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2015-2016高中数学 1.2.3导数的计算综合问题学案 新人教A版选修2-2


1.2.3

导数的计算综合问题

1.能求简单的复合函数[仅限于形如 f(ax+b)]的导数. 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决某些函数的综合问题.

基 础 梳 理 复合函数的导数 1.复合函数的定义:一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的

函数,那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 y=

f(g(x)).
想一想:y=log5(x -x)是由哪两个函数复合而成的? 解析:y=log5(x -x)是由函数 y=log5 u,u=x -x 复合而成的. 2.复合函数的求导法则:复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数 间的关系为 yx′=yu·ux′,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. π 想一想:函数 y=cos 2x 在 x= 时的导数为________. 4 π 解析:因为 y′=-2sin 2x,所以把 x= 代入可得答案为-2. 4
2 2 2

自 测 自 评 1.函数 y=ln(2x+1)的导数是(D) A. C. 1

x
1 2x+1

1 B. 2x 2 D. 2x+1 1 2 ·(2x+1)′= .故选 D. 2x+1 2x+1
1

解析:y′=(ln(2x+1))′=

2.函数 y=sin 2x 的导数为(C) A.y′=cos 2x C.y′=2cos 2x B.y′=2xsin 2x D.y′=2sin 2x

解析:令 u=2x,则 y′=(sin u)′·u′(x)=2cos u=2cos 2x. 3.函数 y=e A.e
2x+1

,则 y′|x=0=(B) C.2e
2

B.2e
u

D.2e+1
u
2x+1

解析:设 y=e ,u=2x+1,则 yx′=yn′·ux′=e ·2=2e 2e.故选 B.

,所以 y′|x=0=2e =

1

基 础 巩 固 1.(2013·深圳高二检测)函数 y=cos(-x)的导数是(C) A.cos x C.-sin x B.-cos x D.sin x

解析:y′=-sin(-x)(-x)′=-sin x. 2.y=loga(2x -1)的导数是(A) A. C. 4x (2x -1)ln a
2 2

4x B. 2 2x -1 2x -1 D. ln a
2

1 (2x -1)ln a
2 2

3.设 f(x)=x -2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为(C) A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

4 2(x-2)(x+1) 解析:f(x)定义域为(0,+∞),又由 f′(x)=2x-2- = >0.

x

x

解得-1<x<0 或 x>2.所以 f′(x)>0 的解集为(2,+∞). 4.曲线 y=sin 2x 在点 M(π ,0)处的切线方程是________. 解析:y′=(sin 2x)′=cos 2x·(2x)′=2cos 2x,∴k=y′|x=π =2.又过点(π , 0),所以切线方程为 y=2(x-π ). 答案:y=2(x-π ) 能 力 提 升 1-x 5.若 f(x)= ,则 f(x)的导数是(A) sin x
2
2

A. B.

-2xsin x-(1-x )cos x 2 sin x -2xsin x+(1-x )cos x 2 sin x
2 2

2

-2xsin x+(1-x ) C. sin x D. 解 -2xsin x-(1-x ) sin x 析 :
2 2

f′(x)



(1-x )′sin x-(1-x) ·(sin x)′ 2 sin x

2

2



-2xsin x-(1-x) cos x . 2 sin x 2 3 2 6.已知函数 f(x)=- x +2ax +3x(a>0)的导数 f′(x)的最大值为 5,则在函数 f(x) 3 图象上的点(1,f(1))处的切线方程是(B) A.3x-15y+4=0 C.15x-3y+2=0
2

B.15x-3y-2=0 D.3x-y+1=0
2

4×(-2)×3-16a 解析: f′(x)=-2x +4ax+3, 因为 f′(x)的最大值为 5, 所以 = 4×(-2) 2 3 13 2 5,解得 a=1(舍去 a=-1),所以 f(x)=- x +2x +3x,f(1)= ,f′(1)=5,所以切 3 3 13 线方程为 y- =5(x-1),即 15x-3y-2=0.故选 B. 3 7.(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax + (a,b 为常数)过 点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b=________. 解析:曲线 y=ax + 过点 P(2,-5),则 4a+ =-5,① x 2
2 2

b x

b

b

b b 7 又 y′=2ax- 2,所以 4a- =- ,② x 4 2
由①②解得? 答案:-3 8.f(x)=e -2x,则
2x 2x

? ?a=-1, ?b=-2, ?

所以 a+b=-3.

f′(x) =________. ex-1
2x 2x

解析:f′(x)=(e )′-(2x)′=2e -2=2(e -1). ∴

f′(x) 2(e2x-1) x = =2(e +1). ex-1 ex-1

3

答案:2(e +1) 1-x 9.已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ ,x≥0,其中 a>0,若 f′(1)=0,求 a 的值. 1+x 解析:f′(x)=[ln(ax+1)]′+? ∴f′(1)= ∴a=1. 因此实数 a 的值为 1. 10.已知曲线 y=5 x. (1)求该曲线与直线 y=2x-4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程. 解析:(1)设切点为(x0,y0),由 y=5 x, 5 5 得 y′= ,∴y′|x=x0= . 2 x 2 x0 5 ∵切线与直线 y=2x-4 平行,∴ =2, 2 x0 25 25 ∴x0= ,∴y0= . 16 4 25 ? 25? 故所求的切线方程为 y- =2?x- ?, 4 ? 16? 即 16x-8y+25=0. (2)∵点 P(0,5)不在曲线 y=5 x上,故设切点为 M(m,n),则切线的斜率为 5 2 m .

x

?1-x?′= a + -2 , ? ax+1 (1+x)2 ?1+x?

a 1 - =0, a+1 2

又∵切线的斜率

n-5 5 n-5 5 m-5 ,∴ = = , m m m 2 m

∴m-2 m=0.解得 m=4 或 m=0(舍去). 5 ∴切点 M(4,10),切线的斜率为 . 4 5 故切线方程为 y-10= (x-4),即 5x-4y+20=0. 4

4


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