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2016届山东省潍坊市潍坊中学高三上学期自主命题期末考试(理)数学试题 word版

时间:2016-03-07


潍坊中学 2015-2016 学年度高三期末自主 数学试题(理) 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.若集合 ? ? x x ? 3n ? 1, n ? ? , ? ? ??4, ?1, 0, 2,5? ,则集合 ? ? ? ? ( A. ?2,5? D. ??1,

0, 2,5? 2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( A. sin a ? sin b D. ? ) C. a ? b
1 2 1 2

?

?



B. ??4, ?1, 2,5?

C. ??1, 2,5?

B. log 2 a ? log 2 b
b

?1? ?1? ? ?? ? ?2? ?2?

a

3.已知 ? ? ? 0, ? ? ,若 tan ? A. ?

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 sin 2? ? ( ?4 ? 3
C. ?



4 5

B.

4 5

5 4

D.

5 4


4.已知函数 f ? x ? ? ? A. 2

x ?1 ? ?2 ? 1, x ? 1 ,若 f ? a ? ? 1 ,则 f ?1 ? a ? ? ( ? log 3 ? x , x ? 1 ? ? ? 2 ?

B. ?2

C.

D. ?1

6.已知 ???C 和点 ? 满足 ?? ? ?? ? ? C ? 0 ,若 ?? ? ?C ? ? ?? 成立,则实数 ? 的 值为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

???? ? ???? ? ???? ?

??? ? ??? ?

???? ?

7.若中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,则该双曲线的离心 率为( )

A. 3 或

6 2

B.

6 或3 2

C. 3

D. 3

?3 x ? y ? 2 ? 0 1 ? 8.已知变量 x , y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 2 ?x ? y ?1 ? 0 ?
( A. ? )

5 4

B. 0

C. ?2

D.

13 4

9.已知函数 f ? x ? ? x cos x ,有下列 4 个结论: ①函数 f ? x ? 的图象关于 y 轴对称; ②存在常数 ? ? 0 ,对任意的实数 x ,恒有 f ? x ? ? ? ? f ? x ? 成立; ③对于任意给定的正数 ? ,都存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? ? ; ④函数 f ? x ? 的图象上存在无数个点,使得该函数在这些点处的切线与 x 轴平行. 其中,所有正确结论的序号为( A.①③ B.①④ ) C.②④ D.③④

10.设函数的定义域为 D ,若 f ? x ? 满足条件:存在 ? a, b ? ? D ,使 f ? x ? 在 ? a, b ? 上的值域 是 ? , ? ,则称 f ? x ? 为“倍缩函数” .若函数 f ? x ? ? log 2 2 x ? t 为“倍缩函数” ,则实 2 2 数的取值范围是( A. ? ??, ? ) B. ? 0,

?a b? ? ?

?

?

? ?

1? 4?

? ?

1? ? 4?

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. ?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.函数 f ? x ? ? ln 2 ? x ? 1 的定义域为 12.定积分

?

?



?

1

0

x 3 dx 的值为

1 ? 



13.一个几何体的三视图如右图所示, 若其正视图、 侧视图都是面积为 的菱形,俯视图为正方形,则该几何体的体积为 .

3 , 且一个角为 60? 2

14.已知抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F ,? 是抛物线的准线上的一点,Q 是直线 ?F 与抛物线的
2

一个交点,若 ?Q ?

??? ?

??? ? 2QF ,则直线 ?F 的方程为
2 2



15.已知点 ? ? 0,1? ,直线 l : y ? kx ? m 与圆 ? : x ? y ? 1 交于 ? , C 两点, ???C 和

???C 的面积分别为 S1 ,S 2 , 若 ???C ? 60? , 且 S1 ? 2 S 2 , 则实数 k 的值为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos 2 x ? cos 2 ? x ?

? ?

??

. ?( x?R ) 3?

(I)求 f ? x ? 最小正周期和单调递增区间; (II)求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 3 6? ?

17.(本小题满分 12 分) “城市呼唤绿化” , 发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分, 某城市响应城市绿化的号召,计划建一如图所示的三角形 ??C 形状的主题公园,其中一边 利用现成的围墙 ?C ,长度为 100 3 米,另外两边 ?? , ?C 使用某种新型材料围成,已 知 ???C ? 120? , ab ? x , ?C ? y ( x , y 单位均为米) . (1)求 x , y 满足的关系式(指出 x , y 的取值范围) ; (2)在保证围成的是三角形公园的情况下,如何设计能使所用的新型材料总长度最短?最 短长度是多少?

18.(本小题满分 12 分) 如图, 几何体 ?F ? ??CD 中, CD?F 为边长为 2 的正方形, ??CD 为直角梯形, ?? //CD ,

?D ? DC , ?D ? 2 , ?? ? 4 , ??DF ? 90? .
(1)求证: ?C ? F? ; (2)求二面角 ? ? F? ? C 的大小.

19.(本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? ,?bn ? 中,已知 a1 ? 1 ,b1 ? 2 ,且 ? an ,bn ,an ?1 成等差数列,?bn ,an ,bn ?1 也成等差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列; (2)若 cn ? 2an ? 3

?

n

? log

3

? 2an ? ? ?1?n ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 ?n . ? ?

20.(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率是 ,过点 ? ?1, 0 ? 的动直线与椭圆相 2 a b 2

交于 ? , ? 两点,当直线平行于 y 轴时,直线被椭圆 C 截得的线段长为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知 D 为椭圆的左端点,问:是否存在直线使得 ???D 的面积为 说明理由,若存在,求出直线的方程.

10 2 ?若不存在, 3

21. (本小题满分 14 分)

e ? 2.71828 ??? ) 已知函数 f ? x ? ? e ( e 为自然对数的底数, , g ? x? ?
x

a b?R ) . x ? b( a , 2

(1)若 h ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , b ? 1 ?

a ,求 h ? x ? 在 ? 0,1? 上的最大值 ? ? a ? 的表达式; 2

(2)若 a ? 4 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? 在 ? 0, 2? 上恰有两个相异实根,求实数 b 的取值范围; (3)若 b ? ?

15 , a ? ? ? ,求使 f ? x ? 的图象恒在 g ? x ? 图象上方的最大正整数 a . 2

2015-2016 学年度高三期末理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 CDBBD BACDB

二、填空题 11. ? ?1,3? 15. ? 3 三、解答题 16.解: (1)由已知,有 12.

3 2

13.

3 3

14. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0

2? ? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ? cos 2 x 1? 1 3 3 ? 1 ? f ? x? ? ? ? cos 2 x ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? ?1 2 2 2 2? 2 2 ?

当 2 k? ? ? ? 2 x ?

?

2? ?? ? , ? 2k? 时, f ? x ? 单调递增,解得:x ? ? k? ? , k? ? ? ( k ? ? ) 3 3 6? ?
? ? 2? ?? .???????8 分 , k? ? ? ( k ? ? ) 3 6?

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ?

(2)由(1)可知, f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? ? ? ?? , ? ? 上是减函数,在区间 ? ? , ? 上是增函数, ? 3 6? ? 6 6?

而 f ??

? ?? 5 ? ?? 3 ?? ? 3 ? ? , f ? ? ? ? , f ? ? ? ,???????11 分 ? 3? 4 ? 6? 2 ?6? 4
3 3 ? ? ?? , ? 上的最大值为 ,最小值为 .???????12 分 2 4 ? 3 6?

所以 f ? x ? 在区间 ? ?

17.解: (1)在 ???C 中,由余弦定理,得 ?? 2 ? ?C 2 ? 2 ?? ? ?C cos ? ? ?C 2 , 所以 x ? y ? 2 xy cos120 ? 30000 .
2 2 ?

即 x ? y ? xy ? 30000 ,???????4 分
2 2

又因为 x ? 0 , y ? 0 ,所以 0 ? x ? 100 3 , 0 ? y ? 100 3 .???????6 分 (2)要使所用的新型材料总长度最短只需 x ? y 的最小, 由(1)知, x 2 ? y 2 ? xy ? 30000 ,所以 ? x ? y ? ? 30000 ? xy ,
2

2 ? x? y? ? x? y? 因为 xy ? ? ? ,所以 ? x ? y ? ? 30000 ? ? ? ,???????9 分 ? 2 ? ? 2 ?

2

2

则 ? x ? y ? ? 40000 ,即 x ? y ? 200 ,
2

当且仅当 x ? y ? 100 时,上式不等式成立.???????11 分 故当 ?? , ?C 边长均为 100 米时,所用材料长度最短为 200 米.???????12 分 18.解: (1)? ?D ? DC , ?D ? DF ,? ?D ? 平面 CD?F ,? ?D ? FC . 四边形 CD?F 为正方形,所以 DC ? CF , 而 DC ? ?D ? D ,? FC ? 底面 ??CD ,???????3 分

? FC ? ?C ,
又 ??CD 为直角梯形, ?? //CD , ?D ? DC , ?D ? 2 , CD ? 2 , 可得: ?C ? 2 2 , ?C?? ? 45? ,而 ?? ? 4 ,由余弦定理可得: ?C ? 2 2 , 则有 ?C 2 ? ?C 2 ? ?? 2 ,所以 ?C ? ?C ,???????5 分 又 ?C ? FC ? C ,? ?C ? 平面 ?CF , ?F ? 平面 ?CF , 所以 ?C ? F? .???????6 分 (2)由(1)知, ?D ,DC , D? 所在直线两两垂直,故以 D 为原点,以 D? , DC ,D? 所在的直线为 x , y , z 轴,建立如图所示空间直角坐标系.可得 D ? 0, 0, 0 ? , F ? 0, 2, 2 ? ,

??? ??? ? ? ? 2, 4, 0 ? , ? ? 0, 0, 2 ? , C ? 0, 2, 0 ? , ? ? 2, 0, 0 ? ,得 ?F ? ? 0, 2, 0 ? , F? ? ? 2, 2, ?2 ?
设平面 ?F? 的一个法向量为 n ? ? x, y , z ? ,

?

? ??? ? n ? ? ?F ? 0 ? y ? 0 ?? 则有 ? ? ??? , ? x ? y ? z ? 0 n ? F ? ? 0 ? ? ? ? 令 z ? 1 ,可得 n ? ?1, 0,1? ,???????9 分
由(1)知平面 FC? 的一个法向量为 ?C ? ? ?2, 2, 0 ? ,

??? ?

? ? ??? ? n ? ?C 1? ? ?2 ? ? 2 ? 0 ? 0 ?1 1 ? ??? 所以 cos n , ?C ? ? ??? ?? , ? ? 2 2?2 2 n ?C
因为 n, ?C ? ? 0, ? ? ,? n , ?C ? 由图可得二面角 ? ? F? ? C 的大小为

??? ?

? ? ???

?

2? ,???????11 分 3 3
.???????12 分

19.解: (1)由 ? an , bn , an ?1 成等差数列可得, 2bn ? ? an ? an ?1 ,① 由 ?bn , an , bn ?1 也成等差数列成等差数列可得, 2an ? ?bn ? bn ?1 ,② ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? 3 ? an ? bn ? , 所以 ?an ? bn ? 是以 3 为首项、 3 为公比的等比数列.???????4 分 (2)由(1)知, an ? bn ? 3 ? 3n ?1 ? 3n ,③ ① ? ②得, an ?1 ? bn ?1 ? ? ? an ? bn ? , 所以 ?an ? bn ? 是以 ?1 为首项、 ?1 为公比的等比数列 即 an ? bn ? ? ?1?? ?1? ③ ? ④得, an
n ?1

? ? ?1? ④
n

? ?1? ?

n

? 3n

2

.???????8 分

n n n n n cn ? ? 2an ? 3n ? log 3 ? 2an ? ? ?1? ? ? ? ?1? log 3 ?? ?1? ? 3n ? ? ?1? ? ? n ? ?1? , ? ? ? ?

所以 ?n ? 1? ? ?1? ? 2 ? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? ??? ? n ? ? ?1? ,
2 3 n

? ?1? ?n ? 1? ? ?1?

2

? 2 ? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? ??? ? ? n ? 1? ? ? ?1? ? n ? ?1?
3 4 n

n ?1


n

两式相减可得: 2?n ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ??? ? ? ?1? ? n ? ?1?
2 3 n

n ?1

? 2n ? 1?? ?1? ?
2

?1



所以 ?n

? 2n ? 1?? ?1? ?
4

n

?1

???????12 分

20.解: (1)由已知,点 1, 2 在椭圆 C 上.

?

?

2 ?1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? 3 ? 因此, ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 3 , b ? .???????4 分 2 ? c 3 ? ? ? 2 ?a
所以椭圆的方程为

x2 4 y 2 ? ? 1 .???????5 分 9 9

(2)当直线与 x 轴平行时, ???D 不存在,???????6 分 所以可设直线的方程为 x ? my ? 1 ,并设两点 ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,

? x2 4 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 9 ,得 ? m 2 ? 4 ? y 2 ? 2my ? 8 ? 0 , 9 ? x ? my ? 1 ?
其判别式 ? ? 4m 2 ? 32 m 2 ? 4 ? 36m 2 ? 128 ? 0 ,???????8 分 所以, y1 ? y2 ? ? 因此 S ???D ?

?

?

2m 8 , y1 y2 ? ? 2 , 2 m ?4 m ?4

1 D? y1 ? y2 ? 2 2
2

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2

32 4 ? 2m ? ?2 ? 2 ? 2 9m 2 ? 32 ???????10 分 ? ? 2 m ? 4 m ? 4 m ? 4 ? ?
假设存在直线,则有

4 10 9m 2 ? 32 ? 2, m ?4 3
2

解得 m 2 ? 2 ,负解删掉,所以 m ? ? 2 .???????12 分 故存在直线方程为 x ? ? 2 y ? 1 ,使得 S ???D ?

10 2 .???????13 分 3

21.解: (1) b ? 1 ?

a a? ?a ?a ? 时, h ? x ? ? e x ? x ? 1 ? ? ( a ? R ) ,? h? ? x ? ? e x ? x ? 1? , 2 2? ?2 ?2 ?
x

①当 a ? 0 时, h? ? x ? ? e ? 0 , h ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,则此时 ? ? a ? ? h ?1? ? e ;

②当 a ? 0 时, h? ? x ? ? e x ?

a? 2? ? 2 ? ? x ? ? , h ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上为增函数, 2? a? ? a ?

故 h ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,此时 ? ? a ? ? h ?1? ? e ;???????2 分 ③当 a ? 0 时, h? ? x ? ? e x ? 为减函数, 若0 ? ?

a? 2? 2? ? ? 2 ? ? x ? ? , h ? x ? 在 ? ??, ? ? 上为增函数,在 ? ? , ?? ? 上 2? a? a? ? ? a ?

2 2? ? 2 ? ? ? 1 ,即 a ? ?2 时,故 h ? x ? 在 ?0, ? ? 上为增函数,在 ? ? ,1? 上为减函数, a a? ? a ? ?
2 2 a ?a ? 2 ? ?a ? e ? 1 ? b ? ? ? e ,???????5 分 ? ? ? 2 ? a?

此时 ? ? a ? ? h ? ? 若?

2 ? 1 ,即 ?2 ? a ? 0 时, h ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,则此时 ? ? a ? ? h ?1? ? e ; a

2 ? a ?a ? e , a ? ?2 ? ;???????6 分 ?综上所述: ? ? a ? ? ? 2 ?e, a ? ?2 ?

(2) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? e ? 2 x ? b , F? ? x ? ? e ? 2 ,
x x

? F ? x ? 在 ? 0, ln 2 ? 上单调递减;在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增;???????7 分 ? F ? x ? ? e x ? 2 x ? b 在 ? 0, 2? 上恰有两个相异实根,
?F ? 0 ? ? 1 ? b ? 0 ? ? ?F ? ln 2 ? ? 2 ? 2 ln 2 ? b ? 0 ? 2 ? 2 ln 2 ? b ? 1 , ? 2 ?F ? 2 ? ? e ? 4 ? b ? 0

?实数 m 的取值范围是 b ? ? 2 ? 2 ln 2,1? ;???????10 分
(3)由题设: ?x ? R , p ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? e x ?

a 15 x ? ? 0 , (? ) 2 2

? p? ? x ? ? e x ?

a a? ? ? a ? ,故 p ? x ? 在 ? ??, ln ? 上单调递减;在 ? ln , ?? ? 上单调递增, 2 2? ? ? 2 ?

? ? ? ?( ? ) ? p ? x ?min ? p ? ? ln ? ? ? ln ? ? ? a ? a ln ? 15 ? ? 0 , 2 ? 2? 2 2 2 2 2? ? a a a a 15 1 a
设 q ? x ? ? x ? x ln

x x x ? 15 ? x ? x ? ln x ? ln 2 ? ? 15 ,则 q? ? x ? ? 1 ? ln ? 1 ? ? ln , 2 2 2

? q ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递增;在 ? 2, ?? ? 上单调递减,???????12 分
而 q 2e 2 ? 2e 2 ? 2e 2 ln e 2 ? 15 ? 15 ? 2e 2 ? 0 , 且 q ?15 ? ? 15 ? 15ln

? ?

15 15 ? 15 ? ? ? ? 15 ? 15 ? 2 ? ln ? ? 15 ? ln e 2 ? ln ? ? 0 , 2 2? 2? ? ?

故存在 x0 ? 2e 2 ,15 使 q ? x0 ? ? 0 , 且 x ? ? 2, x0 ? 时, h ? x ? ? 0 , x ? ? x0 , ?? ? 时, h ? x ? ? 0 , 又? q ?1? ? 16 ? ln

?

?

1 15 ? 0 , 7 ? e2 ? , 2 2

???????14 ? a ? ? ? 时使 f ? x ? 的图象恒在 g ? x ? 图象的上方的最大正整数 a ? 14 . 分


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