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高二数学竞赛试题附答案


大学区高二数学竞赛试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本题共 10 个小题,每题 5 分,共计 50 分) 1、 设 P,Q 是两个非空数集, 定义集合 P+Q= {a+b|a∈P ,b∈Q} ,若 P= {0, 2, 5} , ,Q= {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是 A 6 B 7 ( C 8 ) D 9

2

、一个几何体的三视图如图 1 所示,则此 几何体的全面积是 ( A C ) B D

102 ? 6 59 . 84 ? 120 17 .

84 ? 14 2 .
150.

3、 如果 a ? (0, ? ) ,

1 lg(1 ? cos ? ) ? m, lg( )?n 1 ? cos ? , 那么 lgsin ? =( m? 1 n. 1 ( m ? n) 2 .

)

A

m ? n.

B

C

D

1 1 (m ? ) 2 n .

4 、对任意的函数

y ? f ? x?

,在同一个直角坐标系中,函数 ) B D

y ? f ? x-1?

与函数

y ? f ? - x+1?
A

的图像 (

关于 x 轴对称.

关于直线 x ? 1 对称. 关于 y 轴对称

C 关于直线 x ? -1 对称.
? 1? x ? F? ??x 1 ? x ? ? 5、若 ,则下列等式中正确的是 (


? 1? x ? F ?-x ? ? F ? ? ? 1? x ? .
F? ? F ? x ?? ? ? ?x

A

F ? ?2 ? x ? ? ?2 ? F ? x ?
?1? F ? ? ? F ? x? ? x? .

.

B

C

D

6、 已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x -2y 十 2=0 平行, 则 tan 2 ? 的值为 (
4 A. 5 4 B. 3 3 C. 4 2 D. 3



2 2 2 7、 在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c,若 2c ? 2a ? 2b ? ab ,

则△ABC 是( A.钝角三角形

) B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

2 (x ? 3) ? ( y ? 5) 2 ? r 2 有且仅有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1, 8、若圆

则半径 r 的取值范围是( A、 [4,6]

) C、 (4,6 ] D、 (4,6) )

B、[4, 6 )

a 9、等比数列 ? n ? 的前 n 项和为 s n ,若 s10 =10,s30 ? 70 ,则 s40 等于(
A 150. B -200. C
f ( x) ?

150 或-200.

D

400 或-50

10、 .已知

A? x1, y1 ? , B( x2 , y2 )

是函数

2x 1 ? 2 x 图像上不同的两点,若 AB 的中

2 2 点落在 x 轴上,则 x1 ? x2 的取值范围为 (


1 ( , ??) C. 4 1 ( , ??) D. 2

1 ( , ??) A. 16

1 ( , ??) B. 8

二、填空题(本题共 5 个小题,每题 5 分,共计 25 分)
1+sin x 1 cos x ?? cos x 2 sin 11、已知 ,那么 x ? 1 的值是
?? 1 ? x ?? ? , ?1 ? x ? 0 f ? x ? ? ?? 4? ? x ?4 ,0 ? x ? 1



12、已知函数

,则

f ? log3 4? ?



13 、 O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
OP ? OA? ? AB? AC ? ? ?0, ? ??

?

?,

,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的



2 2 14、函数 y ? x ? x ? 0? 的图像在点 (ak , ak ) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak ?1 ,

其中 k ? N ,若 a1 ? 16 ,则 a1 ? a3 ? a5 =
?



15、对任意的

x ? 0,

x ?a x ? 3x ? 1 恒成立,则 a 的取值范围是
2



三、解答题(本题共 4 个大题,共计 75 分) 16、 (本题满分 12
1 1 ? ?2 2 a , b 分)设 为正实数, a b
2 3 , (a ? b) ? 4(ab) ,求 loga b 。

17、 (本题满分 12 分)已知 m 、 x ? R ,向量 a ? ( x, ?m), b ? ((m ?1) x, x) 。 (1)当 m ? 0 时,若 | a |?| b | ,求 x 的取值范围; (2)若 a ? b ? 1 ? m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围。

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 18、 (本题 12 分) 设椭圆的方程为 a , 线段 PQ 是过左焦

点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正 三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围。

19、 (本题 12 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形,DA ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , BF ? 平面 ACE 于点 F ,且点 F 在 CE 上. (1)求证: AE ? BE ; (2)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM ? 2 MB , 试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE .

20、 (本题 17 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:
x、 y ,总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) 成立.

f (1) ?

5 2 ,且对于任意实数

(1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x) 为偶函数; (2) 若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3, ) , 求数列 {an } 的通项公式; (3)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判 断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论.

高二数学竞赛答题卡
时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题(本题共 10 个小题,每题 6 分,共计 60 分) 题号 答案 二、填空题(本题共 5 个小题,每题 5 分,共计 25 分) 11. 12. 13. 14. 15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题.(解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 。 16、

17、

18、

19、

20、

高二数学竞赛试题答案
时间:120 分钟
题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 A

满分:150 分
6 B 7 A 8 D 9 A 10 D

一、选择题(本题共 10 个小题,每题 5 分,共计 50 分)

二、填空题(本题共 5 个小题,每题 5 分,共计 25 分) 11. 0.5 12. 3 13. 重心 14. 21 15.

?1 ? , +? ? ? ?5 ?

三、解答题. (解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 16

当 m ? 1 ? 0时,则? 18.

?m ? 1 ? 0 2 3 ,解得 m ? 3 ? ? 0 ?

19、解:∵BF⊥平面 ACE AE 在平面 ACE 上 ∴BF⊥AE ∵AD⊥平面 ABE AD‖AD ∴BC⊥平面 ABE 又∵AE 在平面 ABE 上 ∴BC⊥AE 又∵BF∩BC 于 B ∴AE⊥平面 BCE ∴AE⊥BE ②∵AM=2MB AB=2√2 ∴AM=4√2/3 BM=2√2/3 要使 MN‖平面 DAE 只需构造 MN 所在平面‖平面 DAE 在三角形 ABM 中,BM/AM=1/2 所以在 BE 上取点 P 使得 BP/EP=1/2 ∵BE=2 ∴BP=2/3 EP=4/3 连接 MP,此时 MP‖AE 在直角三角形 CBE 中, BP/EP=1/2 在 EC 上取点 N 使得 CN/NE=1/2 ∵CE=2√2 ∴CN=2√2/3 NE=4√2/3 连接 NP,NP‖CB‖DA ∴平面 MNP‖平面 DAE ∴当 CN=2√2/3 时,MN 平行平面 DAE

, y ?0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又 20、解:(1)令 x ? 1

f (1) ?

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2

令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f (? y)

? f ( y) ? f (? y) 对任意的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数. 25 17 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . (2)令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,? 4 4 17 5 ? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? ? ? 6 . 2 2
令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,

? f (n ? 2) ?

5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? 2 ? ?

? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列.
∴数列 {an } 的通项公式是 an ? 6 ? 2n?1 . (3)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky ( k ? N ) ,故 ?k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成立
+ +



f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 2) y] ?
∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
+

? f ( y) ? f (0) ? 0

+ ∴对于 m, n ? N ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ??

? f (my ) 成立.

∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |?

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2

则 | x1 |?

q1 p2 pq 1 , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N+ . ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? p1 p2 p1 p2 p1 p2

∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .


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