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北京市西城区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


北京市西城区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1. (4 分)双曲线 A. 4
2

﹣y =1 的实轴长为() B. 2 C. D. 1

2

2. (4 分

)抛物线 x =4y 的准线方程是() A. x=1 B. x=﹣1

C. y=1

D. y=﹣1

3. (4 分)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是() A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α C. 若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n D. 若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α 4. (4 分)命题“? a,b∈R,如果 a=b,则 a =ab”的否命题为() 2 2 A. ? a,b∈R,如果 a =ab,则 a=b B. ? a,b∈R,如果 a =ab,则 a≠b 2 2 C. ? a,b∈R,如果 a ≠ab,则 a≠b D. ? a,b∈R,如果 a≠b,则 a ≠ab 5. (4 分)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率为() A. B. C. D.
2

6. (4 分)已知直线 l1:ax+y+2=0 和直线 l2:x+ay+2=0 平行,则实数 a 的值为() A. 1 B. ﹣1 C. ﹣ 1 和 1 D.

7. (4 分)“a=﹣3”是“圆 x +y =1 与圆(x+a) +y =4 相切”的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. (4 分)如图所示,汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与 反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是 24cm,灯深 10cm,那么灯泡 与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为()

2

2

2

2

A. 10cm

B. 7.2cm

C. 3.6cm

D. 2.4cm

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9. (4 分)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,正确的命题是()

A. BD 与 CF 成 60°角 C. AB 与 CD 成 60°角

B. BD 与 EF 成 60°角 D. AB 与 EF 成 60°角

10. (4 分)如图,在边长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P、Q 分别为棱 AB、A1D1 的中点,M、 N 分别为面 BCC1B1 和 DCC1D1 上的点,一质点从点 P 射向点 M,遇正方体的面反射(反射服从光 的反射原理) ,反射到点 N,再经平面反射,恰好反射至点 Q,则三条线段 PM、MN、NQ 的长度 之和为()

A.

B.

C. 2

D. 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 2 11. (5 分)命题“? x∈R,x ﹣2x<0”的否定是.

12. (5 分)空间向量 =(﹣1,1,﹣2) , =(1,﹣2,﹣1) , =(x,y,﹣2) ,且 ∥ .则 ? =.

13. (5 分)如图是一个四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为.

-2-

14. (5 分)已知 F 为双曲线 C: 离为.

﹣y =1 的一个焦点,则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距

2

15. (5 分)由直线 y=x 上一点向圆(x﹣4) +y =1 引切线,则切线长的最小值为. 16. (5 分)已知点 M(3,0)和点 N(﹣3,0) ,直线 PM,PN 的斜率乘积为常数 a(a≠0) , 设点 P 的轨迹为 C,给出以下几个命题: ①存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(﹣4,0) , (4,0)距离之和为定值; ②存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(0,﹣4) , (0,4)距离之和为定值; ③不存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(﹣4,0) , (4,0)距离差的绝对值为定值; ④不存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(0,﹣4) , (0,4)距离差的绝对值为定值; 其中正确的命题是. (填出所有正确命题的序号)

2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (13 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,∠AEB=90°,F 为 CE 上的点. (Ⅰ)求证:AD∥平面 BCE; (Ⅱ)求证:AE⊥BF.

18. (13 分)已知三个点 A(0,0) ,B(4,0) ,C(3,1) ,圆 M 为△ABC 的外接圆. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx﹣1 与圆 M 交于 P,Q 两点,且|PQ|= ,求 k 的值. 19. (14 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC, AD⊥AB,PA=AD=2,AB=BC=1,Q 为 PD 中点. (Ⅰ)求证:PD⊥BQ; (Ⅱ)求直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值.

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20. (14 分)已知椭圆 W: 标原点.

+y =1,直线 l 过点(0,﹣2)与椭圆 W 交于两点 A,B,O 为坐

2

(Ⅰ)设 C 为 AB 的中点,当直线 l 的斜率为 时,求线段 OC 的长; (Ⅱ)当△OAB 面积等于 1 时,求直线 l 的斜率. 21. (13 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=4,四边形 CDEF 是等腰梯 形,EF∥DC,EF=2,且平面 ABCD⊥平面 CDEF,AF⊥CF. (Ⅰ)过 BD 与 AF 平行的平面与 CF 交于点 G.求证:G 为 CF 的中点; (Ⅱ)求二面角 B﹣AF﹣D 的余弦值.

22. (13 分) 如图, 曲线 E 是由抛物线弧 E1: y =4x (0≤x≤ ) 与椭圆弧 E2:

2

+

=1 ( ≤x≤a)

所围成的封闭曲线,且 E1 与 E2 有相同的焦点. (Ⅰ)求椭圆弧 E2 的方程; (Ⅱ) 设过点 F (1, 0) 的直线与曲线 E 交于 A, B 两点, |FA|=r1, |FB|=r2, 且∠AFx=α(0≤α ≤π ) , 试用 cosα 表示 r1;并求 的取值范围.

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北京市西城区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1. (4 分)双曲线 A. 4 ﹣y =1 的实轴长为() B. 2 C. D. 1
2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a=2,即可得到双曲线的实轴长 2a. 解答: 解:双曲线 ﹣y =1 的 a=2,
2

则双曲线的实轴长为 2a=4, 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查实轴的概念,考查运算能力,属于基础题. 2. (4 分)抛物线 x =4y 的准线方程是() A. x=1 B. x=﹣1
2

C. y=1

D. y=﹣1

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=4,再直接代入即可求出其准线 方程. 2 解答: 解:因为抛物线的标准方程为:x =4y,焦点在 y 轴上; 所以:2p=4,即 p=2, 所以: =1, ∴准线方程 y=﹣1, 故选 D.

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点评: 本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位 置. 3. (4 分)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是() A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α C. 若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n D. 若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答. 解答: 解:对于选项 A,若 m∥α ,n∥α ,则 m 与 n 可能相交、平行或者异面;故 A 错误; 对于 B,若 m⊥α ,m⊥n,则 n 与 α 可能平行或者 n 在 α 内;故 B 错误; 对于 C,若 m⊥α ,n? α ,根据线面垂直的性质可得 m⊥n;故 C 正确; 对于 D,若 m∥α , m⊥n,则 n⊥α 或者 n? α ;故 D 错误; 故选 C. 点评: 本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理是关 键. 4. (4 分)命题“? a,b∈R,如果 a=b,则 a =ab”的否命题为() 2 2 A. ? a,b∈R,如果 a =ab,则 a=b B. ? a,b∈R,如果 a =ab,则 a≠b 2 2 C. ? a,b∈R,如果 a ≠ab,则 a≠b D. ? a,b∈R,如果 a≠b,则 a ≠ab 考点: 四种命题. 分析: 根据命题若 p,则 q 的否命题是若¬p,则¬q,写出它的否命题即可. 2 解答: 解;“? a,b∈R,如果 a=b,则 a =ab”的否命题是 2 ? a,b∈R,如果 a≠b,则 a ≠ab. 故选:D. 点评: 本题考查了命题与它的否命题之间的关系,解题时应熟悉四种命题之间的关系,是 基础题. 5. (4 分)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率为() A. B. C. D.
2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,a=2b,再用平方关系算得 c= b,最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的 离心率. 解答: 解:∵椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍, ∴2a=2×2b,得 a=2b, 2 2 2 又∵a =b +c , 2 2 2 ∴4b =b +c ,可得 c= b, 因此椭圆的离心率为 e= = .

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故选:C. 点评: 本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系,求椭圆的离心率,考查了椭圆的基本概念和 简单性质的知识,属于基础题. 6. (4 分)已知直线 l1:ax+y+2=0 和直线 l2:x+ay+2=0 平行,则实数 a 的值为() A. 1 B. ﹣1 C. ﹣ 1 和 1 D.

考点: 专题: 分析: 解答: 则

直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 由两直线平行,得到两直线系数间的关系,求解不等式组可得 a 的值. 解:∵直线 l1:ax+y+2=0 和直线 l2:x+ay+2=0 平行, ,解得:a=﹣1.

故选:B. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,关键是对条件的记忆与运用,是 基础题. 7. (4 分)“a=﹣3”是“圆 x +y =1 与圆(x+a) +y =4 相切”的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据圆与圆的位置关系从而进行判断. 2 2 解答: 解:a=﹣3 时,圆 x +y =1 的圆心是(0,0) ,半径是 1, 2 2 圆(x﹣3) +y =4 的圆心是(3,0) ,半径是 2, 两个圆的圆心距是 3,相切,是充分条件, 2 2 2 2 若圆 x +y =1 与圆(x+a) +y =4 相切,可能内切,可能外切,推不出 a=﹣3,不是必要条件, 故选:A. 点评: 本题考查了圆与圆的位置关系,考查了充分必要条件,是一道基础题. 8. (4 分)如图所示,汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与 反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是 24cm,灯深 10cm,那么灯泡 与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为()
2 2 2 2

A. 10cm

B. 7.2cm

C. 3.6cm

D. 2.4cm

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考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 先设出抛物线的标准方程 y =2px(p>0) ,点(10,12)代入抛物线方程求得 p,进 而求得 ,即灯泡与反光镜的顶点的距离. 解答: 解:设抛物线方程为 y =2px(p>0) ,点(10,12)在抛物线 y =2px 上, ∴144=2p×10. ∴ =3.6. 因此,灯泡与反光镜的顶点的距离为 3.6cm. 故选:C. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程.考查了对抛物线基础知识的掌 握. 9. (4 分)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,正确的命题是()
2 2

A. BD 与 CF 成 60°角 C. AB 与 CD 成 60°角

B. BD 与 EF 成 60°角 D. AB 与 EF 成 60°角

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由正方体的平面展开图, 还原成正方体, 利用正方体的结构特征, 得到 BD 与 CF 成 0° 角,BD 与 EF 成 90°角,AB 与 CD 成 60°角,AB 与 EF 成 90°角. 解答: 解:由正方体的平面展开图, 还原成如图所示的正方体, ∵BD∥CF,∴BD 与 CF 成 0°角,故 A 错误; ∵BD∥平面 A1EDF,EF? 平面 A1EDF, ∴BD 与 EF 成 90°角,故 B 错误; ∵AE∥CD,∴∠BAE 是 AB 与 CD 所成角, ∵△ABE 是等边三角形,∴∠BAE=60°, ∴AB 与 CD 成 60°角,故 C 正确; ∵AB∥A1D,又 A1D⊥EF, ∴AB 与 EF 成 90°角,故 D 错误. 故选:C.

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点评: 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力, 解题时要注意向量法的合理运用. 10. (4 分)如图,在边长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P、Q 分别为棱 AB、A1D1 的中点,M、 N 分别为面 BCC1B1 和 DCC1D1 上的点,一质点从点 P 射向点 M,遇正方体的面反射(反射服从光 的反射原理) ,反射到点 N,再经平面反射,恰好反射至点 Q,则三条线段 PM、MN、NQ 的长度 之和为()

A.

B.

C. 2

D. 3

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1,再作 Q 关于平面 DCC1D1 的对称点 Q1,连接 P1Q1, 根据勾股定理即可求得长度之和. 解答: 解:作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1,再作 Q 关于平面 DCC1D1 的对称点 Q1,连接 P1Q1,这就是光线所经过的等效路径, 其长度就是 PM,MN,NQ 三条线段的长度之和, 2 2 2 2 2 2 2 根据勾股定理:|P1Q1| =(A1Q1) +(AA1) +(A1P) =3 +2 +3 =22, 可得|P1Q1|= , 故选:A.

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点评: 本题考查了正方体的几何性质,光的反射原理,对称性问题,化折线为直线求解线 段的长度,题目很新颖,属于中档题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 2 2 11. (5 分)命题“? x∈R,x ﹣2x<0”的否定是? x∈R,使 x ﹣2x≥0. 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 2 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“? x∈R,x ﹣2x<0”的否定是: 2 ? x∈R,使 x ﹣2x≥0. 2 故答案为:? x∈R,使 x ﹣2x≥0. 点评: 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.

12. (5 分)空间向量 =(﹣1,1,﹣2) , =(1,﹣2,﹣1) , =(x,y,﹣2) ,且 ∥ .则 ? =﹣2.

考点: 共线向量与共面向量;空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由 ∥ ,利用向量共线定理可得:存在实数 k 使得 得出. 解答: 解:∵ ∥ , ∴存在实数 k 使得 , ,再利用数量积运算即可



,解得 x=2,y=﹣4.

∴ =(2,﹣4,﹣2) , ∴ ? =﹣2﹣4+4=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了向量共线定理、数量积运算,属于基础题.

13. (5 分)如图是一个四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为 .

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考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体的底面是底边、高均为 2 的平行四边形,四棱锥的高为 2,把 数据代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知几何体的底面是底边、高均为 2 的平行四边形,四棱锥的高为 2. ∴几何体的体积 V= ×2 ×2= . 故答案为: . 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及三视图的数据所对应的 几何量是解答本题的关键.
2

14. (5 分)已知 F 为双曲线 C: 离为 1.

﹣y =1 的一个焦点,则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,可设 F(2,0) ,设双曲线的一条渐近线方程,运用点到直 线的距离公式计算即可得到. 解答: 解:双曲线 C: 则可设 F(2,0) , 设双曲线的一条渐近线方程为 y= x, ﹣y =1 的 a=
2

,b=1,c=

=2,

则 F 到渐近线的距离为 d=

=1,

故答案为:1. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离公式, 考查运算能力,属于基础题. 15. (5 分)由直线 y=x 上一点向圆(x﹣4) +y =1 引切线,则切线长的最小值为
2 2



- 11 -

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 要使切线长最小,必须直线 y=x 上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心(4, 0)到直线的距离 m,求出 m,由勾股定理可求切线长的最小值. 解答: 解:要使切线长最小,必须直线 y=x 上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心 (4,0)到直线的距离 m, 由点到直线的距离公式得 m= =2 , = .

由勾股定理求得切线长的最小值为

故答案为: . 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式、勾股定理的应用. 16. (5 分)已知点 M(3,0)和点 N(﹣3,0) ,直线 PM,PN 的斜率乘积为常数 a(a≠0) , 设点 P 的轨迹为 C,给出以下几个命题: ①存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(﹣4,0) , (4,0)距离之和为定值; ②存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(0,﹣4) , (0,4)距离之和为定值; ③不存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(﹣4,0) , (4,0)距离差的绝对值为定值; ④不存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(0,﹣4) , (0,4)距离差的绝对值为定值; 其中正确的命题是②④. (填出所有正确命题的序号) 考点: 轨迹方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据斜率公式得出 解答: 解:设 P(x,y) 由 =a,得 y =a(x ﹣9) ,
2 2 2 2

=a,得 y =a(x ﹣9) ,再分类讨论,即可得出结论.

2

2

若 a=﹣1,则方程为 x +y =9,轨迹为圆(除 A B 点) ; 若﹣1<a<0,方程为 =1,轨迹为椭圆(除 A B 点)

﹣9a<9,c=

=4,∴a= ,不符合; =4,∴a=﹣ ,符合,

a<﹣1,﹣9a>9,c=

∴存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(0,﹣4) , (0,4)距离之和为定值; 若 a>0,方程为 ,轨迹为双曲线(除 A B 点) .c= =4,a= ,

∴存在非零常数 a,使 C 上所有点到两点(﹣4,0) , (4,0)距离差的绝对值为定值. ④是正确的,不存在,如果曲线是双曲线时,焦点一定在 x 轴上. 故答案为:②④

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点评: 本题考查轨迹方程,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (13 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,∠AEB=90°,F 为 CE 上的点. (Ⅰ)求证:AD∥平面 BCE; (Ⅱ)求证:AE⊥BF.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)直接根据已知条件,将利用线线平行转化为线面平行. (Ⅱ)利用线面垂直转化成线线垂直,进一步利用线面垂直的判定得到线面垂直,最后证得线 线垂直. 解答: (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 AD∥BC 又因为 BC? 平面 BCE AD?平面 BCE 所以 AD∥平面 BCE (Ⅱ)证明:因为 AD⊥平面 ABE AD∥BC BC⊥平面 ABE AE⊥BC 因为∠AEB=90° 所以:AE⊥BE 所以:AE⊥平面 BCE BF? 平面 BCE 所以:AE⊥BF

点评: 本题考查的知识要点:线面平行的判定,线面垂直的判定,及线面垂直与线线垂直 之间的转化.属于基础题型.

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18. (13 分)已知三个点 A(0,0) ,B(4,0) ,C(3,1) ,圆 M 为△ABC 的外接圆. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 y=kx﹣1 与圆 M 交于 P,Q 两点,且|PQ|= ,求 k 的值. 考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)设出圆的一般式方程,代入三个点的坐标联立方程组求得 D,E,F 的值,则 圆的方程可求; (Ⅱ)由(Ⅰ)得圆 M 的圆心为(2,﹣1) ,半径为 ,结合弦长求得圆心到直线的距离,由 点到直线的距离公式列式求得 k 的值. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)设圆 M 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. ∵点 A(0,0) ,B(4,0) ,C(3,1)在圆 M 上,则



解得:D=﹣4,E=2,F=0. 2 2 ∴△ABC 外接圆的方程为 x +y ﹣4x+2y=0; (Ⅱ)由(Ⅰ)圆 M 的圆心为(2,﹣1) ,半径为 又

. .

,∴圆 M 的圆心到直线 y=kx﹣1 的距离为


2



解得:k =15,k= . 点评: 本题考查了圆的一般式方程,考查了直线与圆的位置关系,考查了点到直线的距离 公式的应用,是基础题. 19. (14 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC, AD⊥AB,PA=AD=2,AB=BC=1,Q 为 PD 中点. (Ⅰ)求证:PD⊥BQ; (Ⅱ)求直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值.

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考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)建立以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴的空间直角坐标系,证明 ? =0,即可证明 PD⊥BQ;

(Ⅱ)求出平面 PCD 的法向量,利用向量的夹角公式求直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值. 解答: (Ⅰ)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥AB,PA⊥AD, 又 AD⊥AB,如图,建立以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴的空间直角坐标系.… (2 分) 由已知,PA=AD=2,AB=BC=1,AD∥BC. 所以 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2)…(4 分) 又 Q 为 PD 中点,所以 Q(0,1,1) . 所以 所以 =(0,2,﹣2) , ? =0,…(6 分) =(﹣1,1,1) ,

所以 PD⊥BQ.…(7 分) (Ⅱ)解:设平面 PCD 的法向量为 =(a,b,c) , 则∵ ∴ =(0,2,﹣2) , =(﹣1,1,0) ,

,…(9 分)

令 c=1,得 a=b=1,∴ =(1,1,1) .…(11 分) ∵ =(﹣1,1,1) , = .…(14 分)

∴直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为

点评: 本题考查直线与直线垂直的证明,考查直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值的求法, 正确运用向量法是解题的关键.

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20. (14 分)已知椭圆 W: 标原点.

+y =1,直线 l 过点(0,﹣2)与椭圆 W 交于两点 A,B,O 为坐

2

(Ⅰ)设 C 为 AB 的中点,当直线 l 的斜率为 时,求线段 OC 的长; (Ⅱ)当△OAB 面积等于 1 时,求直线 l 的斜率. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 时,直线 l 的方程为 y= x﹣2,代入椭圆方程,求出 C 的 坐标,即可求线段 OC 的长; (Ⅱ)设直线 l:y=kx﹣2,代入椭圆方程,利用△OAB 面积等于 1 时,求直线 l 的斜率. 解答: 解: (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 时,直线 l 的方程为 y= x﹣2.…(1 分) 代入椭圆方程得 5x ﹣12x+6=0,…(2 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x0,y0) . 则 ,…(3 分) , ,…(4 分)
2

所以点 C 的坐标

所以 (Ⅱ)设直线 l:y=kx﹣2,

.…(5 分)



得(1+4k )x ﹣16kx+12=0,…(6 分)

2

2

所以△=(16k) ﹣48(1+4k )=16(4k ﹣3)…(7 分) , .…(8 分)

2

2

2

=

=

.…(10 分)

原点 O 到直线 l 的距离

.…(11 分)

所以△OAB 面积为



- 16 -

因为△OAB 面积等于 1, 所以 ,…(12 分)

解得

,…(13 分) .…(14 分)

带入判别式检验,符合题意,所以

点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题. 21. (13 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=4,四边形 CDEF 是等腰梯 形,EF∥DC,EF=2,且平面 ABCD⊥平面 CDEF,AF⊥CF. (Ⅰ)过 BD 与 AF 平行的平面与 CF 交于点 G.求证:G 为 CF 的中点; (Ⅱ)求二面角 B﹣AF﹣D 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的性质. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 H,连接 GH.利用线面平行的性质定理及三角形中位线定 理可得结论; (Ⅱ)以 O 为原点建立空间直角坐标系 O﹣xyz 所求值即为平面 ABF 的法向量与平面 ADF 的法 向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可. 解答: (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BD 于点 H,ABCD 为矩形,则 H 为 AC 中点,连接 GH. ∵AF∥平面 BDG,平面 ACF∩平面 BDG=GH, ∴AF∥HG.∴G 为 CF 的中点. (Ⅱ)解:在平面 CDEF 上作 FO⊥CD,垂足为 O, ∵平面 CDEF 为等腰梯形,AB=4,EF=2,∴OC=1, ∵平面 ABCD⊥平面 DCFE,∴FO⊥平面 ABCD, 在平面 ABCD 中,作 OM⊥CD 交 AB 于 M,所以 FO⊥OM, 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O﹣xyz. 则 A(2,﹣3,0) ,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,D(0,﹣3,0) . 设 F(0,0,h) (h>0) . ∵AF⊥CF,∴
2

?

=0,即(﹣2,3,h)?(0,﹣1,h)=0, .

所以 0﹣3+h =0,解得 h=

设平面 ABF 的法向量为 =(a,b,c) ,

- 17 -

而 由

=(﹣2,3, ,得

) ,

=(0,4,0) , ,

令 c=2,解得 a= 由于 所以

,b=0.所以 =(

,0,2) . ) ,

=(﹣2,0,0) , ? =0,CF⊥AD,

=(0,﹣1,

又 CF⊥AF,所以 CF⊥平面 ADF, 所以 cos< 为平面 ADF 的法向量, , >= = .

由图知,二面角 B﹣AF﹣D 的平面角为钝角, 所以二面角 B﹣AF﹣D 的余弦值为﹣ .

点评: 本题考查用空间向量求二面角,注意解题方法的积累,属于中档题.

22. (13 分) 如图, 曲线 E 是由抛物线弧 E1: y =4x (0≤x≤ ) 与椭圆弧 E2:

2

+

=1 ( ≤x≤a)

所围成的封闭曲线,且 E1 与 E2 有相同的焦点. (Ⅰ)求椭圆弧 E2 的方程; (Ⅱ) 设过点 F (1, 0) 的直线与曲线 E 交于 A, B 两点, |FA|=r1, |FB|=r2, 且∠AFx=α(0≤α ≤π ) , 试用 cosα 表示 r1;并求 的取值范围.

- 18 -

考点: 圆锥曲线的综合;抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)确定( , )为椭圆上一点,利用椭圆的定义求出 a,即可求椭圆弧 E2 的

方程; (Ⅱ)曲线 E 由两部分曲线 E1 和 E2 组成,所以按 A 在抛物线弧 E1 或椭圆弧 E2 上加以分类,由 曲线 E 的对称性,不妨设 A 在 x 轴上方(或 x 轴上) ,利用三角函数的性质,即可求 范围. 解答: 解: (Ⅰ)抛物线弧 E1:y =4x(0≤x≤ )的焦点为(1,0) ,且 x= 时,y = , 所以( , 所以 2a= 所以 a=2,b= )为椭圆上一点,又椭圆的焦点为(﹣1,0) , (1,0) ,…(2 分) =4.…(3 分) ,…(4 分) ( ≤x≤2) .…(5 分)
2 2

的取值

所以椭圆 E2 的方程为

(Ⅱ)曲线 E 由两部分曲线 E1 和 E2 组成,所以按 A 在抛物线弧 E1 或椭圆弧 E2 上加以分类,由 曲线 E 的对称性,不妨设 A 在 x 轴上方(或 x 轴上) . 当 当 时, ,此时 , ;

时,A 在椭圆弧 E2 上,

由题设知 A(1+r1cosα ,r1sinα ) , 将 A 点坐标代入 整理得 得, , ,

- 19 -

解得 当 所以 综上,当



(舍去) .…(6 分) 时,A 在抛物线弧 E1 上,由抛物线定义可得 r1=2+r1cosα ,

,…(7 分) 时, ;当 时, 或.

相应地,同理可得 ≤cosα ≤1,r2= r2= 所以,当 .…(9 分)

;当﹣1≤cosα ≤ 时,根据图形的对称性,

时,A 在抛物线弧 E1 上,B 在椭圆弧 E2 上,

=

?

= (1+

)∈;

…(10 分)

当 ≤cosα ≤1 时 A 在椭圆弧 E2 上,B 在抛物线弧 E1 上,

=

?

=

∈;

…(11 分)

当﹣ <cosα < 时 A、B 在椭圆弧 E2 上,

=

?

=﹣1+

∈(



) ;

…(12 分)

综上,

的取值范围是.…(13 分)

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式及椭圆方程的求解,考查学 生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,本题综合性强,难度大,对能力要求高.

- 20 -


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