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07第七章 复数【讲义】


第七章

复数

一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通 常用 C 来表示。 2. 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi a,b∈R) a 称实部记作 Re(z),b

称虚部记作 Im(z). ( , z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴, y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又 对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外 设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsin θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ <2π ,则θ 称为 z 的辐角主值,记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模,也记作 |z|,由勾股定理知|z|= a ? b .如果用 e 表示 cosθ +isinθ ,则 z=re ,称为复数的
2 2
iθ iθ

指数形式。 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1) z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ; (2) z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ; (3) z ? z ? | z | ; (4) ? ?
2

? z1 ? z ? ? 1 ; (5) ? z2 ? z2 ?

| z 1 ? z 2 |? | z 1 | ? | z 2 | ; (6) |

z1 z2

|?

| z1 | | z2 |

; (7)||z1|-|z2||≤|z1 ±z2|≤|z1|+|z2|; (8)
1 z

|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则 z ?

2

2

2

2



4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形 和三角形法则; (3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1? ? z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若 z 2 ? 0 ,
z1 z2 ? r1 r2

[cos(θ 1-θ 2)+isin(θ 1-θ 2)],

用指数形式记为 z1z2=r1r2e

i(θ 1+θ 2)

,

z1 z2
n

?
n

r1 r2

e

i (? 1 ? ? 2 )

.

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )] =r (cosnθ +isinnθ ). 6. 开 方 : 若 w
n

? r(cos θ +isin θ ) , 则 w ?

n

r(cos

? ? 2 k?
n

? is i n

? ? 2 k?
n

) ,

k=0,1,2,…,n-1。 7. 单位根: w =1, 若 则称 w 为 1 的一个 n 次单位根, 简称单位根, Z1= cos 记 则全部单位根可表示为 1, Z 1 , Z 1 , ? , Z 1
2 n ?1
n

2? n

? i sin

2? n
k



.单位根的基本性质有(这里记 Z k ? Z 1 ,

k=1,2,…,n-1)(1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr; : (2)对任意 整数 m,当 n≥2 时,有 1 ? Z 1 ? Z 2 ? ? ? Z n ?1 = ?
m m m
n-1 n-2

?0,当 n | m , ? n,当 n | m ,
2

特别 1+Z1+Z2+…+Zn-1=0; (3)

x +x +…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z 1 )…(x- Z 1

n ?1

).

8.复数相等的充要条件: (1)两个复数实部和虚部分别对应相等; (2)两个复数的模和辐角 主值分别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0) 是方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。 2 2 12.若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax +bx+c=0,当Δ =b -4ac<0 时方程的根为
x 1, 2 ? ?b? 2a ? ?i .

二、方法与例题 2 例 1.m 为何实数时,复数 Z=(2+i)m -3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数;(2)虚数 ;(3)纯虚数; (4)零。

例 2.已知: lo g 0 .5 x ? 4 i ? 5 ,求实数 x。

? 2 ? 2i ? 例 3.计算: ? ? ? 1 ? 3i ?

8

例 4.求 1-2 6i 的平方根。

例 5.已知:|Z+2-2i|=1,求:|Z|的最值。

例 6.说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R )表示的曲线。

+

例 7.已知 a∈R,方程 x +2x+a=0 的两根为 a、b,求|a|+|b|。

2

? 2 (1 ? i ) ? 2 例 8.已知 x ? ? ? 是实系数一元二次方程 ax +bx+1=0 的根,求 a,b 的值。 ? 1 ? 3i ?

2

三、基础训练题 2 2 1.满足(2x +5x+2)+(y -y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z100 z

=__________。

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则 z ? __________。 4.已知 z ? ?
2 1? 3i

,则 1+z+z +…+z

2

1992

=__________。
?
6

5.设复数 z 使得

z ?1 z? 2

的一个辐角的绝对值为

,则 z 辐角主值的取值范围是__________。

6.设 z,w,λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 z -Λ z=w 的解为 z=__________。
1? x 1? x ? arcsin 1? x 1? x
2 2

7.设 0<x<1,则 2arctan

? __________。

8.若α ,β 是方程 ax +bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且
2 2 2 2 2 2

2

? ?

2

? R ,则

? ?

? __________。

9.若 a,b,c∈C,则 a +b >c 是 a +b -c >0 成立的__________条件。 2 2 10.已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面上对应的点 共圆,则 m 取值的集合是__________。 2 11.二次方程 ax +x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。 12. 复平面上定点 Z0, 动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1, 其中 z0≠0, 且满足方程|z1-z0|=|z1|, ①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1,②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状 和位置。 13.N 个复数 z1,z2,…,zn 成等比数列,其中|z1|≠1,公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,…,wn 满足条件:wk=zk+
1 zk

+h,其中 k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证:复平面内表示

w1,w2,…,wn 的点 p1,p2,…,pn 都在一个焦距为 4 的椭圆上。


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