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椭圆及其标准方程1课件 新人教版选修2-1


椭圆及其标准方程
y
P F1 O F2

y
F1 P

x

O F2

x

一、椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆

的焦距.

问题1:当常数等于|F1F2|时,点M的轨迹 是什么? 线段F1F2 问题2:当常数小于|F1F2|时,点M的轨迹 是什么? 轨迹不存在

椭圆的定义
到两定点F1和 F2的距离之和 为常数(大于F1 F2距离)的点 的轨迹是椭圆.

二、椭圆的标准方程 1)建系设点:
y

M

以F1、F2所在直线 为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立 平面直角坐标系xoy.

F1

O

F2

x

2)列式: 椭圆是由下列集合中的点构成的.

P ? {M || MF1 | ? | MF2 |? 2a}

设|F1F2|=2c(c>0), M(x,y)为椭圆上的任意一点,

则F1(-c,0)、F2(c,0)
又设M与F1、F2距离之和 等于2a,
F1

y M O F2

3)坐标化: ( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 ? 2a 4)化简:(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ? 2a ? 2c , 即 a ? c

?a ? c ? 0
2 2

令 a 2 ? c 2 ? b 2 ,其中 b ? 0 代入上式,得

b x ?a y ?a b
2 2 2 2

2 2

y M



x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b

2

2

F1

O

F2

x

该方程叫做椭圆的标准方程。

焦点是F1(-c,0)、F2(c,0) 这里, ? a ? b c
2 2

2

若F1、F2在y轴上,且 F1(0,-c)、F2(0,c)
x y M F1 O F2 x y

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

思考:
在以上化简的过程中,根号如何消去的? 课本P96习题8.1第1题

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上 一点到两焦点距离的和等于10; 2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且经过 3 5 点 (? , ) ; 2 2

练习:课本P95 EX 1,2,3

练习1:

已知椭圆的焦距是6,椭圆上的点到两个 焦点的距离的和等于10,写出椭圆的标准方程.

解:因为|F1F2|=2c=6,2a=10,即c=3,a=5,所以
b2=a2-c2=25-9=16. 当焦点在x轴上时,得椭圆的标准方程

当焦点在y轴上时,得椭圆的标准方程

例2、已知B、C是两个定点,|BC|=6,且 △ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程。

?问题1:画出草图,分析点A的轨迹是怎 样的?
?问题2:要求点A的轨迹方程,应怎样 建立坐标系?

例2、已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于16,求顶点A的轨迹方程。 变题一:已知B(-3,0),C(3,0),|CA|、|BC|、 |AB|成等差数列,求A点的轨迹方程。 变题二:在△ABC中, B(-3,0),C(3,0), sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程。

小结:
1)求点的轨迹要建立适当的坐标系; 2)求出曲线方程后,要注意检查一下方程的解为坐标 的点是否都符合题意,若有不合题意的点,应在所得 方程后注明限制条件。

?练习:△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)
和(6,0),边AC和BC所在直线的斜率之积为-4/9,求顶 点C的轨迹方程.

小结:1)椭圆的定义; 2)椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时 x ? y ? 1 (a ? b ? 0) 2 2 a b
2 2

y 2 x2 当焦点在y轴上时 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

a ?b ?c
2 2

2

课堂练习
1、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出a、 b、c的值

(1)因为x项的分母大,故椭圆的焦点在x轴上。其中 a=5,b=4,c=3 (2)因为y项的分母大,故椭圆的焦点在y轴上。其中 a=10,b=8,c=6

3、已知椭圆

上一点P到椭圆一个焦点 的距离为3,则P到另一个焦点的距离是( D ) A 2 B 3 C 5 D 7

4、椭圆 A 5 B 3

的焦距为2,则m的值为( C ) C 3或5 D 6

5、已知F1,F2是椭圆 的两个焦点, AB是过F1的弦,则三角形ABF2的周长是_____. 20 6、已知?ABC的周长为36,且AB长为10,求 ?ABC的顶点C的轨迹方程。

(y?0)

课堂总结:
1、椭圆的定义 平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等 于常数(记|MF1|+|MF2|=2a)的点M的轨迹是: 椭圆 (1)当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为_____; 线段F1F2 (2)当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为_________;. 不存在 (3)当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹________。 2、椭圆的标准方程 -----X型 ----Y 型

其中椭圆的焦点的位置由___________________ X2、y2项的分母的大小 来确定。

练习2
1)已知椭圆的焦距是4,椭圆上的点到两个焦 点的距离的和等于10,写出椭圆的标准方程。 2)“一个动点到两个定点的距离之和为常数” 是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )条件。 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)即不充分也不必要 3)若方程 所表示的曲线是椭圆,则m 的取值范围是_________.

4)已知椭圆的方程为11x2+20y2=220,那么 它的焦距为____________. 5)椭圆25x2+16y2=400上点P到椭圆一个焦点 距离是3,则点P到另一个焦点的距离为_____. 6)若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是(0,4), 则k的值为______. 小结: 1)椭圆的定义及其标准方程。 2)如何根据椭圆的标准方程知道椭圆 的焦点位置?

例3 如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径 为2,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′, 求线段PP′中点M的轨迹。

?问题1:P点轨迹是什么?

?问题2:M点坐标与P点坐 标有什么联系?

? (x0,y0) ? (x,y)

小结:1)利用中间变量求点的轨迹方程的方法
是解析几何中常用的方法; 2)将圆按照某个方向均匀地压缩(拉长), 可以得到椭圆。

练习:已知点P是椭圆 的动点,O是坐标原点,求线段OP的中点M 的轨迹方程.

作业:
1)P96习题8.1
2)已知?ABC的一边BC长为6,周长为16,求顶 点A的轨迹方程。

3)已知P是椭圆

上一点,F1,F2为焦点,

且?F1PF2=600 ,求三角形PF1 F2的面积。


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