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选修4—4《极坐标与参数方程》复习讲义(1)


选修 4—4《极坐标与参数方程》复习讲义
第一讲 曲线的极坐标方程
(一)考纲解读: (1)了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. (2) 了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标 的互化. (3) 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标 方程.

(二)基础知识
? x / ? ? x , ( ? ? 0) ? 1、平面直角坐标系中的伸缩变换:设点 P ( x , y ) 在变换 ? : ? / 的作用下对应到点 ? y ? ? y , ( ? ? 0) ?

P ( x , y ) ,则称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
/ / /

2 、 在 平 面 内 取 一 个 定 点 O 为 极 点 。 引 一 条 射 线 OX 为 叫 做 极 轴 。 再 选 定 一 个 长 度 单 位 和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向) 。这样就建立了一个极坐标系。对于平面内的点 M , 设 | OM |? ? , ? ? ? XOM ,称 ? 、 ? 为点 M 的极径、极角,有序数对 ( ? , ? ) 就叫做 M 的极坐 标。
[ 强调 ] :一般地 ? ? 0 ,当极角 ? 的取值范围是 [0 , 2? ) 时,平面上的点(除去极点)就与极坐标 ( ? , ? ) 建立一 一对应的关系,否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是 (0 , ? ) ,其中极角 ? 是任意角。

3、负极径的规定:在极坐标系中,极径 ? 允许取负值,当 ? ? 0 时,点 M ( ? , ? ) 位于 极角的终边的反向延长线上,且 | ? |?| OM | , M ( ? , ? ) 可以表示为
( ? , ? ? 2 k ? ) ,或 ( ? ? , ? ? (2 k ? 1)? ) (k ? Z )

4、直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平 面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 ( x , y ) 和 ( ? , ? ) ,则由三角函数的定义可以得到:
?? 2 ? x2 ? y2 x ? ? c o s? ? ? ,? 。 ? y ? y ? ? s in ? ? tan ? ? x ?

5、直线与圆的极坐标方程 曲线 位置 过极点,并且与极轴所成 的角为 ? 直 线 不过极点,和极轴所成的角 为 ? ,到极点的距离为 ? 平行于极轴,到极轴的距 离为 b 垂直于极轴,和极点的距 离为 a

极坐标方程

直角坐标方程

.

过点( ? 1, ? 1 ), 和极轴所成 的角为 ? 圆心在极点,半径为 r 圆心为(±r,0),半径为 r 圆 圆心为(r,±
?
2

),半径为 r

(三)典例剖析: 题型一:图形的伸缩变换 例1. 说说由曲线 y ? tan x 得到曲线 y ? 3 tan 2 x 的变化过程。

题型二:点的极坐标表示 例 1.已知 M ? ? 5 ,
? ? ? ?

? ?

? ,下列所给出的不能表示点 M 的坐标的是( 3? ? ? 4? ? ? 3 ?



A. ? 5, ?

? ?
? 3?

B. ? 5,

C. ? 5, ?
?

?

2? ? ? 3 ?

D. ? ? 5 , ?
?

?

5? ? ? 3 ?

练习:点 P ?1, ? 3 ? ,则它的极坐标是( A. ? 2 ,
? ?


? ?
? 3?

? ?
? 3?

B. ? 2 ,
?

?

4? ? ? 3 ?

C. ? 2 , ?
?

?

D. ? 2 , ?
?

?

4? ? ? 3 ?

题型二 直角坐标方程与极坐标方程的互化 例 1. 化下列直角坐标方程为极坐标方程: (1)x2+y2-2ax=0; (2)x+y=0; (3)x2-y2=2x. 练习: 1.曲线的 ? ? sin ? ? 3 cos ? 直角坐标方程为_ 2.极坐标方程 4 ? sin 2
?
2 ? 5 化为直角坐标方程是

3.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 A. x 2 ? y 2 ? 0 或 y ? 1 B. x ? 1 C. x 2 ? y 2 ? 0 或 x ? 1 D. y ? 1

5.极坐标方程 ? cos ? ? 2 sin 2? 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆

6.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________.

题型三 求极坐标方程 例1 (1).圆心为 C ? 3,
? ?

? ?

? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 6?

(2).与曲线 ? cos ? ? 1 ? 0 关于 ? ?

?
4

对称的曲线的极坐标方程是__________________。

练习:在平面直角坐标系中,以点 (1,1) 为圆心, 2 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点, 以 O x 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 A. ? ? 2 2 cos(? ?
?
4 ) B. ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) C. ? ? 2 2 cos(? ? 1) D. ? ? 2 2 sin(? ? 1)

π? ? π? ? 例 2 .已知两点 A,B 的极坐标分别为?4, ?,?4, ?. 2? ? 6? ? (1)求 A,B 两点间的距离; (2)求直线 AB 的极坐标方程.

π? ? 例 3.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 C?2, ?,半径 R= 5,求圆 C 的极坐标方程. 3? ?

(四)课后巩固 【基础精练】 1.极坐标方程(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,- 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是( ) π? 4π ? π? 4π ? ? ? ? ? A.?1,- ? B.?2, ? C.?2,- ? D.?2,- ? 3? 3 ? 3? 3 ? ? ? ? ? 3.在直角坐标系 xOy 中,已知点 C(-3,- 3),若以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,则点 C 的 极坐标(ρ ,θ )(ρ >0,-π <θ <0)可写为________. 4.设直线过极坐标系中的点 M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________. π? ? 5.在极坐标系中,直线 ρ sin?θ + ?=2 被圆 ρ =4 截得的弦长为________. 4? ?

?x′=1x, 2 6.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为? ?y′=3y,
的方程变为________.

则在这一坐标变换下正弦曲线 y=sin x

π? ? π? ? 7.在极坐标系 中,已知两点 A、B 的极坐标分别为?3, ?,?4, ?,则△AOB(其中 O 为极点)的面 3? ? 6? ? 积为________. π? π ? 8.在极坐标系中,直线 θ = 截圆 ρ =2cos?θ - ?(ρ ∈R)所得的弦长是________. 6? 6 ? 9.直线 2x+3y-1=0 经过变换可以化为 6x+6y-1=0,则坐标变换公式是________. 10.在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,曲线 ρ =2sin θ 与 ρ cos θ =-1 的交点的极坐标为 ________. ?π ? 11.求极坐标方程 ρ =cos? -θ ?所表示的曲线. ?4 ?

?x′=1x ? 2 12.同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 1 ?y′=3y ?
并求曲线的焦点坐标.

后,曲线 C:x2+y2=36 变为何种曲线,

【拓展提高】 5 ? π? ? ? 1.在极坐标系中,已知三点 M?2, π ?,N(2,0),P?2 3, ?. 3 ? 6? ? ? (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标. (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上.

π? 2 ? 2.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cos θ +sin θ 和直线 l:ρ sin?θ - ?= . 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.

3.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ =

π (ρ ∈R),以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建 3 (α 为参数),求直线 l 与曲线 C 的交

?x=2cos α , 立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为? ?y=1+cos 2α 点 P 的直角坐标

4.在圆心的极坐标为 A(4,0),半径为 4 的圆中,求过极点 O 的弦的中点的轨迹的极坐标方程,并将 其化为直角坐标方程.


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