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4.三视图之体积

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高考数学母题规划,助你考入清华北大!杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生! 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-04):三视图之体积(318) 797 三视图之体积 [母题]Ⅰ(14-04): (2014 年安徽高考试题)一个多面体的三视图如图所示, 则多面体的体积是( (A) 23 3 ) (B) 47 6 (C)6 (D)7 [解析]:由三视图可知,该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体,如图: 正方体棱长为 2,正三棱锥侧棱互相垂直,侧棱长为 1,故几何体的体积 V=V 正方体-2V 棱锥侧 2 -2× × 3 1 3 1 23 ×1×1×1= .故选(A). 2 3 [点评]:由三视图,求直观图的体积是高考的热点问题 ;解题的关键有二:一是由三视图还原直观图 ;二是求直观图体积 的方法、技巧.在此应当指出的是:由三视图还原几何体,结果不一定惟一. [子题](1): (2014 年天津高考试题)一个几何体的三视图如图所示 3 (单位:m).则该几何体的体积为 m. [解析]:由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成,其中, 圆柱的底面圆的半径 r=1,高 h=4 ? 圆柱的体积 V 柱=π r h=4π ;圆锥的底 面圆的半径 R=2,高 H=2 ? 圆锥的体积 V 锥= π R H= π ? 该几何体的体 积 V=V 柱+V 锥=4π + π = 8 3 20 π. 3 1 3 2 2 8 3 注:体积问题是立体几何的独特问题,解决体积问题的关键是掌握几何体 的体积公式:V 台体 = (S1+S2+ S1S 2 )h,其中 S1、S2 分别为台体的上、下底面积,h 为高,S 为柱体或锥体的底面积.特别地: 1 3 ①当 S1=S2 时,V 柱体=Sh;②当 S1=0 时,V 锥体= Sh. 1 3 [子题](2): (2013 年浙江高考试题)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示: 则该几何体的体积是( (A)108cm (C)92cm 3 3 ) (B)100cm (D)84cm 3 3 [解析]:由三视图可知,此直观图是由一个 长方体挖去一个三棱锥而得,如图: 体积 V=3×6×6- × 1 3 1 3 ×3×4×4=108-8=100(cm ).故选(B). 2 注:“能割善补”是解决体积问题的基本技能,当我们遇到的几何体不能直接使用求积公式时,或者补形成一个可直接 使用求积公式的几何体,或者分割成几个可直接使用求积公式的几何体. [子题](3): (2010 年湖南高考试题)图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的几何体的三视图,则 h= [解析]:由三视图可知,该几何体为三棱锥 P-ABC(如图): cm. 798 其中 PC⊥平面 ABC,AC⊥BC,且 PC=h,AC=5,BC=6, 故三棱锥 P-ABC 的体积= × 题知 5h=20 ? h=4. 注:己知三视图所对应的几何体的体积,求三 视图,或几何体中某条线段(棱)的长.该类问题是 求体积问题的一个逆向问题,解决该类问题的根本 办法是由三视图还原几何体,列方程求解. 1 3 1 ×5×6h=5h,由 2 [母题]Ⅰ(14-04):三视图之体积(318) P C B A [子题系列]: 1.(2013 年广东高考试题)(理)某四棱台的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是( (A)4 14 (B) 3 1 2 2 ) (D)6 16 (C) 3 2 正视

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