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广东省东莞市2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题(A卷)有答案


广东省东莞市 2011-2012 学年度第一学期教学质量检测 高一数学(A 卷)2012-1-10
一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确.) 1.已知全集 U ? {1,,,,,, } , A ? {2 , , } ,则 CU A ? ( 2 3 4 5 6 7 4 5 A. ? )

r />4 6} B. {2 , ,

3 6 7} C. {1,,,

3 5 7} D. {1,,,

2.下列命题中,正确的是( ) A.经过不同的三点有仅有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.垂直于同一个平面的两条直线平行

? 1) 3.已知 Rt ?ABC 的顶点坐标分别为 A(5 , 1) , B(1 , , C (2 , ) ,若 ?C ? 90 ,则实 m
?

数 m 的值为( ) A. 2 或 ?2 B. 2 C. ?2 D. 3 4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( A.



1 ? 2? 4?

B.

1 ? 2? 2?
6

C.
0.3

1 ? 2?

?

D.

1 ? 4? 2?

5.三个数 a ? log0.3 6 , b ? 0.3 , c ? 6 A. b ? c ? a 6.函数 f ( x) ? ln x ? B. a ? c ? b

,则的大小关系是(



C. b ? a ? c )

D. a ? b ? c

2 的零点所在的大致区间是( x

1) A. ( ,

1 e

2) B. (1,

3) C. (2 ,

? D. (e , ?)


7.已知直线 l1 : ax ? y ? a ? 0 , l2 : (2a ? 3) x ? ay ? a ? 0 互相平行,则 a 的值是(

A. 1 B. ?3 C. 1 或 ?3 D. 0 8.利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形,那么直观图 三角形的面积与原来三角形面积的比是( ) A.

2 4

B.

3 4

C.

2 2

D

3 2

0) 0) ? 9.已知点 A(1, , B(?1 , ,过点 C (0 , 1) 的直线 l 与线段 AB 相交,则直线 l 的倾斜
角范围是(
?


?

A. [45 , ] 135

B. [45 , ) ? (90 , ] C. , ] ? [135 , ] D. , ] 90 135 [0 45 180 [0 135

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

10.已知函数 f ( x) ? ? ( )

? x 2 ? x ? 1, ? 0 x ?2 x ? 1 ,?0 x

.若 f (m) ? f (2 ? m ) ,则实数 m 的取值范围是
2

? ? A. (?? , 1) ? (2 , ?)

2) B. (?1 ,

1) C. (?2 ,

? ? D. (?? , 2) ? (1, ?)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.幂函数 f ( x ) 的图象过点 (3 , 3) ,则 f ( x) ? 12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, .

f ( x) ? log2 x ? 1 ,则 f (?4) ?

.

13.一个几何体的三视图如图所示,俯视图是边长为 2 的 正方形,正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形,则此 几何体的侧棱长等于 . 14.规定符号“ ? ”表示两个正实数 a 、 b 之间的运算,

第 13 题图

即 a ? b ? ab ? a ? b ,已知 1? k ? 1 ,则函数 f ( x) ? k ? x ( x ? 0) 的值域是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x |1 ? x ? 7 } , B ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 3} , C ? {x | x ? a} ,全集为实数 集R . (1) 求 A ? B ; (2) 如果 A ? C ? ? ,且 B ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 13 分) 设直线 l1 : y ? 2x 与直线 l2 : x ? y ? 3 交于 P 点. (1) 当直线 m 过 P 点,且与直线 l0 : x ? 2 y ? 0 时,求直线 m 的方程; (2) 当直线 m 过 P 点,且坐标原点 O 到直线 m 的距离为 1 时,求直线 m 的方程.

17.(本小题满分 13 分) 某四星级酒店有客房 300 间,每天每间房费为 200 元,天天客满.该酒店欲提高档次升 五星级,并提高房费.如果每天每间客的房费每增加 20 元,那么入住的客房间数就减少 10 间,若不考虑其他因素,酒店将房费提高到多少元时,每天客房的总收入最高?

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , CD ? AD , CD ? 2 AB , E 为 PC 的中点, PA ? AD ? AB ? 1 . (1)证明: BE // 平面 PAD ; P (2)证明: BE ? 平面 PDC ; (3)求三棱锥 E ? PBD 的体积. E D C

A 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

B
第 18 题图

2 (a ? R) 2 ?1
x

(1)判断并证明函数的单调性; (2)若函数为 f ( x ) 奇函数,求实 a 数的值; (3)在(2)的条件下,若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2) ? f (t 2 ? tk ) ? 0 恒成立, 求实数 k 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ,g ( x) ? x ? 2ax ? 1 a 为正实数) 且函数 f ( x ) 与 g ( x) ( ,

的图象在 y 轴上的截距相等. (1) 求 a 的值; (2) 对于函数 F ( x) 及其定义域 D , 若存在 x0 ? D , F ( x0 ) ? x0 成立, 使 则称 x0 为 F ( x) 的不动点.若 f ( x) ? g ( x) ? b 在其定义域内存在不动点,求实数 b 的取值范围;

4 ? ( ) g (n) ? 4 5 4 9 4 16 4 25 (参考数据: lg3 ? 0.3010 , ( ) ? 0.1342 , ( ) ? 0.0281 , ( ) ? 0.0038 ) 5 5 5
(3) 若 n 为正整数,证明: 10
f (n)

2011—2012 学年度第一学期期末教学质量检查 高一数学(A 卷)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 1 C 2 D 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 C

f ?x ? ? x

12. ? 3

13. 3

14. ? ?1, ?? ?

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解:(1)由 log2 ( x ? 2) ? 3,得 0 ? x ? 2 ? 8 , ?????????2 分 ?????????4 分 ??????????6 分

? 2 ? x ? 10 ,即 B ? {x | 2 ? x ? 10} .
∴ A ? B ? {x | 1 ? x ? 10} . (2)? A ? C ? ? , ∴ a ? 1. 又∵ B ? C ? ? , ∴a ? 2, ∴1 ? a ? 2 , 即实数 a 的取值范围是 ?1, 2? . 16.(本小题满分 13 分) 解:由 ?

???????????8 分

??????????10 分

???????????12 分

? y ? 2x ,解得点 P?1,? . 2 ?x ? y ? 3

?????????2 分

(1)因为 m ⊥ l0 ,所以直线 m 的斜率

km ? ?

1 1 ? ? ? ?2 , 1 kl0 2

???????????4 分

2 又直线 m 过点 P?1,? ,故直线 m 的方程为: y ? 2 ? ?2 ? x ?1? ,即
2x ? y ? 4 ? 0 .
??????????6 分

(2)因为直线 m 过点 P?1,? ,当直线 m 的斜率存在时,可设直线 m 的方程为 2

y ? 2 ? k ? x ?1? ,即
kx ? y ? k ? 2 ? 0 .
所以坐标原点 O 到直线 m 的距离 d ? ???????7 分

?k ? 2 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

3 , ????9 分 4

因此直线 m 的方程为:

3 3 x ? y ? ? 2 ? 0 ,即 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . ????10 分 4 4

当直线 m 的斜率不存在时,直线 m 的方程为 x ? 1 ,验证可知符合题意.??12 分 综上所述,所求直线 m 的方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . ??????13 分

17.(本小题满分 13 分) 解:设酒店将房费提高到 x 元,每天的客房的总收入为 y 元. 则每天入住的客房间数为 (300 ? 由 300 ? ????1 分 ?????3 分 ???????4 分 ????????5 分

x ? 200 ? 10) 间, 20

x ? 200 ?10 ? 0 及 x ? 0 , 20 x ? 200 ? 10) 20

得: 0 ? x ? 800 . 依题意知: y ? x(300 ? =?

????????8 分

1 2 x ? 400 x 2 1 2 = ? ( x ? 400 ) ? 80000 . 2

????????10 分

因为 0 ? x ? 800 ,所以当 x ? 400 时, y 有最大值为 80000 元. ??????12 分 答:酒店将房费提高到 400 元时,每天客房的总收入最高. ????????13 分

18.(本小题满分 14 分) P (1)证明:取 PD 中点 Q ,连结 AQ 、 EQ .?????1 分 Q E D C

? E 为 PC 的中点,

1 ? EQ// CD 且 EQ ? CD .??????2 分 2

A

B
第 18 题图

又? AB // CD 且 AB ?

1 CD , 2

? EQ// AB 且 EQ ? AB .???????3 分

? 四边形 ABED 是平行四边形,
? BE // AQ .
又? BE ? 平面 PAD , AQ ? 平面 PAD , ??????????4 分

? BE // 平面 PAD .
(2)证明:? PA ? 底面 ABCD ,

??????????5 分

? PA ? CD .
又? CD ? AD ,且 PA ? AD ? A ,

??????????6 分

?CD ? 平面 PAD ,

? CD ? AQ .
? PA ? AD , Q 为 PD 的中点,

??????????7 分

? AQ ? PD ,

??????????8 分

? CD ? PD ? D,
? AQ ? 平面 PDC . ? BE // AQ ,
??????????9 分

? BE ? 平面 PDC .
(3)解法一 ∵ E 为 PC 的中点, ∴ VE ? PBD ? VB? PDE = VB? ECD = VE ? BCD .

??????????10 分

??????????11 分

? PA ? 底面 ABCD ,
∴点 E 到面 BCD 的距离 d ?

1 1 PA ? . 2 2

??????????12 分 ??????????13 分

1 1 ? S?BCD ? CD ? AD ? ? 2 ?1 ? 1 . 2 2 1 1 1 1 VE ? BCD ? S?BCD ? d ? ?1? ? , 3 3 2 6
? E 为 PC 的中点,

∴ VE ? PBD ? 解法二

1 . 6

??????????14 分

由前面证明可知: BE 是三棱锥 B ? PDE 的高, CD ? PD . 在 Rt ?PAD 中,

PD ? PA2 ? AD2 ? 2 , BE ? AQ ?
1 1 1 2 , S?PDC ? ? ? PD ? DC ? 2 2 2 2

1 2 . ??????11 分 PD ? 2 2

S?PDE ?

??????????12 分

VE ?PBD ? VB?PDE
1 1 2 2 1 ? S?PDE ? BE ? ? ? ? . 3 3 2 2 6
19.(本小题满分 14 分) (1)函数 f ( x) 为 R 上的增函数.证明如下:

??????????13 分

??????????14 分

???????????1 分

证明:函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意 x1 , x2 ? R ,设 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) - f ( x2 ) = (a =

2 2 ) - (a - x2 ) 2 +1 2 +1
x1

??????????2 分

2 2 2(2 x1 - 2 x2 ) - x1 = x2 . ???????3 分 2 x2 + 1 2 + 1 (2 + 1)(2 x1 + 1)

x x 因为 y = 2x 是 R 上的增函数,且 x1 < x2 ,所以 2 1 - 2 2 <0,????????4 分

所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) <0即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,函数 f ( x) 为 R 上的增函数. ?????5 分 (2)解:∵函数 f ( x) 为奇函数, ∴ f (0) ? a ? 1 ? 0 , ∴ a ? 1. ??????????6 分 ??????????7 分

2x - 1 2 当 a ? 1 时, f ( x) = 1- x = x . 2 +1 2 +1
f (- x) =

2- x - 1 1 - 2 x 2x - 1 = =- x =- f ( x) ,????8 分 2- x + 1 1 + 2 x 2 +1

此时, f ( x) 为奇函数,满足题意. 所以, a ? 1 . ??????????9 分

(3)解:因为 f ( x ) 是奇函数,从而不等式 f (t 2 ? 2) ? f (t 2 ? tk ) ? 0 对任意的 t ? R 恒成立 等价于不等式 f (t 2 ? 2) ? f (tk ? t 2 ) 对任意的 t ? R 恒成 立. ??????????10 分

又因为在 (??, ??) 上为增函数, 所以等价于不等式 t ? 2 ? tk ? t 对任意的 t ? R 恒成立,
2 2

即不等式 2t ? kt ? 2 ? 0 对任意的 t ? R 恒成立.
2

??????????11 分 ??????????12 分

所以必须有 ? ? k ? 16 ? 0 ,
2

即 ?4 ? k ? 4 , 所以实数 k 的取值范围 k ? 4 ? k ? 4 .

??????????13 分

?

?

??????????14 分

20.(本小题满分 14 分) 解:⑴ ∵ 函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象在 y 轴上的截距相等, ∴ f ? 0? ? g ? 0? ,即 a ? 1 . 又a ? 0, ∴a ? 1 . ???????????2 分 ???????????1 分

? x 2 ? 3x ? b ? ⑵由(1)知, f ? x ? ? g ? x ? ? b = ? 2 ?x ? x ? 2 ? b ?

x ?1 x ?1
2



当 x ? 1 时,若 f ? x ? ? g ? x ? ? b 存在不动点,则有 x ? 3x ? b=x ,即

b = ? x 2 ? 2 x ? ? ? x ? 1? ? 1 .
2

?????????3 分 ?????????4 分

∵x ? 1 ,∴? ? x ? 1? ? 1 ? ?3 ,此时 b ? ?3 .
2

当 x ? 1 时,若 f ? x ? ? g ? x ? ? b 存在不动点, 则有 x ? x ? 2 ? b=x ,即 b= ? x ? 2
2 2

????????5 分 ?????????6 分

∵x ? 1 ,∴? x ? 2 ? ?2 ,此时 b ? ?2 .
2

故要使得 f ? x ? ? g ? x ? ? b 在其定义域内存在不动点,则实数 b 的取值范围应为

? ? ??, 2? .

?????? ????????????????7 分

f n ?4? ⑶设 G ? n ? ? 10 ? ? ? ? ?

g? n ?

?5?



因为 n 为正整数, ∴G ? n ? ? 10n ?1 ? ?

? 4 ? n2 ? 2 n?1 ?0. ? ?5?

?????????8 分

? 4 ? n +1 2 ? 2 n +1 ?1 10n ? ? ? ? ? ? ? G ? n+1? ?4? ?5? ? =10 ? ? ? 2 n +3 . ∴ G ?n? ?4? 2 ?5? 10n ?1 ? ? ? n ? 2 n ?1 ?5?


?????????9 分

G ? n+1? ?1 ?4? ?4? 即 + l 亦即 2n ? 3 ? , 10 ? ? 1 时, ? ? ? 2 n +3? 1 , ? 2n3 g? ? ? 1 ? , 3 lg 2 ? 1 G ? n? ?5? ?5?
1 3 ? ? 3.7 . 2 ? 6 lg 2 2
?????????11 分

∴n ?

由于 n 为正整数,因此当 1 ? n ? 3 时,G ? n ? 单调递增;当 n ? 4 时,G ? n ? 单调递减. ∴G ? n ? 的最大值是

max ?G ?3? , G ? 4?? .
16 2

?????????12 分

? 4? 又 G ? 3? =10 ? ? ? =100 ? 0.0281=2.81 , ?5? ?4? G ? 4? =10 ? ? ? =1000 ? 0.0038=3.8 , ?5?
3 25

?????????13 分 ∴G ? n ? ? G ? 4? ? 4 . ?????????14 分


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