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圆锥曲线题型归类总结

时间:2015-10-01


高考圆锥曲线的常见题型
题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义: (1)椭圆 (2)椭圆 (3)椭圆 2、定义的应用 (1)寻找符合条件的等量关系 (2)等价转换,数形结合 3、定义的适用条件: 典型例题 例 1、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨 迹方程。

例 2、方程

表示的曲线是

题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1、椭圆:由 2、双曲线:由 , , 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 典型例题

x2 y2 例 1、已知方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 m ?1 2 ? m

例 2、k 为何值时,方程

x2 y2 ? ? 1 的曲线: 9?k 5?k

(1)是椭圆; (2)是双曲线. 题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角 形)问题 1、椭圆焦点三角形面积 S ? b 2 tan

?
2

;双曲线焦点三角形面积 S ? b 2 cot

?
2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、 m ? n, m ? n, mn, m 2 ? n 2 四者的关系在圆锥曲线中的应用; 典型例题 例 1、椭圆
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )上 一 点 P 与 两 个 焦 点 F F 1, 2 的张角∠ 2 2 a b

,求证:△F1PF2 的面积为 b 2 tan F P F ? 1 2?

? 。 2

例 2 、已知双曲线的离心率为 2, F1、 F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 , .求该双曲线的标准方程

题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值; 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值 或范围; 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

例 1、已知 F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的两焦点,以线段 F1 F2 为 a2 b2

边作正三角形 MF1 F2 , 若边 MF1 的中点在双曲线上, 则双曲线的离心率是 ( A. 4 ? 2 3 B.



3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1

例 2、双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P a 2 b2

为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

例 3、椭圆 G :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,椭圆上存在 a 2 b2

????? ????? 点 M 使 F1M ? F2 M ? 0 .

求椭圆离心率 e 的取值范围;

例 4、已知双曲线 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直 a 2 b2

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, 2] (B) (1, 2) (C) [2, ??) (D) (2, ??)

题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

点在椭圆内 ?

x2 y2 ? ?1 a 2 b2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2 x2 y2 ? ?1 a 2 b2

点在椭圆上 ?

点在椭圆外 ?

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:

? >0 ? 相交 ? =0 ? 相切 ? <0 ? 相离
3、弦长公式: (需要注意二次项系数为 0 的情况)

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? k 2 AB ? 1 ?

? a

1 1 1 ? y1 ? y 2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 2 2 k k k a

4、圆锥曲线的中点弦问题: 1、伟达定理: 2、点差法: (1)带点进圆锥曲线方程,做差化简 (2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系 典型例题 例 1、双曲线 x2-4y2=4 的弦 AB 被点 M(3,-1)平分,求直线 AB 的方程.

例 2、 已知中心在原点, 对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 L:x+y=1 交于 A,B 两点, C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2 ,O 为坐标原点,OC 的斜率为 2 /2,求椭圆的 方程。

题型六:动点轨迹方程:

1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; 2、求轨迹方程的常用方法: (1)直接法:直接利用条件建立 之间的关系 ;

例 1、 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 程.

的距离之和等于 4, 求 P 的轨迹方

(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求 曲线的方程,再由条件确定其待定系数。 例 2、如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) ,端点 A、B 到 x 轴距离

之积为 2m ,以 x 轴为对称轴,过 A 、 O 、 B 三点作抛物线,则此抛物线方程 为

(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接 写出动点的轨迹方程; 例 3、由动点 P 向圆 则动点 P 的轨迹方程为 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,
0

例 4、点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 方程是_______

的距离小于 1,则点 M 的轨迹

例 5、一动圆与两圆⊙M: 圆圆心的轨迹为

和⊙N:

都外切,则动

(4)代入转移法:动点

依赖于另一动点 的代数式表示

的变化而变化,并且 ,再将 代入

又在某已知曲线上,则可先用 已知曲线得要求的轨迹方程:

例 6、如动点 P 是抛物线

上任一点,定点为

,点 M 分

所成的

比为 2,则 M 的轨迹方程为__________

(5)参数法:当动点 时,可考虑将 通方程)。

坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用

均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普

例 7、过抛物线 M 的轨迹方程是

的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点

题型七: (直线与圆锥曲线常规解题方法) 一、设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别) 二、设交点坐标; (提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 三、联立方程组; 四、消元韦达定理; (提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简 单) 五、根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦 AB 为直径的圆过点 0” (提醒:需讨论 K 是否存在)

??? ? ??? ? ? OA ? OB ? K1 ? K2 ? ?1 ? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
②“点在圆内、圆上、圆外问题”

? “直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于 0 问
题”

? x1 x2 ? y1 y2 >0;
③“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K1 ? K 2 ? 0 或 K1 ? K 2 ) ;

④“共线问题”

??? ? ??? ? (如: AQ ? ?QB ? 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ;
(如:A、O、B 三点共线 ? 直线 OA 与 OB 斜率相等) ; ⑤“点、线对称问题” ? 坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题” ; ? 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择) 六、化简与计算; 七、细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现 0. 基本解题思想: 1、 “常规求值”问题:需要找等式, “求范围”问题需要找不等式; 2、 “是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结 果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系 数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函 数的最值) 、三角代换法(转化为三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值 不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具 有可行性,关键是积累“转化”的经验; 7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来, 即可自然而然产生思路。 典型例题: 例1、已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 线,垂足为 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交 于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求
l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

例 2、如图半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD⊥

AB,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动
点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之间, 设
DM =λ ,求λ 的取值范围. DN

例 3、设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : (1)设椭圆 C 上点 ( 3, 焦点坐标;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点。 a 2 b2

3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和 2

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中 点 B 的轨迹方程; (3) 设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, 过原点的直线 L 与椭圆相交于 M ,N 两点, 当直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k PM ,k PN ,试探究 kPM ? K PN 的

值是否与点 P 及直 线 L 有关,并证明你的结论。

例 4、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离 的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) , 且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的 坐标.

例 5、已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为 圆在第一

2 , P 是椭 2

???? ???? ? 象限弧上一点,且 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分
别交椭圆 于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值;

典型例题: 例1、

由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ? ∴

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64

?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2 ? 8 2 a ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时,由③得,
l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

例 2、解:(1)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角 坐标系,? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1. ∴曲线 C 的方程为
x2 +y2=1. 5

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+2, 代入
x2 2 2 2 +y =1,得(1+5k )x +20kx+15=0. 5

Δ = (20k)2-4×15(1+5k2)>0,得 k2> .由图可知
20k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 5k 2 由韦达定理得 ? ? x ? x ? 15 1 2 ? 1 ? 5k 2 ?

3 5

DM x1 ? =λ DN x2

将 x1=λ x2 代入得
? 400k 2 2 2 ?(1 ? ? ) x2 ? ? (1 ? 5k 2 ) 2 ? ??x 2 ? 15 2 ? 1 ? 5k 2 ?

两式相除得

(1 ? ?) 2 400k 2 80 ? ? 2 ? 15(1 ? 5k ) 3(5 ? 1 ) k2 3 1 5 1 20 ? k 2 ? ,? 0 ? 2 ? ,?5 ? 2 ? ,即4 ? 5 3 k k ?5 3

80 16 ? 1 3 3( 2 ? 5) k

?4 ?

(1 ? ?) 2 16 DM 1 ? ,? ? ? ? 0,? 解得 ? ? ? 3 ? 3 DN 3


?? ? x1 DM ? , M 在 D、N 中间,∴λ <1 x2 DN



又∵当 k 不存在时,显然λ = 综合得:1/3 ≤λ <1.

DM 1 (此时直线 l 与 y 轴重合) ? DN 3

例 3、解: (1)由于点 ( 3, 分 椭圆 C 的方程为 分

( 3) 3 ) 在椭圆上, 2 ? a 2

2

(

3 2 ) 2 ?1 b2

得 2 a =4, ?2

x2 y 2 ? ?1 4 3

,焦点坐标分别为 (?1, 0), (1, 0)

??4

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y) 分 把 K 的坐标代入椭圆 分
1 y2 ?1 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? 3 2 4

?????????5

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3

?????7

?????????8

分 (3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y) ,
M , N , P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 , ? ?1 a 2 b2 a 2 b2

??

10 分

kPM ? K PN =

b2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 ? = ? ? 2 a2 x ? x0 x ? x0 x ? x0 2

???????????

13 分 故:kPM ? K PN 的值与点 P 的位置无关, 同时与直线 L 无关, 14 分
x2 y 2 ? 1. 例 4、解: (Ⅰ)椭圆的标准方程为 ? 4 3

??????

????(5 分)

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? 1. ? ? 3 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 2 3 ? 4 k ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 ?x2 ? 3 ? 4k 2 ?

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?
0) , 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点 D(2,

3(m2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

? k AD kBD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2
3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? y1 y2 ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,?
?9m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .

解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 , 7

0) ,与已知矛盾; 1、当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,

2、当 m2 ? ?

2k 2? ?2 ? ? 0? . 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 7 7? ?7 ? ?

?2 ? 0? . 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? , ?7 ?

????(14 分)

y 2 x2 ? ?1 F1 (0, 2), F2 (0, ? 2) ,设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) 4 2 。 ???? ???? ? ???? ???? ? 2 2 则 PF1 ? (?x0 , 2 ? y0 ), PF2 ? (?x0 , ? 2 ? y0 ), ? PF ? PF 1 2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1

例 5、解(1)

? 点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

2 x0 y2 ? 0 ? 1. 2 4

2 ? x0 ?

2 4 ? y0 2

2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 y0 ? 2 ,则点 P 的坐标为 (1, 2) 从而 2

(2) 由 (1) 知 PF1 // x 轴, 直线 PA、 PB 斜率互为相反数, 设 PB 斜率为 k (k ? 0) ,
? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 则 PB 的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ?1) 由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? ?2 4

(2 ? k 2 ) x2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k )2 ? 4 ? 0
2k (k ? 2) k 2 ? 2 2k ? 2 设 B( xB , yB ), 则 xB ? ?1 ? 2 ? k2 2 ? k2

同理可得 xA ?

k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k ,则 xA ? xB ? 2 2?k 2 ? k2

8k y A ? yB ? ?k ( x 1 ) ? k( B x ?1 ) ? 2 A ? 2?k y ? yB ? 2 为定值 所以:AB 的斜率 k AB ? A xA ? xB

例 6、 解: (1)由 2 得 tan? ? 4
3 t

3?

1 4 3 OF ? FP t sin ? | OF | ? | FP | ? sin ? , 得 | OF | ? | FP |? ,由 cos? ? ? 2 sin ? 4 3 | OF | ? | FP |



. ????????3



?4 ? t ? 4 3

?1 ? tan? ? 3

( ?? ?[0,? ] ∴夹角 ? 的取值范围是

? ? , ) ?? 4 3

6分 (2) 设P( x0 , y0 ),则FP( x0 ? c, y0 ), OF ? (c,0).
??? ? ??? ? ?OF ? FP ? ( x0 ? c, y0 ) ? (c, 0) ? ( x0 ? c)c ? t ? ( 3 ? 1)c 2 ? 1 ??? 4 3 S?OFP ? | OF | ? | y0 |? 2 3 ? y0 ? ? 2 c ? x0 ? 3c

???8 分

??? ? 4 3 2 4 3 2 2 ? | OP |? x0 ? y0 ? ( 3c)2 ? ( ) ? 2 3c ? ? 2 6 ??????10 分 c c

∴当且仅当 3c ?
? OM ?

4 3 ,即c ? 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP ? (2 3,?2 3 ) c

3 (2 3,2 3 ) ? (0,1) ? (2,3) 3 3

或 OM ? 3 (2 3,?2 3) ? (0,1) ? (2,?1) 椭圆长轴
2a ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 8

????12 分

? a ? 4, b 2 ? 12

或 2a ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? (2 ? 2) 2 ? (?1 ? 0) 2 ? 1 ? 17 故所求椭圆方程为

?a ?

1 ? 17 2 1 ? 17 ,b ? 2 2

x2 y2 ? ? 1 .或 x 2 ? y 2 ? 1 ????14 分 16 12 9 ? 17 1 ? 17
2 2


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