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第21讲 分类与整合思想化归与转化思想


第 21 讲

分类与整合思想化归与转化思想 [双面作业]

1.【2015 安徽卷,理 14】已知数列 {an } 是递增的等比数列。 a1 ? a4 ? 9.a2 a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项 和等于 。 2.【2014 福建卷,理 14】函数 f ( x ) ? ? 的取值范围 是 。

? ?

x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的值域是 [4, ??) ,则实数 a ?3 ? log a x, x ? 2

π 。 4 4. 【2015 四川卷, 理 6】 用数字 0,1, 2,3, 4,5 组成没有重复数字的五位数, 其中比 40000 大的偶数共有 个。
3.【2015 山东卷,理 12】若“ ?x ? [0, ] , tan x ? m ”是真命题,则实数 m 的最小值为 1 5. 【2014 天津高考, 理 12】 在△ABC 中, 内角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c。 已知 b-c=4 a, 2sinB=3sinC, 则 cosA 的值为 。 6. 【2014 陕西高考, 文 21 改编】 设函数 f ( x ) ? ln x ? 恒成立,则 m 的取值范围是 。 。

m f (b) ? f (a ) ?1 ,m ? R 。 若对任意 b ? a ? 0 , x b?a

7.【2015 全国卷Ⅰ,理 10】 ( x2 ? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为

2 2 8. 【2015 湖北卷, 理 9】 已知集合 A ? {( x, y ) x ? y ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) | x |? 2,| y |? 2, x, y ? Z} ,

定义集合 A ? B ? {( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ( x1, y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} ,则 A ? B 中元素的个数为 A. 77 1.【答案】 2 ? 1
n



B. 49

C.

D. 30

【解析】设公比为 q ,则 a1 ? a1q3 ? 9 ①, a1q ? a1q 2 ? 8 ②,由②得 q ?
3

8 8 ,代入①得 a1 ? ? 9 ,解 2 a1 a1

得 a1 ? 1 或者 a1 ? 8 。 若 a1 ? 1 ,得 q ? 2 ;若 a1 ? 8 ,解得 q ? 所以 a1 ? 1, q ? 2 ,所以 Sn ? 2.【答案】 (1, 2] 【解析】由于 x ? 2 时,函数的值域为 [4, ??) ,所以只要在 x ? 2 时, 3 ? loga x ? 4 即可,即 loga x ? 1 , 当 0 ? a ? 1 时,在 (2, ??) 上 loga x ? 0 ,不合题意,所以 a ? 1 ,故只要 loga 2 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 。 3.【答案】 1 【解析】即 tan x ? m 对 ?x ? [0, ] 恒成立,只要 m ? (tan x) max , x ? [0, ] ,故 m ? 1 ,实数 m 的最小值 为1 。 4.【答案】 120
1 3 1 3 【解析】 首位排 4 , 则各位只能排 0, 2 , 此时有 A2 首位排 5 , 各位可排 0,1, 2 , 此时有 A3 A4 ? 72 A4 ? 48 个;

1 ,数列不是单调递增的。 2

1(1 ? 2n ) ? 2 n ? 1。 1? 2

π 4

π 4

个。共有 48 ? 72 ? 120 个。 5. 【答案】 ?

1 3 1 【解析】根据已知和正弦定理得 2b ? 3c ,即 b ? c ,代入 b ? c ? a ,得 a ? 2c 。 4 2 4

根据余弦定理得 cos A ? ?

f (b) ? f (a ) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒 b?a m 1 m ? x( x? 0单 ) 调 递 减 , 等 价 于 h '( x) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 成 立 , 等 价 于 函 数 h( x) ? f ( x)? x? ln x? x x x 2 2 (0, ??) 上 恒 成 立 , 等 价 于 m ? ? x ? x 在 (0, ??) 上 恒 成 立 , 等 价 于 m ? (? x ? x)max , x ? 0 。 1 1 (? x 2 ? x) max ? ,所以 m ? 。 4 4 7.【答案】 30
6. 【答案】 [ , ??) 【解析】对任意 b ? a ? 0 ,

1 。 4

1 4

2 【解析】 ( x2 ? x ? y)5 ? [( x2 ? x) ? y]5 ,展开式中含 y 2 的项为 C5 ( x2 ? x)3 y2 , ( x2 ? x)3 ? x3 ( x ? 1)3 ,
2 5 5 2 2 1 ( x ? 1)3 的展开式中 x 2 的系数为 C1 3 ,所以 ( x ? x ? y ) 的展开式中, x y 的系数为 C5 C3 ? 30 .。

8.【答案】 45 【解析】 方法 1.若 x1 ? x2 ? ?3 , 则只能 x1 ? ?1, y1 ? 0 , 此时 y1 ? y2 ? ?2, ?1,0,1, 2 ,( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 有

5 种情况,根据对称性, x1 ? x2 ? 3 时, ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 也有 5 种情况;
若 x1 ? x2 ? ?2 , 此 时 x1 ? ?1 , 0 , 均 1 可 , y1 可 以 等 于 0, ?1,1 , y1 ? y2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 ,

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 有 7 种情况,根据对称性, x1 ? x2 ? 2 时, ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 也有 7 种情况; 若 x1 ? x2 ? ?1 , 此 时 x1 ? ?1,0,1 均 可 , y1 可 以 等 于 0, ?1,1 , y1 ? y2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 , ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 有 7 种情况,根据对称性, x1 ? x2 ? 1 时, ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 也有 7 种情况; 若 x1 ? x2 ? 0 , 此时 x1 ? ?1,0,1均可,y1 可以等于 0, ?1,1 ,y1 ? y2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 , ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 有 7 种情况。 综上可知,各种不同的情况为 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? 7 ? 7 ? 45 。即 A ? B 中元素的个数为 45 。 方法 2. x1 的取值为 ?1, 0,1 , x2 的取值为 ?2, ?1, 0,1, 2 , x1 ? x2 的不同取值为: ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 ; 同理 y1 ? y2 的不同取值为 ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 。故 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 有 7 ? 7 ? 49 种不同的情况,即集合 A ? B 中有 49 个元素。
但 x1 ? x2 ? ?3 时, y1 只能等于零,此时 y1 ? y2 ? ?3 ,多出 2 个,同理, x1 ? x2 ? 3 时, y1 只能等于零, 此时 y1 ? y2 ? ?3 ,多出 2 个。共多出 4 个。所以 A ? B 中元素的个数为 49 ? 4 ? 45 。 [教师专属栏目] 知识必备 分 类 与 整 合 、 化 归 与 转 化 分类 与 整合 分类 思想 整合 思想 化归 思想 解答数学问题,按照问题的不同发展方向分别进行解 分类与整合思想的主要问题 决的思想方法。 是“分” ,解题的过程是“合 把一个问题中各个解决的部分,进行合并、提炼得出 —分—合” 。 整体结论的思想方法。 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法,把 化归转化思想的实质是 数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、 “化不能为可能” , 使用化归 化复杂为简单的解决问题的思想方法。 转化思想需要有数学知识和 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法,把 解题经验的积累。 数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解 决问题的思想方法。

化归 与 转化

转化 思想

考点 1 分类整合思想 分值:5 分、12 分 分类 →分类求解问题 难度:中等以上。 ↓ 热点: 选择题、填空题、概率、函数导 整合 →对分类求解的部分结果整合为问题完整的答案。数解答题等问题中的全方位运用。 例 1. ( 1 ) 【 2015 湖北卷,理 10 】设 x ? R , ? x ? 表示不超过 x 的最大整数 . 若存在实数 t ,使得 ,则正整数 n 的最大值是 [t ] ? 1,[ t2 ]? 2, ? ,[ tn ? ] n同时成立 .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】若 [t ] ? 1 ,则 1 ? t ? 2 ;若 [t 2 ] ? 2 ,则 2 ? t ? 3 ; 若 [t 3 ] ? 3 ,则 3 3 ? t ?
4 3

题型:选择,填空、解答题

4 ,则 3 81 ? t 4 ? 3 156 ,而 4 ? 3 43 ? 3 64 ? 3 81 , 5 ? 3 53 ? 3 125 ,只要

取 3 81 ? t ? 3 125 ,即可保证 [t 4 ] ? 4 ; 综上可知, 若有 [t ] ? 1,[t 2 ] ? 2,[t 3 ] ? 3,[t 4 ] ? 4 , 则 t 的最小值为 3 3 ,( 3 3)5 ? 3 35 ? 3 243 ? 3 216 ? 6 , 此时 [t 5 ] ? 6 ? 5 ,故不存在实数 t 能够使 [t 5 ] ? 5 。 故正整数 n 的最大值为 4 。
x ? ?2 ? a, x ? 1, (2) 【2015 北京卷,理 14】设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? , x ? 1. (1)若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ;

(2)若

f ? x ? 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是
1 2

.

【答案】 ?1 ; [ ,1) ? [2, ??)
2 x 【解析】 (1)a ? 1 。当 x ? 1 时,2 ? 1? (?1,1) ;当 x ? 1 时, y ? 4( x ? 1)( x ? 2) ? 4[( x ? ) ? ] ? ?1 ,

即 y ? [?1, ??) ,故 f ( x ) 的最小值为 ?1 。

3 2

1 4

(2)若 a ? 0 ,可知 y ? 2x ? a ? 0 无零点, y ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在定义域内无零点,故此时 f ( x ) 无零 点; 若0 ? a ?

1 x ,y ? 2 ? a 在 (??,1) 有一个零点, 但 y ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在定义域内无零点, 此时 f ( x ) 只 2

有一个零点;

1 ? a ? 1,则 y ? 2x ? a 在 (??,1) 有一个零点, y ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在定义域内有一个零点 x ? 2a , 2 此时 f ( x ) 有两个零点; x 若1 ? a ? 2 , 则 y ? 2 ? a 在 (??,1) 有一个零点,y ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在定义域内有两个零点 x ? a, 2a , 此时 f ( x ) 有三个零点;
若 若 a ? 2 ,则 y ? 2 ? a 在 (??,1) 有无零点, y ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在定义域内有两个零点 x ? a, 2a ,此
x

时 f ( x ) 有两个零点。 综上可知,当

1 1 ? a ? 1或者 a ? 2 时, f ( x) 恰有两个零点,故实数 a 的取值范围是 [ ,1) ? [2, ??) 。 2 2
2

小结:从 2015 年高考看,在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题,高考中的分类与整合 思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中。 【变式题】 (1) 【2015 陕西卷,理 12】对二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( a 为非零整数) ,四位同学分 别给出了下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是

A. ?1 是 f ( x ) 的零点 【答案】A

B. 1 是 f ( x ) 的极值点

C. 3 是 f ( x ) 的极值 D.点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

【解析】前三个选项中的结论正确,则 a ? b ? c ? 0 、 ?

b 3 ? 1 、 a ? b ? c ? 3 ,解得 a ? ? ,与 a 为非 2a 4

零整数矛盾,故错误的结论一定在前三个选项,选项 D 中的结论一定正确;若选项 A、B 正确,则有

b 8 ? 1 、 4a ? 2b ? c ? 8 ,解得 a ? ? ,与 a 为非零整数矛盾,故错误结论一定在选项 2a 3 A、B 中,即选项 C、D 的结论正确;若选项 A 正确,在 a ? b ? c ? 0 、 a ? b ? c ? 3 、 4a ? 2b ? c ? 8 , 7 解得 a ? ? ,与 a 为非零整数矛盾,故错误的只能是选项 A 中的结论。 6 (2) 【 2015 广 东 卷 , 文 10 】 若 集 合 E ? {( p, q, r, s) | 0 ? p ? s ? 4,0 ? q ? s ? 4,0 ? r ? s ? 4 且 p, q, r , s ? N} , F ? {(t , u, v, w) | 0 ? t ? u ? 4,0 ? v ? w ? 4 且 t , u, v, w ? N} ,用 card ( X ) 表示集合 X 中元素的个数,则 card ( E ) ? card ( F ) ? A. 200 B. 150 C. 100 D. 50
a ? b ? c ? 0、?
【答案】A 【解析】集合 E 中: (1)若 s ? 1 ,则 p ? q ? r ? 0 , 1 种情况; (2)若 s ? 2 ,则 p, q, r 各有取值 0,1 , ( p, q, r ) 共 8 种可能;

, ,q ) r 共 27 种可能; (3)若 s ? 3 ,则 p, q, r 各有取值 0,1, 2 , ,(p
, ,q ) r 共 64 种可能. ( 4) )若 s ? 4 ,则 p, q, r 各有取值 0,1, 2,3 , ,(p
所以 card ( E ) ? 1 ? 8 ? 27 ? 64 ? 100 。 集合 F : (1)对 (t , u) 可知, u ? 1, t ? 0; u ? 2, t ? 0,1; u ? 3, t ? 0,1, 2; t ? 4, u ? 0,1, 2,3 ,共 10 种可能;同理,对

(v, w) 也有 10 种可能。 (2)对 (t, u, v, w) 前两个元素和后两个元素各有 10 种可能,所以 (t , u, v, w) 共有 10 ? 10 ? 100 种可能。 所以 card ( F ) ? 100 。 所以 card ( E ) ? card ( F ) ? 100 ? 100 ? 200 。
考点 2 化归与转化思想 化归 →通过化归把未知问题化为可解问题。 ↓ 等价转化 →等价转化为另一类容易解决的问题。
x

题型:选择,填空、解答题 分值:5 分、12 分 难度:各种难度均有可能。 热点:转化的方法解答各类试题。
2

例 2.(1) 【2015 四川卷,理 15】已知函数 f ( x) ? 2 , g ( x) ? x ? ax (其中 a ? R ) 。对于不相等的实 数 x1 , x2 ,设 m ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? , x1 ? x2 x1 ? x2

现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; ③对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ; ④对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n 。 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号) 。 【答案】①④ 【解析】由于 f ( x ) 在 (??, ??) 单调递增,因此对于任意两个不等的实数 x1 , x2 , x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 同号,所以 m ? 0 ,命题①为真命题; 由于函数 g ( x) 在定义域内部单调,故命题②不是真命题;

若 m?n , 则 f ( 1 x) ?
x

f (2 x? )
2

g1 ( ? x)

, 即) f ( 1 g ( x x) ? 2

g (1 x? )

f2 ( x ?)

, 构) 造 函 数 g ( x 2

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? x ? ax ,对于任意的 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ,等价于 h( x) 对任意的 a 存在, 存在直线 y ? b 使其函数 h( x) 的图象有两个不同的交点, 等价于对任意的 a h( x) 存在极 值点,等价于 h '( x) ? 2x ln 2 ? 2 x ? a 存在变号零点,作出 y ? 2x ln 2, y ? 2 x ? a 的图象可知,并不是对任 意实数 a 两个函数图象都有交点,因此并不是对任意实数 a , h '( x ) 都有变号零点,因此并不是对任意实 数 a ,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ,命题③不是真命题; 若 m ? ?n ,同样构造函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,类似③, ,等价于存在直线 y ? b 使其函数 ? ( x) 的图象有 两个不同的交点,等价于对任意的 a , ? ( x) 存在极值点,等价于 ? '( x) ? 2x ln 2 ? 2 x ? a 存在变号零点,
作出 y ? 2x ln 2, y ? ?2x ? a 的图象,可知对任意 a 两函数图象都存在交点,因此,对任意实数 a ,存在 不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n ,命题④是真命题。 (2) 【2015 全国卷Ⅰ,理 16】在平面四边形 ABCD 中 ?A ? ?B ? ?C ? 75? , BC ? 2 ,则 AB 的取值 范围是 。 【答案】 ( 6 ? 2, 6 ? 2) 【解析】如图,在平面四边形 ABCD 中,连结 AC ,设 ?BAC ? ? ,则 ?BCA ? 105? ? ? ,根据平面四 边形,可知 ? ? 75? 且 105? ? ? ? 75? ,可得 30? ? ? ? 75? 。

AB 2 ? , sin(105? ? ? ) sin ? 2sin(105? ? ? ) cos ? cos ? ? 2sin105?? ? 2 cos105? ? 2sin 75?? ? 2 cos 75? 。 得 AB ? sin ? sin ? sin ? cos ? 1 cos 75? cos 30? ?t ? ? 3。 令t ? ,则 t ? ,在 30? ? ? ? 75? 下, t 单调递减,所以 sin ? tan ? sin 75? sin 30? cos 75? ? 2 cos 75? ? AB ? 2sin 75?? 3 ? 2 cos 75? , 所以 2sin 75?? sin 75? 即 4cos75? ? AB ? 2 3 sin 75? ? 2cos75? 。
在 ?ABC 中,根据正弦定理,

6? 2 6? 2 , sin 75? ? ,所以 4cos75? ? 6 ? 2 , 4 4 3( 6 ? 2) 6? 2 2 3 sin 75? ? 2cos 75? ? ? ? 6? 2。 2 2 所以 6 ? 2 ? AB ? 6 ? 2 ,即 AB 的取值范围是 ( 6 ? 2, 6 ? 2) 。
因为 cos 75? ?

D 135? A 75 ?

75 ? 105? -? 2 75 ? B

C

?

小结:化归转化啊啊思想的实质是把问题化为更容易解决的问题,如把数的问题转化为形的问题、把空间 问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等,在数学方法中,换元法、割补法、坐标法 等都是化归转化思想的具体体现。

π 【变式题】 (1) 【2015 重庆卷,理 9】若 tan ? ? 2 tan ,则 5
A. 1 【答案】C 【解析】 cos(? ? B. 2 C. 3

cos(? ?

3π ) 10 ? π sin(? ? ) 5 D. 4

3π π 3π 4π 4π π ) ? sin[ ? (? ? )] ? sin( ? ? ) ? sin[ π ? ( ? ? )] ? sin(? ? ) 。 10 2 10 5 5 5 3π π π π π π π π π cos(? ? ) sin(? ? ) sin ? cos ? cos ? sin tan ? cos ? sin 2 tan cos ? sin 10 ? 5 ? 5 5? 5 5? 5 5 5 π π π π π π π π π sin(? ? ) sin(? ? ) sin ? cos ? cos ? sin tan ? cos ? sin 2 tan cos ? sin 5 5 5 5 5 5 5 5 5 π π 2sin ? sin 5 5 ? 3。 ? π π 2sin ? sin 5 5 2 2 y 的 | 最 小值 (2) 【 2015 浙 江 卷 ,理 13 】 若 实数 x, y 满 足 x ? y ? 1 , 则 | 2x ? y ? 2 | ? | 6? x ? 3
是 。 【答案】 3 【解析】在 x ? y ? 1下, 6 ? x ? 3 y ? 0 ,故 z ?| 2 x ? y ? 2 | ?6 ? x ? 3 y 。
2 2

? x 2 ? y 2 ? 1, ①当 2 x ? y ? 2 ? 0 时,约束条件即 ? 其表示的平面区域如图(1) ,目标函数即 ? 2 x ? y ? 2 ? 0. z ? 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y ? x ? 2 y ? 4 , 1 1 约束条件表示的区域如图所示,令 m ? x ? 2 y ,则 y ? x ? m , m 的几何意义是直线 m ? x ? 2 y 在 y 2 2 轴截距的 ?2 倍,目标函数最小,应使直线 m ? x ? 2 y 在 y 轴上的截距最大,此时 m 在图中的点 A 处取得
最大值,由 ?

? x 2 ? y 2 ? 1, 3 4 解得 A( , ) ,此时 mmin ? ?1 ,所以 zmin ? ?1 ? 4 ? ?3 。 5 5 ? 2 x ? y ? 2 ? 0.

? x 2 ? y 2 ? 1, 2 x ? y ? 2 ? 0 ②当 时,约束条件即 ? 其表示的平面区域,如图(2) ,目标函数即 ? 2 x ? y ? 2 ? 0. 3 1 z ? ?2 x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y ? ?3x ? 4 y ? 8 。令 m ? ?3x ? 4 y , y ? ? x ? m , m 的几何意义是直线 4 4 m ? ?3x ? 4 y 在 y 轴上截距的 ?4 被, m 最小,应使直线 m ? ?3x ? 4 y 在 y 轴上的截距最大,即直线过 区域内的点 A 时 m 最小,但点 A 不在区域内,此时 m 无最小值,即 z 无最小值。 综上可知 z 的最小值为 3 。

图1

图2

教师备用例题 例 1. 【配例 1 使用重点是分类整合的方法】已知函数 f ( x) ? x ? 单调性.

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的 x

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2 2 设 g ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .
【解析】 f ( x) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ?
2 ① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时,对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。
2 ② 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,仅对 x ? 在 (0, ??) 上也是增函数。 2 ③ 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,

2 有 f ?( x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x)

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增
2

x1
0 极大

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2 ( x1 , x2 ) x2 ( x 2 , ??)
_ 单调递减 0 极小
2

+ 单调递增

此 时 f ( x) 在 (0,

a ? a ?8 a ? a ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( , ) 是上单调递减, 在 2 2 2

(

例 2. 【综合使用,重点是其中隐含的等价转化思想、分类整合思想】已知数列 {an } 满足 a1 ? 10 ,

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 2

1 an ? 6an ?1 ? ? 4n , n ? 2, n ? Z . 2 (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ; a1 a2 a3 an 8 (3)证明:数列 {an } 中的任意三项不可能成为等差数列。 1 n 【解析】 (1)由 a n ? 6a n ?1 ? ? 4 ,可得 an ? 4n ? 6(an?1 ? 4n?1 ) ,又 a1 ? 10, a1 ? 4 ? 6 , 2 n 从而数列 {an ? 4 } 是以 a1 ? 4 ? 6 为首项,公比为 6 的等比数列,
(2)证明: 所以 an ? 4n ? 6.6n?1 ,即 an ? 6n ? 4n . (2)先证明 6 ? 4 ? 2 ? 5 。 当 n ? 1 时,左右两端均为 10,不等式成立。 由于 n ? 2, n ? Z ,所以
n n n

0 n 1 n?1 2 n ?2 n?1 n , 6n ? (5 ?1)n ? Cn 5 ? Cn 5 ? Cn 5 ? ?Cn 5 ? Cn 0 n 1 n?1 2 n?2 n?1 n 4n ? (5 ?1)n ? Cn 5 ? Cn 5 ? Cn 5 ? ?? Cn 5(?1)n?1 ? Cn (?1)n 0 n 2 n ?2 n ?2 2 n 0 n 当 n 为偶数时, 6n ? 4n ? 2(Cn 5 ? Cn 5 ??? Cn 5 ? Cn ) ? 2Cn 5 ? 2 ? 5n 。 0 n 2 n ?2 n?1 0 n 当 n 为奇数时, 6n ? 4n ? 2(Cn 5 ? Cn 5 ? ?? Cn 5) ? 2Cn 5 ? 2 ? 5n 。

所以当 n ? N 时, 6 ? 4 ? 2 ? 5 。
* n n n

所以

1 1 1 , ? n ? n an 6 ? 4 2 ? 5n

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 。 所以 ? ? ??? ? ? ??? ? ? 1 2 n a1 a2 a3 an 2 ? 5 2 ? 5 2?5 2 1? 1 8 5n 8 5 * (3)假设存在 am , ap , an , m, p, n ? N 成等差数列,因为 {an } 为递增数列,
不妨设 am ? a p ? an ,则有 m ? p ? n ,且 2a p ? am ? an 。
n?1 n?1 由 于 p ? n ? 1 , 所 以 ap ? an?1 ? 6 ? 4 , ,

2ap ? 2an?1 ? 2 ? 6n?1 ? 2 ? 4n?1 ? 6n ? 4n ? an , 所 以

2ap ? am ? an ,与假设矛盾,所以数列 {an } 中的任意三项不可能成为等差数列。.
专题训练二十一【分类与整合思想、化归与转化思想】 基础演练 1. 已知命题 p : ?x ? R,sin x ? a ,若 ?p 是真命题,则实数 a 的取值范围为 A. a ? 1 【答案】D B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1

【解析】 ?p 为: ?x ? R,sin x ? a 为真,等价于 a ? ?sin x?max ? 1 。 2. 【2015 湖北黄冈中学等八校二联,文 1】已知集合 A = { , B ? {4}, 1 , 3 , zi}(其中 i 为虚数单位)

A ? B ? A ,则复数 z 的共轭复数为 A. -2i B. 2i C. -4i

D. 4i

【答案】D 【解析】由 A ? B = A ,等价于 B ?A ,即得 zi ? 4 , z ? ?4i , z 的共轭复数为 4i ,故选 D . 3. 【2015 黑龙江省大庆市二模,理 3】已知 tan ? ? 2 ,则 A. 2 【答案】C B. 3 C. 4 D. 6

sin 2? 的值为 cos 2 ?

【解析】

sin 2? 2sin ? cos ? ? ? 2 tan ? ? 4 。 cos 2 ? cos 2 ?

4. 【2015 湖北黄冈中学等八校二联】已知 ? 为钝角,且 cos( 【答案】 -

π 3 ? ? ) ? ? ,则 sin 2? = 2 5



24 25

π 3 3 4 24 ? ? ) ? ? ,即 sin ? ? ,又 ? 为钝角, cos ? ? ? , sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? . 2 5 5 5 25 5. 已知函数 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x ,则满足不等式 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
【解析】 cos( 是 . 【答案】 (?1,0) ? (1, ??) 【解析】当 x ? 0 时,由 log2 x ? 0 可得 x ? 1 ;根据函数 f ( x ) 是偶函数、其图象关于坐标原点对称可得 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 的解为 (?1, 0) 。所以 x 的取值范围是 (?1,0) ? (1, ??) 。 能力检测 6. 已知 M ? ?( x, y) | 【答案】A 【解析】直线 ax ? 2 y ? a ? 0 的斜率为 3 且不与直线 y ? 3 ? 3( x ? 2) 重合,此时 ? 者直线 ax ? 2 y ? a ? 0 过点 (2,3) ,即 2a ? 6 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 。

? ? A. ? 6 或 ? 2

y ?3 ? ? 3? , N ? {( x, y) | ax ? 2 y ? a ? 0} 且 M I N ? ? ,则 a ? x?2 ? B. ? 6 C. 2 或 ? 6 D. ? 2
a ? 3 ,即 a ? ?6 ,或 2

7. 【2015 浙江温州高三第二次适应性考试,理 7】在 VABC 中, BC ? 5 , G , O 分别为 VABC 的重心 uuu r uuu r 和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则 VABC 的形状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】B 【解析】以 BC 所在的边为 x 轴建立坐标系,设 A 的坐标为(a,b)B(0,0) ,C(5,0) ,G( 则 BC ? (5,0), OG =(

??? ?

????

则 BC ? AB 为负值,所以为钝角三角形。

??? ? ??? ?

???? ??? ? 5 a?5 b 5 a?5 1 ? ,m- ),由 OG ? BC ? 5 得( ? ).5=5,a=- , 2 3 3 2 3 2

5 ,m) 2

? x 2 ? 1, 0 ? x ? 2 8. 已知 g ( x) ? ax ? a, f ( x) ? ? 2 , 对 ?x1 ?[?2, 2], ?x2 ?[?2, 2] , 使 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, ?? x ? 1, ?2 ? x ? 0 则 a 的取值范围是 A. [?1, ??) B. [?1,1] C. (0,1] D. (??,1]
【答案】B 【解析】问题等价于函数 g ( x) 的值域是函数 f ( x ) 值域的子集。函数 f ( x ) 的值域为 [?3,3] 。 当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 [?2, 2] 上的值域为 [?a,3a] ,由 [?a, 3a ] ? [? 3, 3] ,得 ?a ? ?4 且 3 ? 3a ,得

a ? 1 ,此时 0 ? a ? 1 ;当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 [?2, 2] 上的值域为 {0} ,显然满足要求; a ? 0 时,函数 g ( x) 在 [?2, 2] 上的值域为 [3a , ?a ] ,由 [3a , ?a ] ? [? 3, 3],得 3a ? ?3 且 ? a ? 3 ,解得 a ? ?1 ,此时 ?1 ? a ? 0 。综上可知 ?1 ? a ? 1 。 ?x ? 4 y ? 0 ?x ? y ? 4 ? 9. 【 2015 湖 北 省 高 三 一 轮 检 测 , 理 10 】 给 定 区 域 D : ? , 令 点 集 ?x ? y ? 2 ? ?x ? 0

T ? {( x0 , y0 ) ? D | x0 , y0 ? Z,( x0 , y) 是 z ? x ? y 在 D 上取得最大值或最小值的点 } ,则 T 中的点最多能
确定三角形的个数为 A . 15 B . 25 【答案】 B .

C . 28

D . 32

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示, 因为直线 z ? x ? y 与直线 x ? y ? 4 ,直线 x ? y ? 2 平行,所以 直线 z ? x ? y 过直线 x ? y ? 4 上的整数点: (4, 0) , (3,1) , (2, 2) , (1,3) , (0, 4) 时,直线的纵截距最大,即 z 最大;直线 z ? x ? y 过 直线 x ? y ? 2 上的整数点:(0, 2) ,(1,1) 时,直线的纵截距最小,即 z 最小.所以满足条件的点共有 7 个,
3 3 则 T 中的点最多能确定三角形的个数为 C7 .故选 B . ? C5 ? 35 ?10 ? 25 (个)

10. 【2015 河南郑州市二次质量预测,理 10】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sin (B 十 A)+sin(B-A)=3sin2A,且 c ?

7, C ?

?

3

,则△ABC 的面积是

2? 2? ? A, B ? A ? ? 2A , 3 3 3 ? 2? ? ? 2 A ? ? 2sin 2 A , ?sin ? B ? A? ? sin ? B ? A? ? 2sin 2 A ,?sin C ? sin ? ? 3 ?
【解析】在△ABC 中, C ?

【答案】D

?

,? B ?

?? 1 ? ? 2? ?? 3 ? ,? sin ? 2 A ? ? ? ,又 A ? ? 0, ? 3 sin ? 2 A ? ? ? sin C ? 6? 2 6? 2 ? ? 3 ? ? ? c 7 21 , 当 A ? 时, B ? , tan C ? ? ? 3 ,解得 a ? 6 2 a a 3
1 1 21 7 3 ; ac ? ? ? 7? 2 2 3 6 ? ? 3 3 ;故选 D. 当 A ? , B ? ,同理可得 S? ABC ? 2 6 4
所以 S? ABC ?

? ? ? ? ,解得 A ? 或 , 6 2 ?

ax2 ? 2 y 2 11. 若当 x ? ?1,2? , y ? ? 2,3? 时, ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是 xy 【答案】 (?1, ??)
2

.

y ax2 ? 2 y 2 ? y? y 【解析】不等式 ? 1 ? 0 ? ax2 ? xy ? 2 y 2 ? a ? ?2 ? ? ? 。 令 t ? ? ?1, 3 ? ,则 x xy ?x? x

? y? y 。 a ? ?2 ? ? ? 恒 成 立 , 等 价 于 a ? [ g (t )]max ? ?1 。 所 以 a 的 取 值 范 围 是 g ( t ) ? ? 2t ? t ? ?1 ?x? x
2

2

(?1, ??) 。
12. 【2015 山西名校联盟考前检测,理 15】

【答案】 【解析】

8? 9

13. 【2015 浙江温州高三第二次适应性考试,理 14】若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的 范围是 . 【答案】 [?2,0] 【解析】∵实数 x,y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,

1 2 1 1 1 1 ) +(y+ )2= , 即 2(2x+ )2+2(y+ )2=1, 2 2 2 2 2 1 1 令 2 (2x+ )=cosθ, 2 (y+ )=sinθ, 2 2 1 1 2 2 ∴x= cosθ - ,y= sinθ 4 2 4 2
∴(2x+ 2x+y=

? 2 2 cosθ+ sinθ -1=sin(θ+ )-1?[-2,0],故 x+y 的范围是[-2,0], 4 2 2

14. 【2015 山东聊城二模,理 18】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,

?ADC ? 90o PA ? PD ? AD ? 2BC ? 2 , CD ? 3, PB ? 6 ,Q 是 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,
且 PM=3MC. (1)求证:平面 PAD ? 底面 ABCD; (2)求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

【解析】

15. 【2015 辽宁省沈阳市三校协作体高三下学期一联,理 20】如图,抛物线 C1 : y ? 2 px 与椭圆 C 2 :
2

x2 y2 8 6 . ? ? 1 在第一象限的交点为 B , O 为坐标原点, A 为椭圆的右顶点, ?OAB 的面积为 16 12 3 (1)求抛物线 C1 的方程; ( 2) 过 A 点作直线 l 交 C1 于 C 、D 两点, 射线 OC 、OD 分别交 C 2 于 E 、F 两点, 记 ?OEF 和 ?OCD 的面积分别为 S1 和 S 2 ,问是否存在直线 l ,使得 S1 : S 2 ? 3 : 77 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,
请说明理由.

y

C

B

O

A D

x

【解析】 (1)因为 ?OAB 的面积为 代入椭圆方程得 B ( ,

8 6 4 6 ,所以 y B ? , 3 3

4 4 6 ), 3 3 2 抛物线的方程是: y ? 8 x (2) 存在直线 l : x ? 11 y ? 4 ? 0 符合条件 显然直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x ? my ? 4 ,
与 y ? 8 x 联立得 y ? 8my ? 32 ? 0 .
2 2

设 C ( x1 , y1 ), D ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 8m, y1 ? y 2 ? ?32

1 OC OD sin ?COD OC OD y y 32 S2 2 ? ? ? ? 1 2 ? . yE yF S1 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF 2
由直线 OC 的斜率为

y1 8 x2 y2 8 ? ,故直线 OC 的方程为 y ? ? ? 1 联立得 x ,与 x1 y1 16 12 y1
y1 y 1 1 2 ? ) ? 1 ,同理 y F ( 2 ? ) ? 1 , 64 ? 16 12 64 ? 16 12 2 2 y y 1 1 2 所以 yE 2 ? y F ( 1 ? )( 2 ? ) ? 1 64 ? 16 12 64 ? 16 12 36 ? 256 可得 yE 2 ? yF 2 ? 121 ? 48m 2 2 S 2 77 322 (121 ? 48m 2 ) ? 77 ? ? 要使 ,只需 ?? ? S1 3 36 ? 256 ? 3 ? yE (
2 2 2

即 121 ? 48m 2 ? 49 ? 121 解得 m ? ?11 , 所以存在直线 l : x ? 11 y ? 4 ? 0 符合条件 16.【2015 河南商丘二模,理 21】已知函数 f ( x) ? 1n( x ? 1) ? ax2 ? x ( a ?R).

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 4 (2)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,求 a 的取值范围. 1 1 2 【解析】 (1)当 a ? 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x , 4 4 1 1 x( x ? 1) 则 f ?( x) ? ? x ?1 ? ( x ? ?1) , x ?1 2 2( x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1, 0) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) . x[2ax ? (1 ? 2a)] ( x ? ?1) , (2)由题意 f ?( x) ? ( x ? 1) ①当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减,此时,不存在实 数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) . 1 ? 1, ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,有 x1 ? 0 , x2 ? 2a 1 当 a ? 时,函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上单调递增,显然符合题意.; 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ? 1, ??) 上单调递增, 当 2a 2 2a 1 ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,且 f (0) ? 0 , 在 (0, 2a 要使对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) , 1 只需 f (1) ? 0 ,解得 a ? 1 ? ln 2 ,又 0 ? a ? , 2 1 所以此时实数 a 的取值范围是 1 ? ln 2 ? a ? ; 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ? 1) 和 (0, ??) 上单调递增, 当 2a 2 2a 1 ? 1, 0) 上单调递减,要存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时, 在( 2a 1 ? 1) ? f (1) , 函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,需 f ( 2a 1 ? ln 2 ? 1 ? 0 ,① 代入化简得 ln 2a ? 4a 1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ( a ? ) ,因为 g ?(a ) ? (1 ? ) ? 0 恒成立, 令 g (a ) ? ln 2a ? 4a 2 a 4a 1 1 1 故恒有 g (a ) ? g ( ) ? ln 2 ? ? 0 ,所以 a ? 时,①式恒成立, 2 2 2 [1 ? ln 2, ?? ) 综上,实数 a 的取值范围是 .
(1)当 a ?


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