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2015年1月浙江省普通高中学业水平考试(数学)及参考答案


2015 年 1 月浙江省普通高中学业水平考试 数学试题
学生须知: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 100 分,考试时间 110 分钟. 2、考生答题前,务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3、选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如要改动,须将原填 涂处用橡皮擦净. 4、非选择题的答案须用

黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内,作图时可先 使用 2B 铅笔,确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑,答案写在本试卷上无效. 5、参考公式 柱体的体积公式: V=Sh 锥体的体积公式:V= 1 Sh(其中 S 表示底面积,h 表示高)

3

选择题部分
一、选择题(共 25 小题,1-15 每小题 2 分,16-25 每小题 3 分,共 60 分.每小题给出的 选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.) 1、设集合 M={0,3},N={1,2,3},则 M∪N= ( ) A. {3} B. {0,1,2} C. {1,2,3} D. {0,1,2,3} 2、函数 y ?

1 的定义域是 2x ?1

( C. {x|x< 1 } D. {x|x≠ 1 ,x∈R}



A. {x|x> 1 }

2

B. {x|x≠0,x∈R}

2

2

3、向量 a=(2,1),b=(1,3),则 a+b= A.(3,4) B.(2,4) C.(3,-2) D.(1,-2) 4、设数列{an}(n∈N*)是公差为 d 的等差数列,若 a2=4,a4=6,则 d= A.4 B.3 C.2 D.1 5、直线 y=2x+1 在 y 轴上的截距为 A.1 B.-1 C. 1

( ( (

) ) )

2
6 2 8

D.- 1

2
( ) )
2 3

6、下列算式正确的是 A.26+22=28 B. 26-22=24 7、下列角中,终边在 y 轴正半轴上的是 A. ?

C. 2 × 2 =2

D. 2 ÷ 2 =2 D. 3?

6

( C.π

4

B. ?

2

2

8、以(2,0)为圆心,经过原点的圆方程为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+2) +y =4 B. (x-2) +y =4 C. (x+2) +y =2 D. (x-2) +y =2 9、设关于 x 的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1<x<1},则 a 的值是 ( A.-2 B.-1 C.0 D.1 10、下列直线中,与直线 x-2y+1=0 垂直的是 ( A.2x-y-3=0 B.x-2y+3=0 C.2x+y+5=0 D.x+2y-5=0

) ) )

1

11、设实数 x,y 满足 A.-3
2 2

y?0 ?xx ? ? y ? ?2
B.-1

,则 x+2y 的最小值为 C.1 ( )
2

( D.3
2



y ? 1 的离心率为 12、椭圆 x ? 4 3
A.

3 2

B. 2

2

C. 1

2

D. 1

4


13、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.π B.2π C.4π D.8π 14、在△ ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。 已知 B=45° ,C=120° ,b=2,则 c= ( A.1 B. 2 C.2 D. 6

2



(第 13 题图)

15、已知函数 f(x)的定义域为 R,则“f(x)在[-2,2]上单调递增”是“f(-2)<f(2)”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16、函数 f(x)=log2(2x)的图象大致是 (
y
y
y
y





O

1 1 2

x

O 1 2

1

x

O

1

x
O 1 x

A.

B.

C.

D. ( D.3π
A1 B1 C1

17、设函数 f(x)=sinx+ 3 cosx,x∈ R,则 f(x)的最小正周期为 A. ?



2

B.π

C.2π

18、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥ 平面 ABC。 若 AB=AC=AA1=1,BC= 2 ,则异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角为 ( A.30° B.45° C.60° D.90° 19、若函数 f(x)=|x|(x-a),a∈ R 是奇函数,则 f(2)的值为 ( A.2 B.4 C.-2 D.-4 ) )
B

A C

(第 18 题图) ( )

20、若函数 f(x)=x- a (a∈ R)在区间(1,2)上有零点,则 a 的值可能是

x

A.-2 B.0 C.1 D.3 n 21、已知数列{an}(n∈ N*)是首项为 1 的等比数列,设 bn=an+2 ,若数列{bn}也是等比数列, 则 b1+b2+b3= ( ) A.9 B.21 C.42 D.45 22、设某产品 2013 年 12 月底价格为 a 元(a>0) ,在 2014 年的前 6 个月,价格平均每月比 上个月上涨 10%,后 6 个月,价格平均每月比上个月下降 10%,经过这 12 个月,2014

2

年 12 月底该产品的价格为 b 元,则 a,b 的大小关系是 ( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.不能确定 23、在空间中,α,β 表示平面,m 表示直线,已知 α∩β=l,则下列命题正确的是 ( ) A.若 m∥ l,则 m 与 α,β 都平行 B.若 m 与 α,β 都平行,则 m∥ l C.若 m 与 l 异面,则 m 与 α,β 都相交 D.若 m 与 α,β 都相交,则 m 与 l 异面 2 2 24、 设?={(x, y)|x -y =1, x>0}, 点 M 是坐标平面内的动点。 若对任意的不同两点 P, Q∈ ?, ∠ PMQ 恒为锐角,则点 M 所在的平面区域(阴影部分)为 ( )
y y y y

1 O -1 1 x

1 O -1 1 x

1 O -1 1 x

1 O -1 1 x

A.

B.

C.

D.

25、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中, E,F 分别是棱 AD,BP 上的动点,且满足 AE=2BF, 则线段 EF 中点的轨迹是 ( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.抛物线的一部分 D.一个平行四边形
A

D C

E P B F

(第 25 题图)

非选择题部分
二、填空题(共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26、设函数 f(x)=

?

ax ? 1, x ? 0 ,若 f(2)=3,则实数 a 的值为 3 x 2 ? 4, x ? 0

27、已知点 A(1,1),B(2,4),则直线 AB 的方程为 28、已知数列{an}(n∈ N*)满足 an+1=3-an,a1=1,设 Sn 为{an}的前 n 项和,则 S5= 29、已知 a∈R,b>0,且(a+b)b=1,则 a+

2 的最小值是 a?b
Q P A B

30、如图,已知 AB⊥ AC,AB=3,AC= 3 ,圆 A 是以 A 为圆心 半径为 1 的圆,圆 B 是以 B 为圆心的圆。设点 P,Q 分别为 圆 A,圆 B 上的动点,且 AP ? 1 BQ ,则 CP ? CQ 的取值

2

范围是

C

(第 30 题图)

3

三、解答题(共 4 小题,共 30 分) 31、 (本题 7 分) 已知 cos x ? 1 ,0 ? x ? ? ,求 sinx 与 sin2x 的值.

3

2

32、 (本题 7 分) 在三棱锥 O-ABC 中,已知 OA,OB,OC 两两垂直。 OA=2,OB= 6 ,直线 AC 与平面 OBC 所成的角为 45° . (I)求证:OB⊥AC; (II)求二面角 O-AC-B 的大小。

A

O B

C

(第 31 题图)

33、 (本题 8 分) 已知点 P(1, 3), Q(1, 2)。 设过点 P 的动直线与抛物线 y=x2 交于 A,B 两点,直线 AQ,BQ 与该抛物线的另一交点分别为 C,D。记直线 AB,CD 的斜率分别为 k1,k2. (I)当 k1=0 时,求弦 AB 的长;

y P Q D C O x B

A

k ?2 (II) 当 k1≠2 时, 2 是否为定值?若是, 求出该定值。 k1 ? 2

(第 33 题图) 34、 (本题 8 分)设函数 f(x)=| x -ax-b|,a,b∈ R.. (I)当 a=0,b=1 时,写出函数 f(x)的单调区间; (II)当 a= 1 时,记函数 f(x)在[0,4]上的最大值为 g(b),在 b 变化时,求 g(b)的最小

2

值; (III)若对任意实数 a,b,总存在实数 x0∈ [0,4]使得不等式 f(x0)≥m 成立,求实数 m 的取值范围。

4

参考答案 一、选择题 题号 答案 题号 答案 1 D A 2 D C 3 A C 4 D B 5 A D 6 C B 7 B A 8 B B 9 D B 10 C A 11 C 12 13 14 15 C B D A

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

二、填空题 26、2 27、3x-y-2=0 三、解答题

28、7

29、2

30、[-1,11]

31.解:因为 0 ? x ? ? ,所以 sin x ? 1 ? cos x ?
2

2

2 2 ……………..4 分 3

所以 sin 2 x ? 2sin x cos x ?

4 2 ……………..7 分 9

32.(1)证明:因为 OB ⊥ OA , OB ⊥ OC , OA ? OC ? O , 所以 OB ⊥平面 OAC 又因为 AC ? 平面 OAC , 所以 OB ⊥ AC ……………..3 分 (2)解:取 AC 中点 M ,连接 OM , BM 因为 OA ⊥ OB , OA ⊥ OC , 所以 OA ⊥平面 OBC 所以 ?ACO 为直线 AC 与平面 OBC 所成的角, 所以 ?ACO ? 45? 于是 CO ? OA ? 2 ,从而 BC ? AB ? 10 所以 AC ⊥ OM , AC ⊥ BM 所以 ?OMB 为二面角 O ? AC ? B 的平面角 在直角三角形 OMB 中, OM ? 所以 ?OMB ?

2 , OB ? 6 ,

?
3

故二面角 O ? AC ? B 的大小为

? ……………..7 分 3

33.解: (1)当 k1 ? 0 时,直线 AB 与抛物线的交点坐标为 (? 3,3) 与 ( 3,3) 故弦 AB 的长为 AB ? 2 3 ………2 分

5

2 2 (2)由题设得直线 AB : y ? 3 ? k1 ( x ?1) ,设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 )

? y ? x2 联立方程组 ? ,消去 y 得 x2 ? k1 x ? k1 ? 3 ? 0 ? y ? k1 x ? k1 ? 3
于是 x1 ? x2 ? k1 , x1 x2 ? k1 ? 3
2 2 又设 C( x3 , x3 ), D( x4 , x4 ) ,则 k2 ?
2 2 x4 ? x3 ? x4 ? x3 x4 ? x3

由 A, Q, C 三点共线得

2 x3 ? x12 x12 ? 2 ? x3 ? x1 x1 ? 1

即 x3 ? 1 ?

1 , x1 ? 1 1 x2 ? 1

同理 x4 ? 1 ?

所以,当 k1 ? 2 时,

k2 ? 2 x4 ? x3 ? 2 ? ? k1 ? 2 x2 ? x1 ? 2

?(

1 1 ? ) x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? x1 ? 2

??

1 1 1 ?? ? x2 x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 (k1 ? 3) ? k1 ? 1 2
1 k2 ? 2 为定值 ………8 分 2 k1 ? 2

故当 k1 ? 2 时,

34.解: (1)当 a ? 0, b ? 1 时, f ( x) ?

x ?1

f ( x) 的单调递减区间为 [0,1] ;单调递增区间为 [1, ??) ……………2 分
(2)设 x ? t ( t ? [0, 2] ) , h(t ) ?

1 2 1 1 t ? t ? b ? (t ? 1)2 ? b ? 2 2 2 1 } 2

此时, h(0) ? h(2) ,所以 g (b) ? max{h(0), h(1)} ? max{ b , b ? 所以当 b ?

1 1 时, g (b) 的最小值为 ……………4 分 4 4

6

2 (3)设 H (t ) ? at ? t ? b , t ? [0, 2]

原命题等价于对任意实数 a , b , H (t )max ? m 记函数 H (t ) 在 [0, 2] 上最大值为 G (b) , 只要 G(b)min ? m ①当 a ? 0 时, G(b) ? max{H (0), H (2)} ? max{ b , b ? 2} 此时,当 b ? 1 时, G (b) 的最小值为 1,所以 m ? 1 ②当 a ? 0 时, G(b) ? max{H (0), H (2)} ? max{ b , b ? 4a ? 2} 此时, G(b)min ? 1 ? 2a ? 1 ,所以 m ? 1 ③当

1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, 2a 4

G(b) ? max{H (0), H (2)} ? max{ b , b ? 4a ? 2}
1 1 ,所以 m ? 2 2 1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 时, ④当 1 ? 2a 4 2
此时, G (b) min ? 1 ? 2a ?

G(b) ? max{H (0), H (
此时, G (b) min ?

1 1 )} ? max{ b , b ? } 2a 4a

1 1 1 ? ,所以 m ? 8a 4 4 1 1 ? 1 ,即 a ? 时, ⑤当 0 ? 2a 2

G(b) ? max{H (2), H (
此时, G (b) min ?

1 1 )} ? max{ b ? 4a ? 2 , b ? } 2a 4a

1 ? 2a ? 1 , 8a 1 1 ? 2a ? 1 在 ( , ??) 上单调递增 而 8a 2 1 1 所以 G (b) min ? ,于是 m ? 4 4 1 综上,实数 m 的取值范围为 (??, ] ……………8 分 4

7


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