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烟台芝罘区数学函数零点问题及例题解析2016年高三专题复习-函数(3)

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【烟台芝罘区】明老师

一中十中校区:南山路 9 号(进德小区)

烟台芝罘区数学 2015-2016 高三专题复习 -函数(3)函数零点问题及例题解析
一、函数与方程基本知识点 1、函数零点: (变号零点与不变号零点) (1)对于函数 y ? f ( x) ,我们把方程 f ( x) ? 0 的实数根叫函数 y ? f ( x) 的零点。 (2)方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 若函数 f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图像是连续的曲线,则 f (a) f (b) ? 0 是 f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点的 充分不必要条件。 2、二分法:对于在区间 [a, b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ?
f ( x) ,通过不断地把函数

y ? f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似

值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧 零点是经常考察的重点,对此部分的做题方法总结如下: (一)函数零点的存在性定理指出: “如果函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一 条曲线,并且 f (a) f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c ? (a, b) , 使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也是方程 f ( x) ? 0 的根” 。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区 间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时,一定要注意该定理是函数存在零点的充 分不必要条件:如 例、函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (A) (0,1) ;
2 的零点所在的大致区间是( x

) (D) (3,4) 。

(B) (1,2) ;

(C)

(2,e) ;

2 在区间[1,2]上是连续函数,且 f (1) ? 0 , f (2) ? 0 ,所 x 2 以由根的存在性定理可知,函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? 的零点所在的大致区间是(1,2) ,选 B x

分析:显然函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

(二)求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。
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函数零点的存在性定理,它仅能判断零点的存在性,不能求出零点的个数。对函数零点的 个数问题,我们可以通过适当构造函数,利用函数的图象和性质进行求解。如: 1.对于求一个陌生函数的零点个数,若能把已知函数分解成两个熟悉的函数,那么可利 用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如: 例.求 f ( x) ? x 2 ? 2 x 零点的个数。 分析: 本题直接求解, 无法下手, 由函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的零点也是方程 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 0 的 根,即方程 x 2 ? 2 x 的解,但这个方程不是熟悉的常规方程,由方程的解与两函数图象交点的 关系, 可构造函数 y1 ? x 2 、y 2 ? 2 x ,在同一坐标系中作出它们的图象, 可得出它们有三个交点, 所以 f ( x) ? x 2 ? 2 x 零点的个数有三个。

2.对于一元高次函数,可利用导数法研究函数图象的特征,作出函数的图象,确定图象与 X 轴交点的情况求解。 (导数专题再续讲) (三)求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数,可通过研究式子的特征, 构造新函数,转化求解。如: 例、求函数 f ( x) ? (5x ? 3) 5 ? x 5 ? 6x ? 3 的零点。 分析:考察 f ( x) ? (5x ? 3) 5 ? x 5 ? 6x ? 3 ? 0 的特点,直接求解难以入手,可转化为求

(5x ? 3) 5 ? (5x ? 3) ? ?( x 5 ? x) 的解,根据式子特点构造函数 g ( x) ? x 5 ? x ,显然 g ( x) 为奇函数,
且在 R 上单调递增,由 (5x ? 3) 5 ? (5x ? 3) ? ?( x 5 ? x) 可化为 g (5x ? 3) ? ? g ( x) ? g (? x) ,故利用 函数 g ( x) 的性质可得 5x ? 3 ?

? x ,则 x ? ?

1 1 ,所以函数 f ( x) 的零点为 x ? ? 2 2

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基础练习 1、下列函数中,不能用二分法求零点的是( )答案 B

2、已知函数 f (x) 的图象是连续的,有如下表。函数 f (x) 在区间 [1,6] 上的零点至少有( 答案 C



x
f (x)

1 123.56 A.2 个

2 21.45 B.3 个

3 -7.82 C.4 个

4 11.57

5 53.76 D.5 个

6 -126.49

3. 设 ? 、 ? 分别是方程 log2 x ? x ? 4 ? 0和2x ? x ? 4 ? 0 的根,则 ? + ? =
x2 (a, b 为常数) 4. 已知函数 f ( x) ? ,且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两实根 3 和 4 ax ? b

。答案 4

(1)求函数 f ( x) 的解析式; 解: (1)即方程

(2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式: f ( x) ?

(k ? 1) x ? k 2? x

x2 ? x ? 12 ? 0 有两根 3 和 4,所以 ax ? b

? 9 ?9 ? 0 ? ? 3a ? b ? ? 16 ? 8 ? 0 ? ? 4a ? b
(2)即

?a ? ?1 x2 得 ? 所以 f ( x ) ? 2? x ?b ? 2

x2 (k ? 1) x ? k ? 整理的 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0 2? x 2? x

1 ? k ? 2 时,不等式的解集 {x | 1 ? x ? k或x ? 2} ; k ? 2 时,不等式的解集 {x | 1 ? x ? 2或x ? 2} ;
k ? 2 时,不等式的解集 {x | 1 ? x ? 2或x ? k}

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