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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题:专题5第二讲 点、直线、平面之间的位置关系


专题五
第二讲

立体几何

点、直线、平面之间的位置关系

1.公理 1

如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线

在此平面内.此公理可以用来判断直线是否在平面内. 2.公理 2 3.公理 3 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有

一个公共点,那么这两个

平面有且只有一条过该点的公共直线. 4.公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果两个不重合的平面 α, β 有一条公共直线 a, 就说平面 α, β 相交,并记作 α∩β=a.(√) (2)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于 A 点的任 意一条直线.(×) (3)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于 A 点,并 记作 α∩β=A.(×) (4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.(×)
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(5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(√)

1.给出下列命题,正确命题的个数是(B) ①梯形的四个顶点在同一平面内 必重合 ③三条平行直线必共面 ②有三个公共点的两个平面

④每两条都相交且交点不相同的

四条直线一定共面 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

2.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b∥c,则直线 a 与 c(D) A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.一定垂直 3. (2015· 北京卷)设 α, β 是两个不同的平面, m 是直线且 m?α , “m∥β ”是“α∥β”的(B) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 m∥β 时,过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交, 因而 m∥βD/?α∥β;当 α∥β 时,α内任一直线与 β 平行,因为 m?α,所以 m∥β.综上知, “m∥β”是“α∥β”的必要而不充分

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条件. 4.(2015· 广东卷)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交线,则下列命题正确的是(D) A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 解析:由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行,故 l1,l2 中 至少有一条与 l 相交.

4

一、选择题 1.l1,l2 是两条异面直线,直线 m1,m2 与 l1,l2 都相交,则 m1, m2 的位置关系是(D) A.异面或平行 C.异面 B.相交

D.相交或异面

解析:若 m1,m2 过直线 l1 或 l2 上的同一个点,则 m1,m2 相交; 若 m1,m2 与直线 l1,l2 有四个不同交点,则 m1,m2 异面. 2.在下列命题中,不是公理的是(A) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有 的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有 一条过该点的公共直线 3. (2015· 福建卷)若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α, 则“l⊥m”是“l∥α”的(B) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵ m⊥α,若 l∥α,则必有 l⊥m,即 l∥α?l⊥m. 但 l⊥m?/ l∥α,∵ l⊥m 时,l 可能在 α 内.
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故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件. 4.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α ,l?β ,则(D) A.α ∥β ,且 l∥α B.α ⊥β ,且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 解析:结合给出的已知条件,画出符合条件的图形,然后判断得 出. 根据所给的已知条件作图,如图所示.

由图可知 α 与 β 相交,且交线平行于 l.故选 D. 5.如图,已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平 面 ACD,PA=2AB,则下列结论正确的是(D)

A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE
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D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° 解析:解法一 由三垂线定理,因 AD 与 AB 不相互垂直,排除

A;作 AG⊥PB 于 G,因平面 PAB⊥平面 ABCDEF,而 AG 在平面 ABCDEF 上的射影在 AB 上,而 AB 与 BC 不相互垂直,故排除 B; 由 BC∥EF,而 EF 是平面 PAE 的斜线,故排除 C.故选 D. 解法二 设底面正六边形边长为 a, 则 AD=2a, PA=2AB=2a,

由 PA⊥平面 ABC 可知 PA⊥AD,又 PA=AD,所以直线 PD 与平面 ABC 所成的角为∠PDA=45°.故选 D. 6.下图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2 是两条侧面对角线, 则在正方体中,l1 与 l2(D)

A.互相平行 C.异面且夹角为 二、填空题 π 3

B.异面且互相垂直 D.相交且夹角为 π 3

7.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平 行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l, 若 α 内有一条直线垂直于 l, 则α和β 垂直;
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④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号是①②. 解析: 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关 定理. 8.如图,边长为 a 的正三角形 ABC 中线 AF 与中位线 DE 相交 于 G,已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形,现给出 下列命题,其中正确的命题有①②③(填序号).

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 ②三棱锥 A′?FED 的体积有最大值 ③恒有平面 A′GF⊥平面 BCED ④异面直线 A′E 与 BD 不可能互相垂直 解析:由题意知 AF⊥DE,∴A′G⊥DE,FG⊥DE, ∴DE⊥平面 A′FG,DE?平面 ABC, ∴平面 A′FG⊥平面 ABC,交线为 AF, ∴①③均正确. 当 A′G⊥平面 ABC 时,A′到平面 ABC 的距离最大. 故三棱锥 A′?FED 的体积有最大值.故②正确. 当 A′F2=2EF2 时,EF⊥A′E, 即 BD⊥A′E,故④不正确. 三、解答题
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9 . (2015· 江苏卷 ) 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1,设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E.

求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 解析:(1)由题意知,E 为 B1C 的中点, 又 D 为 AB1 的中点,因此 DE∥AC. 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC?平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC?平面 ABC,所以 AC⊥CC1. 又因为 AC⊥BC,CC1?平面 BCC1B1,BC?平面 BCC1B1, BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 又因为 BC1?平面 BCC1B1,所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C?平面 B1AC,AC∩B1C=C, 所以 BC1⊥平面 B1AC.
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又因为 AB1?平面 B1AC,所以 BC1⊥AB1. 10.(2014· 福建卷)在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1, AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图所示.

(1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点, 求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值. 分析:第(1)问根据面面垂直、线面垂直的性质,证明线线垂直; 第(2)问利用第(1)问的结论,建立空间直角坐标系,写出点与向量的 坐标,再用向量法求线面角的正弦值. 解析: (1)∵平面 ABD⊥平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, AB?平面 ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面 BCD. 又 CD?平面 BCD,∴AB⊥CD. (2)过点 B 在平面 BCD 内作 BE⊥BD,如图.

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由(1)知 AB⊥平面 BCD,BE?平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴AB⊥BE,AB⊥BD. → ,BD → ,BA → 的方向为 x 轴,y 轴,z 以 B 为坐标原点,分别以BE 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),
? 1 1? 1 1? → → =(1,1,0),BM → =? ?0, , ?,AD M?0,2,2?,则BC =(0,1, 2 2? ? ? ?

-1). 设平面 MBC 的法向量 n=(x0,y0,z0), → =0, ?x0+y0=0, ?n· BC 则? 即?1 1 → y + z =0, 0 ?n· BM=0, ?2 2 0 取 z0=1,得平面 MBC 的一个法向量 n=(1,-1,1). → )| 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ,则 sin θ=|cos(n,AD →| |n· AD 6 = = , →| 3 |n|· |AD 即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为 6 . 3

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