0

F = SP = ?

这表明,作用在活塞上的力是一个回复力,活塞作简谐振动。 (2)根据牛顿第二定律

d 2S F =m 2 dt
得 ? 2γP0 L0 x = m

d 2S dt 2

d 2 S 2γP0 L0 + x=0 m dt 2
于是得角频率和周期分别为

ω=

2γP0 L0 m

T = 2π

m 2γP0 L0

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七、 (20 分)如图所示,三棱镜的顶角α为 60°,在三棱镜两侧对称位置上放置焦距 均为 f=30.0cm 的两个完全相同的凸透镜 Ll 和 L2,若在 L1,的前焦面上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S,已知其像 S/ 与 S 对该光学系统是左右对称的。试求该 三棱镜的折射率。

【解析】 物屏上可以得到 4 个像。 1 解:由于光学系统是左右对称的,物、像又是左右对称的,光路一定是左右对称的。该光 线在棱镜中的部分与光轴平行。由 S 射出的平行于主光轴的光线,经右焦点 F ′ ,交三棱镜左 侧于 A 点,其光路图如图 2 所示。

由对称性可知: i1 = r2 , i2 = r1 从几何关系得 r1 + r2 = α = 60° 由图可知 i1=

θ + r1
y f

又从 ?F ′CO1 的边角关系得 tan θ =

14.3 = 故 θ arctan = 25.49° 30.0
由上面各式得 r , i1 55.49° = 30°= 1 根据折射定律,求得 = n

sin i1 = 1.65 ( 20 分) sin r1

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八、 一个中微子在惯性系 S 中沿 +y 方向以光速 c 运动,求对 S 系以速度 v 沿 +x 方向运动的观察者所观测到的中微子的速度和方向怎样?

【解析】 设运动观察者为 S ′ 系,他所看到的中微子的速度分量为 u ′ , x 洛仑兹变换 = u′ x , u ′ ,则按 u′ y z

ux ? v 1 ? (v c 2 )u x = ? v(? u x = 0),
2

u ′y = (1 ? β 2 )1

?

uy 1 ? (v c )u x
2
2

(令 β = v )

c

= (1 ? v
2 1 u′ z = (1 ? β ) 2

c )
uz

2 1 2

? c(? u y = c)

?

因此,

= 0(? u z = 0), 1 ? (v c 2 )u x u ′ = (u ′ 2 x + u ′ 2 y + u ′ 2 z )1 2

= v 2 + (1 ? v 2
? ? u′ ?v x ?, = tg ?1 ? ? 1? β 2 ?c ? u ′y ? ? ′ O y 轴的夹角。 即中微子运动方向与 a = tg ?1

[

c2 ) ? c2

]

1 2

= c,

即运动中的观测者测得中微子的速度仍是 c ,中微子的运动方向是

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