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(新课标Ⅱ第四辑)2016届高三数学上学期第四次月考试题 文


第四次月考数学文试题
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求) 1. 设全集 U ? R, A ? x 2 ( )

?

x? x ? 2 ?

? 1 , B ? x y ? ln ?1 ? x ?

,则如图所示阴影部分表示的集合为
C.? x 0 ? x ? 1?
)

?

?

?

A.? x x ? 1?

B.? x 1 ? x ? 2?

D.? x x ? 1?

2.纯虚数 z 满足 z ? 2 ? 3 ,则纯虚数 z 为 ( A. ?

5i

B.

5i


C. ?

5i

D. 5 或 ?1

3.以下说法错误 的是( ..

2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”.
2

B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题.
2 D.若命题 p: ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .
2

4.如图是一个空间几何体的三视图,这个几何体的体积是(



A. 2π B. 3π C. 6π D. 9π 2 2 5.已知圆 C1: (x+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为( A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1
( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 1



B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

D.

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



1

A. 1

B. ﹣1

C. ﹣2

D.

0

7.定义在 R 上的函数满足以下三个条件: (1) 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) (2) 对任意的 x1 , x2 ? ?0, 2? 且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (3) 函数 f ( x ? 2) 的图像关于 y 轴对称. 则下列结论正确的是 ( A. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) C. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) ) B. D.
?

f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) f (4.5) ? f (6.5) ? f (7)

8.等腰三角形 ABC 中, AB ? AC ? 5, ?B ? 30 , P为BC 边中线上任意一点,则 CP ? BC 的值为 ( A、 )

??? ? ??? ?

75 2

B、 ?

25 2

C、5

D、 ?

75 2


9.已知各项为正的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值为( A.16 B.8 C. 2 2 D.4

11.如图所示,F1,F2 是双曲线

(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点 O 为圆心,|OF1|

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为 A,B,且△F2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为 ( )

2

A.

+1

B.

+1

C.

D.

12.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 有一个零点的概率为( A. ) B. 第Ⅱ卷

在区间[﹣1,1]上有且仅

C.

D.

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.在等差数列{an}中,若 a1+a5+a9= ,则 tan(a4+a6)= .

14.已知抛物线 y 2 ? 8x ,焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直 线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么 PF ? 15.已知 x、y 满足条件 ,则 u= .

的取值范围是

.
2

16. 已知正实数 x, y 满足 x ? y ? 3 ? xy , 若对任意满足条件的 x, y , 都有 ( x ? y ) ? a ( x ? y ) ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题(共 6 小题,共 70 分,每题要有必要的解题步骤和文字说明) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos( x ?
2? 3 ) ? m cos x(m ? R) 的图象过 P(0, ? ) ,且△ABC 内角 A、B、C 所对应边 3 2

3 ,a ? 2 6 ,c ? 3 2 (I)求 m 的值及 f ( x ) 的单调递增区间

分别为 a、b、c,若 f ( B) ? ?

(II)求△ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观 众进行调查,其中女性有 55 名。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育 迷”中有 10 名女性。
3

(1) 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料判断你是否有 95%以上的把握认为“体 育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育项目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”, 已知“超级体育迷”中有 2 名女 性,若从“超级体育迷”中任意 选取 2 人,求至少有 1 名女性观 众的概率。 体育迷 合计

19. (本小题满分 12 分) 如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中点,DE⊥ 面 CBB1. (1)证明:DE∥面 ABC; (2)求四棱锥 C﹣ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比.

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e ?
3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心, 3

椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直线 MA1,MA2 的斜率分别为 K MA , K MA ,证明 K MA ? K MA 为定值.
1 2 1 2

21. (本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x(a, b ? R) ,在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

4

(2)若对于区间 [ ?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? c ,求实数 c 的最小 值; (3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

请从下面所给的第 22、23、24 三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上, CA 切圆 O 于 A 点, ?ACB 的平分线 DC 交 AE 于点 F , 交 AB 于 D 点.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? t co s ? , ( t 为参数, ? 为倾斜角,且 ? ? )与曲线 2 ? y ? t sin?

x2 y 2 ? ? 1 交于 A, B 两点. 16 12
(1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐标; (2)求 PA ? PB 的最大值。 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? a ?a ? 0? . (1)作出函数 f ? x ? 的图象; (2)若不等式 f ?x ? ? 5 的解集为 ?? ?,?2? ? ?b,??? ,求 a , b 值 参考答案

2.A 【解析】设 z ? bi(b ? R) ,则

b 2 ? 4 ? 9 ? b ? ? 5 ,则 z ? ? 5i
5

3.C 【解析】若 p ? q 为假命题,则只需 p 、 q 至少有一个为假命题即可. 4.D 【解析】由三视图可知,该几何体是一个由底面半径为 2 高为 3 的圆柱中间挖去一个底面半径为 1 的等高圆柱后余下的部分, 2 2 所以,其体积为 π ×(2 ﹣1 )×3=9π . 故选 D. 5.B 2 2 【解析】圆 C1:(x+1) +(y﹣1) =1 的圆心坐标(﹣1,1),关于直线 x﹣y﹣1=0 对称的圆心坐标 为(2,﹣2) 2 2 所求的圆 C2 的方程为: (x﹣2) +(y+2) =1 故选 B 6.D 【解析】 :第 1 次循环,r=1,s=0, 第 2 次循环,r=1,s=﹣1, 第 3 次循环,r=0,s=﹣1, 第 4 次循环,r=﹣1,s=0, 不满足判断框的条件,输出结果 S=0. 故选 D. 7.A 【解析】 :由①可得函数的图象关于直线 x=4 对称; ,由②可得函数在 ?0, 2? 上是增函数; 由③可得函数 f(x+2)为偶函数,故 f(2﹣x)=f(2+x) ,故函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 综上可得,函数 f(x)是周期等于 4 的周期函数,且函数在 ?0, 2? 上是增函数,在 ?2, 4? 上是减函数. 再由 f(4.5)=f(0.5) ,f(7)=f(3)=f(2+1)=f(2﹣1)=f(1) , f(6.5)=f(2.5)=f(2+0.5)=f(2﹣0.5)=f(1.5) , 故有 f(4.5)<f(7)<f(6.5) , 故选 A. 8.D 【解析】在等腰三角形 ABC 中, AB ? AC , ?B ? 30 ,所以 ?B ? ?C ? 30 , ?A ? 120 ,所以设
? ? 0

BC 边上的中线为 AD ,所以 AD ? BC . DP ? BC .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 CD 3 CD , 即 cos 30? ? ,所 以 CP?BC ? (CD ? DP )?BC ? CD ?BC ? ?2CD , 又 cos C ? ? 5 2 AC
CD ?
9.B 【解析】 :由已知 a4 a14 ? (2 2)2 ? 8 ,再由等比数列的性质有 a4 a14 ? a7 a11 ? 8 , 又 a7 ? 0 , a11 ? 0 , 2a7 ? a11 ? 2 2a7 a11 ? 8 ,故选 B.

??? ? ??? ? ??? ?2 5 3 5 3 2 75 75 75 ,所以 CD 2 ? ( ,所以 CP ?BC ? ?2CD ? ?2 ? ) ? ? ? ,选 D. 2 2 4 4 2

6

11.B 【解析】 :连接 AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°, 由焦距的意义可知 F2F1=2c,AF1=c, 由勾股定理可知 AF2= , 由双曲线的定义可知:AF2﹣AF1=2a,即 ﹣c=2a, 变形可得双曲线的离心率 = =

故选 B 12.C 【解析】 :由题意知本题是一个几何概型, 2 ∵a∈[0,1], ∴f'(x)=1.5x +a≥0,∴f(x)是增函数若在[﹣1,1]有且仅有一个零点,则 f (﹣1)?f(1)≤0 ∴(﹣0.5﹣a﹣b) (0.5+a﹣b)≤0,即(0.5+a+b) (0.5+a﹣b)≥0 a 看作自变量 x,b 看作函数 y, 由线性规划内容知全部事件的面积为 1×1=1,满足条件的面积为 故选 C. 13. 【解析】 :由等差数列的性质可知,a1+a5+a9=3a5= 则 tan(a4+a6)=tan2a5= = ,∴a5= ∴概率为 = ,

7

故答案为:

14.8. 【解析】 由抛物线的方程 y 2 ? 8x 可知焦点 F (2, 0) , 准线方程为 x ? ?2 .由题意可设 A(?2, m) , 则 k AF ?

m?0 m ? ? ? ? 3 ,所以 m ? 4 3 . 因为 PA ? l ,所以 yP ? 4 3 , 代入抛物线 ?2 ? 2 4

y2 ? 8x ,得 xP ? 6 .,所以 PF ? PA ? 6 ? (?2) ? 8 .
1 ? 15. ? ,1 ? ?4 ? ?

【解析】 :不等式组

表示的区域如图,

16.

(??,

37 ] 6
2 2

【解析】 要使 ( x ? y ) ? a ( x ? y ) ? 1 ? 0 恒成立, 则有 ( x ? y ) ? 1 ? a ( x ? y ) , 即 a ? ( x ? y) ? 恒成立。由 x ? y ? 3 ? xy 得 x ? y ? 3 ? xy ? (

1 x? y

x? y 2 ) ,即 ( x ? y ) 2 ? 4( x ? y ) ? 12 ? 0 解得 2

设t ? x ? y , 则t ? 6 , 函数 y ? ( x ? y ) ? x ? y ? 6 或 x ? y ? ?2(舍去) 时,单调递增,所以 y ? t ? 的最小值为 6 ?

1 1 在t ? 6 ?t? , x? y t

1 t

1 37 37 ,所以 a ? ,即实数 a 的取值范围是 ? 6 6 6
8

(??,

37 ]。 6
)﹣m=﹣ ∴m=1???????2 分 sinx﹣cosx= sinx﹣ cosx= sin(x﹣

17. 解: (I)∵f(0)=cos(﹣ ∴f(x)=cos(x﹣

)﹣cosx=﹣ cosx+

)???????4 分 ∴2kπ ﹣ 分 ∴f(x)的单调递增区间为[2kπ ﹣ (Ⅱ)f(B)= sin(B﹣ <B﹣ × )=﹣ < ,2kπ + , ,∴B﹣ , ](k∈Z) ???????7 分 ≤x﹣ ≤2kπ + (k∈Z) ,∴2kπ ﹣ ≤x≤2kπ + (k∈Z) ,???????6

∴sin(B﹣ =﹣

)=﹣ , ???????10 分 ???????12 分

∵0<B<π ,∴﹣

,∴B=

则 S△ABC= acsinB= ×2

× =

∴△ABC 的面积为

18. 解: (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,??1 分 从而完成 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100 ???????2 分

将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得

100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15? 100 k? ? ? 3.030 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
2

???????5 分

因为 3.030 ? 3.841 ,所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关。 ????6 分 (2)由频率分布直方图知“超级体育迷”为 5 人, 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为

? ? ?? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a2 , a3 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ?b1, b2 ??
其中 ai 表示男性, i ? 1, 2,3 , b j 表示女性 j ? 1, 2 。

? 由这 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的。 用 A 表示“任取 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则
A ? ?? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ?b1, b2 ??
事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P ? A ? ? 19. 解: (1)连结 EO、OA,????1 分 ∵E、O 分别为 B1C、BC 的中点,∴EO∥BB1,EO= BB1????2 分
9

????10 分 ????12 分

7 。 10

又∵AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线, ∴AA1∥BB1、AA1=BB1,可得四边形 AA1B1B 是平行四边形, ∵平行四边形 AA1B1B 中,DA∥BB1,DA= BB1,∴DA∥EO,且 DA=EO 四边形 AOED 是平行四边形,可得 DE∥OA????4 分 ∵DE?面 ABC,OA? 面 ABC,∴DE∥面 ABC;????6 分 (2)由题意,DE⊥面 CBB1,由(1)知 DE∥OA, ∴OA⊥面 CBB1,∴结合 BC? 面 CBB1,可得 AO⊥BC,得 AC=AB. ∵AB⊥AC 且 AA1⊥AC,AB、AA1 是平面 AA1B1B 内的相交直线, ∴AC⊥平面 AA1B1B,即 AC 为四棱锥 C﹣ABB1A1 的高.????9 分 设圆柱高为 h,底半径为 r,则 V 圆柱=π r h,V 四棱锥= (
2

)?(

)h=



∴四棱锥 C﹣ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比为

=

.????12 分

20.解: (I)设椭圆的方程为

∵离心率

,∴a =3c ,∴b =2c

2

2

2

2

∵直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切 ∴b= ∴c =1 2 ∴a =3 ∴椭圆的方程为 ;????4 分 ,0) ,A2( ,0) ,
2

(Ⅱ)证明:由椭圆方程得 A1(﹣ 设 M 点坐标(x0,y0) ,则 ∴



=

×

=

=

=﹣

10



是定值﹣ 是定值.????12 分

21 解(1)? f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 根据题意, 得? 分 (2)令 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 ? f (?1) ? 2, f (1) ? ?2 , f (?2) ? ?2, f (2) ? 2

? f (1) ? ?2, ? f ?(1) ? 0,

即?

?a ? 1, ?a ? b ? 3 ? ?2, 解之得 ? ? f ( x) ? x 3 ? 3x. b ? 0 . 3 a ? 2 b ? 3 ? 0 , ? ?

????4

?当x ? [?2, 2] 时, f ( x)max ? 2, f ( x)min ? ?2.
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x)max ? f ( x)min |? 4 所以 c ? 4. 所以 c 的最小值为 4. ????8 分 ∴切线的斜率为 3x0 ? 3.
2

3 (3)设切点为 ( x0 , y0 ), 则y0 ? x0 ? 3x0 ∵ f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3 ,
3 x0 ? 3x0 ? m 3 2 即 2 x0 ? 6x0 ? 6? m ? 0, x0 ? 2

则 3x0 ? 3 ?
2

3 2 因为过点 M (2, m)(m ? 2) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个

不同的实数解 即函数 g ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? 6 ? m 有三个不同的零点, 则 g ?( x) ? 6 x ? 12 x.
2

令 g ?( x) ? 0, 解得x ? 0或x ? 2. 0 0 极大值 (0,2) — 2 0 极小值 (2, +∞) +

x
g ?( x ) g ( x)

(??, 0)
+

? g (0) ? 0 ?? ? g (2) ? 0

即?

?6 ? m ? 0 ,∴ ? 6 ? m ? 2 ?m ? 2 ? 0

故所求实数 m 的取值范围为(-6,2). ????12分 22解: (I)? AC 为圆 O 的切线,∴ ?B ? ?EAC 又知 DC 是 ?ACB 的平分线, ∴ ?ACD ? ?DCB ∴ ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD 即 ?ADF ? ?AFD 又因为 BE 为圆 O 的直径,
? ∴ ?DAE ? 90 ∴ ?ADF ?

1 180 ? ? ?DAE ? 45? 2

?

?

?????? 4分

11

AC AE ? (II)? ?B ? ?EAC , ?ACB ? ?ACB ,∴ ?ACE ∽ ?ABC ∴ ?6分 BC AB
又? AB ? AC , ∴ ?B ? ?ACB ? 30? , ∴在 RT ?ABE 中, ?????? 8分

AC AE 3 ? ? tan?B ? tan30? ? BC AB 3

?????? 10分

23.(I)? ?

? x ? 2 ? t cos? ? ( t 为参数, ? 为倾斜角,且 ? ? ) 2 ? y ? t sin ?

?

y t sin ? ? ? tan ? ,? 直线l的一般方程x tan ? ? y ? 2 tan ? ? 0 x ? 2 t cos ? 直线l通过的定点P的坐标为(2,0) ????5分

(Ⅱ)? l 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos? ( t 为参数) , ? y ? t sin ?

椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点坐标为 P?2,0? , 16 12
2 2

?3?2 ? t cos? ? ? 4?t sin ? ? ? 48 ? 0 ,即 ?3 ? sin 2 ? ?t 2 ? 12cos? ? t ? 36 ? 0 ,
? 直线 l 过椭圆的右焦点,? 直线 l 恒与椭圆有两个交点, ? 36 ? PA PB ? ,? 0 ? ? ? ? , 且 ? ? , 2 2 3 ? sin ?

?0 ? sin 2 ? ? 1,? PA PB 的最大值为12.????????????10分
?? 2 x ? 1 ? a, ? x ? ?1? ? 24. 解:(Ⅰ) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? a ? ? a ? 1, ?? 1 ? x ? a ? ,-----------2分 ? 2 x ? 1 ? a, ? x ? 2 ? ?

函数 f ? x ? 图象如图所示-------------------4分 (Ⅱ)由题设知: x ? 1 ? x ? a ? 5

y

12
5 4 3 2

13


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