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2013届高三数学(文科)测试题集合、简易逻辑、函数、导数(含详细答案)

时间:2012-12-18


2013 届高三数学(文科)测试题(一)(集合、简易逻辑、函数、导数) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N}的真子集的个数是 ... A.15 B.8 C.7 D.3

2. p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命

题”的 “ A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ?) 上单调递增的是 ? A. y ? x3 4.函数 f ? x ? = x A.0 5.已知函数 f ( x) ?
2008

B. y ? cos x
1 ? ? ? 1 ? 2007 ? = ,则 f ?? ?? 2008 ? ? ? ? ? '

C. y ?

1 x2

D. y ? ln x

B.1

C.2006

D.2007

e x ? e?x ,则下列判断中正确的是 2

A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数

B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

6.函数 y ? log 2 x ? a 图象的对称轴为 x ? 2 ,则 a 的值为 A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ? 2

1 1 7.为了得到函数 y ? 3? ( ) x 的图象,可以把函数 y ? ( ) x 的图象 3 3

A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度

B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

8.如图,是函数 y ? f (x) 的导函数 f ?(x) 的图象,则下面判断正确的是

y
A.在区间(-2,1)上 f (x) 是增函数
-3 -2
1

2 3 O 1 4 5

x

B.在(1,3)上 f (x) 是减函数 C.在(4,5)上 f (x) 是增函数 D.当 x ? 4 时, f (x) 取极大值

9.设函数 y ? x3 与 y ? 22? x 的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是 A. (0, 1) B. (1 2) , C. (2, 3) D. (3, 4)

10. 定义新运算 ? : a ? b 时,a ? b ? a ; a ? b 时, a ? b ? b2 , 当 当 则函数 f ( x) ? (1 ? x) x ? (2 ? x) ,
x ? ? ?2, 2? 的最大值等于

A.-1

B.1

C.6

D.12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.设全集 U 是实数集 R , M= ? x | x 2 ? 4? , N ? ? x |1 ? x ? 3? ,则 中阴影部分所表示的集合是 __________ _ 。
? 1 x ? ( ) , x?2 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则函数 f (log 2 3) 的值为 __________ _ 。 ? f ( x ? 1), x?2 ?



13.若函数 y ? 2 ? x ?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 __________ _ 。 14.若方程 x 2 ? (k ? 2) x ? 2k ? 1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,则 k 的取值范围 __________ _ 。 三、解答题: (本大题满分 80 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分) 已知实数 a ? ??1,1, a 2 ? ,求函数 f ( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? 2 的零点。

16.(本题满分 12 分)

2

1 已知函数 f ( x) ? log 1 [( ) x ? 1] , 2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)证明:函数 f ( x) 在定义域内单调递增。

17.(本题满分 14 分) 某商品每件成本 9 元, 售价为 30 元, 每星期卖出 432 件.如果降低价格, 销售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ? x ? 30 )的平方成正比. 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件, (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

18.(本题满分 14 分) 若函数 y= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为 增函数,试求实数 a 的取值范围。
1 3
1 2

19.(本题满分 14 分)

3

两个二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 与 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? d 的图象有唯一的公共点 P(1, ?2) , (Ⅰ)求 b, c, d 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? ( f ( x) ? m) ? g ?( x) ,若 F ( x) 在 R 上是单调函数,求 m 的范围,并指出是单 调递增函数,还是单调递减函数。

20.(本题满分 14 分) 设函数 y= f (x) 是定义在 R 上的函数,并且满足下面三个条件: ①对任意正数 x、y,都 有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; ②当 x>1 时, f (x) <0; ③ f (3) ? ?1 。

1 (Ⅰ)求 f (1)、f ( ) 的值; 9

(Ⅱ)证明 f ( x)在R ? 上是减函数; (Ⅲ)如果不等式 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 成立,求 x 的取值范围。

新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题 (集合、简易逻辑、函数、导数)参考答案
4

一、选择题 CADBA CDCBC

二、填空题 11、 ? x |1 ? x ? 2 ? 三、解答题 15.(本题满分 12 分) 解:? a ? ??1,1, a 2 ? , ?a 可能等于 1 或 ?1 或 a 2 。 ????????????2 分 12、
1 6

13、 m ? ?2

14、

1 2 ?k? 2 3

当 a ? 1 时,集合为 ?1, ?1,1? ,不符合集合元素的互异性。?a ? 1 同理可得 a ? ?1 。

? a ? a 2 ,得 a ? 1 (舍去)或 a ? 0 。

???????????9 分

? f ( x) ? x 2 ? x ? 2 ,解方程 f ( x) ? 0 得函数 f ( x) 的零点为 ?1 和 2 。 ??????12 分

16. (本题满分 12 分)
1 解: (1)由 ( ) x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 2

∴ f ( x) 的定义域为 (??,0) ????????4 分 (2)证明:设 x1 , x2 ? (??, 0)且x1 ? x2 ,
1 1 ∴ ( ) x2 ? ( ) x1 2 2 1 x2 1 则 0 ? ( ) ? 1 ? ( ) x1 ? 1 2 2
1 1 因此: log 1 [( ) x2 ? 1] ? log 1 [( ) x1 ? 1] , 2 2 2 2

即: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在(- ? ,0)上为增函数。???????12 分

17.(本题满分 14 分) 解: (1)设商品降价 x 元,则每个星期多卖的商品数为 kx 2 ,若记商品在一个星期的获利为

5

f ( x) ,则依题意有
f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx 2 ) ? (21 ? x)(432 ? kx 2 ) ,

????????4 分

又由已知条件, 24 ? k 22 ,于是有 k ? 6 , ·

?????????6 分 ????????7 分

所以 f ( x) ? ?6 x3 ? 126 x 2 ? 432 x ? 9072,x ?[0, . 30]

(2)根据(1) ,我们有 f ?( x) ? ?18 x 2 ? 252 x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .????9 分 当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 的变化如下表:

x
f ?( x) f ( x)

2 ? 0,?
?

2 0 极小

(2, 12)

12 0 极大

30 ?12, ?
?

?
?

?

?

?????11 分 故 x ? 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 , 所以定价为 30 ?12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. 18. (本题满分 14 分) 解: f ? (x)=x2-ax+a-1=0 得 x=1 或 x=a-1, ????????3 分 ???????14 分

当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. ?6 分 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函 数,在(a-1,+∞)上为增函数. ???????9 分

依题意,当 x∈(1,4)时, f ? (x)<0,当 x∈(6,+∞)时, f ? (x)>0, ∴4≤a-1≤6. ∴a 的取值范围为[5,7]. 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 ? ???????13 分 ???????14 分

?b ? c ? ? 3 ? 1 ? b ? c ? ?2 化简得 ? ??????????2 分 ? d ? ?3 ? ?1 ? 2 ? d ? ? 2
6

且 x2 ? bx ? c ? ? x2 ? 2 x ? d 即 2 x 2 ? (b ? 2) x ? c ? d ? 0 有唯一解 所以 ? ? (b ? 2)2 ? 8(c ? d ) ? 0 即
b2 ? 4b ? 8c ? 20 ? 0

??????????3 分

??????????5 分

消去 c 得 b2 ? 4b ? 4 ? 0 , 解得 b ? ?2, c ? ?1, d ? ?3 (2) F ( x) ? ( x 2 ? 2 x ? 1 ? m) ? (?2 x ? 2)
? ?2 x3 ? 6 x 2 ? (2 ? 2m) x ? 2m ? 2

??????????7 分

??????????9 分 ??????????10 分

F ?( x) ? ?6 x 2 ? 12 x ? 2 ? 2m

若 F ( x) 在 R 上为单调函数,则 F ?( x) 在 R 上恒有 F ?( x) ? 0 或 F ?( x) ? 0 成立。 因为 F ?( x) 的图象是开口向下的抛物线, 所以 F ?( x) ? 0 时 F ( x) 在 R 上为减函数, 所以 ? ? 122 ? 24(?2 ? 2m) ? 0 ,解得 m ? 2 即 m ? 2 时, F ( x) 在 R 上为减函数。 20.解: (Ⅰ)令 x=y=1 易得 f (1) ? 0 . 而 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ?1 ? 1 ? ?2 ,
1 1 且 f (9) ? f ( ) ? f (1) ? 0,得f ( ) ? 2. 9 9

??????????12 分

??????????14 分

????????4 分

(Ⅱ) 0 ? x1 ? x1 ?

x2 x ?1? f ( 2 ) ? 0 x1 x1

∴ f ( x2 ) ? f (

x2 x ? x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) x1 x1

∴ f (x) 在 R+上为减函数。

????????8 分

1 (Ⅲ)由条件(1)及(Ⅰ)的结果得: f [ x(2 ? x)] ? f ( ),其中0 ? x ? 2, 9

7

1 ? ? x(2 ? x) ? , 由(Ⅱ)得: ? 9 ?0 ? x ? 2 ?

解得 x 的范围是 (1 ?

2 2 2 2 ) ,1 ? 3 3

???????14 分

新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题(二) (向量、三角函数、数列)
班级:____________ 题号 答案 题号 答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) ???? ??? ??? ??? ? ? ? 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( ). 11 12 13 14 1 2 姓名:____________ 3 4 座号:____________ 5 6 7 评分:____________ 8 9 10

??? ? A. AB

B. DA
1 2 1 B. ? 2

C. BC

? D. 0

2.等比数列 {a n } 中, a1 ? ,公比 q ? ?1 ,则 S8 ? ( A.
1 2

). D.1 ).

C.0

???? 1 ???? ? 3.已知两点 M ? 3, 2 ? , N ? ?5, ?5 ? , MP ? MN ,则 P 点坐标是( 2

A. ? ?8,1?

3? ? B. ? ?1, ? ? 2? ?

? 3? C. ?1, ? ? 2?
8

D. ? 8, ?1?

4.下图是函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 一个周期内的图像,则 ? 可能等于(
5? 6 ? C. ? 6

).

A.

? 2 ? D. 6

B.

y x 0

5.数列 {a n } 中, a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1 ,则 {a n } 的通项公式为(
n n n

).

A. 2 B. 2 ? 1 C. 2 ? 1 D. 2 n?1 6.若数列 {a n } 的前 n 项的和 S n ? 3n ? 2 ,那么这个数列的通项公式为( ).
?1, n ? 1 D. an ? ? n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2 7.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a3 ? a7 ? a11 为一个确定的常数,则下列各数中也是常 数的是( ). A.S6 B.S11 C.S12 D.S13

3 A. an ? ( ) n ?1 2

1 B. an ? 3 ? ( ) n ?1 2

C. an ? 3n ? 2

8.化简 sin150 ? 3 cos150 得到的结果是(

). ).

A. 2 B. ? 2 C. ? 6 ? 2 D. 6 ? 2 9.已知等差数列 ?an ? ,首项为 19,公差是整数,从第 6 项开始为负值,则公差为( A. ?5 B. ?4 C. ?3 D. ?2 ). 10.△ ABC 的内角满足 tan A ? sin A ? 0, sin A ? cos A ? 0, 则 A 的范围是(

? ? ? ? 3? 3? A. (0, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , ? ) 4 2 2 4 4 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) ? 1 ? 1 ? ? 3 11.已知 a ? ( , 2sin ? ), b ? ( cos ? , ), 且a ∥ b ,则锐角 ? 的值为 . 3 2 2 12.在等差数列{ an }中,前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a8 ? . 13.有纯酒精 aL(a ? 1) ,从中取出 1 L ,再用水加满;然后再取出 1 L ,再用水加满,如此反 复进行,则第九次取出 L 酒精. 14.观察下表中的数字排列规律,第 n 行( n ? 2 )第 2 个数是 .
?? 2 2 ?? 3 4 3 ?? 4 7 7 4 ?? 5 11 14 11 5 ?? 6 16 25 25 16 6 ?? 1
? ?

?? ?? ?? ?? ?? ??

第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行

三、解答题: (本大题满分 80 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) {a n } 为等差数列,S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, 设 已知 S 7 ? 7, S15 ? 75 , 求数列 {a n } 的通项公式.
9

16. (本小题满分 14 分)在△ABC 中,已知 tan A ? (1)求角 C; (2)求△ABC 的面积 S.

1 1 , tan B ? 且最长边为 1. 2 3

1 3 sin x ? cos x ? 1( x ? R) 17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 2

(1)求函数 f (x) 的对称中心,最大值及取得最大值的条件; (2)求 f (x) 的单调增区间.

1 18. (本小题满分 12 分)数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (a n ? 1) 3 (1)求 a1 , a 2 及 a 3 ; (2)证明:数列 {a n } 是等比数列,并求 a n .

10

19. (本小题满分 14 分)四边形 ABCD 中, AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积.

20. (本小题满分 14 分)数列{ an }是公比为 q 的等比数列, a1 ? 1 , an? 2 ? (1)求公比 q ; (2)令 bn ? nan ,求{ bn }的前 n 项和 S n .

an?1 ? an (n ? N ? ) 2

11

新阳中学 2009 届高三数学(文科)测试题 (向量、三角函数、数列)参考答案
1-10 DCBDC DDBBC
? 11、 4

12、6

? 1? 13、 ? 1 ? ? ? a?

8

n2 ? n ? 2 14、 2

7?6 ? ? S7 ? 7a1 ? 2 d ? 7 ? a ? ?2 ? 15.解:由题意知 ? ,解得 ? 1 ,所以 an ? n ? 3 .???12 分 ?d ? 1 ? S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?

16.解: (1)由 tan(A ? B) ?

tan A ? tan B ? 1, ????2 分 1 ? tan A tan B 而在△ABC 中,0<A+B<π ,?????????????3 分 ? 3 所以 A ? B ? ,则 C ? ? ;?????????????5 分 4 4 (2)在△ABC 中,∵∠C 是钝角, ∴∠B、∠A 是锐角,

由 tan B ?

10 1 . ,得 sin B ? 10 3

?????????????8 分

由正弦定理

5 b c . ???????????10 分 ,得 b ? ? 5 sin B sin C

由 tan A ?

5 1 ,得 sin A ? 5 2

?????????????12 分

∴△ABC 的面积 S ?

1 1 bc sin A ? ????????????14 分 2 10

1 1 ? cos 2 x 3 1 1 1 3 5 ? ? sin 2 x ? 1 ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 17.解:由已知可得 f ( x) ? ? 2 2 2 2 2 2 2 4
12

1 ? 5 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? . 2 6 4 k ? 5 (1)对称中心为 ( ? ? , ) , k ? Z ; 2 12 4 ? 7 当 x ? k? ? , k ? Z 时 f ( x)max ? ; 6 4



????????6 分 ????????8 分 ????????10 分
k? ?

(2)由 2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

2

(k ? Z ) ,解得

?
3

? x ? k? ?

?
6

所以 f(x)的单调增区间为: [k? ? 18. (1) n ? 1 时, 1 ? S1 ? 解: 当 a 同理可得 a3 ? ? . (2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?
1 8

?

, k? ? ](k ? Z ) . 3 6

?

????????14 分

1 1 1 1 得 当 得 ? a1 ? 1? , a1 ? ? ; n ? 2 时,S2 ? a1 ? a2 ? ? a2 ? 1? , a2 ? , 3 2 3 4

?????????????6 分

a 1 1 1 1 1 ? an ? 1? ? ? an?1 ? 1? ? an ? an?1 ,所以 n ? ? . an ?1 2 3 3 3 3 1 故数列 {a n } 是公比为 ? 的等比数列 ????????10 分 2 n 1 ? 1? 又 a1 ? ? ,∴ an ? ? ? ? . ????????12 分 2 ? 2?

19.解: (1) BC ? ( x, y )
? BC // DA

DA ? ? AD ? ?( AB ? BC ? CD) ? ?( x ? 4, y ? 2) ? (? x ? 4,? y ? 2) ?2 分

则有 x ? (? y ? 2) ? y ? (? x ? 4) ? 0

化简得: x ? 2 y ? 0 ????4 分 又 AC ? BD

(2) AC ? AB ? BC ? ( x ? 6, y ? 1)

BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3)

则 ( x ? 6) ? ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? ( y ? 3) ? 0
?x ? 2 y ? 0 联立 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0

化简有: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 15 ? 0 ????8 分
?x?2 或? ? y ? ?1

? x ? ?6 解得 ? ? y?3

?????10 分

? BC // DA AC ? BD 则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形

? x ? ?6 当? ? y?3 ?x?2 当? ? y ? ?1

AC ? (0,4) BD ? (?8,0) ,此时 S ABCD ?

1 ? AC ? BD ? 16 ?????12 分 2 1 ? AC ? BD ? 16 2

AC ? (8,0) BD ? (0,?4) ,此时 S ABCD ?

?????14 分

an ?1 ? an (n∈N*) 2 a q ? an 1 ∴an·q2= n ,即 2q2―q―1=0,解得 q=- 或 q=1 2 2 n ? n ? 1? (2)当 an=1 时,bn=n, Sn=1+2+3+?+n= 2

20.解: (1)∵{an}为公比为 q 的等比数列,an+2=

???6 分 ???8 分

13

? 1? 当 an= ? ? ? ? 2?

n?1

? 1? 时,bn=n· ? ? ? ? 2?
2

n?1


n? 2

1 ? 1? ? 1? Sn=1+2· (- )+3· ? ? ? +?+(n-1) ? ? ? · 2 ? 2? ? 2? 1 1 ? 1? ? 1? - Sn=(- )+2· ? ? ? +?+(n-1) ? ? ? · 2 2 ? 2? ? 2? 3 ? 1? ? 1? ? 1? ①—②得 Sn=1+ ? ? ? + ? ? ? +?+ ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2?
? 1? 1? ? ? ? n ? 2 ? -n· ? ? 1 ? = ? ? 1 ? 2? 1? 2
n
n

? 1? +n· ? ? ? ? 2?
? 1? +n ? ? ? ? 2?
n n

n?1

① ②

2

n?1

2

n?1

? 1? -n ? ? ? ? 2?

2 2? 1? ? 1? = ? ?? ? ? n ? ?? ? 3 3? 2? ? 2?

n

4 4 ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? ? ? ??14 分 Sn= ? ? ? ? ? 9 9? 2? 3 ? 2?

n

n

14


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