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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编14:导数与积分

时间:2014-02-13


山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 14: 导数与积分
一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为

f '( x) ,已知 f ( x ? 1) 是偶函数 ( x ? 1) f '( x) ? 0 . 若 x1

? x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) 与

f ( x2 ) 的大小关系是
A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定





x ? 1 时 , f '( x) ? 0 函 数 递 减 . 当 x ? 1 时 , f '( x) ? 0 函 数 递 增 . 因 为 函 数 f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , 所 以 f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) , f ( x) ? f (2 ? x) ,即函数的对称轴为 x ? 1 . 所以若 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .若 x1 ? 1 ,则必有 x2 ? 2 ,则 x2 ? 2 ? x1 ? 1 ,此时由 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) , 即 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ,综上 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,选 C.
【 答 案 】 C 由 ( x ? 1) f '( x) ? 0 可 知 , 当 2 .( 山 东 省 济 南 市 2013 届 高 三 3 月 高 考 模 拟 理 科 数 学 ) 设

1 a?? dx, b ? 1 x a b c A. ? ? 2 3 5 c a b C. ? ? 5 2 3
2

?

3

1

1 dx, c ? x

?

5

1

1 dx ,则下列关系式成立的是 x b a c B. ? ? 3 2 5 a c b D. ? ? 2 5 3





【答案】C
31 51 1 2 3 5 dx ? ln x 1 ? ln 2 , b ? ? dx ? ln x 1 ? ln 3 , c ? ? dx ? ln x 1 ? ln 5 , 所 以 1 x 1 x 1 x a ln 2 b ln 3 c ln 5 , , . 因 为 ? ? ln 2 ? ? ln 3 3 ? ? ln 5 5 2 2 3 3 5 5 ( 2)6 ? 23 ? 8 , ( 3 3)6 ? 32 ? 9 ,所以 2 ? 3 3 . ( 2)10 ? 25 ? 32 , ( 5 5)10 ? 52 ? 25 , c a b 所以 5 5 ? 2 ,即 5 5 ? 2 ? 3 3 ,所以 ? ? ,选 C. 5 2 3

a??

2

3 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

f ? x ? ? x 3 ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1 、x2、x3,且 x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确
B. x2 ? 0
3

的是 A. x1 ? ?1
【答案】D

( C. x3 ? 2 D. 0 ? x2 ? 1



∵函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? , ∴f′(x)=3x ﹣4.令 f′(x)=0,得 x=± ∵当 x??
2

.

2 3 2 3 2 3 2 3 时 , f '( x) ? 0 ; 在 (? , ) 上 , f '( x) ? 0 ; 在 ( , ??) 3 3 3 3

上 , f '( x) ? 0 . 故函数在 (??, ?

2 3 2 3 2 3 ) ) 上是增函数 , 在 (? , ) 上是减函数 , 在 3 3 3 2 3 2 3 2 3 ( , ??) 上是增函数.故 f (? ) 是极大值, f ( ) 是极小值.再由 f (x)的三个 3 3 3
,﹣ <x2 ,x3> .

零点为 x1,x2,x3,且 x1 ? x2 ? x3 , 得 x1<﹣ 根据 f(0)=a>0,且 f( ∴0<x2<1.选 D. )=a﹣ <0,得

>x2>0.

4 . (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)若 y ? f ( x ) 既是周期函数,又

是奇函数,则其导函数 y ? f '( x) ( A.既是周期函数,又是奇函数 B.既是周期函数,又是偶函数 C.不是周期函数,但是奇函数 D.不是周期函数,但是偶函数 【答案】B 因 为 y ? f ( x ) 是 周 期 函 数 , 则 有 f ( x ? T ) ? f ( x) , 两 边 同 时 求 导 , 得 f '( x ? T )( x ? T ) ' ? f '( x) , 即 f '( x ? T ) ? f '( x) , 所 以 导 函 数 为 周 期 函 数 . 因 为 y ? f ( x) 是 奇 函 数 , 所 以 f (? x) ? ? f ( x) , 两 边 求 导 得 f '(? x)(? x ) ' ? ? f '( x ) , 即



? f '(? x) ? ? f '( x) ,所以 f '(? x) ? f '( x) ,即导函数为偶函数,选
5 . (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设函数 f ( x) ? x sin x ? cos x

B.

的图像在点 (t , f (t )) 处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t)的部分图像为

【答案】B

【解析】函数的导数为 f '( x) ? x sin x ? cos x ? x cos x , 即 k ? g (t ) ? t cos t . 则函数

g (t ) 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 A,
时, g (t ) ? 0 ,所以排除排除 D,选 所围成的曲边四边形的面积为 A. B.

C





0?t ?

?
2

6 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) 由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, x ? 3 及 x 轴

( C.



11 6

B.

9 2

1 ? ln 3 2

D. 4 ? ln 3

【答案】C

1 【 解 析 】 由 xy ? 1 得 y ? , 由 x

?y ? x ? 1 得 xD ? 1 , 所 以 曲 边 四 边 形 的 面 积 为 ? y ? ? x ?

?

1

0

xdx ? ?

3

1

1 1 dx ? x 2 x 2

1 0

3 ? ln x 1 ?

1 ? ln 3 2

,



C.
7 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)若函数 f ( x) ? ?

1 ax e (a>0, b>0) 的 b
( )

图象在 x ? 0 处的切线与圆 x ? y ? 1 相切,则 a ? b 的最大值是
2 2

C.2 D. 2 1 ax 1 0 a 【答案】D 函数的导数为 f '( x) ? ? e ? a ,所以 f '(0) ? ? e ? a ? ? ,即在 x ? 0 处 b b b a 1 1 1 的切线斜率为 k ? ? , 又 f (0) ? ? e0 ? ? , 所以切点为 (0, ? ) , 所以切线方程为 b b b b 1 a 1 y ? ? ? x ,即 ax ? by ? 1 ? 0 ,圆心到直线 ax ? by ? 1 ? 0 的距离 d ? ?1, 2 b b a ? b2 1 2 2 2 即 a 2 ? b 2 ? 1 , 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2ab , 即 0 ? ab ? . 又 a ? b ? (a ? b) ? 2ab ? 1 , 2 2 所以 (a ? b) ? 2ab ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,即 a ? b ? 2 ,所以 a ? b 的最大值是 2 ,选 D. A.4
8 . (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)函数 y

B. 2 2

? esin x (? π ≤x≤π ) 的大致图

象为

(A)

(B)

(C)

【答案】D 因为函数为非奇非偶函数,所以排除 A,

(D) C . 函 数 的 导 数 为

y ' ? esin x ? cos x 由 y ' ? esin x ? cos x ? 0 , 得 cos x ? 0 , 此 时 x ?
0? x?

?

?
2

时, y ' ? 0 ,函数递增.当

?
2

2

或 x??

?

? x ? ? 时, y ' ? 0 ,函数递减,所以 x ?

?
2

2

.当

是函数

的极大值,所以选

D.

9 . (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任

意 x 都 有 f ( x) = f (4 ? x) , 且 当 x ? 2 时 其 导 函 数 f ?( x) 满 足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若

2? a ? 4则 A. f (2a ) ? f (3) ? f (log 2 a )
C. f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2 )
a

( B. f (3) ? f (log 2 a ) ? f (2 )
a



D. f (log 2 a ) ? f (2a ) ? f (3)

【答案】C

由 f ( x) = f (4 ? x) , 可 知 函 数 关 于 x ? 2 对 称 . 由 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 得 ,

( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 2 时 , f ?( x) ? 0 ,函数递增,所以当 x ? 2 时,函数递减 .当

2?a?4

1 ? log 2 a ? 2

,

22 ? 2a ? 24

,



4 ? 2a ? 16

.





f (log 2 a ) ? f (4 ? log 2 a ) , 所 以 2 ? 4 ? log 2 a ? 3 , 即 2 ? 4 ? log 2 a ? 3 ? 2a , 所 以
f (4 ? log 2 a ) ? f (3) ? f (2a ) ,即 f (log 2 a ) ? f (3) ? f (2a ) ,选
10. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知偶函数 f ( x) 在 R 上

C.

的任一取值都有导数,且 f '(1) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?5 处的 切线的斜率为 ( A.2 B.-2 C.1 D.-1 【答案】D 【 解析】 由 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 得 f ( x ? 4) ? f ( x), 可知函数的周期为 4,又函数 f ( x) 为 偶 函 数 , 所 以 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2)=f (2 ? x ) , 即 函 数 的 对 称 轴 为 x ? 2 , 所 以



f (?5) ? f (3) ? f (1) , 所以函数在 x ? ?5 处的切线的斜率 k ? f '(?5) ? ? f '(1) ? ?1 ,
选 D.
2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 ) 二、填空题 11 . ( 山 东 省 威 海 市

?

1 0

(e x ? 2 x )dx ? ____________________.

【答案】 e ? 2

?

1 0

(e x ? 2 x)dx ? (e x ? x 2 ) 1 0 ?e?2.

12. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 【答案】

?

2

1

x 2 dx ? _____________;

7 3

【 解析】

?

2

1

x 2 dx ?

1 3 x 3

2 1

8 1 7 ? ? ? . 3 3 3

13. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 试题) 由曲线 y

? 3 ? x 2 和直线 y ? 2 x

所围成的面积为
【答案】

32 3

【解析】由 ?

? y ? 3 ? x2 ? y ? 2x

得 x ? 1 或 x ? ?3 ,所以曲线 y ? 3 ? x 和直线 y ? 2 x 所围成的
2

面积为

?

1

?3

1 (3 ? x 2 ? 2 x)dx ? (3 x ? x 3 ? x 2 ) 3

1 ?3

?

32 . 3

14 .( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 校 际 联 考 数 学 ( 理 )) 已 知

f ( x) ? xex , g ( x) ? ? ( x ? 1)2 ? a, 若 ?x1 , x2 ? R, 使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,则实数 a 的取
值范围是.

1 e x x x 【 解 析 】 f '( x ) ? e ? xe ? (1 ? x)e , 当 x ? ?1 时 , f '( x) ? 0 函 数 递 增 ; 当 x ? ?1 1 时, f '( x) ? 0 函数递减,所以当 x ? ?1 时 f ( x) 取得极小值即最小值 f (?1) ? ? .函数 e g ( x) 的最大值为 a ,若 ?x1 , x2 ? R, 使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,则有 g ( x) 的最大值大于或 1 等于 f ( x) 的最小值,即 a ? ? . e 2 15. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )抛物线 y ? x 在 A(l,1)处的
【答案】 a ? ?

切线与 y 轴及该抛物线所围成的图形面积为.
【答案】

1 3
2

【 解 析 】 函 数 y ? x 的 导 数 为 y ' ? 2x , 即 切 线 斜 率 为 k ? 2 , 所 以 切 线 方 程 为

? y ? 2x ?1 , 解 得 x ?1 , 所 以 所 求 面 积 为 y ? 1 ? 2( x ? 1) , 即 y ? 2 x ? 1 , 由 ? 2 ?y ? x 1 1 1 3 1 2 2 2 1 ?0 ( x ? (2 x ? 1))dx ? ?0 ( x ? 2 x ? 1)dx ? ( 3 x ? x ? x) 0 ? 3 . a 1 16. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)若 ? (2 x ? ) dx ? 3 ? ln 2( a ? 1) , 1 x 则 a 的值是_____________ ; a ?a 2 ? 1 ? 3 1 2 a 2 【答案】 2 由 ? (2 x ? ) dx ? ( x ? ln x) 1 ? a ? ln a ? 1 ? 3+ln2 ,所以 ? , 1 x ?ln a ? ln2 解得 a ? 2 . 17. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,
部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图像如图所示,给出关于 f ? x ? 的下列 命题:

①函数 y ? f ? x ? 在x ? 2 时 , 取极小值②函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 是减函数 , 在 ?1, 2? 是增函 数,③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点④如果当 x ? ? ?1, t ? 时, f ? x ? 的最 大值是 2,那么 t 的最小值为 0,其中所有正确命题序号为_________. 【答案】①③④ 【 解 析 】 由 导 数 图 象 可 知 , 当 ?1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时 , f '( x) ? 0 , 函 数 递 增 . 当

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 时, f '( x) ? 0 ,函数递减.所以在 x ? 2 处,函数取得极小值,所以 ① 正 确 ,② 错 误 . 当 1 ? a ? 2 时 , 由 y ? f ? x ? ? a ? 0 得

f ? x? ? a .
综上所有正确命题序号为①③④.

由图象可知 ,此时有四个交点 ,所以③正确.

当 x ? ? ?1, t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,由图象可知 t ? 0 ,所以 t 的最小值为 0,所以④正确.
18. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知

? ?3x
2 0

2

? t dx ? 10, 则常

?

数 t =_________. 【答案】1 【解析】

? ? 3x
2 0

2

2 ? t ?dx ? ( x 3 ? tx) 0 ? 8 ? 2t ? 10 ,解得 t ? 1 .

19. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)给出下列命题:①函数 y ?

x x ?4
2

在区间[1,3]上是增函数; x 2 ②函数 f(x)=2 -x 的零点有 3 个; ③函数 y= sin x(x∈ [?? , ? ] )图像与 x 轴围成的图形的面积是 S= ④若 ? ~N(1, ? ),且 P(0≤ ? ≤1)=0.3,则 P( ? ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上): 【答案】②④
2

? ?sin xdx ;
?

?

? x2 ? 4 ? x2 ? 4 y ' ? ? 0 , 解得 ?2 ? x ? 2 , 即函数的增区间为 (?2, 2) , , 由 ( x 2 ? 4) 2 ( x 2 ? 4) 2 所以①错误.②正确.③当 ?? ? x ? 0 时, sin x ? 0 ,所以函数 y= sin x(x∈ [?? , ? ] )图
① y' ? 像 与 x 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 是

P(? ? 2) ?
三、解答题

1 ? 2 P (0 ? ? ? 1) 1? 0.6 ? ? 0.2 ,所以④正确,所以正确的为②④. 2 2

? ? sin x dx
?

?

, 所 以 ③ 错 误 .④ 因 为

20. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 ( A) ) 函数

f ( x) ? x1nx ? ax 2 ? x?a ? R ? .

(I)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 f ( x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (III)求证: 20132012 ? 20122013 .
【答案】

21 .( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

f ( x) ?

1 ( x>0且x ? 1) x1nx

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)已知 1n 2>a1nx 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】

1 x

22. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设函数

f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x .

(1)若 a ? 1 ,试求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,证明:切点的横坐标为 1; ,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,求 a 的取值范围. ex 2 【答案】解: (1) a ? 1 时, f ( x ) ? x ? x ? lnx ( x ? 0) 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? f '( x) ? 2 x ? 1 ? ? x x ? 1? ?1 ? x ? ? 0, ? , f ' ? x ? ? 0, x ? ? , ?? ? , f ' ? x ? ? 0 ? 2? ?2 ? ? 1? ?1 ? f ? x ? 的减区间为 ? 0, ? ,增区间 ? , ?? ? ? 2? ?2 ? 1 (2)设切点为 M ? t , f ? t ? ? , f ' ? x ? ? 2 x ? ax ? x f ?t ? 1 切线的斜率 k ? 2t ? a ? ,又切线过原点 k ? t t f ?t ? 1 ? 2t ? a ? ,即:t 2 ? at ? ln t ? 2t 2 ? at ? 1? t 2 ? 1 ? ln t ? 0 t t 2 t ? 1 满足方程 t ? 1 ? ln t ? 0 ,由 y ? 1 ? x 2 , y ? ln x 图像可知 x 2 ? 1 ? ln x ? 0 有唯一解 x ? 1 ,切点的横坐标为 1; 1 2 或者设 ? ? t ? ? t ? 1 ? ln t , ? ' ? t ? ? 2t ? ? 0 t ? ? t ? 在 ? 0, +? ? 递增 ,且 ? ?1? =0 ,方程 t 2 ? 1 ? ln t ? 0 有唯一解 (3)令 g ? x ? ?

f ? x?

(3) g ' ? x ? ? 则

,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数, ex ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0, 即 : f ' ? x ? ? f ? x ? ,

f '? x? ? f ? x?





1 ---(*) ?l n x ? a ? x ?1 ? ?0 x 1 设h ? x ? ? x 2 ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? x ?1 ? x ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 1 1 h '? x? ? 2x ? 2 ? 2 ? ? a ? ? ?2?a x x x2 若 a ? 2 ,则 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 在 ? 0,1? 递减, h ? x ? ? h ?1? ? 0 x2 ? 2 x ?

?

?

即不等式

f ' ? x ? ? f ? x ? , ?x ? (0,1],

恒成立

若 a ? 2 ,? ? ? x ? ? 2 x ?

1 1 2 1 ? ? 2 ?? ' ? x ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 2 x x x x ? ? x ? 在 ? 0,1? 上递增, ? ? x ? ? ? ?1? ? ?2

x ? ? x0 ,1? , ? ? x ? ? ?a ,即 h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? x0 ,1? 上递增, h ? x ? ? h ?1? ? 0 1 这与 ?x ? ? 0,1? , x 2 ? 2 x ? ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x 矛盾 综上所述, a ? 2
解法二:
g '? x? ? f '? x? ? f ? x? ex

?x0 ? ? 0,1? , 使得? ? x0 ? ? ?a

,若函数 g ? x ? 在区间(0,1]上是减函数,

则 ?x ? (0,1], g ' ? x ? ? 0, 即 : f ' ? x ? ? f ? x ? ,所以 x 2 ? 2 x ? 显然 x ? 1 ,不等式成立 当 x ? ? 0,1? 时, a ? 设 h ? x? ?

1 ? ln x ? a ? x ? 1? ? 0 x

x2 ? 2x ?

1 ? ln x x 恒成立 1? x

x2 ? 2x ?

1 1 1 ? ln x ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ? ? ln x x x x , h '? x? ? 2 1? x ?1 ? x ?

设? ? x? ? ?x ? 2x ?1?
2

?1 ? x ?? 2 ? x ? ? 0 1 1 ? ? ln x , ? ' x ? 2 1 ? x ? ? ? ? ? x2 x x3 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上递增, ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 所以 h ' ? x ? ? 0
h ? x ? 在 ? 0,1? 上递减, h ? x ? ? h ?1? ? lim
x ?1

x2 ? 2x ?

所以 a ? 2

1 ? ln x 1 1 ? ? x ? lim ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? ? 2 x ? 1 1? x x x ? ?

23 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 已知函数

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 在点

(3, f (3)) 处 的 切 线 方 程 为 12 x ? 2 y ? 27 ? 0

, 且 对 任 意 的

x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? k ln( x ? 1) 恒成立.
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求实数 k 的最小值; (Ⅲ)求证: 1 ?
【答案】

1 1 1 ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 ( n ? N * ). 2 3 n

9 9 ,∴ 27 a ? 9b ? ? ① 2 2 2 f ?( x) ? 3ax ? 2bx, f ?(3) ? ?6 ,∴ 27a ? 6b ? ?6 ② 1 1 ①②联立,解得 a ? ? , b ? 3 2 1 1 ∴ f ( x) ? ? x3 ? x 2 3 2 2 2 (Ⅱ) f ?( x)= ? x ? x ,∴ ? x ? x ? k ln( x ? 1) 在 x ? ? 0, ?? ? 上恒成立;
解:(Ⅰ)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ? 即 x ? x ? k ln( x ? 1) ? 0 在 x ? ? 0, ?? ? 恒成立;
2

设 g ( x) ? x ? x ? k ln( x ? 1) , g (0) ? 0 ,
2

∴只需证对于任意的 x ? ? 0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0)

k 2x2 ? x ? k ?1 g ?( x) ? 2 x ? 1 ? ? , x ? ? 0, ?? ? x ?1 x ?1 2 设 h( x ) ? 2 x ? x ? k ? 1 , 9 【D】1.)当 ? =1 ? 8( k ? 1) ? 0 ,即 k ? 时, h( x) ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 8 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 单调递增,∴ g ( x) ? g (0)
【D】2.)当 ? =1 ? 8( k ? 1) ? 0 ,即 k ?

9 时,设 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? x ? k ? 1 ? 0 的两根且 8

x1 ? x2
1 ,可知 x1 ? 0 , 2 分析题意可知当 x2 ? 0 时对任意 x ? ? 0, ?? ? 有 g ( x) ? g (0) ;
由 x1 ? x2 ? ?

9 8 综上分析,实数 k 的最小值为 1
∴ k ? 1 ? 0, k ? 1 ,∴ 1 ? k ?

(Ⅲ)令 k ? 1 ,有 ? x ? x ? ln( x ? 1), 即 x ? x ? ln( x ? 1) 在 x ? ? 0, ?? ? 恒成立;
2 2

令x? ∴

1 1 1 1 1 ,得 ? 2 ? ln( ? 1) ? 2 ? ln( n ? 1) ? ln n n n n n n

1?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (ln 2 ? ln1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) 2 3 n 2 3 n 1 1 1 =1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ln(n ? 1) 2 3 n 1 1 1 ? 1? ? ?? ? ? ln(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) n 1 ? 2 ? ? ln(n ? 1) ? 2 ? ln(n ? 1) n

∴原不等式得证
24. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设函数

f ? x ? ? e x sin x

(1)求函数 f ? x ? 单调递增区间; (2)当 x ? [0, ? ] 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值.
【答案】解:(1)

f ' ( x) ? e x (sin x ? cos x)

? 2e x sin( x ? ) 4

?

f ' ( x) ? 0,? sin( x ? ) ? 0. 4 ? 2 k? ? x ?

?

3 ? x ? 2 k? ? ? , 4 4 4 ? 3 ? ? f ( x)单调增区间为 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? , k ? Z 4 4 ? ? ? 2k? ? ? , 即2k? ?

?

?

(2)

x ? ? 0, ? ? ,

? 3 ? ?3 ? 由()知, 1 x ? ?0, ? ? 是单调增区间,x ? ? ? , ? ? 是单调减区间 ? 4 ? ?4 ? 3 3 2 4? f (0) ? 0, f (? ) ? 0, f ( ? ) ? e , 4 2 3? 3? 2 4 所以 f max ? f ( ) ? e , f min ? f (0) ? f (? ) ? 0 4 2
25. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)设函数

1 ? 2ax . x (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

1 1 2 n f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? f (am ) ? f (am ?1 ) ? f (am ? 2 ) ? f (am ?3 ) ? f (am ? 4 ) 成立,试问: 正整数 m 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由 【答案】解:(I)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) 1 2 1 2x ?1 当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? ,∴ f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2 1 由 f ?( x) ? 0 得 x ? . 2 f ( x) , f ?( x) 随 x 变化如下表: x 1 1 1 (0, ) ( , ??) 2 2 2 0 f ( x) ? ?
(Ⅲ)当 a ? 2 时,对任意的正整数 n ,在区间 [ , 6 ? n ? ] 上总有 m ? 4 个数使得

f ?( x)

?

极 小 值

?

1 2 2 2ax ? (2 ? a) x ? 1 (II)由题意, f ?( x) ? . x2 1 1 令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ? , x2 ? a 2 1 1 若 a ? 0 ,由 f ?( x)≤0 得 x ? (0, ] ;由 f ?( x)≥0 得 x ? [ , ??) 2 2 若a ? 0, 1 1 1 1 ① 当 a ? ?2 时, ? ? , x ? (0, ? ] 或 x ? [ , ??) , f ?( x)≤0 ; a 2 a 2 1 1 x ? [? , ] , f ?( x)≥0 . a 2 ②当 a ? ?2 时, f ?( x)≤0 . 1 1 1 ?2 ? a ? 0 ③ 当 时 , , 或 ? ? x ? (0, ] a 2 2 1 1 1 x ? [? , ??) , f ?( x)≤0 ; x ? [? , ? ] , f ?( x)≥0 . a 2 a 1 1 综上,当 a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, ] ,单调递增区间为 [ , ??) ; 2 2 1 1 1 1 当 a ? ?2 时,函数的单调递减区间为 (0, ? ] , [ , ??) ,单调递增区间为 [ ? , ] ; a 2 a 2 当 a ? ?2 时,函数的单调减区间是 (0, ??) , 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时 , 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 (0, ] , [? , ??) , 单 调 递 增 区 间 为 2 a
由上表可知, f ( x)极小值 ? f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,没有极大值

1 1 [? , ? ] . 2 a

4x2 ?1 1 ? (Ⅲ) 当 a ? 2 时, f ( x) ? ? 4 x , f ( x) ? . x2 x 1 1 ∵ x ? [ , 6 ? n ? ] ,∴ f ?( x)≥0 . 2 n 1 1 ∴ f ( x) min ? f ( ) ? 4 , f ( x) max ? f (6 ? n ? ) 2 n 1 1 由题意, mf ( ) ? 4 f (6 ? n ? ) 恒成立. 2 n 1 1 令 k ? 6 ? n ? ≥8 ,且 f (k ) 在 [6 ? n ? , ??) 上单调递增, n n 1 1 f min (k ) ? 32 ,因此 m ? 32 ,而 m 是正整数,故 m≤32 , 8 8 1 所以 , m ? 32 时 , 存在 a1 ? a2 ? ? ? a32 ? , am ?1 ? am ? 2 ? am ?3 ? am ? 4 ? 8 时 , 对所有 2 n 满足题意. ∴ mmax ? 32
26. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知函数 f(x)=axlnx 图像上点

(e,f(e))处的切线与直线 y=2x 平行(其中 e= 2.71828),g(x)=x -x -tx-2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (3)对一切 x ? ?0, e?,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数 t 的取值范围.

2

2

【答案】

27. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )(本小题满分 l3 分)已知函

数 f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R ) . (I)若 a=-1,求函数 f ( x ) 的单调区间; o (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 (2,f(2)) 处的切线的倾斜角为 45 , 对于任意的 t ?

[1,2], 函数 g( x ) ? x 3 ? x 2 [ f '( x ) ? 不是单调函数,求 m 的取值范围;

m ]( f '( x ) 是 f ( x ) 的导函数 ) 在区间 (t,3) 上总 2

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ? ...? ? ( n ? 2,n ? N * ) 2 3 4 n n ( x ? 1) 【答案】解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x) ? 解 f '( x) ? 0 得 x ? (1,??) ;解 ( x ? 0) x f '( x) ? 0 得 x ? (0,1) f ( x) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1? a (1 ? x) a (Ⅱ) ∵ f ' ( x) ? ( x ? 0) ∴ f ' (2) ? ? ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 x 2 m g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3 x 2 ? (m ? 4) x ? 2 2 ? g ' (t ) ? 0 ' ∵ g ( x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ? 0 ? ? ?2 ∴ ? ? g ' (3) ? 0 由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立,
(Ⅲ)求证:

? g '(1) ? 0 37 ? 所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知 ? m ? ?9 . 3 ? g '(3) ? 0 ? 当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立 ln n n ? 1 ∵ n ? 2, n ? N * ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ? ? n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N? ) 2 3 4 n 2 3 4 n n
28 .( 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 向 量

?? ? ?? ? m ? (e x , ln x ? k ) , n ? (1, f ( x)) , m / / n ( k 为 常 数 , e 是 自 然 对 数 的 底 数 ), 曲 线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直, F ( x) ? xe x f ?( x) . (Ⅰ)求 k 的值及 F ( x) 的单调区间;
x1 ? (0, ??) , 使得 g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.
? ln x ? k 1nx ? k x ? 【答案】解:(I)由已知可得: f ( x) = , ? f ( x ) ? ex ex 1

2 (Ⅱ) 已 知 函 数 g ( x) ? ? x ? 2ax ( a 为 正 实 数 ), 若 对 于 任 意 x2 ? [0,1] , 总 存 在

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 e

1 ? F ( x) ? xe x f ?( x) ? x( ? ln x ? 1) ? 1 ? x ln x ? x 所以 F ?( x) ? ? ln x ? 2 x

由 F ?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? 0 ? x ? 由 F ?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0 ? x ?

1 , e2

1 e2

? F ( x) 的增区间为 (0,

1 1 ] ,减区间为 [ 2 , ??) 2 e e (II) ? 对 于 任 意 x2 ? [0,1] , 总 存 在

x1 ? (0, ??)

,

使



g ( x2 ) ? F ( x1 ) ,? g ( x) max ? F ( x) max
由(I)知,当 x ?
1 1 1 时, F ( x) 取得最大值 F ( 2 ) ? 1 ? 2 2 e e e
2

对于 g ( x) ? ? x ? 2ax ,其对称轴为 x ? a

1 ,从而 0 ? a ? 1 e2 1 1 当 a ? 1 时, g ( x) max ? g (1) ? 2a ? 1 , ? 2a ? 1 ? 1 ? 2 ,从而 1 ? a ? 1 ? 2 e 2e 1 综上可知: 0 ? a ? 1 ? 2 2e
当 0 ? a ? 1 时, g ( x) max ? g (a ) ? a 2 , ? a 2 ? 1 ?
29 . ( 山 东 省 滨 州 市 2013 届 高 三 第 一 次 ( 3 月 ) 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已知 函数

f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1(k ? R ) ,
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) < ( n ? N , n >1). ? ?? 3 4 n ?1 4

【答案】

30 .( 2013

年 临 沂 市 高 三 教 学 质 量 检 测 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x ) ? ?a ln x ?

2a 2 ? x( a ? 0 ) x

(I)若曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f ( 1 ) ))处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当 a ? ( ?? , 0 ) 时,记函数 f(x)的最小值为 g(a),求证: g (a ) ? ?e
【答案】
?4

31 . ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

f ( x) ? x1nx, g ( x) ? x 3 ? ax 2 ? x ? 2
(1)求函数 f ( x) 的单调区间;

(2)求函数 f ( x) 在[t,t+2]( t ? 0 )上的最小值; (3)对一切的 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g '( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】

32 .( 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? e ln x, g ( x) ? ln x ? x ? 1, h( x) ?

1 2 x . 2

(Ⅰ)求函数 g ( x) 的极大值. (Ⅱ)求证:存在 x0 ? (1, ??) ,使 g ( x0 ) ? g ( ) ; (Ⅲ)对于函数 f ( x) 与 h( x) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x)≤kx ? b 和

1 2

h( x)≥kx ? b 都成立, 则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x) 与 h( x) 的分界线. 试探究函数

f ( x) 与 h( x) 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请
说明理由.

1 1? x ?1 ? ( x>0). x x 令 g ?( x)>0, 解得 0<x<1; 令 g ?( x)<0, 解得 x>1 . ∴函数 g ( x) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. 所以 g ( x) 的极大值为 g (1) ? ?2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 1 令 ? ( x) ? g ( x) ? g ( ) 2 1 ∴ ? (1) ? g (1) ? g ( )>0, 2 取 x? ? e>1, 则 1 1 1 ? (e) ? g (e) ? g ( ) ? ln e ? (e ? 1) ? ln ? ( ? 1) 2 2 2 3 ? ?e ? ln 2 ? <0. 2
【答案】解:(Ⅰ) g ?( x) ?

故存在 x0 ? (1, e), 使 ? ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (1, ??), 使 g ( x0 ) ? g ( ). (说明: x? 的取法不唯一,只要满足 x?>1, 且 ? ( x?)<0 即可)

1 2

1 2 x ? e ln x( x>0) 2 e x 2 ? e ( x ? e)( x ? e) 则 F ?( x) ? x ? ? ? x x x 则当 0<x< e 时, F ?( x)<0 ,函数 F ( x) 单调递减;
(Ⅱ)设 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? 当 x> e 时, F ?( x)>0 ,函数 F ( x) 单调递增. ∴x?

e 是函数 F ( x) 的极小值点,也是最小值点,

∴ F ( x) min ? F ( e ) ? 0.

1 e 处有公共点( e, e ). 2 1 设 f ( x) 与 h( x) 存在“分界线”且方程为 y ? e ? k ( x ? e) , 2 1 令函数 u ( x) ? kx ? e ? k e 2 1 1 ①由 h( x) ≥ u ( x) ,得 x 2≥kx ? e ? k e 在 x ? R 上恒成立, 2 2 2 即 x ? 2kx ? e ? 2k e≥0 在 x ? R 上恒成立, ∴ ? =4k 2 ? 4(?e ? 2k e)≤0 ,
∴函数 f ( x) 与 h( x) 的图象在 x ? 即 4(k ? e) 2 ≤0 ,

1 e ,故 u ( x) ? e x ? e. 2 ②下面说明: f ( x)≤u ( x) , 1 即 e ln x≤ e x ? e( x>0) 恒成立. 2 1 设 V ( x) ? e ln x ? e x ? e 2 e e ? ex 则 V ?( x) ? ? e ? x x ∵当 0<x< e 时, V ?( x)>0 ,函数 V ( x) 单调递增,
∴k ? 当 x> e 时, V ?( x)<0 ,函数 V ( x) 单调递减, ∴当 x ?

e 时, V ( x) 取得最大值 0, V ( x)≤V ( x) max ? 0 . 1 ∴ e ln x≤ e x ? e( x>0) 成立. 2 1 1 综合①②知 h( x)≥ e x ? e, 且 f ( x)≤ e x ? e, 2 2 1 故函数 f ( x) 与 h( x) 存在“分界线” y ? e x ? e , 2 1 此时 k ? e, b ? ? e. 2
33. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)某幼儿园准备建一个转盘,转

盘的外围是一个周长为 k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有 一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为 3k 元/根,且当 两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用

为 ?2 ?

? ? ?

(128 x ? 20) x ? ? k 元.假设座位等距分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点, 25 ?

且不考虑其他因素,记转盘的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k=50 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?
【答案】

34. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)已知函数

f ? x ? ? x ln x ? ax ? a ? R ?

2 (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?e , ?? 上为增函数,求 a 的取值范围;

?

(II)若对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? k ? x ? 1? ? ax ? x 恒成立,求正整数 k 的值.
【答案】

35 .( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? ex . (I)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间 x?m (Ⅱ)若不等式 g ( x) ? 有解,求实数 m 的取值菹围; x (Ⅲ) 定 义 : 对 于 函 数 y ? F ( x) 和 y ? G ( x ) 在 其 公 共 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x0 ., 称

F ( x0 ) ? G ( x0 ) 的 值 为 两 函 数 在 x0 处 的 差 值 . 证 明 : 当 a=0 时 , 函 数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有差值都大干 2.
【答案】

36 . ( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 2(1 ? a ) ln( x ? 1) x ? (1,??) .
(1) x ?

3 是函数的一个极值点,求 a 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3) 当

a?2



,





g ( x) ? ? x 2 ? b, (b ? 0) ,









?1 ? m1 , m2 ? ? ? 1, e ? 1? , | g (m2 ) ? f (m1 ) |? 2e 2 ? 2e 都成立,求 b 的取值范围. ?e ?

f ( x) ? x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 2(1 ? a )1n( x ? 1) 2(1 ? a ) , f ?( x) ? 2 x ? 2(1 ? a ) ? x ?1 3 ? x ? 是函数的一个极值点 2 3 ? f ?( ) ? 0 2 3 解得: a ? 2 2(1 ? a ) 2 x( x ? a ) (2)? f ? ? 2 x ? 2(1 ? a ) ? ? x ?1 x ?1 又 ? f ( x)的定义域是( 1, ? ?) ?当a ? 1时,函数f(x)的单调增区间为( 1, ? ?) 当a?1时,( 1,a)为减区间,(a,??)为增区间
【答案】解:(1)函数

(3)当 a=2 时,由(2)知 f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.

1 1 ? f (2) ? 0, f ( ? 1) ? 2 , f (e ? 1) ? e 2 ? 3 e e ?1 1 ? y ? f ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域[0, e 2 ? 3] e 1 ? g ( x) ? ? x 2 ? b在[ ? 1, e ? 1]为减函数 e 1 1 2 ? y ? g ( x)在[ ? 1, e ? 1]的值域为[? (e ? 1 ) ? b,?( ? 1) 2 ? b] e e ? b>0 1 ? ?( ? 1) 2 ? b? 0,?(e ? 1) 2 ? b? 0 e

所以 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 2e 2 ? 2e成立,只要

e 2 ? 3 ? (?e ? 1) 2 ? b) ? e 2 ? 3 ? (e ? 1) 2 ? b ? 2e 2 ? 2e ? 2 ? b? 2e 2 ? 2e成立即可
解得:0<b<2
37. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知 P ? x, y ? 为函数

y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? .

1? 3? t (II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
n?2 (III)求证 ? n? N* . ?? n ? 1? !? ? ? ? n ? 1??e 2

(I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

? ?

?

?

【答案】解:(Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ?

1 ? ln x ,x?0 x

ln x ? 1 ? ln x ?? ? ?? 2 x ? x ? 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? ? x ? ? ? 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ?

? ?

1? ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1. 1 m ? ?1 3 ? 3 ? ?2 ? 即实数 m 的取值范围是 ? , 1? ?3 ? ? x ? 1??1 ? ln x ? t (Ⅱ)由 f ? x ? ? 得t ? x x ?1 ? x ? 1??1 ? ln x ? 令 g ? x? ? x x ? ln x 则 g? ? x ? ? x2
令 h ? x ? ? x ? ln x 则 h? ? x ? ? 1 ?

+? ? 上单调递增 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1,
所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0

1 1? x = x x

g ? x ? 在 ?1, +? ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2? (Ⅲ)由(Ⅱ) 知 f ? x ? ?

2 恒成立, x ?1

1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x 2 令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln n ? n ? 1? ? 1 ? n ? n ? 1?
即 所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 , 1? 2

ln ? 2 ? 3? ? 1 ?
,

2 , 2?3

ln n ? n ? 1? ? 1 ?

2 . n ? n ? 1?
? 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? n ? n ? 1? ? ?1 ? 2 2 ? 3

2 2 2 所以 ln ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? ? ? n ?2?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ??n?2 ? n ?1? 2 2 2 n ?2 所以 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? e
所以 ? ?? n ? 1? !? ? ? ? n ? 1? ? e
2 n ?2

?n ? N ?
?

38. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知函数 f ( x) ? 1nx ?

1 2 ax ? 2 x 2

(1)若函数 f ( x) 在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?
【答案】

1 1 时,关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求 2 2

实数 b 的取值范围.

39. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)某分公司经销某种品牌产品,每

件产品的成本为 30 元,并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费, 根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为

k (e 为自 ex

然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为 40 元时,该产品一年的销售量为 500 万件.

经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元,最高不超过 41 元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值.
【答案】

40. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)设函数

f ( x) ? xe x .

(1) 求 f ( x) 的单调区间与极值; (2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有

f ( x2 ) ? f (a ) f ( x1 ) ? f (a ) 成立.若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由. ? x2 ? a x1 ? a
【答案】解: (1)

f ?( x) ? (1 ? x)e x .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ;

列表如下

x f ?( x) f ( x)

(??,?1)
-

?1
0 极小值

(?1,??)
+

? f ( x) 的单调递减区间是 (??,?1) ,单调递增区间是 (?1,??) 1 f ( x) 极小值= f (?1) ? ? e f ( x) ? f (a) (2) 设 g ( x) ? , 由 题 意 , 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有 x?a g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 y ? g ( x) 在 (a,??) 上是单调增函数

? g ?( x) ? ?

f ?( x)( x ? a ) ? [ f ( x) ? f (a )] (1 ? x)e x ( x ? a ) ? xe x ? ae a ? ( x ? a)2 ( x ? a)2

( x 2 ? x ? ax ? a )e x ? xe x ? ae a x 2e x ? axe x ? ae x ? ae a ? ( x ? a)2 ( x ? a)2 ?x ? (a,??) , g ?( x) ? 0
令 h( x) ? x e ? axe ? ae ? ae ? 0
2 x x x a

h?( x) ? 2 xe x ? x 2e x ? a (1 ? x)e x ? ae x ? x( x ? 2)e x ? a ( x ? 2)e x ? ( x ? 2)( x ? a )e x 若 a ? ?2 ,当 x ? a 时, h?( x) ? 0 , h( x) 为 [a,??) 上的单调递增函数, ? h( x) ? h(a ) ? 0 ,不等式成立 若 a ? ?2 ,当 x ? (a,?2) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 为 [a,?2] 上的单调递减函数, ? ?x0 ? (a,?2) , h( x0 ) ? h(a ) ? 0 ,与 ?x ? (a,??) , h( x) ? 0 矛盾 所以,a 的取值范围为 [-2,??)
41 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? ? ax 2 ? bx ? c ? e x且f ? 0 ? ? 1, f ?1? ? 0.

(I)若 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (II)当 a=0 时,是否存在实数 m 使不等式 2 f ? x ? ? 4 xe ? mx ? 1 ? ? x ? 4 x ? 1 对任意
x 2

x ? R 恒成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

【答案】

42 .( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 设 函 数

1 f ( x) ? mx 3 ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3
( I )若函数 y ? g ( x ) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ?

3 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2

象上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性;

(Ⅲ)在(I)的条件下,设 G ( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x ) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 2

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在, 求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)令 ln( x - 1) = 0 ,则 x = 2 ,

3 的对称点为(1,0), 2 1 由题知 f (1) = 0, \ m + (4 + m) = 0, \ m = - 3 3 2 (Ⅱ) F ( x ) = mx + 2(4 + m ) x + 8ln x ,定义域为 (0, + ) , 8 F? ( x ) = 2mx + (8 + 2m) + x 2 2mx + (8 + 2m) x + 8 = x (2mx + 8)( x + 1) = x Q x > 0, 则 x + 1 > 0 , \ 当 m ? 0 时, 2mx + 8 > 0, F ? ( x ) > 0, + ? )上单调递增, 此时 F ( x ) 在(0, 4 当 m < 0 时,由 F ? ( x ) > 0得 0 < x < , m 4 由 F? ( x ) < 0得x > , m 骣 4÷ 此时 F ( x ) 在 ? 0, - ÷上为增函数, ? ? 桫 m÷ 骣4 在? ,+ ÷ ÷ ? ÷为减函数, ? 桫m + ? )上为增函数, 综上当 m ? 0 时, F ( x ) 在(0, 骣 4÷ 骣4 m < 0 时,在 ? 上为增函数,在 ? 0, - ÷ ,+ ÷ ÷ ? ? ÷为减函数 ? ? 桫 m÷ 桫m
\ P(2,0) 关于 x =

ì ?- x + x ,x (Ⅲ)由条件(Ⅰ)知 G ( x ) = ? í
3 2

2,

? ? ? a ln( x - 1), x > 2, 假设曲线 y = G ( x ) 上存在两点 P 、 Q 满足题意,则 P 、 Q 两点只能在 y 轴两侧, 3 2 设 P (t , G (t ))(t > 0), 则 Q (- t , t + t ), Q D POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, uur uuu r \ OP ?OQ 0, \ - t 2 + G (t )(t 3 + t 2 ) = 0 .① (1)当 0 < t 2 时,

.

\ G (t ) = - t 3 + t 2 ,
此时方程①为 - t 2 + (- t 3 + t 2 )(t 3 + t 2 ) = 0, 化简得 t - t + 1 = 0 . 此方程无解,满足条件的 P 、 Q 两点不存在 (2)当 t > 2 时, G (t ) = a ln(t - 1) ,方程①为 - t 2 + a ln(t - 1)(t 3 + t 2 ) = 0, 即
4 2

1 = (t + 1) ln(t - 1), a t+ 1 , t- 1

设 h (t ) = (t + 1) ln(t - 1)(t > 1), 则 h ? (t ) = ln(t - 1) + 显然当 t > 2 时 h (t ) > 0即h (t ) 在(2, +

+ \ h(t ) 的值域为 ( h(2), + ゥ), 即(0, \ 当 a > 0 时方程①总有解. 综上若存在 P 、 Q 两点满足题意,则 a 的取值范围是 ( 0, +? )
43 . ( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 校 际 联 考 数 学 ( 理 ) )已知函数

)为增函数, ),

f ( x) ? ax 2 ? x, g ( x) ? 1n( x ? 1) . (1)若 a=l,求 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 在 (?1, ??) 上的最大值; 3 4 n ?1 (2)利用(1)的结论证明:对任意的正整数 n,不等式 2 ? ? ? ? 2 ? 1n( n ? 1) 都成 4 9 n
立: (3)是否存在实数 a(a>0),使得方程
【答案】

2 g ( x ? 1) 1 ? f '( x) ? (4a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只 x e

有两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.


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