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2013届高考数学第一轮精讲精练7 第七章 立体几何初步复习教案 新人教版


2013 高中数学精讲精练 第七章 立体几何初步
【知识图解】

空间几 何体

构成几 何体 的基本 元素 柱、 锥、台、球 的特征 平面的基本性 质

直观认 识线面平行 与垂直 表面积 与体积

中心投 影与平行投 影 直观图 与三视图的 画法

确定平面的位置关系

直线与直线的平行 关系

点、线、 面之间的位 置关系

空间中的平行 关系

直线与平面平行的判断 及性质 平面与平面平行的判断 及性质 直线与直线的垂直 关系 直线与平面垂直的判断 及性质 平面与平面垂直的判断 及性质

空间中的垂直 关系

【方法点拨】

立体几何研究的是现实空间,认识空间图形,可以培养学生的空间想象能力、推理论证 能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体,对 于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系,几何体着重研究棱柱、 棱锥和球。在复习时我们要以下几点: 1.注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意:将文字语言转化为图形,并明确已知 元素之间的位置关系及度量关系;借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系;能从 复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系,并借助直观感觉展开联想与猜想,进行推理 与计算。 2.归纳总结,分门别类。从知识上可以分为:平面的基本性质、线线、线面、面面的平 行与垂直、空间中角与距离的计算。 3.抓主线,攻重点。针对一些重点内容加以训练,平行和垂直是位置关系的核心,而线 面垂直又是核心的核心,角与距离的计算已经降低要求。 4.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法,如: 将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判 断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
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第 1 课 空间几何体 【考点导读】 1.观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构; 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能 识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图; 3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的 不同表示形式; 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【基础练习】 1.一个凸多面体有 8 个顶点,①如果它是棱锥,那么它有 14 条棱, 8 个面; ②如果它是棱柱,那么它有 12 条棱 6 个面。 2.(1)如图,在正四面体 A-BCD 中,E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心,则 △EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。

A

F?
B

G?

?

E

C

D

① ④





(2)如图,E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体 的面上的射影可能是图的 ②③ (要求:把可能的图的序号都填上). .

【范例导析】 例 1.下列命题中,假命题是 (1)(3) 。(选出所有可能的答案) (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 (2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (3)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 (4)若一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体 分析:准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。

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(1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。(3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否 交于一点。 例 2. ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面积为

3 ,那么△ABC 的面积为_______________。
解析: 2 6 。 点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的 对应关系。特别底和高的对应关系。 例 3.(1)画出下列几何体的三视图

(2)某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

分析:三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。 解析:(1)这两个几何体的三视图分别如下:

(2)该几何体为一个正四棱锥。 点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。一般先画主 视图,其次画俯视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成 虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特 征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。 左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。 【反馈演练】 1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是

1? 2? 。 2?

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2.如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁 球,水面高度恰好升高 r,则

R 2 3 = 。 3 r

解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加π R ·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积,因 此有

2

4 3 R 2 3 2 3 2 π r =π R r。故 ? 。答案为 。 3 r 3 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 3.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示),若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是 ? 。 4.空间四边形 ABCD 中, AC ? 8 , BD ? 12 , E 、 、 、 分别是 AB 、 、 、 F G H BC CD DA 边上的点,且 EFGH 为平行四边形,则四边形 EFGH 的周长的取值范围是 _
(16 , 24 )

3 2

_。

5.三棱锥 P ? ABC 中, PC ? x ,其余棱长均为 1。 (1)求证: PC ? AB ; (2)求三棱锥 P ? ABC 的体积的最大值。 解:(1)取 AB 中点 M ,∵ ?PAB 与 ?CAB 均为正三角形, ∴ AB ? PM , AB ? CM , ∴ AB ? 平面 PCM 。 ∴ AB ? PC (2)当 PM ? 平面 ABC 时,三棱锥的高为 PM , 此时 Vmax ? S ?ABC ? PM ? ?
1 3 1 3 3 4

P

A M B

C

?

3 2

?

1 8

6.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心 O1 且平行于母线 AB 的平面所截, 若截面与圆锥侧面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)为 p 的抛物线. (1)求圆锥的母线与底面所成的角; (2)求圆锥的全面积. 解: (1)设圆锥的底面半径为 R,母线长为 l, 由题意得: ?l ? 2?R , R 1 即 cos ACO1 ? ? , l 2 所以母线和底面所成的角为 60 0. (2)设截面与圆锥侧面的交线为 MON, 其中 O 为截面与 AC 的交点,则 OO1//AB 且 OO1 ? 1 AB.
2

在截面 MON 内,以 OO1 所在有向直线为 y 轴,O 为原点,建立坐标系,

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则 O 为抛物线的顶点,所以抛物线方程为 x =-2py, 2 点 N 的坐标为(R,-R),代入方程得:R =-2p(-R), 得:R=2p,l=2R=4p. ∴圆锥的全面积为 ?Rl

2

? ?R 2 ? 8?p 2 ? 4?p 2 ? 12?p 2 .

说明:将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.

第2课 【考点导读】

平面的性质与直线的位置关系

1.掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想象它 们之间的位置关系。 2.掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题,并能进行解决和证明相关问题。 3.理解反证法证明的思路,会用反证法进行相关问题的证明。 【基础练习】 1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 (3) 。 (1)∵ A ? ? , B ? ? ,∴ AB ? ? . (2)∵ a ? ? , a ? ? ,∴ ? ? ? ? a . (3)∵ A ? a, a ? ? ,∴ A ? ? . 2.下列推断中,错误的是 (4) 。 (1) A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? (2) A, B, C ? ? , A, B, C ? ? ,A,B,C 不共线 ? ? , ? 重合 (3) A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB (4) l ? ? , A ? l ? A ? ? 3.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” (1)空间三点可以确定一个平面 ( ) (2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( (3)两条直线可以确定一个平面( ) (4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( ) (5)两条相交直线可以确定一个平面( ) (6)三条平行直线可以确定三个平面( ) (7)一条直线和一个点可以确定一个平面( ) (8)两两相交的三条直线确定一个平面( ) ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻× (4)∵ A ? a, a ? ? ,∴ A ? ? .



A1 B1 A B C

D1 C1 E D

4. 如右图, E 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 DD1 的中点, 点 则过点 E 与直线 AB 和 B1C1 都相交的直线的条数是: 1 条 5.完成下列证明,已知直线 a、b、c 不共面,它们相交于点 P,A?a,D?a,B?b,E?c

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求证:BD 和 AE 是异面直线 证明:假设__ 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面_

_内

?A?a,D?a,∴__?γ . ?P?a,∴P?__. ?P?b,B?b,P?c,E?c ∴_ _??, __??,这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 答案:假设 BD、AE 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面 ? 内。 ∵A?a,D?a,∴ a ??. ∵P?a,P? ? . ∵P?b,B?b,P?c,E?c. ∴ b ??,c ??,这与 a、b、c 不共面矛盾 ∴BD、AE 是异面直线 【范例导析】 例 1.已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

??? ? ??? ???? ? ??? ???? ???? ???? ???? ? ? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC , OH ? kOD ,
A
(1)求证:四点 E , F , G , H 共面;(2)平面 AC // 平面 EG . 分析 :证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明, 也可以转化为直线共面的条件即几何证法。 解:法一:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

?

O
D

C
B

H
E F

G

????

??? ???? ?

????

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD ) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ???? ? ? EF ? EH
∴ E , F , G , H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 法二:(1)? EF ? OF ? OE OE ? kOA, OF ? KOB, ∴ EF ? k (OB ? OA) ? k AB ∴ EF // AB 同理 HG // DC 又 AB // DC ∴ EF // HG

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

????

????

??? ?

???? ??? ??? ? ?
??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴ E , F , G , H 共面; (2)由(1)知: EF // AB ,从而可证 EF // 面ABCD 同理可证 FG // 面ABCD ,所以,平面 AC // 平面 EG . 点评:熟练掌握定理是证明的关键,要学会灵活运用。
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例 2.已知空间四边形 ABCD. (1)求证:对角线 AC 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状; (3)若 AB=BC=CD=DA,作出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段. 分析:证明两条直线异面通常采用反证法。 证明:(1)(反证法)假设 AC 与 BD 不是异面直线,则 AC 与 BD 共面, 所以 A、B、C、D 四点共面 这与空间四边形 ABCD 的定义矛盾 所以对角线 AC 与 BD 是异面直线 (2)解:∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,∴EF//AC,且 EF= 同理 HG//AC,且 HG=

1 AC. 2

1 AC.∴EF 平行且相等 HG,∴EFGH 是平行四边形. 2

又∵F,G 分别为 BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角. o ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90 .∴EFGH 是矩形. (3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求. 点评:在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题,取中点往往是很有效的方法,特 别是遇到等腰三角形的时候。 例 3.如图,已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AA1 和棱 CC1 上的点,且

AE ? C1 F ,求证:四边形 EBFD1 是平行四边形
简证:由 AE ? C1 F 可以证得 ?ABE ≌ ?C1D1F 所以 BE ? D1 F 又可以由正方体的性质证明 BE // D1 F

D1

A1
D E A

C1 F B1
C
B

所以四边形 EBFD1 是平行四边形

例 4:如图,已知平面 ? , ? ,且 ? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C , D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ; (Ⅱ) PC ? PD ? 1, CD ? 若 试判断平面 ? 与平面 ? 的位置关系, 并证明你的结论. 2,

解:(Ⅰ)因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB . 同理 PD ? AB . 又 PC ? PD ? P ,故 AB ? 平面 PCD . (Ⅱ)平面 ? ? 平面 ? 。证明如下:设 AB 与平面 PCD 的交点为 H , 连结 CH 、 DH .因为 AB ? 平面 PCD ,所以 AB ? CH , AB ? DH , 所以 ?CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角. 又 PC ? PD ? 1, CD ?

?
C
B

P

?
D A

2 ,所以 CD 2 ? PC 2 ? PD 2 ? 2 ,即 ?CPD ? 900 .

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在平面四边形 PCHD 中, ?PCH ? ?PDH ? ?CPD ? 900 , 所以 ?CHD ? 900 .故平面 ? ? 平面 ? . 【反馈演练】 1.判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ( ) (2)两线段 AB、CD 不在同一平面内,如果 AC=BD,AD=BC,则 AB⊥CD( ) (3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60? ( ) (4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.定点 P 不在△ABC 所在平面内,过 P 作平面α ,使△ABC 的三个顶点到α 的距离相等,这 样的平面共有 4 个。 3.给出以下四个命题:(1)若空间四点不共面,则其中无三点共线;(2)若直线上有 一点在平面外,则该直线在平面外;(3)若直线 a,b,c 中,a 与 b 共面且 b 与 c 共面,则 a 与 c 共面;(4)两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。

C
4.如图,已知 ? ? ? ? l , A ? l , B ? l , (A,B 不重合)

β B

A

l

过 A 在平面α 内作直线 AC,过 B 在平面β 内作直线 BD。 D 求证:AC 和 BD 是异面直线。 α 证明:(反证法)若 AC 和 BD 不是异面直线, 设确定平面γ ,则由题意可知:平面α 和γ 都过 AC 和 AC 外一点 B,所以两平面重合。 同理可证平面β 和γ 也重合,所以平面α 和β 也重合。 这与已知条件平面α 和β 相交矛盾。 所以 AC 和 BD 是异面直线。

第3课 【考点导读】

空间中的平行关系

1.掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2.明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与性质定理 多是不可逆的。 3.要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1.若 a、b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 2.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. 异面或相交 。

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③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 4 个。 . 3.对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l

垂直



4. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α 、β 、r 是三个不重合的平面,下面六个命题: ①a∥c,b∥c ? a∥b;②a∥r,b∥r ? a∥b;③α ∥c,β ∥c ? α ∥β ; ④α ∥r,β ∥r ? α ∥β ;⑤a∥c,α ∥c ? a∥α ;⑥a∥r,α ∥r ? a∥α . 其中正确的命题是 ①④ 。

【范例导析】 例 1.如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 是平行四边形. 求证:AB∥平面 EFG. 证明 :∵面 EFGH 是截面. ∴点 E,F,G,H 分别在 BC,BD,DA,AC 上. ∴EH 面 ABC,GF 面 ABD, 由已知,EH∥GF.∴EH∥面 ABD. 又 ∵EH 面 BAC,面 ABC∩面 ABD=AB ∴EH∥AB. ∴AB∥面 EFG. 例 2. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,并且 CM=DN. 求证:MN∥平面 AA1B1B. 分析:“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任 何一种转化方式。 简证:法 1:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。 即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行,如图所示作平行线即可。 法 2:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连 CN 并延长交直线 BA 于点 P, 连 B1P,就是所找直线,然后再设法证明 MN∥B1P.
11

D
11

C B

法 3:把证“线面平行”转化为证“面面平行”。 过 M 作 MQ//BB1 交 BC 于 B1,连 NQ,则平面 MNQ 与平面 ABB1A1 平行, 从而证得 MN∥平面 ABB1A1.

A
11

D N A E
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11

M C F B

点评:证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。

【反馈演练】 1.对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是(3)。 (1)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥? (3)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥n (2)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n (4)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n

2. 设 a、b 是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是 (2) 。 (1)经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b (2)经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b (3)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面 (4)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面 3.关于直线 a、b、l 及平面 M、N,下列命题中正确的是(4) 。 (1)若 a∥M,b∥M,则 a∥b (2)若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M (3)若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M (4)若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N 4. “任意的 a ? ? ,均有 a // ? ”是“任意 b ? ? ,均有 b // ? ”的 充要条件 。

5.在正方体 AC1 中,过 A1C 且平行于 AB 的截面是 面 A1B1CD . 6. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E,F 两点, 则四边形 EBFD!的形状为 平行四边形 。 7. 已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD∥平面MAC. 证明 连AC交BD于O,连MO, 则MO为△PBD的中位线, ∴PD∥MO,∵PD ? 平面MAC,MO平面MAC, ∴PD∥平面MAC. 8.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中 点(1)求证: MN // 平面 PAD ;(2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与

MN 所成的角的大小
略证:(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,

1 ? NH // DC , NH ? DC 2
? NH // AM , NH ? AM ? AMNH 为平行四边形
? MN // AH , MN ? PAD, AH ? PAD ? MN // PAD

P H N

D A B

C

M

(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半,ON 平行且等于 PA 的一半,所以 ?ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,由 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3 所以 ?ONM ? 30 0 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30 0 的角

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9.两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证: MN∥平面 BCE。 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足, 则 MP∥AB,NQ∥AB。 C D ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, M P ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ A B ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 N Q ∴MN∥PQ F E ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, ∴MN∥平面 BCE。 证法二:如图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC, ∴

AM AH ? AC AB

D M

C

FN AH ? 连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得 BF AB
∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE。 第4课 【考点导读】 空间中的垂直关系
A N F

H E

B

1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明和解决有 关问题。 2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互相转化, 善于利用转化思想。 【基础练习】 1. “直线 l 垂直于平面 ? 内的无数条直线”是“ l⊥? ”的 必要 条件。 2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。 3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。 4.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置 关系是平行、相交或在另一个平面内 。 5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,写出过顶点 A 的一个平面__AB1D1_____,使该平面与 正方体的 12 条棱所在的直线所成的角均相等(注:填上你认为正确的一个平面即可,不必考 虑所有可能的情况)。 【范例导析】 例 1.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD. 解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间 P 想象能力和推理论证能力. 证明:(1)连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 F
D - 11 -

E

C

A

B

在 ?PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, 所以,PA // 平面 EDB (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE ? PC . ① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC ? DE . ② 由①和②推得 DE ? 平面 PBC. 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE ? PB 又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2.如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA = 2 BD ,M 是 EA 的中点, 求证:(1)DE =DA ;(2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析: (1)证明 DE =DA ,可以通过图形分割,证明△DEF ≌△DBA。 (2) 证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由(1)知 DM ⊥EA ,取 AC 中 点 N ,连结 MN 、NB ,易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM ⊥平面 ECA。

证明:(1)如图,取 EC 中点 F ,连结 DF。 ∵ ∴ ∵

EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,得 DB ⊥平面 ABC 。 DB ⊥AB ,EC ⊥BC。 BD ∥CE ,BD =

1 CE =FC , 2

则四边形 FCBD 是矩形,DF ⊥EC。 又 BA =BC =DF ,∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ,所以 DE =DA。 (2)取 AC 中点 N ,连结 MN 、NB , ∵

M 是 EA 的中点,∴ MN

1 EC。 2

由 BD ∵ ∴

1 EC ,且 BD ⊥平面 ABC ,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM ⊥MN。 2

DE =DA ,M 是 EA 的中点,∴ DM ⊥EA .又 EA ? MN =M , DM ⊥平面 ECA ,而 DM ? 平面 BDM ,则平面 ECA ⊥平面 BDM。

(3)∵ DM ⊥平面 ECA ,DM ? 平面 DEA , ∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。

- 12 -

点评:面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例 3.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1, ∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ;(2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论。 分析:(1)由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ,只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 ,由直 线与平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。(2)由(1)得 C1D ⊥AB1 ,只要过 D 作 AB1 的 垂线,它与 BB1 的交点即为所求的 F 点位置。 证明:(1)如图,∵ ∴ ∴ ∴

ABC—A1B1C1 是直三棱柱,

A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°。又 D 是 A1B1 的中点, C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。

(2)解:作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ,延长 DE 交 BB1 于 F ,连结 C1F ,则

AB1 ⊥平面 C1DF ,点 F 即为所求。
∵ ∴

C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B , C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D ,∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。

点评:本题 的证明中,证得 C1D ⊥A1B1 后,由 ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥ (1) 平面 AA1B1B ,立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。(2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分 析问题。 【反馈演练】 1.下列命题中错误的是 (3) 。 (1)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直 线 (2)若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直 (3)若一条直线垂直于平面内的一条直线,则此直线垂直于这一平 面 (4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直,则它 也和这条斜线垂直 2.设 x, y, z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若 (填所有正确条件的代号) x ? z ,且 y ? z ,则x // y ”为真命题的是 ①③④ ①x 为直线,y,z 为平面 ②x,y,z 为平面 ③x,y 为直线,z 为平面 ④x,y 为平面,z 为直线 ⑤x,y,z 为直线 3.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可以有___4__个。

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4.若 AB 的中点 M 到平面 ? 的距离为 4 cm ,点 A 到平面 ? 的距离为 6 cm ,则点 B 到平面 ? 的距离为_2 或 14________ cm 。 5.命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题 A 的等价命题 B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。 答案:侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等??) 6.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线.给出四个论断: ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命 .. 题: 。 答案:m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β

? m⊥n 或 m⊥n,m⊥α ,n⊥β ? α ⊥β

7.在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2a , 在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形;

CD 的值是多少时,能使△DMC 为直角三角形?请给出证明. AB 解:(1)∵ CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB
(2)设 SB 的中点为 M,当 面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF ∵ ?D ? 90 0 ,? CD ? AD, 又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ?CD ? 平面 SAD,∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)当

S F M D A B C

CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB
AB 2 ? AD 2 ? 2a, ?BDC ? 45 0 ? BC ?

E

? AB ? a,? CD ? 2a, BD ?

2a, BC ? BD ,

? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC ,? BC ? 平面 SBD . 在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB . ? MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角 形。

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