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南通市2015届高三三模数学学科参考答案及评分建议


南通市 2015 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 设集合 A?{3,m},B?{3m,3},且 A?B,则实数 m 的值是 【答案】0 2. 已知复数 z? (1 ? i)(1 ? 2i) (i 为虚数单位),则 z 的实部为

【答案】3
?| x |≤1, 3. 已知实数 x,y 满足条件 ? 则 z?2x+y 的最小值是 ?| y |≤1,













【答案】?3 4. 为了解学生课外阅读的情况,随机统计了 n 名学生的课外阅读时间,所得数据都在[50,150]
75) 中的频数为 100,则 n 的值为 中,其频率分布直方图如图所示.已知在 [50,





【答案】1000
0.016 0.012 0.008 0.004 0

频率 组距 N y←5

开始 输入 x x<4 Y y←x2?2x+2 输出 y

50 75 100 125 150 时间(小时) (第 4 题)

结束 (第 5 题)

5. 在如图所示的算法流程图中,若输出的 y 的值为 26,则输入的 x 的值为 【答案】?4





6. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为 x,则 log2x 为整数的概率为 【答案】





4 9

7. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 为抛物线 x2?8y 的焦点,则 F 到双曲线 x2 ? 的距离为 【答案】 ▲
10 5

y2 ? 1 的渐近线 9



8. 在等差数列{an}中,若 an+an+2?4n+6(n∈N*) ,则该数列的通项公式 an? 【答案】2n+1
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9. 给出下列三个命题: ①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件; ②“α>β”是“cosα<cosβ”的必要不充分条件; ③“a?0”是“函数 f(x) ??x3+ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为 【答案】③ 10.已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm,其表面展开图如图所示,则该空间几何体的体积 V? ▲ cm3.
D C





2 【答案】 1 ? 6

F P A (第 10 题) B E (第 11 题)

11. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心,AE 为半径,作弧交 AD 于点 F.若 P 为劣弧 EF 上的动点,则 PC PD 的最小值为 【答案】 5 ? 2 5
?2 x3 ? 3x2 ? m, 0 ≤ x ≤1, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点, x> 1. ?mx ? 5,





则实数 m 的取值范围为 【答案】 (?5,0)





13.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(?5,a)作圆 x2+y2?2ax+2y?1?0 的两条切线,切点分别 为 M(x1,y1),N(x2,y2),且 【答案】3 或?? 14.已知正实数 x,y 满足 x ?
2 4 ? 3 y ? ? 10 ,则 xy 的取值范围为 x y y2 ? y1 x1 ? x2 ? 2 ? ? 0 ,则实数 a 的值为 x2 ? x1 y1 ? y2









8 【答案】[1, ] 3

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二、 解答题: 本大题共 6 小题, 共计 90 分. 请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,B1C⊥AB,侧面 BCC1B1 为菱形. (1)求证:平面 ABC1⊥平面 BCC1B1; (2)如果点 D,E 分别为 A1C1,BB1 的中点, 求证:DE∥平面 ABC1. 解: (1)因三棱柱 ABC?A1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形, 故 B1C⊥BC1.??????????????????????????? 又 B1C⊥AB,且 AB,BC1 为平面 ABC1 内的两条相交直线, 故 B1C⊥平面 ABC1. 因 B1C ? 平面 BCC1B1, 故平面 ABC1⊥平面 BCC1B1. (2)如图,取 AA1 的中点 F,连 DF,FE. 又 D 为 A1C1 的中点,故 DF∥AC1,EF∥AB. 因 DF ? 平面 ABC1,AC1 ? 平面 ABC1, 故 DF∥面 ABC1. 同理,EF∥面 ABC1. 因 DF,EF 为平面 DEF 内的两条相交直线, 故平面 DEF∥面 ABC1.???????????????????????? 12 分 因 DE ? 平面 DEF, 故 DE∥面 ABC1.?????????????????????????? 14 分 16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A, ? , ? 为常数,
y 2
? ? 3

A1 B1

D

C1

E A B (第 15 题) C

2分

A1 B1 F E A B

D

C1

5分

7分
C (第 15 题答图)

??????? 10 分

? ? 且 A>0, ? >0, ? <?< )的部分图象如图所示. 2 2
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f (? ) ?

O ?2

?? 3

x

3 ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 6 2
数学学科参考答案及评分建议 第 3 页(共 14 页)

(第 16 题)

解: (1)由图可知,A?2,??????????????????????? ? ? ? ? T? 2 ? ,故 ? ? 1 ,所以,f(x) ? 2sin( x ? ? ) .?????????????? 又 f(

2 分? 4分

2? 2? ? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 ,且 ? <?< ,故 ? ? ? .? 3 3 2 2 6
7 分? 9 分? 12 分 14 分

? 于是,f(x) ? 2sin( x ? ) .?????????????????????? 6
(2)由 f (? ) ?

? 3 3 ,得 sin(? ? ) ? .???????????????? 6 4 2

? ? ?? ? ? ? ? 所以, sin(2? ? ) ? sin ? 2(? ? ) ? ? ? cos ? 2(? ? ) ? ?????????? 6 6 2 6 ? ? ? ?

? 1 = 1 ? 2sin 2 (? ? ) ? ? .?????????????? 6 8
17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 F2( 3 ,0),且经过点( 3 ,

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点分别为 F1( ? 3 ,0), a 2 b2

1 ). 2

(1)求椭圆的方程及离心率; (2)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设直 线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2?k3k4. ①求 k1k2 的值; ②求 OB +OC 的值.
F1
2 2

y D C O B F2 x

解: (1)方法一

(第 17 题)

依题意,c? 3 ,a2?b2+3,?????????????????????
1 3 3 ? 4 ? 1 ,解得 b2?1(b2? ? ,不合,舍去),从而 a2?4. 由 2 b ? 3 b2 4

2分

故所求椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 . 4

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离心率 e? 方法二

3 .?????????????????????????? 2

5分

1 1 由椭圆的定义知,2a? (? 3 ? 3) 2 ? (0 ? ) 2 ? ( 3 ? 3) 2 ? (0 ? ) 2 ?4, 2 2

即 a?2.????????????????????????????? 又因 c? 3 ,故 b2?1.下略. (2)①设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 D(?x1,?y1),
y2 ? y1 y2 ? y1 y ? y1 ? ? 2 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12
2 2 2

2分

于是 k1k2? ②方法一

(1 ?

2 x2 x2 ) ? (1 ? 1 ) 4 4 ? ? 1 .??????? 2 x2 ? x12 4

8分

1 由①知,k3k4?k1k2? ? ,故 x1x2? ?4 y1 y2 . 4
所以,(x1x2)2?(?4y1y2)2,即(x1x2)2? 16(1 ?
x12 x2 2 2 )(1 ? 2 ) ? 16 ? 4( x12 ? x2 ) ? x12 x2 , 4 4

2 所以, x12 ? x2 ?4.?????????????????????????? 11 分
2 x12 x2 x 2 ? x2 2 2 2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 )? 1 ? y12 ? y2 ?1. ,故 y12 ? y2 4 4 4

又 2? (

2 2 所以,OB2+OC2 ? x12 ? y12 ? x2 ?5.???????????????? ? y2

14 分

方法二

1 由①知,k3k4?k1k2? ? . 4
将直线 y?k3x 方程代入椭圆
2 ? 同理, x2

4 x2 .???????? ? y 2 ? 1 中,得 x12 ? 1 ? 4k32 4

9分

4 . 2 1 ? 4k4

2 ? 所以, x12 ? x2

4 4 4 4 ? ? ?4.???????? ? 2 2 2 1 2 1 ? 4k3 1 ? 4k4 1 ? 4k3 1 ? 4(? ) 4k3

11 分

下同方法一.

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18. (本小题满分 16 分) 为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200 m,圆心角为 120°的扇形地上建造 市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在半径 OP, OQ 上,C,D 在圆弧 PQ 上,CD∥AB;△OAB 区域为文化展示区,AB 长为 50 3 m;其余 空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 ....200 m. (1)试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? (2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC= 2? ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函数,并求出 S 的最大值.
200] , 解: (1)设 OA ? m,OB ? n,m,n ? (0,
D B P A O C Q

2? 在△ OAB 中, AB ? OA ? OB ? 2OA ? OB ? cos , 3
2 2 2

(第 18 题)

即 (50 3)2 ? m2 ? n2 ? mn ,???????????????????? 所以, (50 3)2 ? (m ? n)2 ? mn ≥ (m ? n)2 ?

2分 4分

(m ? n)2 3 ? (m ? n)2 ,???? 4 4

所以 m ? n ≤ 100 ,当且仅当 m=n=50 时, m ? n 取得最大值,此时△ OAB 周长取得最大值. 答:当 OA、OB 都为 50 m 时,△ OAB 的周长最大. (2)当△AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E, 则 E、 F 分别为 AB,CD 的中点,
? 所以 ?DOE ? ? ,由 CD ≤ 200 ,得 ? ? (0, ] . 6
OF ? 200cos ? . 在△ ODF 中, DF ? 200sin ?,
E P A O B D F C Q

6分

8分

(第 18 题答图)

又在△ AOE 中, OE ? OA cos

? ? 25 ,故 EF ? 200 cos ? ? 25 . 3

10 分

1 所以, S ? (50 3 ? 400sin ? )(200cos? ? 25) 2

? 625( 3 ? 8sin ? )(8cos? ? 1)
? ? 625(8 3 cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3) , ? ? (0, ] .???? 6

12 分

(一直没有交代范围扣 2 分)

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第 6 页(共 14 页)

? 令 f (? ) ? 8 3 cos? ? 8sin ? ? 64sin ? cos? ? 3 , ? ? (0, ] , 6

? ? f ?(? ) ? ?8 3sin ? ? 8cos? ? 64cos 2? ? ?16sin(? ? ) ? 64cos 2? , ? ? (0, ] , 6 6

? ? 又 y= ?16sin(? ? ) 及 y= cos 2? 在 ? ? (0, ] 上均为单调递减函数, 6 6
? 故 f ?(? ) 在 ? ? (0, ] 上为单调递减函数. 6
? 3 1 ? ? 4 ? ) >0,故 f ?(? ) >0 在 ? ? (0, ] 上恒成立, 因 f ?( ) ? ?16( 6 2 2 6

? 于是, f (? ) 在 ? ? (0, ] 上为单调递增函数. 6

??? 14 分

所以当 ? ? 答:当 ? ?

? 时, f (? ) 有最大值,此时 S 有最大值为 625(8 ? 15 3) . 6 ? 时,梯形 ABCD 面积有最大值,且最大值为 625(8 ? 15 3) m2.? 16 分 6

19. (本小题满分 16 分) 已知数列{an},{bn}中,a1=1, bn ? (1 ? (1)若 an ? 2n?1 ,求 Sn; (2)是否存在等比数列{an},使 bn? 2 ? Sn 对任意 n∈N*恒成立?若存在,求出所有满足条件 的数列{an}的通项公式;若不存在,说明理由; (3)若 a1≤a2≤?≤an≤?,求证:0≤Sn<2.
2 an 1 )? ,n∈N?,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. 2 an ?1 an ?1

1 1 3 解: (1)当 an? 2 n ?1 时,bn? (1 ? ) ? n ? n? 2 .??????????????? 4 2 2 3 1 所以,Sn? (1 ? ? 8 2 ? 1 3 3 ) ? ? n? 2 .??????????????? n ?1 2 4 2

2分 4分

(2)满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 和 an= (?1)n?1 . 证明:在 bn? 2 ? Sn 中,令 n=1,得 b3=b1. 设 an= q n ?1 ,则 bn= (1 ? 由 b3=b1,得 (1 ?
1 1 ) .??????????????????? q2 qn

6分

1 1 1 1 ) 3 ? (1 ? 2 ) . 2 q q q q
数学学科参考答案及评分建议 第 7 页(共 14 页)

若 q= ?1 ,则 bn=0,满足题设条件.此时 an=1 和 an= (?1)n?1 .??????? 若 q ? ?1 ,则
1 1 ? ,即 q2 =1,矛盾. q3 q

8分

综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是 an=1,另一是 an= (?1)n?1 . 10 分 (3)因 1=a1≤a2≤?≤an≤?,故 an>0 ,0< 所以, bn ? (1 ?
an a2 ≤1,于是 0< 2n ≤1. a n ?1 an ?1

2 an 1 )? ≥0,n?1,2,3,?. 2 an ?1 an ?1

所以,Sn?b1+b2+?+bn≥0.?????????????????????? 13 分 又, bn ? (1 ? ? (1 ?
2 a a an 1 1 ? (1 ? n )(1 ? n ) ? )? 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1

an 1 a 1 1 1 )( ? ) ? n ≤ 2( ? ). an ?1 an an ?1 an ?1 an an ?1 1 1 1 1 ? ) ? 2( ? ) ? a1 a2 a2 a3 ? 2( 1 1 ? ) an an ?1

故,Sn?b1+b2+?+bn≤ 2( ? 2(

1 1 1 ? ) ? 2(1 ? ) <2. a1 an ?1 an ?1

所以,0≤Sn<2.?????????????????????????

16 分

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 . ? ln x (a∈R) x

(1)若 a=2,求函数 f ( x) 在(1,e2)上的零点个数(e 为自然对数的底数) ; (2)若 f ( x) 恰有一个零点,求 a 的取值集合; (3)若 f ( x) 有两零点 x1,x2(x1<x2),求证:2<x1+x2< 3ea ?1 ?1. 解: (1)由题设, f ?( x) ?

1? x ,故 f ( x) 在(1,e2)上单调递减.???????? 2 x

2分

所以 f ( x) 在(1,e2)上至多只有一个零点. 又 f (1) f (e2 ) ? 1? (? (2) f ?( x) ?

1 ) <0,故函数 f ( x) 在(1,e2)上只有一个零点.????? 4 分 2 e

1? x ,令 f ?( x) ?0,得 x?1. x2
数学学科参考答案及评分建议 第 8 页(共 14 页)

当 x>1 时, f ?( x) <0, f ( x) 在 (1,? ?) 上单调递减; 当 0<x<1 时, f ?( x) >0, f ( x) 在(0,1)上单调递增, 故 [ f ( x)]max ?f(1)?a?1.????????????????????? ①当 [ f ( x)]max ?0,即 a?1 时,因最大值点唯一,故符合题设;????? ②当 [ f ( x)]max <0,即 a<1 时,f(x)<0 恒成立,不合题设; ③当 [ f ( x)]max >0,即 a>1 时,一方面, ?e a >1, f (ea ) ? ? 6分 8分

1 <0; ea

另一方面, ?e? a <1, f (e? a ) ? 2a ? ea ≤2a?ea<0(易证:ex≥ex), 于是,f(x)有两零点,不合题设. 综上,a 的取值集合为{1}.?????????????????????? 10 分 (3)证:先证 x1+x2>2. 依题设,有 a? 记
x ?x x 1 1 ? ln x1 ? ? ln x2 ,于是 2 1 ? ln 2 . x1 x2 x1 x2 x1

x2 t ?1 t ?1 ?t,t>1,则 ln t ? ,故 x1 ? . x1 tx1 t ln t

于是,x1+x2?x1(t+1)? 记函数 g(x)? 因 g ?( x) ?

t ?1 ,x1+x2?2? t ln t
2

2(

t2 ?1 ? ln t ) 2t . ln t

x2 ? 1 ? ln x ,x>1. 2x

( x ? 1)2 >0,故 g(x)在 (1,? ?) 上单调递增. 2 x2

于是,t>1 时,g(t)>g(1)?0. 又 lnt>0,所以,x1+x2>2.??????????????????????? 13 分 再证 x1+x2< 3ea ?1 ?1. 因 f(x)?0 ? h(x)?ax?1?xlnx?0,故 x1,x2 也是 h(x)的两零点. 由 h?( x) ?a?1?lnx?0,得 x? e a ?1 (记 p? e a ?1 ).
?h( p )>0, 仿(1)知,p 是 h(x)的唯一最大值点,故有 ? ? x1<p<x2 .

作函数 h(x)? ln x ?

2( x ? p ) ( x ? p)2 ? ln p ,则 h?( x) ? ≥0,故 h(x)单调递增. x? p x( x ? p ) 2

故,当 x>p 时,h(x)>h(p)?0;当 0<x<p 时,h(x)<0.
数学学科参考答案及评分建议 第 9 页(共 14 页)

于是,ax1?1?x1lnx1<

2 x1 ( x1 ? p ) ? x1 ln p . x1 ? p

整理,得 (2 ? ln p ? a) x12 ? (2 p ? ap ? p ln p ? 1) x1 ? p >0, 即, x12 ? (3ea ?1 ? 1) x1 ? ea ?1 >0.
2 同理, x2 ? (3ea ?1 ? 1) x2 ? ea ?1 <0.
2 故, x2 ? (3ea ?1 ? 1) x2 ? ea ?1 < x12 ? (3ea ?1 ? 1) x1 ? ea ?1 ,

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )<(3ea?1 ? 1)( x2 ? x1 ) ,
于是, x1 ? x2<3ea ?1 ? 1 . 综上,2<x1+x2< 3ea ?1 ?1.????????????????????? 16 分

数学学科参考答案及评分建议

第 10 页(共 14 页)

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4?1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,BC 为圆 O 的直径,A 为圆 O 上一点,过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 P, AH⊥PB 于 H. 求证:PA· AH?PC· HB.
C B H O

证:连 AC,AB. 因 BC 为圆 O 的直径,故 AC⊥AB. 又 AH⊥PB,故 AH2?CH· HB,即

P

A (第 21(A)题)

AH HB .???????????? ? CH AH

5分

因 PA 为圆 O 的切线,故∠PAC?∠B. 在 Rt△ABC 中,∠B+∠ACB??0°. 在 Rt△ACH 中,∠CAH+∠ACB??0°. 所以,∠HAC?∠B. 所以,∠PAC?∠CAH, 所以, 所以,
P C A (第 21(A)题答图) H O B

PC PA AH PA ,即 . ? ? CH AH CH PC PA HB ,即 PA· AH?PC· HB.???????????????? ? PC AH
10 分

B.[选修 4?2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

? 0 1? ?, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(1,2) ,矩阵 M ? ? 1 ?? 0? ? 2 ?
点 A,B,C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 A? , B? , C ? ,求△ A?B ?C ? 的面积.

? 2 ? ?0? ?0? ? 2? ? 0 ? ?1 ? ? ? 解:因 M ? ? ? ? ? , M ? ? ? ? ? , M ? ? ? 1 , ?0? ?0? ? 0 ? ? ?1? ? 2? ? ? ? ? 2?

1 即 A?(0, 0), B?(0, ? 1), C?(2, ? ) .???????????????????? 2
1 故 S ? ? A?B? ? 2 ? 1 .???????????????????????? 2
数学学科参考答案及评分建议 第 11 页(共 14 页)

6分 10 分

C.[选修 4?4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? x ? r cos ?, 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, r 为常数, r>0) . 以 ? y ? r sin ?,

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 .若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 AB ? 2 2 ,求 r 的值. 4

? 解:由 2? cos(? ? ) ? 2 ? 0 ,得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 , 4
即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????? 3 分
? x ? r cos ?, 由? 得曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,圆心坐标为 (0,0) ,??? ? y ? r sin ?,

6分

所以,圆心到直线的距离 d ? 2 ,由 AB ? 2 r 2 ? d 2 ,则 r ? 2 .?????? 10 分

D.[选修 4?5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 a,b,c,d 满足 a>b>c>d,求证: 证:因 a>b>c>d,故 a?b>0,b?c>0,c?d>0.
4 9 ? ? 1 2 ? ? 故 [(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] ? ? ≥ (1 ? 2 ? 3) ? 36 ,????? 6 分 ?a?b b?c c?d ?

1 4 9 36 . ? ? ≥ a ?b b?c c ?d a ?d

所以,

1 4 9 36 .??????????????????? 10 分 ? ? ≥ a ?b b?c c ?d a ?d

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,正四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB . (1)求 AD1 与面 BB1 D1 D 所成角的正弦值; (2)点 E 在侧棱 AA1 上,若二面角 E?BD?C1 的余弦值为 求
AE 的值. AA1
数学学科参考答案及评分建议 第 12 页(共 14 页) A1 D1 B1 C1

3 , 3
A

D B (第 22 题)

C

解: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系 D?xyz. 设 AB ? 1 ,则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) , B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,D1(0,0,2) , A1(1,0,2) ,B1(1,1,2) ,C1(0,1,2) . (1)设 AD1 与面 BB1 D1 D 所成角的大小为 ? ,
D C A1 D1 z C1 B1

2分

AD1 ? (?1 ,, 0 2) ,
设平面 BB1 D1 D 的法向量为 n?(x,y,z) ,

A B x (第 22 题答图)

y

DB ? (1,1,0) , DD1 ? (0,0, 2) ,则 n ? DB ? 0, n ? DD1 ? 0 ,即 x ? y ? 0, z ? 0 .
0) , sin ? ?| cos ? AD1 , n ?|?| 令 x ? 1 ,则 y ? ?1 ,所以 n ? (1,? 1,

AD1 ? n | AD1 || n |

|?

10 , 10

所以 AD1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 (2)设 E(1,0, ? ),0≤ ? ≤2.

10 .?????????? 10

6分

设平面 EBD 的法向量为 n1?(x1,y1,z1) ,平面 BDC1 的法向量为 n2?(x2,y2,z2) ,

DB ? (1 ,, 1 0), DE ? (1 ,, 0 ?) ,
由 n1 ? DB ? 0,n1 ? DE ? 0 ,得 x1 ? y1 ? 0, x1 ? ? z1 ? 0 , 令 z1 ? 1 ,则 x1 ? ?? , y1 ? ? , n1 ? (?? , ? ,1) , DC1 ? (0,1, 2) , 由 n2 ? DB ? 0,n2 ? DC1 ? 0 ,得 x2 ? y2 ? 0,y2 ? 2 z2 ? 0 , 令 z2=1,则 x2=2,y2=?2, n2 ? (2, ?2,1) , cos ? n1 , n2 ??
n1 ? n2 1 ? 4? ? , | n1 || n2 | 3 2? 2 ? 1

所以

3 1 ? 4? AE 1 ? .??????????? ?| | ,得 ? ? 1 .所以 2 AA1 2 3 3 2? ? 1

10 分

23. (本小题满分 10 分)
数学学科参考答案及评分建议 第 13 页(共 14 页)

袋中共有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出 一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个 白球放入袋中.重复上述过程 n 次后,袋中白球的个数记为 Xn. (1)求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2); (2)求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式. 解: (1)由题意可知 X2?3,4,5. 当 X2?3 时,即二次摸球均摸到白球,其概率是 P(X2?3)?
C1 C1 9 3 3 ? ; ? 1 1 C8 C8 64
1 1 C1 C1 35 3 C5 5 C4 ? ; ? 1 1 1 C1 C C C 64 8 8 8 8

当 X2?4 时,即二次摸球恰好摸到一白,一黑球,其概率是 P(X2?4)? 当 X2?5 时,即二次摸球均摸到黑球,其概率是 P(X2?5)? 所以随机变量 X2 的概率分布如下表:

1 C1 5 5C4 ? .?? 1 1 C8 C8 16

3分

3 4 5 9 35 5 P 16 64 64 (一个概率得一分 不列表不扣分) 9 35 5 267 数学期望 E(X2)? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? .???????????? 5分 64 64 16 64 (2)设 P(Xn?3+k)?pk,k?0,1,2,3,4,5. 则 p0+p1+p2+p3+p4+p5?1,E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5. 3 5 4 4 5 3 6 P(Xn+1?3)? p0 ,P(Xn+1?4)? p0+ p1,P(Xn+1?5)? p1+ p2,P(Xn+1?6)? p2+ p3, 8 8 8 8 8 8 8 2 7 1 8 P(Xn+1?7)? p3+ p4,P(Xn+1?8)? p4+ p5,????????? 7分 8 8 8 8 所以,E(Xn+1) 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1 8 ?3× p0+4× ( p0+ p1)+5× ( p1+ p2)+6× ( p2+ p3)+7× ( p3+ p4)+8× ( p4+ p5) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 29 36 43 50 57 64 ? p0+ p1+ p2+ p3+ p4+ p5 8 8 8 8 8 8 7 ? (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 8 7 ? E(Xn)+1. ???????9 分 8 7 由此可知,E(Xn+1)?8? (E(Xn)?8). 8 35 35 7 又 E(X1)?8? ? ,所以 E(Xn)? 8 ? ( )n?1 .??????????? 10 分 8 8 8

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