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(附答案)湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学(理)试题


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(附答案) 湖北省黄冈中学 2013 届高三 10 月月考数学 (理) 试题
命题人:袁小幼 审稿人:王宪生 校对:谭志 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

/>i 的共轭复数为 1? i 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? i 2 2 2 2 i i ? (1 ? i ) ?1 ? i 1 1 ? ? ?? ? i 1? i 2 2 2 2

( C. ?



1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

【答案】 C 【解析】

2.已知 p : “ a, b, c 成等比数列”, q : “ b ? ( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】D )

ac ”,那么 p 成立是 q 成立的
B.必要不充分条件 D. 既不充分又非必要条件

【解析】若 a,b,c 成等比数列,则 b ? ? ac ;若 b ? 3 . 等 差 数 列 ?an ? 的 前

ac ,则有可能 b ? 0, a或c ? 0

0 n 项 和 为 Sn , 若 a3 ? a9 ? a1 5? a 1 7? , 则 S21 的 值 是
C. 0 D.不能确定

A. 1 【答案】 C

( ) B. ?1

【解析】 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 4a11 ? 0,? a11 ? 0 , S21 ? 21a11 ? 0 4.如图,已 知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 ( ) A. PP2 ? PP 1 1 3
???? ???? ? ?

B. PP2 ? PP4 1 1 D. PP2 ? PP6 1 1
???? ???? ? ?

???? ???? ? ?

C. P1 P2 ? P1 P5 【答案】A

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? 【解析】 利用向量数量积 PP2 ?PPi (i = 1, 2,3, 4,5,6) 的几何意义:数量积 PP2 ?PPi 等于 P1 P2 的 1 1 1 1 ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? 长度 P P2 与 P1 Pi 在 P1 P2 的方向上的投影 PPi cos < PP2 , PPi > 的乘积. 显然由图可知 P1 P3 1 1 1 1

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???? ? 在 P1 P2 方向上的投影最大.

5.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的 俯视图的是 ( )

A. , (1)(3) B. (1)(4) , C. (2)(4) , D. ) (1 , , 3) (2) ( , (4) 【答 案】A 【解析】可以是一个正方体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一个球.

? f ( x ? 4), x ? 0 ? f ( x) ? ? x 2 1 ?e ? ?1 t dt , x ? 0 f (2012) ? 6.若 则 等于

A. 0 【答案】D 【解析】 f (2012) ? f (0) ? e ? ln 2 ? 1 ? ln 2
0


2 C . 1? e

B. ln 2

D. 1 ? ln 2

7. ?ABC 中, A ?

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为 ( ) B. 4 3 sin ? B ?

A. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

? ?

??

??3 6?

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C. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 3?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

【答案】D 【解析】方法 1:由正弦定理得

b c b?c b?c , ? ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C 2? sin sin B ? sin( ? B) 3 3 2? ? 得 b+c= 2 3 [sinB+sin( -B)]= 6 sin( B ? ) .故三角形的周长为:3+b+c= 3 6 3 ?

?? ? 6 sin? B ? ? ? 3 . 6? ?
方法 2:可取△ABC 为直角三角形时,即 B=

? ,周长应为 3 3 +3,故排除 A、B、C. 6

a b 8. 已知实数 a , b 满足等式 2 ? 3 , 下列五个关系式: 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ①

④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 其中可能成立的关系式有 ( ) B.①②⑤
a b

A.①②③ 【答案】B

C.①③⑤

D.③④⑤

【 解 析 】 设 2 ? 3 ? k , a ? log2 k , b ? log3 k , 分 别 画 出 则

y ? log2 x, y ? log3 x 的图像可得.
9. 函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,

x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,
则当 1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 ( A. )

???? ???? ?

?12, ???

B.

?0,3?

C.

?3,12?

D.

?0,12?

【答案】D 【解析】函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,所以 f (x) 为 奇函数,

? f ( x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ,? x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ,

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? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ?( x ? y)(x ? y ? 2) ? 0 ?? ? x ? 2 y ??0,12? 1? x ? 4 ?1 ? x ? 4 ,即 ? ,画出可行域,可得
10. 已知函数 f ( x) ? ? 为( ) A.3 【答案】A

1 ? ?x ? , x ? 0 ,则方程 f (2x2 ? x) ? a ( a ? 2 )的根的个数不可能 x ? x3 ? 3, x ? 0 ?
B. 4 C. 5 D. 6

【解析】画出 f (x) 图像知,当 2 ? a ? 3 时,

f ( x) ? a 有 3 个根,一负二正,当 3 ? a 时, f ( x) ? a 有 2 个正根.令 t ? 2 x 2 ? x ,则

t??

1 8 .当 2 ? a ? 3 时, f (t ) ? a 有 3 个 t 使之成立,一负二正,两个正 ?? 1 1 ?? 8 时,没有 x 与之对应,当负 t 8 时,有 1 个 x 与之对应,

t 分别对应 2 个 x ,当负 t
??

当负 t

1 8 时,有 2 个 x 与之对应,所以根的个数分别为 4、5、6 个;当 3 ? a 时,

f (t ) ? a 有 2 个正根,两个正 t 分别对应 2 个 x ,此时根的个数为 4 个.所以根的个数
只可能为 4、5、6 个. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 11.如图,下图为幂函数 y=xn 在第一象限的图像,则 c1 、 c2 、 c3 、

c4 的大小关系为
【答案】 c3 < c4 < c2 < c1



c c 【解析】 观察图形可知, 1 >0, 2 >0, c1 >1, 0< c2 <1, c3 <0, 且 而

c4 <0,且 c3 < c4 .
12. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图所示, 则 2 0 2 6

y

x

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f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ?



【答案】 2 2 ? 2 【解析】由图象知 2? ? ?x , 其 图 象 关 于 ?4,0?, x ? 2, x ? 6 对 称 知 , ? ? 0, ? ? ? ,? f ? x ? ? 2 sin T 4 4
f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ?8? ? 0, ?T ? 8, 2012 ? 251? 8 ? 4, ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? ?
2? 3? 4? ? ? ? ? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? f ? 4 ? ? 2 ? sin ? sin ? sin ? sin ? ? 2 2 ? 2. 4 4 4 4 ? ?

13.已知△ ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 A 点,若 AB ? ? AE (? ? 0) , AC ? ? AF (? ? 0) ,则 9 【答案】2 【解析】由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +

B.AC 于 E、F 两 .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1

?

?

4

?

的最小值是

??? ?

????

??? ?

??? ?

???? ??? λ ??? μ ???? ? ? μ AF ?AD = AE + AF ,又 2 2

D.E、F 在

λ μ 1 4 λ μ 1 4 同一条直线上,可得 + =1.所以 + =( + ) + ) ( 2 2 λ μ 2 2 λ μ 5 2λ μ 5 9 = + + ≥ +2= ,当且仅当 2λ=μ 时取等号. 2 μ 2λ 2 2 14.设 p : ?x ? (1, ) 使函数 g ( x) ? log2 (tx2 ? 2x ? 2) 有意义,若 ? p 为假命题,则 t 的取 值范围为 【答案】 t ? ? .

5 2

1 2 5 2

2 【解析】 ? p 为假命题, 则 p 为真命题. 不等式 tx ? 2 x ? 2 ? 0 有属于 (1, ) 的解,即

t?

2 2 5 5 2 1 ? ? ?1 , 所 以 有 属 于 (1, ) 的 解 . 又 1 ? x ? 时 , 2 x x 2 5 x 2 2 2 1 1 1 1 1 ? = 2( ? ) 2 ? ∈? , 0) .故 t ? ? . [ 2 x x x 2 2 2 2

15.对于各项均为 整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,…)为完全平方数,则称数

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列 ?an ? 具有“ P 性质”.不论数列 ?an ? 是否具有“ P 性质”,如果存在与 ?an ? 不是同一数 列的 ?bn ? ,且 ?bn ? 同时满足下面两个条件:① 1 , b2 , b3 ,..., bn 是 a1 , a2 , a3 ,..., an 的一个排 b 列;② 数列 ?bn ? 具有“ P 性质”,则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性质”.下面三个数列:① 数 列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 性质”的为 【答案】① ;② 【 解 析

n 2 ( n ? 1) ;② 数列 1,2,3,4,5;③ 1,2,3,…,11.具有“ P 3 ;具有“变换 P 性质”的为 .
对 于 ① 当



n?2



, 又

an ? S n ? S n?1

?

n 2 n ?1 (n ? 1) ? [( n ? 1) 2 ? 1] ? n 2 ? n, 3 3

a1 ? 0, 所以an ? n 2 ? n(n ? N * ).

所以 ai ? i ? i 2 (i ? 1,2,3,?) 是完全平方数,

数列 {an } 具有“P 性质”; 对于② ,数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质”,数列 {bn } 为 3,2,1,5,4;对于③ ,数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”,因为 11,4 都只 有 5 的和才能构成完全平方数,所以数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 M ? {x |

( x ? 4)(x ? 2) ? 0} ,集合 N ? {x | 2 ax ? 3a ? x,a ? 0} ,求集 ( x ? 7)(x ? 1)

合 T ? {a | M ? N ? ?} .

?3a ? x ? 0, ? 【解析】M ? {x | ?2 ? x ? ?1 , 4 ? x ? 7} , 2 ax ? 3a ? x ? ?ax ? 0, 或 又 ?4ax ? (3a ? x) 2 ?

? x ? 3a, ?3a ? x ? 0, ? ? x ? 3a, ? ? x ? 0, 或 ? 或? (以上 a<0) ? 9a ? x ? 3a 或 ?ax ? 0, ?9a ? x ? a ? x ? 0 ?
3a ? x ? 0 ? 9a ? x ? 0 ,所以 N ? {x | 9a ? x ? 0} ;
M ? N ? ? ,所以 9a ? ?1 ,即 a ? ?
17. (本小题满分 12 分)

1 1 ,所以 T ? {a | a ? ? } . 9 9

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已知 x ?

?

6 (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )作出函数 f (x) 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图(不要求书写作图过程) .

是函数 f ( x) ? (a sin x ? cos x) cos x ?

1 图象的一条对称轴. 2

【解析】 )∵f ( x) ? (Ⅰ 值是 ? ∵x ?

1 1 a sin 2x ? cos 2x ,∴f (x) 最 2 2

1 2 a ?1 , 2 6
是 函 数 f (x) 图 象 的 一 条 对 称 轴 ,

?

1 2 a ?1 , 6 2 1 ? 1 ? 1 2 ∴ a sin 2( ) ? cos 2( ) ? ? a ? 1 , 整理得 2 6 2 6 2 a 3 2 ( ? ) ? 0 ,∴ ? 3 ; a 2 2
∴f ( ) ? ? (Ⅱ f ( x ) ? sin( 2 x ? ) 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a 2 ? ?13, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2n ? 6 (Ⅰ )设 bn ? an?1 ? an , 求数列 bn } 的通项公式; { (Ⅱ )求 n 为何值时, an 最小(不需要求 an 的最小值) 【解析】 (I)? bn ? an?1 ? an ,? an?2 ? 2an?1 ? an ? bn?1 ? bn ? 2n ? 6

?

?

6

) ,画出其简图如下:

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? bn ? bn ?1 ? 2(n ? 1) ? 6, bn ?1 ? bn ? 2 ? 2(n ? 2) ? 6,....,b2 ? b1 ? 2 ? 6 将这n ? 1个等式相加,得 n ? b1 ? 2[1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)] ? 6(n ? 1) b ? bn ? n(n ? 1) ? 6(n ? 1) ? (a 2 ? a1 ) ? n 2 ? 7n ? 8
即数列{bn}的通项公式为 bn ? n 2 ? 7n ? 8 (Ⅱ )若 an 最小,则 an ? an?1且an ? an?1 .即bn?1 ? 0且bn?1 ? 0

? 2 ?n ? 7 n ? 8 ? 0 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 ?? ?(n ? 1) 2 ? 7(n ? 1) ? 8 ? 0 ?
∴ n=8 或 n=9 时,an 的值相等并最小 当 19. (本小题满分 12 分) 某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固 定成本为 8 元.今年 ,工厂第一次投入 100 万元(科技成本) ,并计划以后每年比上一 年多投入 100 万元(科技成本) ,预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g ( n) ?

k (k>0,k 为常数, n ? Z 且 n≥0) , n ?1

若产品销售价保持不变,第 n 次 投入后的年利润为 f (n) 万元. (Ⅰ )求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式; (Ⅱ )若今年是第 1 年,问第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 【解析】 )由 g ( n) ? (Ⅰ

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8, n ?1 8 n ?1 8 n ?1 9 n ?1 ) ? 100n .

所以 f (n) ? (100 ? 10n) (10 ?

(Ⅱ )由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ?

) ? 100n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520.

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,

所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元. 20. (本小题满分 13 分)

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已知函数 f ? x ? ?

1? x ? x ? R? . 1 ? x ? x2
2

(Ⅰ )求函数 f ? x ? 的极大值; (Ⅱ )若 et ? 2 x2 ? et x ? et ? 2 ≥ 0 对满足 x ≤1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值 范围(这里 e 是自然对数的底数) ; (Ⅲ )求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有

?

?

?? ? a ? ? b ? 2 ? f ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?
【解析】 ) (Ⅰ

? ? a 2 ? ?b2 f? ? ???

? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 . ?≥? ? ? ??? ? ? ??? ?
2

f ?? x? ?

?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ?

?1 ? x ? x ?

2 2

? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?1 ? x ? x ?

2 2

∴ f ? x? 的 增 区 间 为

? ?2
?

? 3 ,? 2 ?

?

3 , f ? x? 减 区 间 为

, ?? ?

? 2

? 3和

?

? ?2 ?

3, ?? .极大值为 f ?2 ? 3 ?
2 ?1 ? x 2 ? 1? x ? x
2

?

?

2 3 . 3

(Ⅱ )原不等 式可化为 e ≥
t

由(Ⅰ )知, x ≤1 时, f (x) 的最大值为

2 3 . 3

2 1 ? x2 4 3 4 3 4 3 ∴ 的最大值为 ,由恒成立的意义知道 e t ≥ ,从 而 t ≥ ln 2 3 3 3 1? x ? x
(Ⅲ )设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 则 g?? x? ? f ?? x? ?1 ?

?

?

1 ? x2 ? x ? x ? 0? 1 ? x ? x2
2 2

? ? x 2 ? 4 x ? 1?

?1 ? x ? x ?

?1 ? ?

x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2

?1 ? x ? x ?
2

2 2



∴ x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数, 当

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ? ?? ≤0 ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b 2 ∴ . ? ? ≤ ??? ? ??? ?
?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a ? ? b ? 2 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? ? ? ?? ? ≥ ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 2 ? ?b2 ? ? a 2 ? ?b2 f? , ?? ??? ? ??? ?

2

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2 ?? ? a ? ? b ? 2 ? ? ? a 2 ? ?b2 ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 即 f ?? . ?≥ ? ? ?? f ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2) (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ )当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an

(Ⅲ )若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n). (n ? N * ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

【解析】?an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,

? {an?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列.
? an?1 ? an ? 4? n?1 ? 2? n ---------① 2 2
由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2)

? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.
? an?1 ? 2an ? ?2? ?1)n?1 ? 2? ?1)n -----------② ( (
① 得: 3an ? 2[2n ? (?1)n ] -② 所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] 3

(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? ? [ ? ]? ? an ?1 an 2 2n ?1 ? 1 2n ? 1 2 2n ?1 ?2n ? 2n ? 2n ?1 ? 1 3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2 2

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当 n 为奇数时,? an ?

2 n 1 [2 ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ?3 a1 a2 an a1 a2 an an?1

(3)证明:? f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

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湖北省黄冈中学2013届高三10月月考 (数学理)学生

湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考数学试题(理)命题人:袁小幼 审稿人:王宪生 校对:谭志 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在...

湖北省黄冈中学2013届高三11月月考数学理试题(解析版)

湖北省黄冈中学 2013 届高三上学期 11 月月考数学(理)试题 (2012-11-3) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个...