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2016高考数学二轮复习微专题强化练课件:27转化与化归思想、数形结合思想


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一部分
微专题强化练

第一部分



增分指导练

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<

br />第一部分 二 增分指导练

27(文25) 转化与化归思想、 数形结合思想

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1

考 向 分 析

3

强 化 训 练

2

考 题 引 路

4

易 错 防 范

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考向分析

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1.数形结合思想的应用:集合及其运算中数轴与 Venn图

的运用;函数图象在函数、方程、不等式中的应用;向量的应
用;三角函数图象的应用;数学表达式的几何意义;坐标系的 应用;解析几何与立体几何中的数形结合.

2 .转化与化归思想的应用:正与反的转化;一般与特殊
的转化;常量与变量的转化;数与形的转化;相等与不等的转 化;实际问题向数学模型的转化;数学内部各分支之间的相互 转化等.

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考题引路

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考例1

(2015·陕西理,10)某企业生产甲、乙两种产品均

需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原

料的可用限额如表所示.如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分
别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )


A(吨) B(吨) A.12万元 C.17万元 3 1


2 2

原料限额
12 8

B.16万元 D.18万元

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[立意与点拨 ]

考查线性规划与数形结合思想的应用.解

答本题应先依据条件列出不等式组画出图形,然后平移目标函

数直线观察求解.
[答案] D

[解析] 设该企业生产 x 吨甲产品,y 吨乙产品,可获得利 ? ?3x+2y≤12, ?x+2y≤8, 润为 R,则由题意有 R=3x+4y,同时满足? ?x≥0, ? ?y≥0. 此可得可行区域如图中阴影部分所示,
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3 1 由 y=-4x+4R 可得,当过点(2,3)时,利润可取得最大值, Rmax=3×2+4×3=18(万元).故本题正确答案选 D.

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考例 2

x2 y2 (文)(2015· 天津文,19)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)

5 的上顶点为 B,左焦点为 F,离心率为 5 . (1)求直线 BF 的斜率; (2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B),过点 B 且垂直 于 BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B),直线 PQ 与 y 轴交 于点 M,|PM|=λ|MQ|. 7 5 (i)求 λ 的值;(ii)若|PM|sin∠BQP= 9 ,求椭圆的方程.

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[立意与点拨 ]

考查椭圆方程与几何性质、直线的方程及

运算求解能力、方程思想及化归思想;第(1)问利用离心率及a2 =b2+c2求之;第(2)问先通过BF、BQ与椭圆方程联立求出P、

Q坐标,再求之,然后结合(ii)的条件,求c.
[解析] 5 c (1)F(-c,0),由已知离心率a= 5 及 a2=b2+c2,

可得 a= 5c,b=2c,又因为 B(0,b),F(-c,0) b-0 b 故直线 BF 的斜率 k= =c =2. 0-?-c?

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(2)设点 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). x2 y 2 (i)由(1)可得椭圆方程为5c2+4c2=1, 直线 BF 的方程为 y=2x+2c, 两方程联立消去 y,得 3x2+5cx=0, 5c 解得 xP=- 3 .

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因为 BQ⊥BP, 1 所以直线 BQ 的方程为 y=-2x+2c, 与椭圆方程联立,消去 y,得 21x2-40cx=0, 40c 解得 xQ= 21 . |PM| 又因为 λ=|MQ|,及 xM=0, |xM-xP| |xP| 7 得 λ= = = . |xQ-xM| |xQ| 8

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|PM| 7 (ii)由(i)得|MQ|=8, |PM| 7 7 所以 = = , |PM|+|MQ| 7+8 15 15 即|PQ|= 7 |PM|, 7 5 又因为|PM|sin∠BQP= 9 , 15 5 5 所以|BP|=|PQ|sin∠BQP= 7 |PM|sin∠BQP= 3 .

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4 又因为 yP=2xP+2c=-3c, 所以|BP|=
? 5c?2 ? ?0+ ? +?2c 3? ? ?

4c?2 5 5 +3? = c, 3 ?

5 5 5 5 因此 3 c= 3 ,c=1, x2 y2 所以椭圆方程为 5 + 4 =1.

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x2 y2 (理)(2015· 重庆文,21)如图,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1.

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(1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; 3 4 (2)若|PQ|=λ|PF1|,且4≤λ<3,试确定椭圆离心率 e 的取值 范围.

[立意与点拨 ]

考查椭圆的标准方程与几何性质,函数与

方程、转化与化归的思想.解答本题 (1) 由定义及勾股定理求 解;(2)由定义结合条件求出PF1、PF2,再结合勾股定理建立方 程,通过换元转换为函数问题解决.

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[解析]

(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2

- 2)=4,故 a=2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1⊥PF2, 因此 2c=|F1F2|= |PF1|2+|PF2|2 = ?2+ 2?2+?2- 2?2=2 3,即 c= 3. 从而 b= a2-c2=1. x2 2 故所求椭圆的标准方程为 4 +y =1.

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(2)如图,由 PF1⊥PQ,|PQ|= λ|PF1|得, |QF1| = |PF1|2+|PQ|2 = 1+λ2 |PF1|, 由椭圆的定义, |PF1| + |PF2| = 2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a. 于是(1+λ+ 1+λ2)|PF1|=4a.

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4a 解得|PF1|= 2, 1+λ+ 1+λ 2a?λ+ 1+λ2-1? 故|PF2|=2a-|PF1|= 2 . 1+λ+ 1+λ 由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,
?2a?λ+ 1+λ2-1?? ? ? 4 a ?2 ? ?2 2 从而? + = 4 c , 2 ? ?1+λ+ 1+λ2? ? ? ? ? 1+λ+ 1+λ ?

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两边除以 4a2,得 ?λ+ 1+λ2-1?2 2 4 2 2+ 2 2=e , ?1+λ+ 1+λ ? ?1+λ+ 1+λ ? 若记 t=1+λ+ 1+λ2,则上式变成
2 ?1 1? 4 + ? t - 2 ? 1 2 2 ? ? e= =8 t -4 +2. t2

?

?

3 4 由4≤λ<3,并注意到 1+λ+ 1+λ2关于 λ 的单调性, 1 1 1 1 2 5 2 5 得 3≤t<4,即4< t ≤3,进而2<e ≤9,即 2 <e≤ 3 .

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强化训练
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易错防范

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案例

设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1,k∈R),f(x)是定


义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值,判断并证明当 a>1 时,函数 f(x)在 R 上的单 调性; 3 (2)已知 f(1)=2,函数 g(x)=a2x+a-2x-2f(x),x∈[-1,1], 求 g(x)的值域; (3)已知 a=3,若 f(3x)≥λ· f(x)对于 x∈[1,2]时恒成立.请求 出最大的整数 λ.

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[易错分析]

本题有两个易错点:一是不能利用函数单调

性的定义证明单调性;二是不能正确利用换元法求函数值域以
及解决不等式恒成立问题.纠错方法是加强典型题型通解通法 的训练,如不等式恒成立问题的解法一是分离参数;二是利用

函数的最值.利用换元法解题时,换元后必须考虑新元的取值
范围,以保证等价转化等.

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[解答] (1)∵f(x)=kax-a-x 是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,得 k=1. ∴f(x)=ax-a-x,设 x2>x1,则 1 1 f(x2)-f(x1)=ax2-ax -(ax1-ax ) 2 1 1 =(ax2-ax1)(1+ax ax ), 2 1 ∵a>1,∴ax2>ax1,∴f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在 R 上为增函数.

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3 1 3 (2)∵f(1)=2,∴a-a=2,即 2a2-3a-2=0, 1 ∴a=2 或 a=-2(舍去), 则 y=g(x)=22x+2-2x-2(2x-2-x),x∈[-1,1], 令 t=2x-2-x,x∈[-1,1], 由(1)可知该函数在区间[-1,1]上为增函数,

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3 3 则 t∈[-2,2], 3 3 则 y=h(t)=t -2t+2,t∈[-2,2],
2

3 29 当 t=-2时,ymax= 4 ; 29 当 t=1 时,ymin=1,所以 g(x)的值域为[1, 4 ].

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(3)由题意,即 33x-3-3x≥λ(3x-3-x),在 x∈[1,2]时恒成立. 8 80 令 t=3 -3 ,x∈[1,2],则 t∈[3, 9 ],
x
-x

则(3x-3 x)(32x+1+3


-2x

)≥λ(3x-3 x)在 x∈[1,2]时恒成立,


8 80 即为 t(t +3)≥λ· t,在 t∈[3, 9 ]时恒成立,
2

8 80 即 λ≤t +3,t∈[3, 9 ]恒成立,
2

8 91 91 2 当 t=3时,(t +3)min= 9 ,∴λ≤ 9 , 则 λ 的最大整数为 10.
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