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江西省莲塘一中2010-2011学年高二数学上学期期末终结性测试卷 理【会员独享】


江西省莲塘一中 2010—2011 学年度第一学期期末终结性测试 卷高二数学(理科)
一. 选择题.

1. 双曲线
A. 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B. 2 C. 3 ) D. 1



2.在空间中,下列命题正确的是(<

br />A.平行于同一平面的两直线平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行

B.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 )

3. 双曲线方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1,则它的右焦点坐标为(
A. ?

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?
4 5

B. ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?
3 5

C. ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?
3 5

D.

?

3,0

?

4.若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.

1 5

5. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x , 它的一个 a 2 b2


焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 36 108

B.

x2 y 2 ? ?1 9 27

C.

x2 y2 ? ?1 108 36

D.

x2 y 2 ? ?1 27 9

6. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线上 的射影为 A1 、 B1 ,则∠ A1FB1 =(
A. 30
0

) C. 60
0

B. 45
2 2

0

D. 90

0

7.

过双曲线 2 x ? y ? 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4, )

则这样的直线有(

A.4 条 B.3 条 8. 下列命题中真命题的个数为:(

C.2 条 )

D.1 条

①命题“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 全为 0”的逆命题; ②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题; ③命题“若 m>0,则 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④命题 “在 ? ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A、 B、 C 所对的边长, 若 ?C ? 90 ,则 c ? a ? b ”
0 2 2 2

的逆否命题。 A. 1 9. 椭圆

B. 2

C. 3

D. 4 )

x2 y 2 ? ? 1 的一条弦被 A(4,2)平分,那么这条弦所在直线方程为( 36 9
B. 2 x ? y ? 10 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

A. x ? 2 y ? 0

10. 椭圆

x2 y 2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1的公共焦点为 F1 、 F2 ,P 是两曲线的一个交点, 3 6 2


那么 cos ?F 1PF 2 的值是( A.

1 2 1 B. C. 0 D. 3 3 4 11. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过其中一条直线且平行于另一 条直线的平面内的轨迹是( ) A. 直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线
12. 双 曲 线 x ? y ? 2010 的 左 、 右 顶 点 分 别 为 A 1 、 A2 , P 为 其 右 支 上 的 一 点 , 且
2 2

,则 ?PA ?A1 PA 2 ? 4 ? PA 1 A 2 1 A2 等于( A. 无法确定 二. 填空题. B.

) C.

? 12

? 18

D.

? 36

13. 抛物线 y ?

1 2 x (m ? 0) 的焦点坐标是 m

14. F1 、 F2 是椭圆 C : 为 .

x2 y 2 ? ? 1 的焦点,在 C 上满足 PF1 ? PF2 的点 P 的个数 8 4

15. 己知 Rt ?ABC 的直角顶点 C 在平面 ? 内,斜边 AB // ? , AB ? 2 6, AC、BC 分别 和平面 ? 成 450 和 30 0 角,则 AB 到平面 ? 的距离为

16.

双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1 , l2 ,经过右焦点 F

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 垂直 l1 的直线分别交 l1 , l2 于 A,B 两点,己知 | OA |,| AB |,| OB | 成等差数列,且 BF 与
??? ? FA 同向,则双曲线的离心率

.

三.解答题. 17. (1)点 M 到点 F(2,0)的距离比它到直线 x ? ?3 的距离小 1,求点 M 满足 的方程。 (2)曲线上点 M(x,y)到定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x=8 的距离比是 常数 2,求曲线方程。

18. 曲线方程: x2 ? my 2 ? 1 ,讨论 m 取不同值时,方程表示的是什么曲线?

19.

如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 为 一 直 角 梯 形 , 其 中

BA ? AD, CD ? AD , CD ? AD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点.

(1)求证: BE //平面 PAD ; (2)若 BE ? 平面 PCD , ①求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值; ②求二面角 E ? BD ? C 的余弦值.

2 2 20. 直线 l : y ? kx ? 1与双曲线C : 2 x ? y ? 1 的右支交于不同的两点 A、B.

(1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存 在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

21. 如图,已知点 F (1, 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ .

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M , ???? ??? ? ???? ??? ? y 已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; l
F

?1 O

1

x

22. 己知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 e 。直线 a 2 b2

l : y ? ex ? a 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,

???? ? ??? ? P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM ? ? AB 。
(1)证明: ? ? 1 ? e2 (2)确定 ? 的值,使得 ? PF1 F2 是等腰三角形。

莲塘一中 2010—2011 学年高二年级期末试卷
高二数学(理科)
答案: 一.选择题 ADCBB DBCDA 二.填空题 13. (0,

DB

m ) 4

14. 2

15.2

16.

5 2

三.解答题 17.(1) y ? 8x
2

x2 y 2 ? ?1 (2) 16 12
m ? 0, x 2 ? y2 ? 1 焦点在 x 轴的双曲线 1 m

18.m=0, x ? ?1 两条直线

m ? ?1 , x2 ? y 2 ? 1圆

m ? 0 且 m ? ?1 x 2 ?

y2 ? 1 椭圆 1 ? m

19. 解:设 AB ? a, PA ? b ,建立如图的空间坐标系,

A(0,0,0), B(a,0,0) , P(0, 0, b) ,
b C ((2a, 2a,0), D(0, 2a,0) , E (a, a, ) . 2 ??? ? ??? ? ??? ? b (1) BE ? (0, a, ) , AD ? (0, 2a,0), AP ? (0,0, b) , 2 ??? ? 1 ???? 1 ??? ? 所以 BE ? AD ? AP , 2 2
BE ? 平面 PAD ,? BE / / 平面 PAD .
(2)? BE ? 平面 PCD ,? BE ? PC ,即 BE ? PC ? 0

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? b2 2 PC ? (2a, 2a, ?b) ,? BE ? PC ? 2a ? ? 0 ,即 b ? 2a . 2
① PD ? (0,2a,?2a), BC ? (a,2a,0) , cos ? PD, BC ??

??? ? ??? ?

4a 2 10 , ? 5 2 2a ? 5a

所以异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值为

10 ; 5

②平面 BDE 和平面 BDC 中, BE ? (0, a, a), BD ? (?a, 2a,0) BC ? (a, 2a,0) , 所以平面 BDE 的一个法向量为 n1 ? (2,1, ?1) ;平面 BDC 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ;

??? ?

??? ?

??? ?

??

?? ?

?? ?? ? ?1 6 cos ? n1 , n2 ?? ,所以二面角 E ? BD ? C 的余弦值为 . 6 6
20. 解: (1)将直线 l的方程y ? kx ? 1代入双曲线C的方程2x 2 ? y 2 ? 1后, 整理得
(k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0. ??①

依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

?k 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8(k ? 2) ? 0 ? 2k ? k的取值范围是 ? 2 ? k ? ? 2 . ?? ?0 2 ? k ?2 ? 2 ? 2 ? 0. ?k ? 2
2k ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2? k2 (2)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,则由①式得 ? ??② ?x ? x ? 2 . 2 2 ? k2 ? 2 ?

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得: ( x1 ? c)( x 2 ? c) ? y1 y 2 ? 0, 即( x1 ? c)( x 2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0. 整理得 (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (k ? c)( x1 ? x 2 ) ? c 2 ? 1 ? 0. ??③ 把 ② 式 及 c?
或k ?

6 2

代 入 ③ 式 化 简 得 5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0. 解 得 k ? ?

6? 6 5



6? 6 6? 6 ? (?2,? 2 )(舍去) ,可知 k ? ? 使时满足题设. 5 5

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 21 解法一: (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1 ,y) ,由 QP? QF ? FP?FQ 得:
(x ?1 , 0)? (2, ? y) ? ( x ?1,y)? (?2,y) ,化简得 C : y 2 ? 4x .
解法二: (Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得:

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? FQ? ( PQ ? PF ) ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?( PQ ? PF )? ( PQ ? PF ) ? 0 ,
??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ?2 ? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF .

, Q

y P B O A M F

所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的 方程为: y ? 4 x .
2

x

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为:

2? ? x ? my ? 1(m ? 0) .设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1, ? ?, m? ?
联立方程组 ?

? y 2 ? 4 x,

? x ? my ? 1,

,消去 x 得: y ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m) ? 12 ? 0 ,故
2 2

??? ? ???? ??? ? ? y1 ? y2 ? 4m, ???? 由 , 得: MA ? ? AF MB ? ? BF ? 1 2 ? y1 y2 ? ?4.

y1 ?

2 2 2 2 ? ??1 y1 , y2 ? ? ??2 y2 ,整理得: ?1 ? ?1 ? , ?2 ? ?1 ? , m m my1 my2

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

2?1 1 ? 2 4m 2 y1 ? y2 ? 0. ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? m ? y1 y2 ? m ?4 m y1 y2

[例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的倾 斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k= ∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2 1 ,m)共线,求 m 的值. 2

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3]已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4 1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα =

∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3

因此,直线 l 的斜率是

1 3

说明: 由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略的地 方.


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