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1.3.1柱、锥、台的表面积与体积


1、通过对柱、锥、台体的研究,掌握

柱、锥、台的表面积和体积的求法;
2、能运用公式求解,柱体、椎体、 台体的表面积和体积,并且熟悉台体

与柱体和锥体之间的转换关系。

一,相关知识回顾

在初中学过正方体和长方体的表面积公式以及展开 图,我们知道,正方体和长方体都是由多个平面图 形

围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积 之和,也就是展开图的面积

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

根据棱柱的概念和性质可知,棱柱的侧面展开图为一个平行四边形,
利用这个平行四边形的面积可求棱柱的侧面积

棱柱的表面积:等于它的侧面积与两底面面积的和

S表=S底+S侧

是个矩形

直棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积

h
正棱柱的侧面展开图

S直棱柱侧=ch

S表=S底+S侧

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?
棱锥的侧面展开图是由各个三角形组成的,展开图的面积 就是棱锥的侧面积。

棱锥的表面积:等于它的侧面积与底面面积的和

N个全等的等腰三角形组成

正棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积

侧面展开
h'

正棱锥的侧面展开图

h'

1 S正 棱 锥 侧 = ch' S表=S底+S侧 2

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?
棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,展开图的面积 就是棱锥的侧面积。

棱台的表面积:等于它的侧面积与上、下底面面积的和

N个全等的等腰梯形组成

正棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

1 S正 棱 台 侧 (c ? c' )h' = 2

h'

S表=S底+S侧

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计 算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和 底面面积之和.

S表=S底+S侧

直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间 有什么关系?
上底扩大 上底缩小

h'

h'

1 = (c+c' )h' / /=c S 正 棱 台 c c =0 2

S直棱柱 ch' ? ch =

1 S 三 棱 锥= ch' 2

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?SBC的面积,过点S作 SD ? BC, 交BC于点D. 因为BC=a,
A B D C
S 所以: ?ABC

a2 3 2 SD ? SB ? BD ? a ? ( ) ? a 2 2
2 2 2

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4 S ? 4? 3 2 a 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

练习:已知棱长为 a ,各面均为等边三角形
的三棱锥 S ? ABC ,则它的
3 2 a 4 ①底面积为_______,
S

3 3 2 a ②侧面积为_______, 4

C
A
B

3a ③表面积为_______.

2

8

二、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法:

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱侧 ? S长方形 2?rl =

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

圆锥的侧面展开图是扇形
这个扇形的半径为圆锥的母线,弧长为 圆锥的底面周长

2?r

S圆锥侧 ? ?rl
2

l

r O

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )

2?r '

圆台的侧面展开图是扇环
2?r

r ' O’

l

r

O

S圆台侧=S扇环=?(r ? r )l
/

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
'
2

2

'

x

2?r '

r x ? r x?l
2?r

'

r ' O’

l

rx ? r x ? r l
' '
' '

r
S侧

O

? ? r (l ? x) ? ? r x ? ? (rl ? rx ? r x )

? ? (r l ? rl )
'

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么 关系?
r
O?
上底扩大

r 'O’
l

l

上底缩小

l

O
'2

r

O
2 '

r

O

r/=r
2

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )

r/=0

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

练习:看图回答问题
r ?1
r' ? 1

h?2

l ?2

r ?1

l ?2

r?2

4? 2? S 6? S圆柱侧 ? __ ??S圆锥侧 ? __??????? ? __ 圆台侧 11? S圆柱表 ? 6?????????? ? __ S __ ??S圆锥表 3? ? __
圆台表

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆,已知每平 方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油 ? 漆( 取3.14, 结果精确到1毫升 )? 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
?? 15 ? 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?
2 2

典型例题

20cm

15 cm
15 cm

? 1000(cm ) ? 0.1(m )
2 2

涂100个花盆需油漆:0.1X100X100=1000(毫升)

答:涂100个这样的花盆需要1000毫升。

三、柱体、椎体、台体的体积的求法: 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为:

V ? Sh (S为底面面积,h为高)

一般柱体的体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为柱体的高.

圆锥的体积是:

1 V ? Sh (其中S为底面面积,h为高) 3
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的

1 3

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是 底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似, 1 . 都是等于底面面积乘高的 3 一般锥体的体积公 式: 1

V ?

3

Sh

(其中S为底面面积,h为高)

根据台体的特征,如何求台体的体积?
由于棱台(圆台)是由棱锥(圆锥) 截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到棱台(圆台) 的体积公式(过程略).
P
A?

S?
B?

D?

C?

h
S

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D? 1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

A

C
B

棱台(圆台)的体积公式:

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台 (棱台)的高.

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么 关系?
上底扩大 上底缩小

V ? Sh

S ? ? S V ? 1 (S ? ?

3

S ?S ? S )h S ? ? 0

1 V ? Sh 3

S为底面面积, h为锥体高

S分别为上、下底面 面积,h 为台体高

S为底面面积, h为柱体高

练习:有一堆规格相同的铁制六角螺帽(铁的密度是 7.8g/cm3),共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长 为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆六 角螺帽大约有多少个?

解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2
3

? 2956 mm ) ? 2.956(cm ) (
3

所以螺帽的个数为: 5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个) 答:这堆螺帽大约有252个。

【总一总★成竹在胸】
1.柱体、椎体、台体的表面积公式;

2.柱体、椎体、台体的体积公式;
3.台体与柱体和椎体之间的转换关系.

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S '? 0
1 锥体V ? Sh 3


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