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从近世代数看数系扩充


从近世代数看数系的扩充
现行中小学数学教材中,关于数的概念的发展历程如下: 0
正分数

+

负分数



无理数



虚数



上式中0 :非负整数集; +:非负有理数集;:有理数集;:实数集

;: 复数集. 在教学中,前两次扩充都是从实践需要来说明其必要性的.这样处理学生易 于理解,符合可接受性原则.若从数学本身发展的需要出发,则常从以下两方面来 说明:(l)某一运算的逆运算在原有数集中不封闭;(2)某一方程在原有数集中没 有解. 事实上,这两个方面是相互等价且互为补充的.我们说某一运算的逆运算在 原数集中不封闭,则必定存在与此运算有关的方程在此数集中无解;反之,若存在 某一方程在原数集中无解,则此方程中涉及到未知数运算的逆运算并不封闭·例 如,在0 中减法不封闭,这意味着当a > 时,方程a + x = b在0 中无解. 从代数系统(A,?)扩充到代数系统(B, 。),必须满足以下四个条件:(1)A ? B;(2)a ? b = a ? b,?a, b ∈ A;(3)在(B,?)中,方程a ? x = b有唯一确定的解;(4)如 果(C, 十)也满足性质(1)~(3),则存在(B, 。)到(C, +)的同构映射,这个映射使A中 的元素及运算保持不变. 满足上述条件的数集的扩充可能有多种方法.在中学数学教学中,数集扩充 的方法是在已知的集合A上补充新数的集合,构成扩集B,使B = A ∪ 这种扩充 思想虽易于接受,但不太严密,且不易了解数的结构思想. 另一种途径是从数学结构的角度,用旧数系中的数为材料构成一个新数集B, 然后使它的某个子集与旧数系A相等(严格地说,是同构).下面说明通过这种途 径来建立数系的过程. 一 自然数集 自然数是最简单、最基本的数,皮亚诺四条公理揭示了自然数的根本性质. 在给出加法运算,乘法运算的定义之后,可以证明(N, 十,?)是具有加法、乘法交换 律和加法、乘法结合律以及分配律的代数系统. 在N中,序关系(<)是利用自然数的加法来定义的.可以证明“ < ”满足反对 称性、传递性、可比性以及最小数原理.所以(N, <)不仅是一个全序集,而且是一 个良序集. 在(N, +,· )中,方程a + x = b, a ? x = b不一定有解,因此,在N中,加法、乘法的 逆运算都不封闭.对于减法要限制施行.对于除法则分两种情况讨论:(l)a整除 b,(2)带余除法. 二 从到有理数域的扩充 定理 可换半群(A, +)可扩充的充分必要条件是运算“+”是可消去的. 证明 必要性:若a + c = a + b, a, b, c ∈ A,设(B, +)是(A, +)的扩充,则在 (B, +)中, a + x = a + b有唯一解x = b;又由a + c = a + b,知c满足a + x = a + b, 所以b = c.

充分性:如果运算可消去,则在集合A × A上定义关系~: (a, b)~(c, d) a+d=b+c

易证“~”是等价关系.等价关系“~’将A × A划分成等价类,用B表示商集 A × A/~,在商集B上定义加法运算: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] 可以证明这个定义是合理的,即运算结果与等价类中代表的选取无关. 定义从A到B的映射 : 为 = + , ?a, b ∈ A易证 是一

一的且保持A中的运算不变,所以A与B中的某一子集同构. 在B中方程[(a, b)] + = [(c, d)]有唯一解: = [ c + b, a + d ]所以在B中

‘+’的逆运算可畅通无阻,(B, +)是(A, +)的扩充. 根据这个定理,用同样的原理和方法,自然数加法半群(N, +)可扩充为整数 加法群(Z, +),自然数乘法半群(N,· )可扩充为正有理数乘法群. 学里研究的代数系统,通常具有两种运算.在这种情况下,可以先根据一种运 算进行扩充,再将第二种运算运用到已扩充的代数系统中去.因此,从(N, +,· )到 (Q, +,· )的扩充常有两种途径: (1)(N, +,· ) (Q+, +,· ) (Q, +,· )

将(N, +,· )中的半群(N,· )按乘法运算扩充为(Q , + · ) 在 +,? 中定义加法运算 + =
+

,得到(Q+, +,· ),再将它按加法运算扩充,得到

域(Q, +,· ). 这一途径与中学教材相吻合,在(Q+,?)中定义加法运算,只须对同分母的加法 作出规定,由分数的基本性质(或序偶的对等性),异分母分数的加法运算可转化 为同分数的加法运算. (2)(N, +,· ) (Z, +,?) (Q, +,?)

这一途径在一般代数教程中较为常见,不赘述. 三 从有理数域到实数域的扩充 从自然数到有理数的扩充,是通过序偶的等价类构造出新数集,以解决乘法 和加法的逆运算的间题,在Q中,四则运算可以畅通无阻地进行,但并不意味着能 进行其它各种各样的运算.就直观而言,在数轴上,有理点的分布尽管是稠密的, 但不能覆盖整个数轴,数轴上还有许多“空隙”. 下面举例说明这一事实: 分别考虑有理数数列 , = +1; , = 1 + 1 + 2! + 3! + ? + !·它 们具有共同的特性:当m, n充分大时, ? , ? 变得要多小有多小.但 两者也有差别:序列 的项越来越趋近于有理数 1,而对 而言,却不存在这 样的有理数. 所以,有理数的扩充既要保持原有的域公理,又要使极限运算畅行无阻. 建立实数系R的方法多种多样,但必须满足三个条件,即实数公理:(1)R是
1 1 1

域;(2)R是阿基米德全序域;(3)R 是完备的. 建立实数系的方法常见的有三种: (1)用十进小数来定义实数. 从教学角度而言,用十进小数定义实数既直观又方便,便于学生接受,但用它 来建立实数理论却有不少困难.首先,两个无穷小数的加法无法定义,如果用不足 近似值序列和过剩近似值序列表示一个无穷小数,就涉及到区间套的间题,而区 间套的四则运算和序关系的定义也不容易. (2)用戴得金分割定义实数. 定义 设ξ ? Q,并用ξ = Q ? ξ表示ξ的余集, ξ满足下列条件:(1) ξ ≠ φ, ≠ ; (2)若a ∈ ξ,且1 < 则1 < ξ; 3) ( ξ没有最大的有理数· 则称Q的分类 , 是 一个戴得金分割,ξ叫分割的下类, 叫分割的上类,我们把叫做一个实数, 一切实 数的集合记为R. 确定一个实数ξ等于确定有理数集的一个分割 , .有理数集分成上、下两 类ξ和 ,好象数轴被切了一刀,切口就在ξ与 的分界处.分界处可能是有理点,也 可能是Q的一个“空隙’,把所有有理点与所有空隙(必须补充进来的)合在一起, 就是实数集的直观背景. (3)用基本序列(柯西列,正则列)定义实数. 定义 有理数列 是柯西列,当且仅当对任意的ε > 0,存在n, m,当 n, m > 0 时,有 ? < . 不难给出柯西列的加法、乘法、顺序定义. 建立柯西列集合上的关系“~” ~


lim ? = 0

可以证明"~"是一个等价关系.把一个等价类 叫做一个实数,对任一有 理数r,用常数列{r}所在的等价类与之对应,有理数集嵌人到实数集中· 十进小数定义实数相当于用一种特殊类型的有理数序列来逼近实数,柯西列 抛开这种序列的特殊形式而保留其基本特性,并可以克服定义运算的困难.另外, 柯西列方法可以强有力地说明实数的完备性,并和分析中的柯西收敛准则相吻合, 它保证了在实数范围内,任一柯西列必收敛.所以,近年来,柯西列方法被广泛采 用. 四 复数系的建立 在实数集 R 的基础上引进新的数,从而产生新的数系,希望在新的数系中,方 2 程 = ∈ 总有解,也就是解决自乘运算的逆运算的问题. 从域扩充的角度而言,实数域的进一步扩充沿着两个方向进行:一是超越扩 充,得到有理函数域R = /|, ∈ , ≠ 0 ;二是代数扩充得到复数域. 实际上,实数域R上的不可约多项式最多是二次的,不妨设为 2 + + 2 ? 4 < 0 .它的一个根α是R上的代数元,由于 2 + + 是R[x]中主理 想,所以R 同构于商域R / 2 + + ,R = + |, ,如果取不 可约多项式为 2 + 1,则建立复数系的过程同中学教材类似. 上述代数扩充的过程也可应用于有限域. 中学教材中指出复数集、 平面上点集以及以原点为始点的向量集合之间可建 立一一对应关系.这仅是集合间的一一对应,而不是代数结构间的同构映射.我们

必须从代数运算的角度掌握三者的联系与区别. 五 数系的进一步扩充 由于高斯代数基本定理的保证,复数城上的任何代数扩充都同构于自身,复 数域上的超越扩充C(x)与R(x)代数性质相同. 如果放弃部分域公理--乘法交换律,便可以从C扩充到四元数体H.四元数体 可以看成是复数域上的二维空间或实数城上的四维空间. 有趣的是,如果把R看成是H的主理想,则H/R同构于 3 中的普通向量积结构, 其中, , 看成是坐标轴上的单位向量 数的扩充到此可告一段落.如果把代数运算进一步抽象,运算对象从数扩展 为向量、矩阵、变换、乃至抽象元素,则形成形形色色的代数结构.这些便成为高 等代数(或抽象代数)研究的内容,而数及其运算则成为它们的源泉和基础.


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