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2016高考数学理科二轮复习习题:专题综合检测(六)

时间:2016-01-12


专题综合检测(六)
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) y 1. 如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3, 那么 的最大值是(D) x 1 A. 2 B. 3 3 C. 3 2 D. 3

2.(2014· 上海卷)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k
? ?a1x+b1y=1, 为常数)上两个不同的点, 则关于 x 和 y 的方程组? 的解 ? ?a2x+b2y=1

的情况是(B) A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 解析:由题意,直线 y=kx+1 一定不过原点 O,P,Q 是直线 y → 与OQ → 不平行,因此 a b -a b ≠0,所 =kx+1 上不同的两点,则OP 1 2 2 1
? ?a1x+b1y=1, 以二元一次方程组? 一定有唯一解. ?a2x+b2y=1 ?

x2 y2 3.已知椭圆 2+ =1(a>5)的两个焦点为 F1,F2,且|F1F2|=8, a 25 弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为(D) A.10 B.20 C.2 41 D.4 41 4.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m 与 l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为(A)
1

A.-7

B.-1

13 C.-1 或-7 D. 3 x2 y2 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,已知 25 9 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面积为(A) A.9 B.12 C.10 D.8 x2 y 2 6. 椭圆 + =1 上的点到直线 x+2y- 2=0 的最大距离是(D) 16 4 A.3 B. 11 C.2 2 D. 10 x2 y2 7.(2014· 全国大纲卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b 焦点为 F1、F2,离心率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 3

△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为(A) x2 y2 x2 2 A. + =1 B. +y =1 3 2 3 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 12 8 12 4 c 3 解析:如图,∵e= = ,∴a= 3c,∴b2=a2-c2=2c2,∵△ a 3 AF1B 的周长为 |AF1|+ |AB|+ |BF1|= |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+ |BF2|= 4a x2 y2 =4 3,∴a= 3,∴c=1,∴b =2,∴所求的椭圆成为 + =1. 3 2
2

故选 A.

2

8.已知点 P 是椭圆 16x2+25y2=400 上一点,且在 x 轴上方, F1, F2 分别是椭圆的左、 右焦点, 直线 PF2 的斜率为-4 3, 则△PF1F2 的面积是(C) A.24 3 B.12 3 C.6 3 D.3 3

x2 y2 9.(2014· 天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近 a b 线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲 线的方程为(A) x2 y2 A. - =1 5 20 x2 y2 B. - =1 20 5

3x2 3y2 3x2 3y2 C. - =1 D. - =1 25 100 100 25 b 解析:由已知得 =2,∴b=2a,在方程 y=2x+10 中令 y=0, a 得 x=-5,∴-c=-5,∴c2=a2+b2=5a2=25,a2=5,b2=20, x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1.故选 A. 5 20 x2 y2 10.如果椭圆 + =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的 36 9 直线方程是(D) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0

C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0

3

11.(2015· 烟台质检)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴 上,P(2, 3)是椭圆上一点且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭 圆方程为(A) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 8 6 16 6 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 8 4 16 4 x2 y 2 解析:设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由点(2, 3)在椭 a b 4 3 圆上知 2+ 2=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|= a b c 1 2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2-b2,联立解得 a2=8,b2=6. a 2 x2 y2 12.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F,椭圆与过原点 a b 的直线交于 A,B 两点,连接 AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos 4 ∠ABF= ,则 C 的离心率为(B) 5 3 5 4 6 A. B. C. D. 5 7 5 7 解析:如图,在△AFB 中,由余弦定理,得|AF|2=|AB|+|BF|2 4 - 2|AB||BF|cos ∠ ABF ,∴ 62 = 102 + |BF|2 - 20|BF| × ,解得 |BF| = 5 8.∴|AF|2+|BF|2=|AB|2,△AFB 为直角三角形.

4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确 答案填在题中横线上) x 2 y2 13.与椭圆 + =1 具有相同的离心率且过点(2,- 3)的椭圆 4 3 x2 y2 3y2 4x2 的标准方程是 + =1 或 + =1. 8 6 25 25 14.(2015· 新课标Ⅱ卷)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程 1 x2 为 y=± x,则该双曲线的标准方程为 -y2=1. 2 4 1 解析:法一:∵ 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 ∴ 可设双曲线的方程为 x2-4y2=λ(λ≠0). ∵ 双曲线过点(4, 3), ∴ λ=16-4×( 3)2=4, x2 ∴ 双曲线的标准方程为 -y2=1. 4 1 法二:∵ 渐近线 y= x 过点(4,2),而 3<2, 2 1 1 ∴ 点(4, 3)在渐近线 y= x 的下方, 在 y=- x 的上方(如图). 2 2 ∴ 双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线方程为 x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 由已知条件可得 b 1 ? 2 ?a=2, ? ?a =4, 解得? 2 ?16 3 ?b =1, ? ? 2 - 2=1, ?a b x2 ∴ 双曲线的标准方程为 -y2=1. 4

5

15.若过定点(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是(0, 5). 16.(2015· 陕西卷)若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2 -y2=1 的一个焦点,则 p=2 2. p 解析: 抛物线的准线方程为 x=- , p>0, 双曲线的焦点为 F1(- 2 p 2,0),F2( 2,0),所以- =- 2,p=2 2. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知椭圆 C 的焦点为 F1(-2 2,0)和 F2(2 2,0), 长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A,B 两点,求线段 AB 的 中点坐标. 解析:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=2 2,a=3, x2 从而 b=1,所以其标准方程是 +y2=1. 9

?x +y2=1, 联立方程组? 9 消去 y 得 10x2+36x+27=0. ?y=x+2,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),那么 x1 +x2=- x1+x2 18 9 1 ,x0= =- ,所以 y0=x0+2= . 5 2 5 5
? ?

2

? 9 1? 也就是说线段 AB 中点坐标为?-5,5?.

x2 y2 18.(12 分)已知双曲线与椭圆 + =1 共焦点,它们的离心率 9 25 14 之和为 ,求双曲线方程. 5

6

4 解析:由于椭圆焦点为 F(0,±4),离心率为 e= ,所以双曲线 5 的焦点为 F(0,±4),离心率为 2,从而 c=4,a=2,b=2 3. y2 x2 所以双曲线方程为 - =1. 4 12 x 2 y2 19.(12 分)(2014· 新课标Ⅱ卷)设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a a b >b>0)的左、 右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 → |=5|F → (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN 1N|,求 a,b. 分析:本题第(1)问,可结合 MF2 与 x 轴垂直、由勾股定理及椭 圆定义求出椭圆的离心率;对第(2)问题,观察到 MF2 是三角形的中 位线,然后结合向量的坐标运算及椭圆方程,可求出 a,b. 解析:由题意知, |MF2| 3 3 = ,所以|MF2|= c,由勾股定理可得: 2c 4 2

5 3 5 1 |MF1|= c,由椭圆定义可得: c+ c=2a,解得 C 的离心率为 . 2 2 2 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 b2 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b2=4a,由 a → |= 5|F → → → |MN 1N | 得 |DF1 | = 2|F1N | ,设 N(x1 , y1),由题意知 y1 < 0 ,则
? ?2(-c-x1)=c, ?x1=- c, 9c2 1 2 ? 即? 代入 c 的方程得 2+ 2=1, 将 b2 4a b ?-2y1=2 ?

3

?y1=-1,

9(a2-4a) 1 9c2 1 =4a 及 c= a -b 代入 2+ 2=1 得: + =1,解得 a 4a b 4a2 4a
2 2

=7,b=2 7.
7

20.(12 分)求两条渐近线为 x± 2y=0 且截直线 x-y-3=0 所得 8 3 弦长为 的双曲线方程. 3 解析:设双曲线方程为 x2-4y2=λ.
2 2 ? ?x -4y =λ, 联立方程组? 消去 y 得 3x2-24x+(36+λ)=0. ? ?x-y-3=0,

设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),那么 x +x =8, ? ? 36+λ ?x x = 3 , ? ?Δ=24 -12(36+λ)>0,
1 2 1 2 2

那么|AB|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=
? 36+λ? ?= (1+1)?82-4× 3 ? ?

8(12-λ) 8 3 = , 3 3

x2 2 解得 λ=4,所以所求双曲线方程是 -y =1. 4 21.(12 分)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点. (1)若以线段 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; 1 (2)是否存在这样的实数 a,使 A,B 两点关于直线 y= x 对称? 2 说明理由.
8

?3x2-y2=1, ? 解析:(1)联立方程? ?y=ax+1, ?

消去 y 得(3-a2)x2-2ax-2=0.

?x +x =3-a , ? 2 设 A(x ,y ),B(x ,y ),那么? x x =- , 3-a ? ?Δ=(2a) +8(3-a )>0.
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2

2a

→ ⊥OB → ,即 x x + 由于以线段 AB 为直径的圆经过原点,那么OA 1 2 y1y2=0. 所以 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 得(a2+1)× =0,a2<6,解得 a=± 1. 1 (2)假定存在这样的 a,使 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y= x 2
2 2 ? ?3x1-y1=1, 对称,那么? 2 2 ? ?3x2-y2=1, 2 2 2 两式相减得 3(x2 1-x2)=y1-y2,

-2 2a +1 2+a× 3-a 3-a2

从而

y1-y2 3(x1+x2) = .① x1-x2 y1+y2

1 因 为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 关 于 直 线 y = x 对 称 , 所 以 2 y 1 x +x = × , ?y + 2 2 2 代入①式得到:-2=6,矛盾. ?y - y ?x -x =-2,
1 2 1 2 1 1 2 2

也就是说:不存在这样的实数 a,使 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直 1 线 y= x 对称. 2

9

x2 y2 22.(12 分)(2015· 陕西卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的半焦 a b 1 距为 c,原点 O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为 c. 2

(1)求椭圆 E 的离心率; 5 (2)如图,AB 是圆 M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆 2 E 经过 A,B 两点,求椭圆 E 的方程. 解析:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0, 则原点 O 到该直线的距离 d= bc bc 2 2= a , b +c

1 c 3 由 d= c,得 a=2b=2 a2-c2,解得离心率 = . 2 a 2 (2)解法一:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.① 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且|AB|= 10. 易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=k(x+2)+1,代入① 得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 + x2=- 4(2k+1)2-4b2 . 1+4k2 由 x1+x2=-4,得- 8k(2k+1) 1 =-4,解得 k= . 2 2 1+4k
10

8k(2k+1) , x1x2= 1+4k2

从而 x1x2=8-2b2.

于是|AB|= = 5 2

?1?2 1+?2? |x1-x2| ? ?

(x1+x2)2-4x1x2= 10(b2-2).

由|AB|= 10,得 10(b2-2)= 10,解得 b2=3. x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3 解法二:由(1)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2.② 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且|AB|= 10. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2 2 2 2 x2 1+4y1=4b ,x2+4y2=4b ,

两式相减并结合 x1+x2=-4,y1+y2=2,得 -4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1≠x2, 所以 AB 的斜率 kAB= y1-y2 1 = . x1-x2 2

1 因此直线 AB 的方程为 y= (x+2)+1,代入②得 2 x2+4x+8-2b2=0. 所以 x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 于是|AB|= =
?1?2 1+?2? |x1-x2| ? ?

5 (x1+x2)2-4x1x2= 10(b2-2). 2

由|AB|= 10,得 10(b2-2)= 10, 解得 b2=3.
11

x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 12 3

12


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