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湖北省武汉市部分重点中学(四校)2011-2012学年高一上学期期中考试数学试题

时间:2012-10-16


湖北省武汉市部分重点中学 2011-2012 学年度上学期高 一期中考试

数 学 试 卷
命题人:武汉四中 刘 鸣 审题人: 武汉市第四十九中 周 镜 全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选 择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 U={x︱x 是小于 6 的正整数},A={1,2}, B ? ( C U A ) ={4},则 C U ( A ? B ) =( )
[来源:学科网 ZXXK]

A.{3,5} 2.设 A={x| 0 ?

x?2

B.{3,4} },B={y|1 ? y

? 2

C.{2,3} D.{2,4} },下列图形表示集合 A 到集合 B 的函数图形的是(

)

A B 3.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( ) A.y=
x
2

C
x

D D.y= 2
x ?1

B.y=(
1

x



2

x

C. y ? ln e

log 2 x

4.给定函数① y ? x 2 ,② y ? lo g 1 ( x ? 1) ,③ y ? | x ? 1 | ,④ y ? 2
2

,其中在区间

(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A. ①④ B. ①②
x

C. ②③

D.③④

5.由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间 ( k , k ? 1)( k ? N ) ,则 k 的值为 ( ) x 0 1 2 3 -1
e
x

0.37 1 B.1

1 2

2.72 3 C.2 )

7.39 4 D.3

20.09 5

x?2

A.0

6.下列幂函数中,定义域为 R 且为偶函数的个数为( (1) y ? x A.1 个
?2

(2) y ? x B.2 个

(3) y ? x
1

1 3

(4) y ? x 3 C.3 个
1

2

D. 4 个
3
1 3

m p q 7. 设 m , n , p 均为正数,且 3 ? lo g m , ( ) ? lo g 3 p , ( ) ? lo g q ,则(
1 3



3

A.m>p>q B. p>m>q C. m>q>p D. p>q>m 8.已知 f ( x ) 为偶函数,在 [0, ? ? ) 上为增函数,若 f (l o g 2 x ) ? f (1) ,则 x 的取值范围为( A. (2, ? ? ) B. (0, ) ? ( 2, ? ? )
2 1



C. ( , 2 )
2

1

D. (0,1) ? ( 2, ? ? )
[来源:Zxxk.Com]

9.设函数 f ( x ) ? 2
f ( x) ? 2
? x ? x?2
2

? x ? x?2

2

,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x ) ? ? )

? f ( x ) , f (x ) ? K ? K , f (x) ? K

若对于函数

定义域内的任意 x ,恒有 f K ( x ) ? f ( x ) ,则( B. K 的最大值为 1

A.K 的最小值为 1

C.K 的最小值为 2 2 D. K 的最大值为 2 2 10.已知定义在 [ ? 2, 2] 上的函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x ) ,其图象如下图所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x )] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x )] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确命题的序号( ) A.①②③ B. ②③④

②方程 g [ f ( x )] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g [ g ( x )] ? 0 有且仅有 4 个根 C. ①②④
[来源:Zxxk.Com]

D. ①③④

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x| y ? 12.不查表,化简: lo g 2
1 ? 1
2

共 100 分)
lo g 1 x },则 M ? N ?
2

.

7 48
3

? lo g 2 1 2 ?
? 3

1 2

lo g 2 4 2 为

.

13. 已知 a 2 ? a 2 ? 3 ,则 a 2 ? a 2 的值等于 __________. 2 14. 设集合 P={x|x =1},Q={x|a x=1},若 Q ? P,则实数 a 的值所组成的集合是_____. 15.定义在 R 上的函数 f ( x ) , 如果存在函数 g ( x ) ? kx ? b ( k , b 为常数) 使得 f ( x ) ≥ g ( x ) 对一切实数 x 都 , 成立,则称 g ( x ) 为 f ( x ) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x ) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x ) =2x 为函数 f ( x ) ? 2 的一个承托函数;
x

③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x ) 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是 .
[来源:Z|xx|k.Com]

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知全集 U=R, A ? { x | f ( x ) ?
( x ? 1)( x ? 2 )} , B ? { x | lo g 2 ( x ? a ) ? 1} .

(1)若 a=1,求 ( C U A ) ? B . (2)若 ( C U A ) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 1 | ( x ? R ) (1)证明:函数 f ( x ) 是偶函数; (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式 写成分段 函数的形式,然后画出函数图像, 并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x ) ? x ? 2 的解集.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax
2

? bx ? 1( a , b 为实数), x ? R ,

(1)若 f(x)有一个零点为-1,且函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, ? ? ? ,求 f ( x ) 的解析式; ?

[来源:学+科+网]

(2)在(1)的条件下,当 x ? [ ? 2 , 2 ]时 , g ( x ) ? f ( x ) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 a ? 4 ? 2 ? 1.
x x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? [? 3 , 0 ] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

20. (本题满分 13 分) 某公司生产一种产品每年需投入固定成本为 0.5 万元,此外每生产 100 件这种产品还需要增加投入 0.25 万元.经预测知,当售出这种产品 t 百件时,若 0 ? t ? 5 ,则销售所得的收入为 5 t ?
t ? 5 ,则销售所得收入为

1 2

t 万元:若

2

1 8

t?

23 2

万元.

(1)若该公司的这种产品的年产量为 x 百件 ( x ? 0 ) , 请把该公司生产并销售这种 产品所得的年利润 y 表 示为当年生产量 x 的函数; (2)当年产量为多少时,当年公司所获利润最大? (3)当年产量为多少时,当年公司不会亏本?(取 2 1 .5 6 2 5 为 4.64)

21.(本题满分 14 分) 对于在 ? a , b ? 上有意义的两个函数 f ( x ) 与 g ( x ) ,如果对任意的 x ? [ a , , b ] ,均有 | f ( x ) ? g ( x ) |? 1 , 则称 f ( x ) 与 g ( x ) 在 ? a , b ? 上是接近的,否则称 f ( x ) 与 g ( x ) 在 ? a , b ? 上是非接近的.现在有两个函数
f ( x ) ? lo gt ( x ? 3t )与 g ( x ) ? lo g t (
1 x?t )( t ? 0 且 t ? 1) ,现给定区间 [ t ? 2, t ? 3] .

(1)若 t ?

1 2

,判断 f ( x ) 与 g ( x ) 是否在给定区间上接近;

(2)若 f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [ t ? 2, t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值范围; (3)讨论 f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [ t ? 2, t ? 3] 上是否是接近的.

数学试卷参考答案
一、 选择题:
题号 答案 1
[来源:Z。xx。k.Com]

A

2 D
1 2

3 C

4 C

5 B
[来源:学科网 ZXXK]

6 A

7 D

8 B

9 C

10 D

二、 填空题
11. (0,1] 12. ? 13.18 14.{0,1,-1} 15. ①

三、解答题
16. (本题满分 12 分) 解:由已知 得 A ? { x | x ? 1或 x ? 2} , B ? { x | a ? x ? a ? 2}
? C U A ? { x | 1 ? x ? 2}

……………………4 分

(1)当 a=时, B ? { x | 1 ? x ? 3} , ? ( C U A ) ? B ? { x | 1 ? x ? 2} ………………6 分 (2)若 ( C U A ) ? B ? ? ,则 a ? 2 或 a ? 2 ? 1 ,? a ? 2 或 a ? 1 . 即 a 的取值范围为 ( ?? ,1] ? [2, ?? ) . 17. (本题满分 12 分) 解: (1) f ( ? x ) ? | ? x ? 1 | ? | ? x ? 1 |? | x ? 1 | ? | x ? 1 |? f ( x )
? f ( x ) 是偶函数
[来源:学科网 ZXXK]

…………………1 2 分

……………………4 分

(2)

??2 x ? f (x) ? ? 2 ? 2x ?

( x ? ? 1) ( ? 1 ? x ? 1) ( x ? 1)

由函数图象知,函数的值域为 [ 2, ? ? )

…………9 分

(3 由函数图象知,不等式的解集为 { x | x ? 0 或 x ? 2} ………12 分

18. (本题满分 12 分)
?a ? b ? 1 ? 0 ? 解:(1)由题 意得: ? b ? ?1 ?? ? 2a

解得: ?

?a ? 1 ?b ? 2

所以: f ( x ) ? x ? 2 x ? 1
2

…………………6 分
2

(2)由(1)得 g ( x ) ? x ? ( 2 ? k ) x ? 1 当 x ? ?? 2 , 2 ? 时, g ( x ) 是单调函数的充要条件是:
? 2?k 2 ? 2或 ? 2?k 2 ? ?2

解得: k ? 6 或 k ? ? 2

…………………12 分

19.(本小题满分 12 分) 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ( 2 ) ? 2 ? 1 ,
x x x 2 x x 令 t ? 2 , x ? [ ? 3 , 0 ] ,则 t ? [ ,1] ,

1 8

故 y ? 2 t ? t ? 1 ? 2 (t ?
2

1 4

) ?
2

9

1 , t ? [ ,1] , 8 8

故值域为 [ ?

9 8

,0 ]

…………………6 分
x 2 x

(2)关于 x 的方程 2 a ( 2 ) ? 2 ? 1 ? 0 有解,等价于 方程 2 ax
2

? x ? 1 ? 0 在 ( 0 , ?? ) 上有解
2

…………………8 分

[来源:学科网 ZXXK]

解法一:记 g ( x ) ? 2 ax

? x ?1
1 4a 1 4a

当 a ? 0 时,解为 x ? ? 1 ? 0 ,不成立 当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ? 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 所以, a ? 0 …………………12 分 解法二:方程 2 ax
2

? 0 ,过点 ( 0 , ? 1) ,不成立 ? 0 ,过点 ( 0 , ? 1) ,必有一个根为正

? x ? 1 ? 0 可化为 a ?

x ?1 2x
2

1 1 1 2 1 ? ( ? ) ? 2 x 2 8

? a 的范围即为函数 g ( x ) ?

1 1 1 2 1 ( ? ) ? 在 (0, ? ? ) 上的值域 2 x 2 8

所以, a ? 0 …………………12 分 20. (本题满分 13 分) 解: (1)当 0 ? x ? 5 时, f ( x ) ? 5 x ? 0.5 x ? (0.5 ? 0.25 x ) = ? 0.5 x ? 4.75 x ? 0.5
2
2

当 x ? 5 时, f ( x ) ?

1 8

x?

23 2

? (0 .5 ? 0 .2 5 x ) ? ? 0.125 x ? 11

? ? 0 .5 x 2 ? 4 .7 5 x ? 0 .5, 0 ? x ? 5 ? f (x) ? ? ? ? 0 .1 2 5 x ? 1 1, x ? 5
2

………………4 分
2

(2)当 0 ? x ? 5 时, f ( x ) = ? 0.5 x ? 4.75 x ? 0.5 = ? 0 .5( x ? 4 .7 5) ? 1 0 .7 8 1 2 5
? 当 x ? 4.75 时, f ( x ) m ax ? 10.78125

当 x ? 5 时, f ( x ) ? ? 0.125 x ? 11 ? ? 0.125 ? 5 ? 11 ? 10.375 ? 10.78125 ? 当年产量为 4.75(百件)时,当年公司所得利润最大,最大为 10.78125 万元.……9 分 (3)由题意知 f ( x ) ? 0
2 当 0 ? x ? 5 时, ? 0.5 x ? 4.75 x ? 0.5 ? 0 ,即 ? 21.5625 ? 4.75 ? x ? ? 0.11 ? x ? 9.39 ,又 0 ? x ? 5 ,? 0.11 ? x ? 5 当 x ? 5 时, ? 0.125 x ? 11 ? 0,? 5 ? x ? 88

21.5625 ? 4.75

综上可得,? 0.11 ? x ? 88
? 当年产量为 11 件 ? 8800 件之间时,公司不会亏本.

………………13 分
)] ? lo g 1 [( x ? 1) ?
2
2

21.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 t ?
1 2

时 , f ( x ) ? g ( x ) ? lo g [( x ?
1 2

3 2

)( x ?

1 2

1 4

]

令 h ( x ) ? lo g [( x ? 1) ?
2
1 2

1 4

] ,当 x ? [

5 7 , ] 时, h ( x ) ? [lo g 1 6, ? 1] 2 2 2

即 | f ( x ) ? g ( x ) |? 1 , f ( x ) 与 g ( x ) 是否在给定区间上是非接近的. (2)由题意知, t ? 0 且 t ? 1 , t ? 2 ? 3t ? 0 , t ? 2 ? t ? 0
?0 ? t ?1

………………4 分

………………4 分
2 2 2 2

(3)?| f ( x ) ? g ( x ) | ? | lo g t ( x ? 4 tx ? 3 t ) | 假设 f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [ t ? 2, t ? 3] 上是接近的,则有 | lo g t ( x ? 4 tx ? 3 t ) |? 1
? ? 1 ? log t ( x ? 4 tx ? 3 t ) ? 1
2 2
2 2

…………(*)

令 G(x)= lo g t ( x ? 4 tx ? 3 t ) ,当? 0 ? t ? 1 时, [ t ? 2, t ? 3] 在 x ? 2 t 的右侧, 即 G(x)= lo g t ( x ? 4 tx ? 3 t ) ,在 [ t ? 2, t ? 3] 上为减函数,
2 2

? G ( x ) m ax ? log t (4 ? 4 t ) ,? G ( x ) m in ? lo g t (9 ? 6 t )

所以由(*)式可得
?0 ? t ? 1 ? ? lo g t ( 4 ? 4 t ) ? 1 ? lo g (9 ? 6 t ) ? ? 1 t ?

,解得 0 ? t ?

9? 12

57

因此,当 0 ? t ? 当t ?
9? 12 57

9? 12

57

时, f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [ t ? 2, t ? 3] 上是接近的; ………14 分

时, f ( x ) 与 g ( x ) 在给定区间 [ t ? 2, t ? 3] 上是非 接近的.


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