nbhkdz.com冰点文库

2015年最新高考总复习教师用书完美版(数学文科)第三至四篇 三角函数与解三角形

时间:


第1讲 [最新考纲]

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形. ?按旋转方

向不同分为正角、负角、零角. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集 合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 弧度记作 rad. (2)公式: 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换 算 弧长公式 l |α|=r(弧长用 l 表示) π ①1° =180rad ?180? ②1 rad=? π ?° ? ?

弧长 l=|α|r

扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦

1 1 S=2lr=2|α|r2

余弦

正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义 y 叫做 α 的正弦, 记作 sin α Ⅰ Ⅱ 各象限 符号 Ⅲ Ⅳ 口诀 + + - - x 叫做 α 的余弦,记 作 cos α + - - + Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦 y x叫做 α 的正切, 记作 tan α + - + -

三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦 有向线段 AT 为正 线 切线

辨 析 感 悟 1.对角的概念的认识 (1)小于 90° 的角是锐角.(×) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(×) (3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .(×) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(×) 2.任意角的三角函数定义的理解 (5)(教材练习改编)已知角 α 的终边经过点 P(-1,2),则 sin α= 2 5 5 .(√) (6)(2013· 济南模拟改编)点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第二 2 = ?-1?2+22

象限.(√) (7)(2011· 新课标全国卷改编)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半 5 轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos θ= 5 .(×) [感悟· 提升] 1. 一个区别 “小于 90° 的角”、 “锐角”、 “第一象限的角”的区别如下:

π? π? ? ? 小于 90° 的角的范围:?-∞,2?,锐角的范围:?0,2?,第一象限角的范围: ? ? ? ? π? ? ?2kπ,2kπ+2?(k∈Z).所以说小于 90° 的角不一定是锐角,锐角是第一象限角, ? ? 反之不成立.如(1)、(2). 2.三个防范 一是注意角的正负,特别是表的指针所成的角,如(3);二是

防止角度制与弧度制在同一式子中出现;三是如果角 α 的终边落在直线上时,所 求三角函数值有可能有两解,如(7).

考点一 【例 1】

象限角与三角函数值的符号判断 ).

cos α (1)若 sin α· tan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( B.第二象限角 D.第四象限角 ). B.大于 0 D.不存在

A.第一象限角 C.第三象限角 (2)sin 2· cos 3· tan 4 的值( A.小于 0 C.等于 0 解析

(1)由 sin α· tan α<0 可知 sin α,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限

cos α 的角,由 <0,可知 cos α,tan α 异号.从而 α 为第三或第四象限角.综上, tan α α 为第三象限角. (2)∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2· cos 3· tan 4<0. 答案 (1)C (2)A 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于已知

规律方法

三角函数式符号判断角所在象限,可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值 的符号,再判断角所在象限. 【训练 1】 A.第一象限 C.第三象限 解析 ? ∵?cos ? 答案 ? 设 θ 是第三象限角,且?cos ? θ? θ θ =-cos 2,则2是( 2? ? ).

B.第二象限 D.第四象限

θ 由 θ 是第三象限角,知2为第二或第四象限角, θ? θ θ θ =-cos 2,∴cos 2≤0,知2为第二象限角. 2? ? B 考点二 三角函数定义的应用

2 【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断 角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. 解 由题意得,r= 3+m2,∴sin θ= m 2 2= 4 m. 3+m

∵m≠0,∴m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 y 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan θ=x= =- 3 . 2 2 - 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ=r = =- 4 ,tan θ=x= = 3 . 2 2 - 3 6 15 6 15 综上可知,cos θ=- 4 ,tan θ=- 3 或 cos θ=- 4 ,tan θ= 3 . 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角

的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题 目中已知角的终边在一条直线上, 此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在 象限不同). 【训练 2】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的 值.



∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,

∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 sin α=r = 5t =-5,cos α= r =5t=5, y -3t 3 tan α=x= 4t =-4; y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α=r = = , -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α=r = =-5,tan α=x= 4t =-4. -5t 3 4 3 3 4 综上可知,sin α=-5,cos α=5,tan α=-4或 sin α=5,cos α=-5,tan α 3 =-4. 考点三 【例 3】 扇形弧长、面积公式的应用

已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R.

(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0), 当 α 为多少弧度时, 该扇形有最大面积? 审题路线 (1)角度化为弧度?求扇形的弧长?S 弓=S 扇-S△?分别求 S 扇=

1 12 lr , S △= r sin α?计算得 S 弓. 2 2 (2)由周长 C 与半径 R 的关系确定 R 与 α 的关系式?代入扇形面积公式?确 定 S 扇与 α 的关系式?求解最值. 解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则

π π 10π α=60° =3,R=10,l=3×10= 3 (cm), 1 10π 1 π S 弓=S 扇-S△=2× 3 ×10-2×102×sin 3 50 50 3 ?π 3? = 3 π- 2 =50? - ?(cm2). 3 2 ? ?

(2)法一

扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R=

C , 2+α

1 2 1 ? C ?2 ?2+α? ∴S 扇=2α· R =2α· ? ? C2 1 C2 1 C2 = 2 α· = · ≤ 4 16. 4+4α+α2 2 4+α+α C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 rad 时,扇形面积有最大值16. 法二 由已知,得 l+2R=C,

1 1 1 ∴S 扇=2lR=2(C-2R)R=2(-2R2+RC) C? C2 ? =-?R- 4 ?2+16. ? ? C C2 故当 R= 4 ,l=2R,α=2 rad 时,这个扇形的面积最大,最大值为16. 规律方法 捷. (2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的 不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. 【训练 3】 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长, 那么扇形的圆心角是多少弧度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的 面积最大? 解 (1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形的周长是 2r+rθ. (1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简

依题意:2r+rθ=πr,∴θ=(π-2)rad. 1 1 ∴扇形的面积 S= r2θ= (π-2)r2. 2 2 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l, 则 l+2r=20,即 l=20-2r(0<r<10). 1 1 ∴扇形的面积 S=2lr=2(20-2r)r =-r2+10r=-(r-5)2+25. ∴当 r=5 cm 时,S 有最大值 25 cm2,

l 此时 l=10 cm,α=r=2 rad. 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取最大值.

1.在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与 单位圆的交点.|OP|=r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点, 在理解的基础上可借助口诀:一全正, 二正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技 巧.

创新突破 3——以任意角为背景的应用问题 【典例】 (2012· 山东卷)如图,

在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一 →的 点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 坐标为________. 突破 1:理解点 P 转动的弧长是解题的关键,在单位圆中可寻找直角三角形. 突破 2:在直角三角形中利用三角函数定义求边长. 突破 3:由几何图形建立 P 点坐标与边长的关系.

解析

如图,作 CQ∥x 轴,PQ⊥CQ, Q 为垂足.

π 根据题意得劣弧 DP =2, 故∠DCP=2, 则在△PCQ 中, ∠PCQ=2-2, |CQ| π? ? =cos ?2-2?=sin 2, ? ?

π? ? |PQ|=sin?2-2?=-cos 2, ? ? 所以 P 点的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2, P 点的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2, → =(2-sin 2,1-cos 2). 所以 P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故OP 答案 (2-sin 2,1-cos 2) (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公

[反思感悟]

式、解三角形等知识来解决. (2)常见实际应用问题有:表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题 等. 【自主体验】 π 已知圆 O:x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 M,点 M 沿圆 O 顺时针运动2弧 长到达点 N,以 ON 为终边的角记为 α,则 tan α=( A.-1 C.-2 解析 B.1 D.2 ).

π π 圆的半径为 2,2的弧长对应的圆心角为4,故以 ON 为终边的角为 tan α=1.

? ? π ?α|α=2kπ+ ,k∈Z?,故 4 ? ?

答案

B

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 解析 ). B.第二象限角 D.第四象限角

∵sin α<0,则 α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴;又 tan α

>0,∴α 在第一象限或第三象限,故 α 在第三象限. 答案 C

2 .若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2 ,则这个圆心角所对的弧长等于

(

). 1 A.sin 2 C. 1 1 sin 2 π B.6 1 D.2sin 2

解析 ∴r=

1 设圆的半径为 r,由题意知 r· sin 2=1, 1 r= 1,∴弧长 l=α· 1. sin 2 sin 2 C ). 1

答案

3.θ 是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是( θ A.sin 2 θ C.tan 2 解析 选 C. 答案 C θ B.cos 2 D.cos 2θ

θ θ 因为 θ 是第二象限角,所以2为第一或第三象限角,所以 tan 2>0,故

3π 3π? ? 4.已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 ? ? ( ). π A.4 5π C. 4 解析 3π B. 4 7π D. 4 3π 3π 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 是第四象限的角,

3π cos 4 7π ∵tan θ= =- 1 , θ ∈ [0,2π) ,∴ θ = 3π 4. sin 4 答案 D

5.有下列命题:

①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是( A.1 C.3 解析 ①正确,②不正确, ). B.2 D.4 -x . x2+y2

π 2π π 2π ∵sin 3=sin 3 ,而3与 3 角的终边不相同. ③不正确.sin α>0,α 的终边也可能在 y 轴的正半轴上. x ④不正确.在三角函数的定义中,cos α= r = 坐标系的任何位置,结论都成立. 答案 A x ,不论角 α 在平面直角 x +y2
2

二、填空题 6.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 2 5 终边上一点,且 sin θ=- 5 ,则 y=______. 解析 答案 7. 因为 sin θ= -8 y 2 5 2 2=- 5 ,所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 4 +y
2

如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 4 的纵坐标为5,则 cos α=____. 解析 4 因为 A 点纵坐标 yA=5,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,

3 3 所以 A 点横坐标 xA=-5,由三角函数的定义可得 cos α=-5. 答案 3 -5

8.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 解析

1 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? 答案 π π? ? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) ? ?

三、解答题 9.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式 -360° ≤α<720° 的元素 α 写出来: ①60° ;②-21° . (2)试写出终边在直线 y=- 3x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式- 180° ≤α<180° 的元素 α 写出来. 解 (1)①S={α|α=60° +k· 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的

元素 α 为-300° ,60° ,420° ; ②S={α|α=-21° +k· 360° , k∈Z}, 其中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 为-21° ,339° ,699° . (2)终边在 y=- 3x 上的角的集合是 S={α|α=k· 360° +120° ,k∈Z}∪{α|α= k· 360° +300° ,k∈Z}={α|α=k· 180° +120° ,k∈Z},其中适合不等式 -180° ≤α<180° 的元素 α 为-60° ,120° . 10.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦

长 AB. 解 (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 r=4, ? ? 解得? 1 θ= ? ? 2 ?r=1, 或? (舍去). ?θ=8

2r+rθ=10, ? ? ?1 2 θ· r =4, ? ?2

1 ∴扇形的圆心角为2. (2)

设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, 1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4, ?r=1, 解得? ?l=2.

l ∴圆心角 α=r=2. 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm), ∴AB=2sin 1 (cm). 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 杭州模拟)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α >0,则实数 a 的取值范围是( A.(-2,3] C.[-2,3) 解析 ). B.(-2,3) D.[-2,3]

由 cos α≤0,sin α>0 可知,角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半

?3a-9≤0, 轴上,所以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, 答案 A

2.给出下列命题:

①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角, 它们与扇形所在半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 解析 ). B.2 D.4 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内

角为 90° 时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 π 5π π 5π sin 6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错;当 θ=π,cos θ=-1<0 时既不是 第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A

二、填空题 3. 若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上, 则 解析 1-cos2α sin α + cos α =________. 1-sin2 α

sin α |sin α| 原式=|cos α|+ cos α ,由题意知角 α 的终边在第二、四象限,sin α 与

cos α 的符号相反,所以原式=0. 答案 0

三、解答题 4.已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求2终边所在的象限; α α α (3)试判断 tan 2sin 2cos2的符号. 解 (1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为

? ? 3π ?α|?2k+1?π<α<2kπ+ ,k∈Z?. 2 ? ?

3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ 2 , π α 3π 得 kπ+2<2<kπ+ 4 ,k∈Z, α 故2终边在第二、四象限. α α α α (3)当2在第二象限时,tan 2<0,sin 2>0,cos 2<0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2取正号; α α α α 当2在第四象限时,tan 2<0,sin 2<0,cos 2>0, α α α 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号. α α α 因此,tan 2sin 2cos 2取正号. 第2讲 [最新考纲] sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,cos α=tan α. π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱 导公式. 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 角 一 2kπ+α(k 二 π+α 三 -α 四 π-α 五 π 2-α 六 π 2+α

∈Z) 正弦 余弦 正切 口诀 sin α cos α tan α -sin α -cos α tan_α -sin α cos α -tan_α sin α -cos α -tan_α 函数名改变, 符号看象限 cos α sin α cos α -sin α

函数名不变,符号看象限

3.特殊角的三角函数值 角α 角α的 弧度数 sin α cos α tan α 0° 0 0 1 0 30° π 6 1 2 3 2 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° π 3 3 2 1 2 3 90° π 2 1 0 120° 2π 3 3 2 1 -2 - 3 150° 5π 6 1 2 - 3 2 3 -3 180° π 0 -1 0

辨 析 感 悟 1.对三角函数关系式的理解 (1)若 α,β 为锐角,sin2 α+cos2β=1.(×) sin α (2)若 α∈R,则 tan α=cos α恒成立.(×) 4 3 ?π ? (3)(教材练习改编)已知 sin α=5,α∈?2,π?,则 cos α=5.(×) ? ? 2.对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.(√) (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 π 2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.(√) (6)角 π+α 和 α 终边关于 y 轴对称.(×) 3.诱导公式的应用

1 1 (7)若 cos(nπ-θ)=3(n∈Z),则 cos θ=3.(×) 1 ?5π ? 1 (8)(2013· 广东卷改编)已知 sin? 2 +α?=5,则 cos α=-5.(×) ? ? [感悟· 提升] 1. 一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角, 且商数关系式中

π α≠2+kπ,k∈Z,如(1)、(2). 2. 两个防范 一是利用平方关系式解决问题时, 要注意开方运算结果的符号,

需要根据角 α 的范围确定,如(3);二是利用诱导公式化简求值时,先利用公式化 任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数 名称和符号的确定.

考点一 【 例 1 】

同角三角函数基本关系式的应用 tan α = 2 , 则 2sin α-3cos α = 4sin α-9cos α

(1) 已 知

______________________________________________________________________ __, 4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π (2)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ=8,且4<θ<2,则 cos θ- sin θ 的值为________. 解析
2

(1)

2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1, 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α 4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2 α+cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1 π π (2)当4<θ<2时,sin θ>cos θ,∴cos θ-sin θ<0, 1 3 又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1-4=4, 3 ∴cos θ-sin θ=- 2 .

答案

(1)-1

1

3 (2)- 2

规律方法

(1)应用公式时注意方程思想的应用,对于 sin α+cos α,sin α-

cos α,sin αcos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α 可以知一求 二. (2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 【训练 1】 1 (1)已知 sin α+cos α=5,0<α<π,则 tan α=______.

(2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________. 解析 (1)法一 联立方程 ① ②

1 ? ?sin α+cos α= , 5 ? ? ?sin2α+cos2α=1,

1 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0. 4 ? ?sin α=5, 又 0<α<π,∴? 3 ?cos α=-5, ? 法二 4 ∴tan α=-3.

1 ?1? ∵sin α+cos α=5,∴(sin α+cos α)2=?5?2, ? ?

1 24 即 1+2sin αcos α=25,∴2sin αcos α=-25, 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25=25. 12 ∵sin αcos α=-25<0 且 0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α=5, 1 sin α + cos α = ? ? 5, 由? 7 sin α - cos α = ? ? 5, 4 sin α = ? ? 5, 得? 3 cos α =- ? ? 5, 4 ∴tan α=-3.

(2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 6 ∵cos2α+sin2α=1,∴cos2α=8,即 cos α=± 4 . 答案 4 (1)-3 6 (2)± 4 考点二 【例 2】 利用诱导公式化简三角函数式

(1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )

=________. (2)设 f(α)= 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? (1+2sin α≠0),则 ?3π ? ?π ? 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? ? ? 23π? f?- 6 ?= ? ?

________. 解析 (1)原式=-sin 1 200° cos 1 290° -cos 1 020° sin1 050°

=- sin(3×360° + 120° )cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° + 300° )sin(2×360° +330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330° =-sin(180° -60° )cos(180° +30° )-cos(360° -60° )· sin(360° -30° )= 3 3 1 1 sin 60° cos 30° +cos 60° sin 30° = 2 × 2 +2×2=1. (2)∵f(α)= = ?-2sin α??-cos α?+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = =tan α, 2 2sin α+sin α sin α?1+2sin α? 1 = π? ? 23π? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? ? ? ? ? 1

? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? 1



π= 3. tan 6 (1)1 (2) 3

答案

规律方法

(1)诱导公式应用的原则:负化正、大化小,化到锐角为终了.

(2)诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 → 0~2π的角的三角函数 → 锐角三角函数 注意:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. 【训练 2】 (1)sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+

tan(-1 089° )tan(-540° )=________. 3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (2)化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? 解析 (1)原式=(-sin 1 071° )· sin 99° +sin 171° ·

sin 261° +tan 1 089° · tan 540° =-sin(3×360° -9° )sin(90° +9° )+sin(180° -9° )· sin(270° -9° )+tan(3×360° +9° )· tan(360° +180° ) =sin 9° cos 9° -sin 9° cos 9° +tan 9° · tan 180° =0+0=0. π?? ? ? tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? (2)原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?] ?π ? tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α =- 答案 tan αcos α sin α cos α sin α =-cos α· sin α =-1. (1)0 (2)-1 考点三 【例 3】 利用诱导公式求值

?π ? 1 ?π ? (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______; ? ? ? ?

3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? 解析 ?π ? ?π ? π (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ?

?π ?π ?? ?π ? ?π ? 1 - α ? - α ? ? ?= . ∴cos?6+α?=cos?2-? = sin ?3 ?? ? ? ?3 ? 2 ? ?π ? ?5π ? ?5 ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π,∴tan?6π+α?= ? ? ? ? ? ? 3 ? ?5 ?? ?π ? -tan?π-?6π+α??=-tan?6-α?=- 3 . ? ? ?? ? ? 答案 1 (1)2 3 (2)- 3 π π 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有3-α 与6

规律方法

π π π π π 2π π 3π +α;3+α 与6-α;4+α 与4-α 等,常见的互补关系有3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等. 【训练 3】 11π? ?7π ? 2 ? (1)已知 sin?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________; ? ? ? ?

1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________. 解析 11π? ? ?11π ? ? ?π ?? (1)cos?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? ? ? ? ? ? ? ??

?π ? =-cos?12+α?, ? ? ?π ? π ?? ?7π ? ?π ? 2 + α ? ? ?12+α?= , 而 sin?12+α?=sin?2+? = cos ?12 ?? ? ? ? ? 3 ? 11π? 2 ? 所以 cos?α- 12 ?=-3. ? ? 1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=-2, 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=2. 答案 2 (1)-3 1 (2)2

1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平 方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正 确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)

sin x 弦切互化法:主要利用公式 tan x=cos x化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如 利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换: π 1=sin2 θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2 θ)=tan 4 =?.

方法优化 2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 【典例】 (2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2, α∈(0, π), 则 tan α=( A.-1 2 C. 2 [一般解法] ?sin α-cos α= 2, 由? 2 2 ?sin α+cos α=1, 2 B.- 2 D.1 ).

得:2cos2α+2 2cos α+1=0, 即( 2cos α+1)2=0,∴cos α=- 2 . 2

3π 3π 又 α∈(0,π),∴α= 4 ,∴tan α=tan 4 =-1. [优美解法] 法一 因为 sin α-cos α= 2,

π? π? ? ? 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ? 3π 因为 α∈(0,π),所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 法二 因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1.因

3π 3π 为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= 2 ,所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 答案 A

[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式,特别是要注意公式中的 符号问题; (2)注意公式的变形应用, 如 sin2α=1-cos2α, cos2α=1-sin2α, 1=sin2α+cos2α 及 sin α=tan α· cos α 等.这是解题中常用到的变形,也是解决问题时简化解题过

程的关键所在. 【自主体验】 π? 4? (2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为 ? ? ( ). 2 A. 3 1 C.3 解析 法一 2 B.- 3 1 D.-3 π ∵0<θ<4,∴cos θ>sin θ,

16 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 9 , 7 ∴2sin θcos θ=9, 7 2 ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-9=9, 2 ∴sin θ-cos θ=- 3 . 法二 π? 4 ? ∵sin θ+cos θ=3,且 θ∈?0,4?. ? ?

π ?π π? ? π? 4 ∴θ+4∈?4,2?,sin θ+cos θ= 2sin ?θ+4?=3, ? ? ? ? ? π? 2 2 ? π? 即 sin?θ+4?= 3 ,又 cos?θ+4?= ? ? ? ? ? π? 1-sin2?θ+4?= ? ? ?2 2?2 1 ?= , 1-? ? 3 ? 3

2 ? π? ∴sin θ-cos θ=-(cos θ-sin θ)=- 2cos?θ+4?=- 3 . ? ? 答案 B

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( 3 A.- 2 1 C.-2 解析 3 B. 2 1 D.2 ).

π 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+2(k∈Z). 又

π 5π 1 β=-3,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),即得 sin α=2. 答案 D ). 2 B. 2 3 D. 2

2.(2014· 合肥模拟)sin 585° 的值为( 2 A.- 2 3 C.- 2 解析

sin 585° =sin(360° +180° +45° )=sin(180° +45° )

2 =-sin 45° =- 2 . 答案 A ).

3.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 C.± (sin 2-cos 2) 解析

B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2

1-2sin?π+2?cos?π-2?= 1-2sin 2cos 2

= ?sin 2-cos 2?2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A 1 的值为( cos α+sin 2α
2

4.若 3sin α+cos α=0,则

).

10 A. 3 2 C.3 解析 1 由已知得 tan α=-3,

5 B.3 D.-2

sin2α+cos2α 1 则 2 = cos α+sin 2α cos2α+2sin αcos α 1 9+1 tan α+1 10 = = = . 1+2tan α ? 1? 3 1+2×?-3? ? ?
2

答案

A

5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( ?π ? ?π ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 A.5 4 C.5 解析

).

5 B.3 5 D.4 3 3 由 5x2 - 7x - 6 = 0 , 得 x = - 5 或 2. ∴ sin α = - 5 . ∴ 原 式 =

cos α?-cos α?· tan2α 1 5 = =3. sin α· ?-sin α?· ?-sin α? -sin α 答案 B

二、填空题 1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? 解析 1 1 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2.

1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ? 答案 1 2

4 5 ? 4 ? 7.sin 3π·cos 6π·tan?-3π?的值是________. ? ? 解析 π? π? ? π? ? ? 原式=sin?π+3?· cos?π-6?· tan?-π-3? ? ? ? ? ? ? π? ? π? ? - cos ? ? ?-tan · · 3? ? 6? ?? π? 3? ?

? =?-sin ?

3 3 ? 3? ? 3? =?- ?×?- ?×(- 3)=- 4 . ? 2? ? 2? 答案 3 3 - 4

π ?π ? 1 8 . (2013· 江南十校第一次考试 ) 已知 sin ?12-α? = 3 ,且- π < α <- 2 ,则 ? ? ?π ? cos?12-α?=________. ? ? 解析 ?π ? 1 ∵sin?12-α?=3, ? ?

π 又-π<α<-2, 7π π 13π ∴12<12-α< 12 , ?π ? ∴cos?12-α?=- ? ? 答案 2 2 - 3 2 2 ?π ? 1-sin2?12-α?=- 3 . ? ?

三、解答题 9.化简: 解 sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α?

原式= =

sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = =-1; sin?π+α?· cos α -sin α· cos α

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α]



sin?π-α?· cos α sin α· cos α = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α?

综上,原式=-1. 1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 解 1 (1)∵sin A+cos A=5,①

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25, 12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π, 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A=5,② 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, sin A ∴tan A=cos A= 4 3=-3. -5 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 ?π ? 1 ?2π ? 1.若 sin?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?等于( ? ? ? ? 7 A.-9 1 B.-3 ). 4 5

1 C.3 解析 ?π ? ?π ? π ∵?3+α?+?6-α?=2. ? ? ? ?

7 D.9

?π ?π ?? ?π ? +α?? ∴sin?6-α?=sin?2-? ?3 ?? ? ? ? ?π ? 1 =cos?3+α?=3. ? ? 7 ?2π ? ?π ? 则 cos? 3 +2α?=2cos2?3+α?-1=-9. ? ? ? ? 答案 A

?π ? 2.(2014· 衡水质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π ? ? +α)+6sin(π+β)=1, 则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 10 C. 10 解析 ). 3 7 B. 7 1 D.3

由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,

又 sin2α+cos2α=1,α 为锐角. 3 10 故 sin α= 10 . 答案 C

二、填空题 3.sin21° +sin22° +?+sin290° =________. 解析 sin21° + sin22° + ?+sin290° = sin21° + sin22° + ?+ sin244° +sin245° +

cos244° + cos243° + ? + cos21° = (sin21° + cos21° ) + (sin22° + cos22° ) + ? + (sin244° 1 91 +cos244° )+sin245° +sin290° =45+2= 2 . 答案 91 2

三、解答题 ? π π? ?π ? 4.是否存在 α∈?-2,2?,β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, ? ? ? ? 3cos(-α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,

请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ① ②

?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β, 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 . π ? π π? ∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 ,

π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件. 第3讲 [最新考纲] 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. ? π π? 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在?-2,2?上的性 ? ? 质. 三角函数的图象与性质

知 识 梳 理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈Z). 函数 图象 y=sin x y=cos x y=tan x

{x|x∈R,且x≠
定义域 R R
? π kπ+2,k∈Z? ?

值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 辨 析 感 悟 1.周期性的判断

[-1,1] 2π 奇函数 π π? ? ?2kπ-2,2kπ+2? ? ? π 3π? ? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ? ? ? (kπ,0) π x=kπ+2

[-1,1] 2π 偶函数 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] π ? ? ?kπ+2,0? ? ? x=kπ

R π 奇函数 π π? ? ?kπ-2,kπ+2? ? ? 无 ?kπ ? ? 2 ,0? ? ? 无

(1)(教材习题改编)由 sin(30° +120° )=sin 30° 知,120° 是正弦函数 y=sin x(x ∈R)的一个周期.(×) π? π ? (2)函数 y=tan?2x+3?的最小正周期为2.(√) ? ? 2.判断奇偶性与对称性 3π? ? (3)函数 y=sin?2x+ 2 ?是奇函数.(×) ? ? π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+2(k∈Z).(×) 3.求三角函数的单调区间 π π? ? (5)函数 f(x)=sin(-2x)与 f(x)=sin 2x 的单调增区间都是?kπ-4,kπ+4?(k∈ ? ? Z).(×) (6)函数 y=tan x 在整个定义域上是增函数.(×) 4.求三角函数的最值 (7)存在 x∈R,使得 2sin x=3.(×) π? π? ? ? (8)(2013· 天津卷改编 ) 函数 f(x) = sin ?2x-4? 在区间 ?0,2? 上的最小值为- ? ? ? ?

2 2 .(√) [感悟· 提升] 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只

有当 ω>0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解. 2. 三个防范 一是函数 y=sin x 与 y=cos x 的对称轴分别是经过其图象的最

高点或最低点且平行于 y 轴的直线, 如 y=cos x 的对称轴为 x=kπ, 而不是 x=2kπ(k ∈Z). 二 是 对 于 y = tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数 , 应 在 每 个 区 间 π π? ? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)内为增函数,如(6). ? ? 三是函数 y=sin x 与 y=cos x 的最大值为 1,最小值为-1,不存在一个值使 3 sin x=2,如(7).

考点一 【例 1】 域和值域. 解

三角函数的定义域、值域问题 6cos4 x+5sin2x-4 ,求 f(x)的定义 cos 2x

(2014· 广州模拟)已知函数 f(x)=

π 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ+2,k∈Z,

kπ π 解得 x≠ 2 +4,k∈Z,
? ? kπ π 所以 f(x)的定义域为?x|x∈R,且x≠ 2 +4,k∈Z?. ? ?

6cos4 x+5sin2 x-4 6cos4 x+5-5cos2x-4 f(x)= = cos 2x 2cos2x-1 ?2cos2x-1??3cos2x-1? = =3cos2x-1. 2cos2x-1
? ? 1 1 所以 f(x)的值域为?y|-1≤y<2,或2<y≤2?. ? ?

规律方法

(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借

助三角函数线或三角函数图象来求解.

(2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. ②把形如 y=asin x+bcos x 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. ③利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 【训练 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________.

?π 7π? (2)当 x∈?6, 6 ?时,函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________,最大值 ? ? 是________. 解析 (1)法一

要使函数有意义, 必须使 sin x-cos x≥0.利用图象, 在同一坐标系中画出[0,2π] 上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以原函数的定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

法二

利用三角函数线,

画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).∴定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ?. ? ?

法三

π ? π? sin x-cos x= 2sin?x-4?≥0,将 x-4视为一个整体,由正弦函数 y ? ?

π =sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x-4≤π+2kπ,k∈Z, π 5π 解得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z.

? ? ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

(2)y=3-sin x-2cos2x =3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2 x-sin x+1, ? 1 ? 令 sin x=t∈?-2,1?, ? ? ? 1? 7 ? 1 ? ∴y=2t2-t+1=2?t-4?2+8,t∈?-2,1?, ? ? ? ? 7 ∴ymin=8,ymax=2. 答案
? ? ? π 5π (1)?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

7 (2)8

2

考点二 和对称性【例 2】

三角函数的奇偶性、周期性 ).

? π? (1)函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ? ?

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 π? π ? (2)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12,则 φ=________. ? ? 解析 π? 2π ? π? ? (1)y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. ? ? ? ?

π (2)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 所以 3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故 φ=4. 答案 (1)A π (2)4 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)或

规律方法

2π y=Acos(ω x+φ)的形式,则最小正周期为 T=|ω|;奇偶性的判断关键是解析式是 否为 y=Asin ωx 或 y=Acos ωx+b 的形式. π (2)求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令 ωx+φ=2+kπ(k∈Z),求 x; 求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. 3π? ? 【训练 2】 (1)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R), 下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 π? ? D.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? ?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值 ? ? 为( ). π A.6 π C.3 解析 π B.4 π D.2 3π? ? (1)f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos 2x,故其最小正周期为 π,A 正确;易知 ? ? ).

函数 f(x)是偶函数,B 正确;由函数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象 π? π ? 不关于直线 x=4对称,C 错误;由函数 f(x)的图象易知,函数 f(x)在?0,2?上是增 ? ? 函数,D 正确,故选 C. 4π ? ? ?2π ? (2)由题意得 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? 2π π ?2π ? =3cos? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, ? ? π ∴φ=kπ-6,k∈Z,取 k=0, π 得|φ|的最小值为6. 答案 (1)C (2)A

考点三 【例 3】

三角函数的单调性

(2014· 临沂月考)设函数 f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)图象

π 的一条对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; 审题路线 (2)求函数 y=f(x)的单调区间. π π 令(-2)×8+φ=2+kπ,k∈Z?解得 φ=?又 0<φ<π?得出 φ

值?把 f(x)=sin(-2x+φ), 化为 f(x)=-sin(2x-φ)?令 g(x)=sin(2x-φ)?求出 g(x) 的单调区间?利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单调区间. 解 π π (1)令(-2)×8+φ=kπ+2,k∈Z,

3π ∴φ=kπ+ 4 ,k∈Z, 3π 又 0<φ<π,∴φ= 4 . 3π? 3π? ? ? (2)由(1)得 f(x)=sin?-2x+ 4 ?=-sin?2x- 4 ?, ? ? ? ? 3π? ? 令 g(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 由-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 即 g(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z; ? ? π 3π 3π 由2+2kπ≤2x- 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z, 5π 9π 得 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 9π ?5π ? 即 g(x)的单调减区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z), ? ? 9π ?5π ? 故 f(x)的单调增区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z); ? ? 5π ?π ? 单调减区间为?8+kπ, 8 +kπ?(k∈Z). ? ? 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成 y=Asin(ωx+

φ)形式,再求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y= sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数. 【训练 3】 (2012· 北京卷)已知函数 f(x)= ?sin x-cos x?sin 2x . sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 解 (1)由 sin x≠0,得 x≠kπ(k∈Z),

故 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}, 因为 f(x)= ?sin x-cos x?sin 2x =2cos x(sin x-cos x) sin x

π? ? =sin 2x-cos 2x-1= 2sin?2x-4?-1, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π (2)将 2x-4看做一个整体,根据 y=sin x 的单调递减区间列不等式求解. π 3π 函数 y=sin x 的单调递减区间为 2kπ+2,2kπ+ 2 (k∈Z). π π 3π 由 2kπ+2≤2x-4≤2kπ+ 2 ,且 x≠kπ(k∈Z), 3π 7π 得 kπ+ 8 ≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). 3π 7π? ? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ?

1.求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象. 2.判断函数奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、 积、商仍为偶函数;复合函数在复合过程中,对每个函数而言,一偶则偶,同奇 则奇. 3.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然 后通过同解变形或利用数形结合方法求解.对复合函数单调区间的确定,应明确 是对复合过程中的每一个函数而言,同增同减则为增,一增一减则为减. 4. 求三角函数式的最小正周期时, 要尽可能地化为只含一个三角函数的式子, 否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx

+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.

答题模板 5——三角函数的最值(或值域)问题 【典例】 1? ? (12 分)(2013· 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?,b=( 3sin x, ? ?

cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在?0,2?上的最大值和最小值. ? ? 1? ? [规范解答] f(x)=?cos x,-2?· ( 3sin x,cos 2x) ? ? 1 = 3cos xsin x-2cos 2x,(2 分) 3 1 = 2 sin 2x-2cos 2x π? ? =sin?2x-6?.(4 分) ? ? 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= ω = 2 =π, 即函数 f(x)的最小正周期为 π.(6 分) π (2)∵0≤x≤2, π π 5π ∴-6≤2x-6≤ 6 .(8 分) 由正弦函数的性质,得 π π π 当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)取得最大值 1. π π 当 2x-6=-6, 1 即 x=0 时,f(0)=-2, π 5π π ?π? 1 当 2x-6= 6 ,即 x=2时,f?2?=2, ? ? 1 ∴f(x)的最小值为-2.(11 分)

π? 1 ? 因此,f(x)在?0,2?上最大值是 1,最小值是-2.(12 分) ? ? [反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围,

由于三角函数的周期性,正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量 区间的端点处取得,因此要把这两个最值点弄清楚.如本例中有学生直接把 x=0 π 和 x=2代入求得最值,这显然是错误的. 答题模板 求函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上值域的一般步骤:

第一步:三角函数式的化简,一般化成形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式或 y =Acos(ωx+φ)+k 的形式. 第二步: 由 x 的取值范围确定 ωx+φ 的取值范围, 再确定 sin(ωx+φ)(或 cos(ωx +φ))的取值范围. 第三步:求出所求函数的值域(或最值). 【自主体验】 π? ? ? π? ? π? 已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? 解 π? ? ? π? ? π? (1)f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x-cos2x π? 1 3 ? =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π ∴最小正周期 T= 2 =π, π π kπ π 由 2x-6=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= 2 +3(k∈Z). π ? π 5π? ? π π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ?

π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x-6?≤1. ? ? ? 3 ? ? π π? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? ? 2 ?

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析 答案 f(x)=2sin xcos x=sin 2x,即函数为最小正周期为 π 的奇函数. C ).

π? 2π ? 2.(2014· 南昌联考)已知函数 f(x)=sin ?ωx+6?-1(ω>0)的最小正周期为 3 , ? ? 则 f(x)的图象的一条对称轴方程是( π A.x=9 π C.x=3 解析 ). π B.x=6 π D.x=2

2π 2π π 依题意得,|ω|= 3 ,|ω|=3,又 ω>0,因此 ω=3,所以 3x+6=kπ

π kπ π π +2,解得 x= 3 +9,当 k=0 时,x=9. π 因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x=9. 答案 A

? ? π π?? 3.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ∈?-2,2??是偶函数,则 θ 的值 ? ? ?? 为( ). A.0 π B.6

π C.4 解析

π D.3 π? π ? 据已知可得 f(x)=2sin?x+θ+3?,若函数为偶函数,则必有 θ+3=kπ ? ?

π π π π ? π π? +2(k∈Z),又由于 θ∈?-2,2?,故有 θ+3=2,解得 θ=6,经代入检验符合题 ? ? 意. 答案 B

4.(2014· 济南调研)已知 f(x)=sin2 x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个 单调增区间分别为( A.π,[0,π] ? π 3π? C.π,?-8, 8 ? ? ? 解析 = 由 f(x)=sin2x+sin xcos x ). ? π 3π? B.2π,?-4, 4 ? ? ? ? π π? D.2π,?-4,4? ? ?

1-cos 2x 1 +2sin 2x 2

π? 1 2? 2 2 ? ? 1 2 =2+ 2 ? sin 2x- cos 2x?=2+ 2 sin?2x-4?. ? ? 2 ?2 ? 2π π π π ∴T= 2 =π.又∵2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2, π 3π ∴kπ-8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z)为函数的单调递增区间.故选 C. 答案 C

?π ? ?π ? 5. (2014· 三明模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f?6+x?=f?6-x?, ? ? ? ? ?π? 则 f?6?等于( ? ? A.2 或 0 C.0 解析 ). B.-2 或 2 D.-2 或 0 π ?π ? ?π ? ?π? 由 f?6+x?=f?6-x?知,函数图象关于 x=6对称,f?6?是函数 f(x)的最 ? ? ? ? ? ?

大值或最小值. 答案 B

二、填空题

6.函数 y=lg(sin x)+

1 cos x-2的定义域为________.

解析

sin x>0, ? ? 要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ? 2kπ<x<π+2kπ?k∈Z?, ? ? 解得? π π - +2kπ≤x≤3+2kπ?k∈Z?, ? ? 3

sin x>0, ? ? 即? 1 cos x≥2, ? ?

π ∴2kπ<x≤3+2kπ(k∈Z),
? ? π ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?. ? ?

答案

π ? ? ?2kπ,3+2kπ?(k∈Z) ? ?

sin x+1 7.函数 y= sin x (0<x<π)的最小值为________. 解析 1 1 令 sin x=t∈(0,1],则函数 y=1+ t ,t∈(0,1].又 y=1+ t 在 t∈(0,1]

上是减函数,所以当 t=1 时,y 取得最小值 2. 答案 2

π 8. 已知函数 f(x)=3sin(ωx-6)(ω>0)和 g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完 π? ? 全相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是______. ? ? 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故

π? π? π π 5π ? ? ω=2,所以 f(x)=3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时,-6≤2x-6≤ 6 , ? ? ? ? 1 π ? 3 ? 所以-2≤sin(2x-6)≤1,故 f(x)∈?-2,3?. ? ? 答案 ? 3 ? ?-2,3? ? ?

三、解答题 9.(2013· 潮州二模)已知函数 f(x)= 3(sin2 x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)设 x∈?-3,3?,求 f(x)的单调递增区间. ? ?



(1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2 x)-2sin xcos x

π? ? =- 3cos 2x-sin 2x=-2sin?2x+3?, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. π π ? π π? (2)∵x∈?-3,3?,∴-3≤2x+3≤π, ? ? π? ? 当 y=sin?2x+3?单调递减时,f(x)单调递增. ? ? π π π π ∴2≤2x+3≤π,即12≤x≤3. ? π π? 故 f(x)的单调递增区间为?12,3?. ? ? π?? π π? ? 10.(1)求函数 y=2sin ?2x+3??-6<x<6?的值域; ? ?? ? (2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. 解 π π π 2π (1)∵-6<x<6,∴0<2x+3< 3 ,

π? ? ∴0<sin?2x+3?≤1, ? ? π? ? ∴y=2sin?2x+3?的值域为(0,2]. ? ? (2)y=sin xcos x+sin x+cos x = ?sin x+cos x?2-1 ? π? ?x+4? + 2sin 2 ? ?

? π? ? π? 1 =sin2?x+4?+ 2sin?x+4?-2 ? ? ? ? ? ? π? 2? ? π? =?sin?x+ ?+ ?2-1,所以当 sin?x+4?=1 时, ? ? ? ? 4? 2 ? 1 1 y 取最大值 1+ 2-2=2+ 2. 2 ? π? 当 sin?x+4?=- 2 时,y 取最小值-1, ? ? 1 ? ? ∴该函数值域为?-1,2+ 2?. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 ωx ωx 1.(2013· 安徽师大附中模拟)设 ω>0,m>0,若函数 f(x)=msin 2 cos 2 在 ? π π? 区间?-3,3?上单调递增,则 ω 的取值范围是( ? ? 2? ? A.?0,3? ? ? ?3 ? C.?2,+∞? ? ? 解析 ).

3? ? B.?0,2? ? ? D.[1,+∞)

ωx ωx 1 ? π π? f(x)=msin 2 cos 2 =2msin ωx,若函数在区间?-3,3?上单调递增, ? ?

3? T π π π 2π ? 则 2=ω≥3+3= 3 ,即 ω∈?0,2?. ? ? 答案 B

? π π? 2.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的 ? ? 最小值等于( 2 A.3 C.2 解析 ). 3 B.2 D.3 π ∵f(x)=2sin ωx(ω>0)的最小值是-2,此时 ωx=2kπ-2,k∈Z,∴x

2kπ π π 2kπ π 3 = ω -2ω,k∈Z,∴-3≤ ω -2ω≤0,k∈Z,∴ω≥-6k+2且 k≤0,k∈Z, 3 ∴ωmin=2. 答案 B

二、填空题 3.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x >cos x 时,f(x)=sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1; ③当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值;

π ④当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0; ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________. 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π 的周期函数.

函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示.

2 5π 由图象可得,f(x)的最小值为- 2 ,当且仅当 x=2kπ+ 4 (k∈Z)时,f(x)取得 π 最小值;当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z) 时,f(x)>0;f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π.所以正确的结论的序 号是①④⑤. 答案 ①④⑤

三、解答题 x ? ? 4.(2013· 荆门调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值. 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b

? π? = 2asin?x+4?+a+b. ? ? ? π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin?x+4?+b-1, ? ? π π 3π 由 2kπ+2≤x+4≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 5π 得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 5π? ? ∴f(x)的单调增区间为?2kπ+4,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? π π 5π (2)∵0≤x≤π,∴4≤x+4≤ 4 ,

2 ? π? ∴- 2 ≤sin?x+4?≤1,依题意知 a≠0. ? ? ? 2a+a+b=8, (ⅰ)当 a>0 时,? ∴a=3 2-3,b=5. ?b=5, ?b=8, (ⅱ)当 a<0 时,? ? 2a+a+b=5, ∴a=3-3 2,b=8. 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8. 第4讲 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用[最新考纲]

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了 解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一 些简单实际问题.

知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三 个交点,作图时的一般步骤为: (1)定点:如下表所示. x φ -ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+ φ)

(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到 y= Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象. (3)扩展: 将所得图象, 按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动时,A 叫做振 2π 1 幅,T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 辨 析 感 悟 1.对图象变换的认识 (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中向左或 向右平移的长度一样.(×) π? π ? (2)将 y=sin 2x 的图象向右平移3个单位,得到 y=sin?2x-3?的图象.(×) ? ? (3)(2013· 湖北卷改编)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m> π 0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是6.(√) 2.对函数 f(x)=Asin(ωx+φ)性质的认识 (4)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.(×) (5)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期. (×) ?π ? (6)(2014· 广州二模改编)若函数 y=cos ωx(ω∈N*)的一个对称中心是?6,0?, ? ? 则 ω 的最小值为 3.(√) [感悟· 提升] 1.图象变换两种途径的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈ R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位; |φ| 而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 ω 个单位,如(1)、(2). 2.两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用

诱导公式化为同名函数; 二是解决三角函数性质时,要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,但最大值、最小 值与 A 的符号有关,如(4);而 y=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离 是半个周期,如(5).

考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 画法与变换 【例 1】 π? ? 已知函数 y=2sin?2x+3?. ? ?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. ? ? 解 π? 2π π ? (1)y=2sin?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. ? ?

π? π ? (2)令 X=2x+3,则 y=2sin?2x+3?=2sin X. ? ? 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π? ? y=2sin?2x+3? ? ? π -6 0 0 0 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

(3)法一

π ? π? 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位,得到 y=sin?x+3? ? ?

1 ? π? 的图象; 再把 y=sin?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), ? ?

π? π? ? ? 得到 y=sin?2x+3?的图象;最后把 y=sin?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长到 ? ? ? ? π? ? 原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 法二 1 将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标 x 缩短到原来的2倍(纵坐标不变),

π ? π? 得到 y=sin 2x 的图象; 再将 y=sin 2x 的图象向左平移6个单位, 得到 y=sin 2?x+6? ? ? π? π? ? ? =sin?2x+3?的图象; 再将 y=sin?2x+3?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 ? ? ? ? π? ? 倍(横坐标不变),得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法是五点作图

法和图象变换法. (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换, π 3 设 z=ωx+φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五 点坐标,描点后得出图象. (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要 将 x 的系数变为原来的 ω 倍, 要特别注意相位变换、 周期变换的顺序, 顺序不同, 其变换量也不同. π? π ? 【训练 1】 (1)(2013· 茂名二模)将函数 y=sin?6x+4?的图象上各点向右平移8 ? ? 个单位,则得到新函数的解析式为( π? ? A.y=sin?6x-2? ? ? 5π? ? C.y=sin?6x+ 8 ? ? ? ). π? ? B.y=sin?6x+4? ? ? π? ? D.y=sin?6x+8? ? ?

π ? ? (2)(2014· 合肥模拟)设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期 ? ?

3 ?π? 为 π,且 f?4?= 2 . ? ? ①求 ω 和 φ 的值; ②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. (1)解析 π?向右平移 ? y=sin?6x+4? π― ― → y= ? ? 8个单位

π π? π? π? ? ? ? sin 6?x+24-8?=sin 6?x-12?=sin?6x-2?. ? ? ? ? ? ? 答案 A

2π (2)解 ①∵T= ω =π,ω=2, π 3 3 ?π? ? ? 又 f?4?=cos?2×4+φ?= 2 ,∴sin φ=- 2 , ? ? ? ? π π 又-2<φ<0,∴φ=-3. π? ? ②由①得 f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ? π 2x-3 x f(x) 图象如图. π -3 0 1 2 0 π 6 1 π 2 5 12π 0 π 2 3π -1 3 2π 11 12π 0 5 3π π 1 2

考点二 析式

由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解

【例 2】

函数

f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的 解析式为________. 解析 法一 由图可知 A= 2, T 7π π π 4=12-3=4,所以 T=π,故 ω=2,因此 f(x)= 2sin(2x+φ),

π π ?π ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点, 因此 2×3+φ=π, 所以 φ=3, 故 f(x) ? ? π? ? = 2sin?2x+3?. ? ? 法二 ?π ? ?7π ? 以?3,0?为第二个“零点”,?12,- 2?为最小值点, ? ? ? ? ω=2, ? ? 解得? π φ=3, ? ?

π ? ?ω · 3+φ=π, 列方程组? 7π 3π ? ?ω · 12+φ= 2 , π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? 答案 π? ? f(x)= 2sin?2x+3? ? ?

规律方法

已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A

比较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: 2π (1)由 ω= T 即可求出 ω; 确定 φ 时, 若能求出离原点最近的右侧图象上升(或 下降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ. (2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解 析式,再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用 诱导公式变换使其符合要求. π π 【训练 2】 (2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, -2<φ<2)的部分图象

如图所示,则 ω,φ 的值分别是(

).

π A.2,-3 π C.4,-6 解析

π B.2,-6 π D.4,3

2π ?11π 5π? 由图象知 f(x)的周期 T=2? 12 -12?=π,又 T= ,ω>0,∴ω=2.由 ω ? ?

π π 5π ?5π ? 于 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, -2<φ<2)的一个最高点为?12,2?, 故有 2×12+φ=2kπ ? ? π π π π π +2(k∈Z),即 φ=2kπ-3,又-2<φ<2,∴φ=-3,选 A. 答案 A 考点三 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

π 【例 3】 (2012· 湖南卷改编)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, ω, A>0,0<φ<2) π 的最大值为 2,最小正周期为 π,直线 x=6是其图象的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ? π? ? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ? 解 2π (1)由题意,得 A=2,ω= π =2,

π π ? ? 当 x=6时,2sin?2×6+φ?=± 2, ? ? ?π ? 即 sin?3+φ?=± 1, ? ? π π 所以3+φ=kπ+2, π π π 解得 φ=kπ+6,又 0<φ<2,所以 φ=6. π? ? 故 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

π ? π? π ? π? ? ? ? ? x-12?+ ?-2sin?2?x+12?+ ? (2)g(x)=2sin?2? ? 6? ? 6? ? ? ? ? π? ? =2sin 2x-2sin?2x+3? ? ? ?1 ? 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? =sin 2x- 3cos 2x π? ? =2sin?2x-3?. ? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π? ? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质

π (1)奇偶性:φ=kπ 时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+2(k∈Z)时, 函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T= ω . π (3)单调性: 根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究, 由-2+2kπ≤ωx π π 3π +φ≤2+2kπ(k∈Z)得单调增区间;由2+2kπ≤ωx+φ≤ 2 +2kπ(k∈Z)得单调减区 间. (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ(k ∈Z),求得 x、ω. π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)得其 对称轴. 【训练 3】 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶 π 函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2. ?π? (1)求 f?8?的值; ? ?

? π? (2)求函数 y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应的 x 的值. ? ? 解 (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

? 3 ? 1 =2? sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ?? 2 ?2 ? π? ? =2sin?ωx+φ-6?. ? ? 因为 f(x)为偶函数, π π 则 φ-6=2+kπ(k∈Z), 2π 所以 φ= 3 +kπ(k∈Z), 又因为 0<φ<π, 2π 所以 φ= 3 , π? ? 所以 f(x)=2sin?ωx+2?=2cos ωx. ? ? 2π π 由题意得 ω =2· 2, 所以 ω=2. 故 f(x)=2cos 2x. π ?π? 因此 f?8?=2cos 4= 2. ? ? ? π? (2)y=2cos 2x+2cos 2?x+4? ? ? π? ? =2cos 2x+2cos?2x+2? ? ? =2cos 2x-2sin 2x ?π ? =2 2sin?4-2x?. ? ? π π 令4-2x=2kπ+2(k∈Z),y 有最大值 2 2, π 所以当 x=-kπ-8(k∈Z)时,y 有最大值 2 2. 1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后 平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一

个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角” 变化多少. 2.由图象确定函数解析式:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω,φ 的 题型,常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一 个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中 心,经过该图象上坐标为(x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称 轴, 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距 离).

易错辨析 4——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误 【典例】 π π (2013· 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(-2 <θ<2)的图象向右平移

3 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象, 若 f(x), g(x)的图象都经过点 P(0, 2 ), 则 φ 的值可以是( 5 A.3π π C.2 [解析] ). 5 B.6π π D.6 依题意 g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),

? 3? 因为 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0, ?, 2? ? 3 ? ?sin θ= 2 , 所以? 3 ? sin ? θ - 2 φ ? = ? 2, π π π π π π 2π 因为-2<θ<2,所以 θ=3,则3-2φ=2kπ+3或3-2φ=2kπ+ 3 (k∈Z),即 π φ=-kπ 或 φ=-kπ-6(k∈Z). π 5π 在 φ=-kπ-6(k∈Z)中,取 k=-1,即得 φ= 6 .

[答案]

B 函数 f(x)=sin(2x+θ)的图象向右平移 φ 个单位误写成 g(x)=

[易错警示] sin(2x+θ+φ). [防范措施]

对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、

右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量 x,如果 x 的系数不是 1,就要把 这个系数提取后再确定变换的单位和方向.另外,当两个函数的名称不同时,首 φ? ? 先要将函数名称统一,其次要把 ωx+φ 变换成 ω?x+ω?,最后确定平移的单位并 ? ? φ 根据 的符号确定平移的方向. ω 【自主体验】 π (2014· 湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移4个单位长度, 所得 图象对应的函数解析式可以是( A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x 解析 ). B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x

π?向左平移 ? ? π? π? ? x+ ?+ ? y=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+4? π― ― → y= 2sin?2? 个单位 ? ?4 ? ? 4? 4?

π π? ? = 2sin?2x+4+2? ? ? π? ? = 2cos?2x+4? ? ? =cos 2x-sin 2x. 答案 B

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y= ? π? sin?x-6?的图象,则 φ 等于( ? ? π A.6 ). 5π B. 6

7π C. 6 解析

11π D. 6 将函数 y=sin x 向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位得到函数 y=sin(x+φ).

11 ? 11 ? ? π? 只有 φ= 6 π 时有 y=sin?x+ 6 π?=sin?x-6?. ? ? ? ? 答案 D

2.(2014· 深圳二模)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T, 且当 x=2 时,f(x)取得最大值,那么( π A.T=2,θ=2 C.T=2,θ=π 解析 ). B.T=1,θ=π π D.T=1,θ=2

2π π 3π T= π =2, 当 x=2 时, 由 π×2+θ=2+2kπ(k∈Z), 得 θ=- 2 +2kπ(k

π ∈Z),又 0<θ<2π,∴θ=2. 答案 A

π ?π? 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x=3对称,且 f?12?=0, ? ? 则 ω 的最小值为( A.2 C.6 解析 ). B.4 D.8 π ?π? ?π ? 由 f?12?=0 知?12,0?是 f(x)图象的一个对称中心,又 x=3是一条对称 ? ? ? ?

ω>0, ? ? 轴,所以应有?2π ?π π ? ≤4?3-12?, ? ? ? ?ω 答案 A

解得 ω≥2,即 ω 的最小值为 2,故选 A.

π? π ? 4. (2014· 长春模拟)函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后是奇函数, ? ? π? ? 则函数 f(x)在?0,2?上的最小值为( ? ? 3 A.- 2 ). 1 B.-2

1 C.2 解析

3 D. 2 π? π ? ? π? 函数 f(x)=sin(2x+φ)?|φ|<2?向左平移6个单位后得到函数为 f?x+6?= ? ? ? ?

π π ? ? π? ? ? ? sin?2?x+6?+φ?=sin?2x+3+φ?,因为此时函数为奇函数,所以3+φ=kπ(k∈Z), ? ? ? ? ? ? π? π π π ? 所以 φ=-3+kπ(k∈Z). 因为|φ|<2, 所以当 k=0 时, φ=-3, 所以 f(x)=sin?2x-3?. ? ? π? π π π 2π π π ? 当 0≤x≤2时,-3≤2x-3≤ 3 ,即当 2x-3=-3时,函数 f(x)=sin?2x-3?有最 ? ? 3 ? π? 小值为 sin?-3?=- 2 . ? ? 答案 A ?π π? ?3,2?上单 ? ?

π? ? 5.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区间 ? ? 调递减,则 ω=( 2 A.3 C.2 解析 ). 3 B.2 D.3

由于函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由题意知 f(x)的一

π 4π 条对称轴为直线 x=3,和它相邻的一个对称中心为原点,则 f(x)的周期 T= 3 , 3 从而 ω=2. 答案 B

二、填空题 6.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上 的图象如图所示,则 ω=________.

解析

3 2 2π 由图象可以看出2T=π,∴T=3π= ω ,因此 ω=3.

答案

3

7.(2014· 山东省实验中学诊断)已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象 向右平移 φ(0 < φ < π) 个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则 φ = ________.

解析

π 函数 f(x)=sin 2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x=2,所以 x

π π π 3π =4,8关于 x=4对称的直线为 x= 8 ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标 3π 17π 17π 3π π 为 x= 8 的点平移到 x= 24 ,所以 φ= 24 - 8 =3. 答案 π 3

8. (2014· 武汉模拟)设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数(其 中 0≤t≤24).下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 5.0 3 7.5 6 5.0 9 2.5 12 5.0 15 7.5 18 5.0 21 2.5 24 5.0

经长期观察, 函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=h+Asin(ωx+φ)的图 象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________. 解析 2π π 由数据可知函数的周期 T=12,又 T=12= ω ,所以 ω=6;函数的最

大值为 7.5,最小值为 2.5,即 h+A=7.5,h-A=2.5,解得 h=5.0,A=2.5,所 ?π ? ?π ? 以函数为 y=f(x)=5.0+2.5sin?6t+φ?,又 y=f(3)=5.0+2.5sin?6×3+φ?=7.5,所 ? ? ? ? ?π ? 以 sin?2+φ?=cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z),所以最能近似表示表中数据间对应关 ? ? π 系的函数是 y=5.0+2.5sin 6t. 答案 π y=5.0+2.5sin6t

三、解答题 π? ? 9.(2014· 苏州调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2? ? ? ?2π ? 的周期为 π,且图象上有一个最低点为 M? 3 ,-3?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; 3 (2)求使 f(x)<2成立的 x 的取值集合. 解 (1)由题意知:A=3,ω=2,

?4π ? 由 3sin? 3 +φ?=-3, ? ? 4π π 得 φ+ 3 =-2+2kπ,k∈Z, -11π 即 φ= 6 +2kπ,k∈Z. π π 而 0<φ<2,所以 k=1,φ=6. π? ? 故 f(x)=3sin?2x+6?. ? ? π? 3 3 ? (2)f(x)<2等价于 3sin ?2x+6?<2, ? ? π? 1 ? 即 sin?2x+6?<2, ? ? 7π π π 于是 2kπ- 6 <2x+6<2kπ+6(k∈Z), 2π 解得 kπ- 3 <x<kπ(k∈Z),
? ? 2π 3 故使 f(x)<2成立的 x 的取值集合为?x|kπ- 3 <x<kπ,k∈Z?. ? ?

10.(2013· 济宁测试)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2, π 再把所得到的图象向左平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y= ? π π? g(x)在区间?-6,12?上的值域. ? ?



(1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1

π? ? = 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?, ? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π, π π π 由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z, π π ∴-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z, π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?,k∈Z. ? ? 1 (2)函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,得 π? ? 到 y=2sin?4x-6?; ? ? π ? ? π? π? x+ ?- ? = 再把所得到的图象向左平移 6 个单位长度,得到 g(x) = 2sin ?4? ? ? 6? 6? π? ? 2sin?4x+2?=2cos 4x, ? ? ? π π? ? 2π π? 当 x∈?-6,12?时,4x∈?- 3 ,3?, ? ? ? ? 所以当 x=0 时,g(x)max=2, π 当 x=-6时,g(x)min=-1. ? π π? ∴y=g(x)在区间?-6,12?上的值域为[-1,2]. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 π 1.当 x=4时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,-π<φ<0)取得最小值,则函数 ?3π ? y=f? 4 -x?是( ? ? ).

?π ? A.奇函数且图象关于点?2,0?对称 ? ? B.偶函数且图象关于点(π,0)对称

π C.奇函数且图象关于直线 x=2对称 ?π ? D.偶函数且图象关于点?2,0?对称 ? ? 解析 π π π 当 x=4时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,即4+φ=-2+

3π 3π 2kπ(k∈Z),即 φ=- 4 +2kπ(k∈Z),又-π<φ<0,所以 φ=- 4 ,所以 f(x)= 3π? ? 3π? ?3π ? ?3π Asin?x- 4 ?(A>0),所以 y=f? 4 -x?=Asin? 4 -x- 4 ?=-Asin x,所以函数 f(x) ? ? ? ? ? ? π 为奇函数且图象关于直线 x=2对称,选 C. 答案 C a2? ?sin 2x cos 2x? ?=a1a4-a2a3, ?, 若函数 f(x)=? a4? ?1 3 ? ).

?a1 2. (2014· 长沙一模)定义? ?a3

π 则将 f(x)的图象向右平移3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( π A.x=6 π C.x=2 解析 π B.x=4 D.x=π

π? ? 由定义可知,f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?,将 f(x)的图象向右 ? ?

5π? π 5π π ? ? π? π? x-3?- ?=2sin? 2x- 6 ?,由 2x- = +kπ(k∈Z), ? 平移3个单位得到 y=2sin?2? ? 6? 6 2 ? ? ? ? 2π kπ 2π π π 得对称轴为 x= 3 + 2 (k∈Z),当 k=-1 时,对称轴为 x= 3 -2=6. 答案 A

二、填空题 π π? ? 3. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ≤2?的图象上的两个相邻的最高 ? ? 1? ? 点和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?,则函数解析式 f(x)=________. ? ? 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2 ,可得 ?T?2 ?2 ? +?1+1?2 = ? ?

1? 2π π ?πx ? ? 2 2,解得 T=4,故 ω= T =2,即 f(x)=sin? 2 +φ?,又函数图象过点?2,-2?, ? ? ? ?

1 π π π ?π ? ?πx π? 故 f(2)=sin?2×2+φ?=-sin φ=-2, 又-2≤φ≤2, 解得 φ=6, 故 f(x)=sin? 2 +6?. ? ? ? ? 答案 ?πx π? sin? 2 +6? ? ?

三、解答题 1 4.(2013· 淄博二模)已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx+cos 2ωx-2(ω>0),其最 π 小正周期为2. (1)求 f(x)的表达式; π (2)将函数 f(x)的图象向右平移8个单位, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区 π? ? 间?0,2?上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? ? 解 1 (1)f(x)= 3sin ωx· cos ωx+cos2ωx-2

cos 2ωx+1 1 π? 3 ? ?2ωx+6?, = 2 sin 2ωx+ - = sin 2 2 ? ? π 2π π π 由题意知 f(x)的最小正周期 T=2,T=2ω=ω=2, π? ? 所以 ω=2,所以 f(x)=sin?4x+6?. ? ? π? π ? (2)将 f(x)的图象向右平移8个单位后,得到 y=sin?4x-3?的图象;再将所得图 ? ? π? ? 象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x-3?的图象, ? ? π? ? 所以 g(x)=sin?2x-3?, ? ? π π π 2π ? 3 ? 因为 0≤x≤2,所以-3≤2x-3≤ 3 ,所以 g(x)∈?- ,1? ? 2 ? π? ? 又 g(x)+k=0 在区间?0,2?上有且只有一个实数解, 即函数 y=g(x)与 y=-k ? ? π? 3 3 ? 在区间?0,2?上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知- 2 ≤-k< 2 或-k ? ? =1,

3 3 ? 3 3? 解得- 2 <k≤ 2 或 k=-1,所以实数 k 的取值范围是?- , ?∪{-1}. 2 2 ? ? 步骤规范练——三角函数及三角函数的图象与性质 (建议用时:90 分钟) 一、选择题 1.sin 600° 的值为( 3 A. 2 C.- 解析 答案 1 2 ). 3 B.- 2 D. 1 2

3 sin 600° =sin(720° -120° )=-sin 120° =- 2 . B ).

2.若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为( 4 A.-3 3 C.4 解析 -2 tan α= 1 =-2, 2×?-2? 4 2tan α =3 . 2 = 1-tan α 1-4 4 B.3 3 D.-4

tan 2α= 答案

B ).

3.(2013· 广州一模)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是( π? ? A.y=sin?2x-2? ? ? ? π? C.y=sin?x+2? ? ? 解析 答案 π? ? B.y=cos?2x-2? ? ? ? π? D.y=cos?x+2? ? ?

π? ? y=sin?2x-2?=-cos 2x 为偶函数,且周期是 π,故选 A. ? ? A

π 4.(2014· 郑州模拟)将函数 y=cos x 的图象向右平移2个单位长度,再向上平 移 1 个单位长度,则所得的图象对应的解析式为( ).

A.y=1-sin x C.y=1-cos x 解析

B.y=1+sin x D.y=1+cos x

π ? π? 函数 y=cos x 的图象向右平移2个单位长度, 得到函数为 y=cos?x-2?, ? ?

? π? 再向上平移 1 个单位长度,得到 y=cos?x-2?+1=1+sin x. ? ? 答案 B ).

? π? 5.(2013· 温岭中学模拟)函数 f(x)=sin xsin?x+2?的最小正周期为( ? ? A.4π C.π 解析 B.2π π D.2 1 ? π? f(x)=sin xsin?x+2?=sin xcos x=2sin 2x, ? ?

2π 故最小正周期为 T= 2 =π. 答案 C

π? ? 6.(2014· 浙江五校联盟)要得到函数 y=sin?2x-4?的图象,只要将函数 y= ? ? sin 2x 的图象( ). π B.向右平移4单位 π D.向左平移8单位

π A.向左平移4单位 π C.向右平移8单位 解析 答案 7.

π? 向右平移 ? π? ? x - 2 x - ? ? ? y=sin 2x π― ― → y = sin 2 = sin . 4? ? 8? ? ? 8个单位 C

已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为( ?3 π? A.f(x)=2sin?2x+4? ? ?

).

?3 5π? B.f(x)=2sin?2x+ 4 ? ? ? ?4 2π? C.f(x)=2sin?3x+ 9 ? ? ? ?4 25 ? D.f(x)=2sin?3x+18π? ? ? 解析 3 5π ? π? 4π 由函数的部分图象可知4T= 6 -?-6?,则 T= 3 ,结合选项知 ω>0, ? ?

2π 3 ?5π ? 故 ω= T =2,排除 C,D;又因为函数图象过点? 6 ,2?,代入验证可知只有 B ? ? 项满足条件. 答案 B

π? ? 8.(2013· 昆明模拟)已知函数 f(x)=2sin?ωx-6?(ω>0)的最小正周期为 π,则 ? ? f(x)的单调递增区间为( ).

π 5π? ? A.?kπ+3,kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ? π π? ? B.?2kπ-6,2kπ+3?(k∈Z) ? ? π π? ? C.?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) ? ? π π? ? D.?kπ-6,kπ+3?(k∈Z) ? ? 解析 π? 2π π ? 因为 T= ω =π,所以 ω=2,所以函数为 f(x)=2sin ?2x-6?,由-2+ ? ?

π π π π 2kπ≤2x - 6 ≤ 2 + 2kπ ,得- 6 + kπ≤x≤ 3 + kπ ,即函数 f(x) 的单调递增区间是 π ? π ? ?-6+kπ,3+kπ?(k∈Z). ? ? 答案 D

π? ? 9.(2014· 成都模拟)将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原 ? ? π 来的 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的 一条对称轴是( π A.x=12 ). π B.x=6

π C.x=3 解析

2π D.x= 3

π? ? 将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, ? ?

π? π ? ? π? π? ? x- ?+ ?= 得到函数 y=3sin?2x+6?,再向右平移6个单位长度,得到 y=3sin?2? ? ? ? ? 6? 6? π? π? π π π ? ? 3sin?2x-6?,即 g(x)=3sin?2x-6?.当 2x-6=kπ+2时,解得 x=kπ+3,又当 k=0 ? ? ? ? π π 时,x=3,所以 x=3是一条对称轴,故选 C. 答案 C

π? π ? 10.(2013· 长沙一模)若函数 f(x)=sin?ωx+3?的图象向右平移3个单位后与原 ? ? 函数的图象关于 x 轴对称,则 ω 的最小正值是( 1 A.2 C.2 解析 B.1 D.3 π 若函数向右平移3个单位后与原函数的图象关于 x 轴对称,函数 f(x)的 ).

T π 2π 2π 2π 周期的最大值满足 2 =3,所以 T= 3 ,所以 T= 3 = ω ,即 ω=3,所以选 D. 答案 D

二、填空题 5π 5π? ? 11.(2013· 长沙模拟)已知角 α 的终边上一点的坐标为?sin 6 ,cos 6 ?,则角 ? ? α 的最小正值为________. 3 -2 5π 1 5π 3 因为 tan α= 5π= 1 =- 3,且 sin 6 =2>0,cos 6 =- 2 <0, sin 6 2 5π cos 6

解析

5π 所以 α 为第四象限角,所以 α 的最小正值为 3 . 答案 5π 3

12.(2013· 宁波十校测试)函数 y=sin(x+10° )+cos(x+40° )(x∈R)的最大值= ________.

解析

y=sin(x+10° )+cos(x+40° )

=sin(x+10° )+cos[(x+10° )+30° ] 3 1 =sin(x+10° )+ 2 cos(x+10° )-2sin(x+10° ) 1 3 =2sin(x+10° )+ 2 cos(x+10° ) =sin(x+10° +60° ) =sin(x+70° ), 故 ymax=1. 答案 1

π? ? 13.如图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?图象的一部分, ? ? 则其函数解析式是________.

解析 +φ).

T π ? π? π 由图象知 A=1,4 =6-?-3?=2,得 T=2π,则 ω=1,所以 y=sin(x ? ?

π ?π ? 由图象过点?6 ,1?,可得 φ=2kπ+3(k∈Z), ? ? π 又|φ|<2, π ? π? 所以 φ=3,所以所求函数解析式是 y=sin?x+3?. ? ? 答案 ? π? y=sin ?x+3? ? ?

14.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0 < b < A) 的 三 个 相 邻 交 点 的 横 坐 标 分 别是 2,4,8 , 则 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ________. 解析 2π π 根据分析可得函数的周期为 6,即 ω =6,得 ω=3,由三角函数的对

?π ? 称性可知,函数在 x=3 处取得最大值,即 Asin?3×3+φ?=A,即 sin φ=-1,所 ? ?

π π ?π π? 以 φ=2kπ-2(k∈Z). 又|φ|<π, 所以 φ=-2, 故函数的解析式为 f(x)=Asin?3x-2?, ? ? π π π π 令 2kπ-2≤3x-2≤2kπ+2(k∈Z),得 6k≤x≤6k+3(k∈Z).故函数 f(x)的单调递 增区间是[6k,6k+3](k∈Z). 答案 [6k,6k+3](k∈Z)

三、解答题 π? ? 15.函数 f(x)=Asin?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对 ? ? π 称轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ?α? ? (2)设 α∈?0,2?,f?2?=2,求 α 的值. ? ? ? ? 解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2, ∴最小正周期 T=π, π? ? ∴ω=2,故函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x-6?+1. ? ? π? ?α? ? (2)f?2?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? π? 1 ? 即 sin?α-6?=2, ? ? π π π π ∵0<α<2,∴-6<α-6<3, π π π ∴α- = ,故 α= . 6 6 3 16.(2014· 烟台期末考试)已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重 合,终边经过点 P( 3,-1). (1)求 sin 2α-tan α 的值; 2π? ? (2)若函数 f(x)=sin 2x· cos α+cos 2x· sin α, 求 f(x)在?0, 3 ?上的单调递增区间. ? ? 解 (1)∵角 α 的终边经过点 P( 3,-1),

1 3 3 ∴sin α=-2,cos α= 2 ,tan α=- 3 , 3 ∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=- 6 . (2)f(x)=sin 2x· cos α+cos 2x· sin α π? 3 1 ? = 2 sin 2x-2cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π 4π π π 7π ∵0≤x≤ 3 ,∴0≤2x≤ 3 ,∴-6≤2x-6≤ 6 . π π π π 当- ≤2x- ≤ 时,即 0≤x≤ 时,函数 f(x)单调递增.所以函数 f(x)单调递 6 6 2 3 π? ? 增区间是?0,3?. ? ? 17.(2014· 衡水模拟)已知函数 f(x)=1+sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x=2,求 f(x)的值. 解 1 (1)已知函数可化为 f(x)=1+2sin 2x,

2π 所以 T= 2 =π, π 3π 令2+2kπ≤2x≤ 2 +2kπ(k∈Z), π 3π 则4+kπ≤x≤ 4 +kπ(k∈Z), 3π ?π ? 即函数 f(x)的单调递减区间是?4+kπ, 4 +kπ?(k∈Z). ? ? sin2 x+sin xcos x+cos2x (2)由已知 f(x)= sin2 x+cos2x tan2 x+tan x+1 = , tan2 x+1 22+2+1 7 ∴当 tan x=2 时,f(x)= 2 =5. 2 +1 18.(2014· 江苏省七校联考)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 ?π? a,b,x∈R.若 f(x)=m· n 满足 f?6?=2,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x= ? ?

π 12对称. (1)求 a,b 的值; π? ? (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间?0,2?上总有实数解, 求实数 k 的取 ? ? 值范围. 解 (1)f(x)=m· n=asin2x+bsin xcos x.

?π? 由 f?6?=2,得 a+ 3b=8.① ? ? π ∵f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且 f′(x)的图象关于直线 x=12对称,∴f′(0)= ?π? f′?6?, ? ? 3 1 ∴b= 2 a+2b,即 b= 3a.② 由①②得,a=2,b=2 3. (2)由(1)得 f(x)=1-cos 2x+ 3sin 2x π? ? =2sin?2x-6?+1. ? ? π? π π 5π ? ∵x∈?0,2?,∴-6≤2x-6≤ 6 , ? ? π? 1 ? ∴-2≤sin ?2x-6?≤1, ? ? π? ? ∴0≤2sin?2x-6?+1≤3,即 f(x)∈[0,3]. ? ? π? ? 又 f(x)+log2k=0 在?0,2?上有解, ? ? π? ? 即 f(x)=-log2k 在?0,2?上有解, ? ? 1 ?1 ? ∴-3≤log2k≤0,解得8≤k≤1,即 k∈?8,1?. ? ? 第5讲 [最新考纲] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 两角和与差的正弦、余弦和正切

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β. cos(α?β)=cos αcos β± sin αsin β. tan(α± β)= tan α± tan β . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin αcos α. cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. tan 2α= 2tan α . 1-tan2α

3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β). (2)cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 , sin α = . 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, ? π? ?. sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 4. 函数 f(α)=asin α+bcos α(a, b 为常数), 可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+φ), b 其中 tan φ=a. 辨 析 感 悟 1.对两角和与差的三角函数公式的理解 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.(√) (2)存在实数 α,β,使等式 cos(α+β)=cos α+cos β.(√) (3)(教材练习改编)cos 80° cos 20° -sin 80° sin 20° = 1 cos(80° -20° )=cos 60° =2.(×)

(4)(教材习题改编)

1-tan θ ?π ? =tan?4+θ?.(×) ? ? 1+tan θ

(5)(2014· 湘潭月考改编)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α +β)=-3.(√) 2.对二倍角公式的理解 θ θ (6)cos θ=2cos22-1=1-2sin22.(√) α 3 1 (7)(2013· 江西卷改编)若 sin 2= 3 ,则 cos α=-3.(×) (8)y=sin 2xcos 2x 的最大值为 1.(×) π? 1 2 ? (9)(2013· 新课标全国Ⅱ卷改编)已知 sin 2α=3,则 cos2?α+4?=6.(√) ? ? [感悟· 提升] 一个防范 运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和差、倍角的相 对性,要注意升幂、降幂的灵活运用.

考点一 【例 1】 3 A.- 2 1 C.2 (2)

三角函数式的化简、求值问题 ).

sin 47° -sin 17° cos 30° (1)(2012· 重庆卷) =( cos 17° 1 B.-2 3 D. 2

cos2α-sin2α =________. ?π ? 2?π ? 2tan?4-α?cos ?4-α? ? ? ? ? (1) sin 47° -sin 17° cos 30° cos 17°

解析 = = =

sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° cos 17° sin 30° cos 17° 1 =2. cos 17° =sin 30°

(2)原式=

cos2α-sin2α ?π ? 2sin?4-α? ? ? ?π ? · cos2?4-α? π ? ? ? ? cos?4-α? ? ?



cos2α-sin2α ?π ? ?π ? 2sin?4-α?cos?4-α? ? ? ? ? cos 2α cos 2α =cos 2α=1. π ? ? sin?2-2α? ? ? (1)C (2)1 (1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;



答案

规律方法

②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数 值; ③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等. (2)常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同 次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 【训练 1】 (1)化简: [2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =________; θ θ? ? ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? ? ? (2)化简: (0<θ<π)=________. 2+2cos θ 解析 ? ? cos 10° + 3sin 10° ?· (1)原式=?2sin 50° +sin 10° · cos 10° ? ?

? 1 3 ? cos 10° + 2 sin 10° ? ?· 2 2sin 80° =? ? 2sin 50° +2sin 10° · cos 10° ? ? 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6. θ θ θ?? θ θ? ? ?2sin 2cos 2+2cos22??sin 2-cos 2? ? ?? ? (2)原式= θ 4cos22

θ? 2θ θ 2θ ? cos 2?sin 2-cos 2? cos 2· cos θ ? ? = =- θ? θ? . ? ? ?cos 2? ?cos 2? ? ? ? ? θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0<2<2,所以 cos 2>0, 所以原式=-cos θ. 答案 (1) 6 (2)-cos θ 考点二 三角函数的给角求值与给值求

β? π 1 ? ?α ? 2 角问题【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,求 2 9 ? ? ? ? 3 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值. 解 π (1)∵0<β<2<α<π,

π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, ?α ? ∴cos?2-β?= ? ? β? ? sin?α-2?= ? ? ∴cos 5 ?α ? 1-sin2?2-β?= 3 , ? ? β? 4 5 ? 1-cos2?α-2?= 9 , ? ?

α+β β? ?α ?? ?? ??α-2?-?2-β?? 2 =cos?? ? ? ??

β? ? α ? β? ?α ? ? ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2× 729 -1=-729. tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0, 1+2×7

π 2tan α ∴0<α<2,又∵tan 2α= = 1-tan2α π ∴0<2α<2,

3 =4>0, 1 ? ? 1-?3?2 ? ?

1 2×3

3 1 4+7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- 4 . 规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求

相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展 开式即可. (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下 原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦 π? ? 函数;若角的范围是?0,2?,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好; ? ? ? π π? 若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ? 【训练 2】 1 13 π 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,

(1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. 解 1 π (1)∵cos α=7,0<α<2,

4 3 ∴sin α= 7 , ∴tan α=4 3, ∴tan 2α= 2×4 3 2tan α 8 3 =- 47 . 2 = 1-tan α 1-48

π π (2)∵0<β<α<2,∴0<α-β<2,

3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3. 考点三 【例 3】 三角变换的简单应用

1 ? ? ? π? ? π? 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· sin?x- ?. ? ? ? ? ? 4?

(1)若 tan α=2,求 f(α)的值; ? π π? (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ? 解 ? π? (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin?x+4?· ? ?

? π? cos?x+4? ? ? = 1-cos 2x 1 π? ? + sin 2x+sin?2x+2? 2 2 ? ?

1 1 =2+2(sin 2x-cos 2x)+cos 2x 1 1 =2(sin 2x+cos 2x)+2. 由 tan α=2,得 sin 2α= cos 2α= 2sin αcos α 2tan α 4 =5. 2 2 = 2 sin α+cos α tan α+1

cos2α-sin2α 1-tan2α 3 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α

1 1 3 所以,f(α)=2(sin 2α+cos 2α)+2=5. 1 1 (2)由(1)得 f(x)=2(sin 2x+cos 2x)+2 π? 1 2 ? = 2 sin?2x+4?+2. ? ? π ?5π 5π? ? π π? 由 x∈?12,2?,得 2x+4∈?12, 4 ?. ? ? ? ?

2+1 π? 2 ? ∴- 2 ≤sin?2x+4?≤1,∴0≤f(x)≤ 2 , ? ? ? 2+1? ?. 所以 f(x)的取值范围是?0, 2 ? ? 规律方法 (1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将

sin 2α,cos 2α 化为关于正切 tan α 的关系式,为第(1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的 周期、单调性、最值与对称性. 【训练 3】 ? π? 已知函数 f(x)=4cos x· sin?x+6?-1. ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? 解 ? π? (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ?

? 3 ? 1 =4cos x? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ? = 3sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+6?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π 于是,当 2x+6=2, π 即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.

1.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角: 对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变 式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、 证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差

异,再选择适当的三角公式恒等变形. 2.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角 进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入 手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化. 3.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉 三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联 系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形.

教你审题 3——三角函数求值中的变角问题 【典例】 π? 4 ? (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 ? ?

π? ? sin?2α+12?的值为________. ? ? [审题] π? 4 ? 一审条件:cos?α+6?=5,α 为锐角, ? ?

π? ? 二审问题:sin?2α+12?=? ? ? π? π π π π ? 三找关系:2α+12=2α+3-4=2?α+6?-4,解题变得明朗化! ? ? 解析 π? 4 ? ∵α 为锐角且 cos?α+6?=5, ? ?

π ?π 2π? ∴α+6∈?6, 3 ?, ? ? π? 3 ? ∴sin?α+6?=5. ? ? π? π? π? ? ? ? α+6?- ? ∴sin?2α+12?=sin?2? ? 4? ? ? ? ? π? π? π π ? ? =sin 2?α+6?cos 4-cos 2?α+6?sin 4 ? ? ? ? π? ? π? π? ? 2? ? ? = 2sin?α+6?cos?α+6?- 2 ?2cos2?α+6?-1? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2? ?4? ? = 2×5×5- 2 ?2×?5?2-1? ? ? ? ?

12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 . 答案 17 2 50 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当

[反思感悟]

α+β ? β? ? α ? 地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有: 2 =?α-2?-?2-β?;α= ? ? ? ? π π ?π ? (α-β)+β 等;4+α=2-?4-α?;15° =45° -30° 等. ? ? 【自主体验】 π? 1 1 ? 已知 cos α=3, cos(α+β)=-3, 且 α, β∈?0,2?, 则 cos(α-β)的值为________. ? ? 解析 π? 1 ? ∵cos α=3,α∈?0,2?, ? ?

2 2 4 2 7 ∴sin α= 3 ,∴sin 2α= 9 ,cos 2α=-9. 1 2 2 又 cos(α+β)=-3,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 3 . ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) ? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. ? ? ? ? 答案 23 27

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 郑州模拟)计算 cos 42° cos 18° -cos 48° sin 18° 的结果等于( 1 A.2 2 C. 2 解析 3 B. 3 3 D. 2 原式=sin 48° cos 18° -cos 48° sin 18° ).

1 =sin(48° -18° )=sin 30° =2. 答案 A ).

?π ? 1 2.(2013· 湖州模拟)已知 sin?2+α?=3,则 cos(π+2α)的值为( ? ? 7 A.-9 2 C.9 解析 7 B.9 2 D.-3 1 ?π ? 由题意,得 sin?2+α?=cos α=3. ? ?

7 所以 cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos2α-1)=1-2cos2α=9. 答案 B ).

?π ? 3 3.(2013· 山东省实验中学诊断)已知 cos?4-x?=5,则 sin 2x=( ? ? 18 A.25 7 C.-25 解析 7 B.25 16 D.-25

?π ? ?π ? ?π ? 因为 sin 2x=cos?2-2x?=cos 2?4-x?=2cos2?4-x?-1,所以 sin 2x= ? ? ? ? ? ?

18 7 ?3? 2×?5?2-1=25-1=-25. ? ? 答案 C ).

3 ? 4 ? ?π ? 4. (2013· 成都模拟)已知 α∈?π,2π?, 且 cos α=-5, 则 tan?4-α?等于( ? ? ? ? A.7 1 C.-7 解析 1 B.7 D.-7

3 ? 4 3 ? 因 α∈?π,2π?,且 cos α=-5,所以 sin α<0,即 sin α=-5,所以 ? ? 3 1-4 1+4 1 = 3 7.

3 ?π ? 1-tan α tan α=4.所以 tan?4-α?= = ? ? 1+tan α

答案

B

sin 2α-2cos2α π? 1 π ? 5. (2013· 金华十校模拟)已知 tan?α+4?=-2, 且2<α<π, 则 π? 等 ? ? ? sin?α-4? ? ? 于( ). 2 5 A. 5 2 5 C.- 5 解析 3 5 B.- 10 3 10 D.- 10

sin 2α-2cos2α 2sin αcos α-2cos2α π? 1 ? = =2 2cos α,由 tan?α+4?=-2, π ? ? ? ? 2 sin?α-4? ? ? 2 ?sin α-cos α? 1 tan α+1
2



tan α+1 1 π =- , 解得 tan α=-3, 因为 <α<π, 所以解得 cos α=- 2 2 1-tan α

10 2 5 ? 10? ?=- =- 10 ,所以原式=2 2cos α=2 2×?- 5 . 10 ? ? 答案 C

二、填空题 6.(2013· 湖南师大附中模拟)计算: tan 12° - 3 =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

解析

sin 12° - 3 cos 12° 原式= 2?2cos212° -1?sin 12°

?1 ? 3 ? 2? sin 12° - 2 cos 12° 2 sin 12° - 3cos 12° ? ? =2sin 12° = cos 12° cos 24° sin 24° cos 24° = 2sin?12° -60° ? =-4. 1 2sin 48° -4 1+cos 2x ? π? 2 ?x+4?的最大值为 2+3, + sin x + a sin ? ? ?π ? 2sin?2-x? ? ?

答案

7. (2013· 南京模拟)设 f(x)=

则常数 a=________. 解析 f(x)= 1+2cos2x-1 ? π? 2 ?x+4? + sin x + a sin 2cos x ? ?

? π? =cos x+sin x+a2sin?x+4? ? ? ? π? ? π? = 2sin?x+4?+a2sin?x+4? ? ? ? ? ? π? =( 2+a2)sin?x+4?. ? ? 依题意有 2+a2= 2+3,∴a=± 3. 答案 ± 3

π? π? 2 ? ? 8.(2014· 广州模拟)已知 cos4 α-sin4 α=3,且 α∈?0,2?,则 cos?2α+3?= ? ? ? ? ________. 解析 2 2 ∵cos4 α-sin4 α=(sin2 α+cos2α)(cos2α-sin2 α)=3,∴cos 2α=3,又 α

π? ? ∈?0,2?,∴2α∈(0,π), ? ? 5 ∴sin 2α= 1-cos22α= 3 , π? 1 3 ? ∴cos?2α+3?=2cos 2α- 2 sin 2α ? ? 1 2 3 5 2- 15 =2×3- 2 × 3 = 6 . 答案 2- 15 6

三、解答题 ? π? ?π ? 9.(2014· 浙江大学附属中学一模)已知函数 f(x)=cos?x-3?-sin?2-x?. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? π? 3 ? ? (2)若 α∈?0,2?,且 f?α+6?= ,求 f(2α)的值. ? ? ? ? 5 解 1 3 (1)f(x)=2cos x+ 2 sin x-cos x

3 1 ? π? = 2 sin x-2cos x=sin?x-6?. ? ? ∴f(x)的最小正周期为 2π. ? π? (2)由(1)知 f(x)=sin?x-6?. ? ?

π? π π? 3 ? ? 所以 f?α+6?=sin?α+6-6?=sin α=5, ? ? ? ? π? ? ∵α∈?0,2?,∴cos α= 1-sin2 α= ? ? 3 4 24 ∴sin 2α=2sin αcos α=2×5×5=25, 7 ?4? cos 2α=2cos2α-1=2×?5?2-1=25, ? ? π? 3 1 ? ∴f(2α)=sin?2α-6?= 2 sin 2α-2cos 2α ? ? 3 24 1 7 24 3-7 = 2 ×25-2×25= 50 . 10.(2013· 东莞模拟)已知函数 f(x)=- 3sin2 x+sin xcos x. ?25π? (1)求 f? 6 ?的值. ? ? 3 ?α? 1 (2)设 α∈(0,π),f?2?=4- 2 ,求 sin α 的值. ? ? 解 f(x) =- 3sin2 x + sin xcos x =- 3 × 1-cos 2x 1 3 + sin 2 x =- 2 2 2 + ?3? 4 1-?5?2=5. ? ?

π? ? sin?2x+3?, ? ? 3 ?25π? ?25π π? (1)f? 6 ?=- 2 +sin? 3 +3?=0. ? ? ? ? π? 1 3 3 ?α? ? (2)f?2?=- 2 +sin?α+3?=4- 2 , ? ? ? ? π? 1 1 ? ∴0<sin?α+3?=4<2, ? ? π ?π 4π? π ?5π ? 又∵α∈(0,π),∴α+3∈?3, 3 ?.∴α+3∈? 6 ,π?, ? ? ? ? π? π π? 15 ? ? ∴cos?α+3?=- 4 ,∴sin α=sin?α+3-3? ? ? ? ? 1 1 15 3 1+3 5 =4×2+ 4 × 2 = 8 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题

π? 1 π? 2 ? ? 1.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan?α+4?等于( ? ? ? ? 13 A.18 3 C.22 解析 π π 因为 α+4+β-4=α+β, 13 B.22 1 D.6

).

π? π ? 所以 α+4=(α+β)-?β-4?, ? ? π? ? ? ? π?? 所以 tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? π? ? tan?α+β?-tan?β-4? ? ? 3 = = . π ? ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ? 答案 C

π? ? 2.(2013· 潍坊模拟)已知 α,β∈?0,2?,满足 tan(α+β)=4tan β,则 tan α 的 ? ? 最大值是( 1 A.4 3 C.4 2 解析 由 tan(α+β)=4tan β,得 ). 3 B.4 3 D.2 tan α+tan β 3tan β =4tan β,解得 tan α= , 1-tan αtan β 1+4tan2β 3 3 =4,当 1 4tan β tan β·

π? 3 ? 因为 β∈?0,2?,所以 tan β>0.所以 tan α= 1 ≤ ? ? + 4tan β 2 tan β

1 1 1 3 且仅当tan β=4tan β,即 tan2 β=4,tan β=2时取等号, 所以 tan α 的最大值是4. 答案 B

二、填空题 π? ? ?π ? 3.(2014· 永康模拟)若 sin?α+6?=3sin?2-α?,则 tan 2α=________. ? ? ? ? 解析 π? 3 1 3 5 ? 由已知,得 sin?α+6?= 2 sin α+2cos α=3cos α,即 2 sin α=2cos α, ? ?

5 3 所以 tan α= 3 , 5 3 2× 3 2tan α 5 3 所以 tan 2α= =- 11 . 2 = 1-tan α ?5 3?2 ? 1-? ? 3 ? 答案 5 3 - 11

三、解答题 π? ? 4.(2012· 广东卷)已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周 ? ? 期为 10π. (1)求 ω 的值; π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=-5,f?5β-6π?=17,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? ? ? 解 π? 2π 1 ? (1)由题意知 f(x)=2cos?ωx+6?的最小正周期 T=10π= ω ,则 ω=5. ? ?

?1 π? (2)由(1)知 f(x)=2cos?5x+6?, ? ? π? ? 5π? 5π? 16 6 ? ? 又 α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f?5β- 6 ?=17, ? ? ? ? ? ? π? 3 8 ? 即 cos?α+2?=-5,cos β=17, ? ? 3 4 ∴sin α=5,cos α= 1-sin2α=5, 15 sin β= 1-cos2β=17, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 8 3 15 13 =5×17-5×17=-85. 第6讲 [最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 正弦定理和余弦定理

知 识 梳 理

1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c = = sin A sin B sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C

内容

常见变形

2 2 2 (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin cos A=b +c -a ; 2bc C; a2+c2-b2 cos B= 2ac ; a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; a2+b2-c2 cos C = (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 2ab

(1)已知两角和任一边, 求其他两边和 解决 的问题 一角; (2)已知两边和其中一边的对角, 求另 一边和其他两角 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 辨 析 感 悟 1.三角形中关系的判断 bsin A<a<b 两解

(1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第 三边和其他两角

A 为钝角或直角

a≥b 一解

a>b 一解

(1)在△ABC 中,sin A>sin B 的充分不必要条件是 A>B.(×)

(2)(教材练习改编)在△ABC 中, a= 3, b= 2, B=45° , 则 A=60° 或 120° .(√) 2.解三角形 1 5 (3)(2013· 北京卷改编)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=3,则 sin B=9.(√) 9 (4)(教材习题改编)在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b=6.(√) 3.三角形形状的判断 (5)在△ABC 中,若 sin Asin B<cos Acos B,则此三角形是钝角三角形.(√) (6)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.(×) [感悟· 提升] 1. 一条规律 在三角形中, 大角对大边, 大边对大角; 大角的正弦值也较大,

正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B,如(1). 2.判断三角形形状的两种途径 一是化边为角;二是化角为边,并常用正弦

(余弦)定理实施边、角转 换.

考点一 【例 1】

利用正弦、余弦定理解三角形

(1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a, ). π B.4 π D.12

b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于( π A.3 π C.6

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a =1,c=4 2,B=45° ,则 sin C=________. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B,

∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, π? π ? ∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ?

2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. 2 4 2× 2 c· sin B 4 所以 sin C= b = = 5 5. 答案 (1)A 4 (2)5 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边

规律方法

和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对 大角定理进行判断. 【训练 1】 A.30° C.45° 或 135° (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C=( B.45° D.60° ).

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc, sin C=2 3sin B,则 A=( A.30° C.120° 解析 ). B.60° D.150°

2 3 2 2 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C,

2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= 2bc = = = 2 ,又 A 为三角形的 2bc 2bc 内角,∴A=30° . 答案 (1)B (2)A 考点二 【例 2】 判断三角形的形状

(2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对

边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, ∴cos A= b2+c2-a2 1 =2,∴A=60° . 2bc

(2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形. 规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数

的关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有 边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要 注意 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. 【训练 2】 (1)(2013· 山东省实验中学诊断)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ).

(2) 在△ ABC 中,若 (a2 + b2)sin(A - B) = (a2 - b2)sin C ,则△ ABC 的形状是 ( ). A.锐角三角形 C.等腰三角形 解析
2 2 2

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

1 (1) 由 2c2 = 2a2 + 2b2 + ab ,得 a2 + b2 - c2 =- 2 ab ,所以 cos C = 1 -2ab

a +b -c 1 <C<180° ,即△ABC 为钝角三角形. 2ab = 2ab =-4<0,所以 90° (2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2 Bsin Acos B=sin2 Acos Asin B,

所以 sin 2B=sin 2A,由于 A,B 是三角形的内角, 故 0<2A<2π,0<2B<2π.故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B,即 A=B 或 A+ π B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 答案 (1)A (2)D 考点三 与三角形面积有关的问题

【例 3】 (2013· 浙江卷)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 2asin B= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 审题路线 3b a b (1)把 2asin B= 3b 变形为 2a=sin B?利用正弦定理sin A=sin B

?得到 sin A=??A 为锐角,得出 A=? (2)由(1)知 cos A 的值?利用余弦定理?又 b+c=8,求 bc 的值?利用三角形 1 面积公式 S=2bcsin A 求得. 解 3b (1)由 2asin B= 3b,得 2a=sin B,

a b a 2a 3 又由正弦定理sin A=sin B,得sin A= ,所以 sin A= 2 ,因为 A 为锐角, 3 π 所以 A=3. (2)由(1)及 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=36, 28 1 7 3 又 b+c=8,所以 bc= 3 ,由 S=2bcsin A,得△ABC 的面积为 3 . 规律方法 1 1 1 在解决三角形问题中, 面积公式 S=2absin C=2bcsin A=2acsin B

最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 【训练 3】 (2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,

c.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.



(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,

得 2cos2A+3cos A-2=0, 1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A=2或 cos A=-2(舍去).因为 0<A π <π,所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2 bcsin A=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20. 又 b=5,所以 c=4. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21. b c 又由正弦定理,得 sin Bsin C=asin A· asin A bc 20 3 5 = a2 sin2A=21×4=7.

1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题时要注意 根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解. 2. 正、 余弦定理在应用时, 应注意灵活性, 尤其是其变形应用时可相互转化. 如 a2=b2+c2-2bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B+sin2 C-2sin Bsin Ccos A,利用 这些变形可进行等式的化简与证明.

答题模板 6——解三角形问题 【典例】 (13 分)(2013· 重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. [规范解答] (1)由余弦定理,

b2+c2-a2 - 3bc 3 得 cos A= 2bc = 2bc =- 2 .

5π 又因为 0<A<π,所以 A= 6 .(4 分) 1 (2)由(1)得 sin A=2, 又由正弦定理及 a= 3,得 1 1 asin B S=2bcsin A=2· asin C=3sin Bsin C,(6 分) sin A · 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)= 3cos(B-C).(9 分) π-A π 所以,当 B=C,即 B= 2 =12时, S+3cos Bcos C 取最大值 3.(13 分) [反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或

全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次 式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角 形问题时,注意角的限制范围. (2)在本题第(2)问中,不会结合正弦定理表达 S 的角的形式是失分的主要原 因. 答题模板 第一步:定已知.即梳理已知条件,确定三角形中已知的边与角;

第二步:选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式; 第三步:代入求值. 【自主体验】 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理,得

3sin Asin C-cos A· sin C-sin C=0, π? 1 ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2, ? ? π π 5π π 又 0<A<π,所以-6<A-6< 6 ,故 A=3.

1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8,解得 b=c=2.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 绍兴模拟)在△ABC 中,若 a2-c2+b2= 3ab,则 C=( A.30° C.60° 解析 答案 B.45° D.120° a2+b2-c2 3ab 3 = = 所以 C=30° . 2ab 2ab 2, ).

由 a2-c2+b2= 3ab, 得 cos C= A

3 2.(2014· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 , 则 BC 的长为( 3 A. 2 C.2 3 解析 ). B. 3 D.2

1 1 3 3 S=2×AB· ACsin 60° =2×2× 2 AC= 2 , 所以 AC=1, 所以 BC2=AB2

+AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 B

3.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, π π 已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积为( 6 4 A.2 3+2 C.2 3-2 解析 ).

B. 3+1 D. 3-1

b c 由正弦定理sin B=sin C及已知条件得 c=2 2,

2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 .

2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 B

4.(2013· 山东卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A, a=1,b= 3,则 c=( A.2 3 C. 2 解析 ). B.2 D.1 a b a b 1 3 3 由sin A=sin B, 得sin A=sin 2A, 所以sin A=2sin Acos A, 故 cos A= 2 ,

π π π 又 A∈(0,π),所以 A=6,B=3,C=2,c= a2+b2= 12+? 3?2=2. 答案 B

5.(2013· 陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 C.钝角三角形 解析 ).

B.锐角三角形 D.不确定

由正弦定理及已知条件可知 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即 sin(B

+C)=sin2 A,而 B+C=π-A,所以 sin(B+C)=sin A,所以 sin2 A=sin A,又 0 π <A<π,sin A>0,∴sin A=1,即 A=2. 答案 A

二、填空题 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2, sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. 解析 π? π ? 由题意知,sin B+cos B= 2,所以 2sin?B+4?= 2,所以 B= ,根 4 ? ?

a b 2 2 1 π 据正弦定理可知sin A=sin B,可得sin A= π,所以 sin A=2,又 a<b,故 A=6. sin4 答案 π 6

7.(2014· 惠州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+ c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________.

解析

a2+c2-b2 3 由余弦定理,得 tan B= 2 , 2ac =cos B,结合已知等式得 cos B·

3 π 2π ∴sin B= 2 ,∴B=3或 3 . 答案 π 2π 3或 3

8.(2013· 烟台一模)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a 1 =1,b=2,cos C=4,则 sin B 等于________. 解析 1 由余弦定理, 得 c2=a2+b2-2abcos C=4, 即 c=2.由 cos C= 得 sin C 4

15 b c bsin C 2 15 15 = 4 .由正弦定理sin B=sin C,得 sin B= c =2× 4 = 4 (或者因为 c=2, 15 所以 b=c=2,即三角形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 4 ). 答案 15 4

三、解答题 9.(2014· 宜山质检)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,且 a 1 =2c+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若 S△ABC= 3,b= 13,求 a+c 的值. 解 1 (1)由正弦定理,得 sin A=2sin C+sin Bcos C,

又因为 A=π-(B+C), 所以 sin A=sin(B+C), 1 可得 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin C+sin Bcos C, 1 π 即 cos B=2,又 B∈(0,π),所以 B=3. 1 π (2)因为 S△ABC= 3,所以2acsin3= 3,所以 ac=4, 由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即 a+c=5.

10.(2013· 深圳二模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,b=5,c=7. (1)求角 C 的大小; π? ? (2)求 sin?B+3?的值. ? ? 解 2π C= 3 . b c (2)由正弦定理sin B=sin C,得 2π 5sin 3 bsin C 5 3 sin B= c = 7 = 14 , 2π ∵C= 3 ,∴B 为锐角, ∴cos B= 1-sin2 B= ?5 3?2 11 ?= . 1-? ? 14 ? 14 (1)由余弦定理,得 cos C= a2+b2-c2 32+52-72 1 = =- 2ab 2.∵0<C<π,∴ 2×3×5

π? π π ? ∴sin?B+3?=sin Bcos 3+cos Bsin 3 ? ? 5 3 1 11 3 4 3 = 14 ×2+14× 2 = 7 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 2 2 →· → 1.(2014· 温岭中学模拟)在锐角△ABC 中,若 BC=2,sin A= 3 ,则AB AC 的最大值为( 1 A.3 C.1 解析 ). 4 B.5 D.3 1 4 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc×3=4,由基本不等式可得 4≥3bc,

→· → =bccos A=1bc≤1. 即 bc≤3,所以AB AC 3

答案

C

2.(2013· 青岛一中调研)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么 △ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 解析 ). B.钝角三角形 D.以上均有可能

由题意可知 c>a,c>b,即角 C 最大,

所以 a3+b3=a· a2+b· b2<ca2+cb2,即 c3<ca2+cb2,所以 c2<a2+b2.根据余弦定理,得 cos C= π 以 0<C<2,即三角形为锐角三角形. 答案 A a2+b2-c2 2ab >0,所

二、填空题 3.在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________ . 解析 AB 3 BC 由正弦定理知sin C=sin 60° =sin A,

∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又 A+C=120° ,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120° -C) =2(sin C+2sin 120° cos C-2cos 120° sin C) =2(sin C+ 3cos C+sin C) =2(2sin C+ 3cos C)=2 7sin(C+α), 3 其中 tan α= 2 ,α 是第一象限角,由于 0° <C<120° ,且 α 是第一象限角, 因此 AB+2BC 有最大值 2 7. 答案 2 7

三、解答题 4.(2013· 长沙模拟)在△ABC 中,边 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 满足 bcos C=(3a-c)cos B. (1)求 cos B; →· → =4,b=4 2,求边 a,c 的值. (2)若BC BA 解 (1)由正弦定理和 bcos C=(3a-c)cos B,

得 sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化简,得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即 sin(B+C)=3sin Acos B, 1 故 sin A=3sin Acos B,所以 cos B=3. →· → =4,所以BC →· → =|BC → |· → |· (2)因为BC BA BA |BA → |· → |=12,即 ac=12. cos B=4,所以|BC |BA a2+c2-b2 1 又因为 cos B= 2ac =3,整理得,a2+c2=40.
2 2 ?a +c =40, ?a=2, ?a=6, 联立①②? 解得? 或? ?ac=12, ?c=6 ?c=2.

① ②

第7讲 [最新考纲]

解三角形应用举例

能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题.

知 识 梳 理 1.距离的测量 背景 可测元素 图形 求 AB: 两点均可到达 a,b,α AB= a2+b2-2abcos α 求 AB: 只有一点可到 达 b,α,β (1)α+β+B=π; AB b (2)sin β=sin B 求 AB: 两点都不可到 达 a,α,β,γ,θ (1)△ACD 中,用正弦定理求 AC; (2)△BCD 中,用正弦定理求 目标及解法

BC; (3)△ABC 中,用余弦定理求 AB 2.高度的测量 背景 底部可到达 可测元素 a,α 图形 目标及解法 求 AB: AB=atan α 求 AB: 底部不可到达 a,α,β (1)在△ACD 中用正弦 定理求 AD; (2)AB=ADsin β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方 时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图 1).

(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点 的方位角为 α(如图 2). (3)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东 30° ,北 偏西 45° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 辨 析 感 悟 1.测量距离问题 (1)海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 n mile,∠BAC=60° , ∠ABC=75° ,则 B,C 间的距离是 5 6 n mile.(√) (2)如图 1,为了测量隧道口 AB 的长度,测量时应当测量数据 a,b,γ.(√)

图1 2.测量高度问题

图2

(3)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为 α +β=180° .(×) (4)如图 2,B,C,D 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 β 和 α(α<β),则可以求出 A 点距地面的高度 AB.(√) 3.测量角度问题 (5)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关 π? ? 系,其范围均是?0,2?.(×) ? ? (6)若点 A 在点 C 的北偏东 30° 方向,点 B 在点 C 的南偏东 60° 方向,且 AC =BC,则点 A 在点 B 北偏西 15° 方向.(√) [感悟· 提升] 1. 一个区别 “方位角”与“方向角”的区别: 方位角大小的范围是[0,2π),

π? ? 方向角大小的范围一般是?0,2?. ? ? 2.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间 的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计 算的要求等.

考点一 【例 1】

测量距离问题

要测量对岸 A,B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C,D 两

点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A,B 之

间的距离.



如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . 3sin 75° 6+ 2 ∴BC= sin 60° = 2 . 在△ABC 中,由余弦定理,得 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2× 3× AB2=( 3)2+? 2 ×cos 75° ? 2 ? =3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km),∴A,B 之间的距离为 5 km. 规律方法 (1)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题

转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化 为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决. (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化 为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决. 【训练 1】 (2013· 茂名二模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打

上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m,∠ABC=105° ,∠BCA=45° .就可以计算出 A,B 两点的距 离为( ).

A.50 2 m C.25 2 m

B.50 3 m D. 25 2 2 m

解析

由正弦定理得

AB BC = , sin∠BCA sin∠CAB

2 50× 2 BC· sin∠BCA ∴AB= = 1 =50 2 (m). sin∠CAB 2 答案 A 考点二 【例 2】 测量高度问题

如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南

偏西 60° 的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底 端 B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60° .

(1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB. 解 (1)依题意知,在△DBC 中,∠BCD=30° ,∠DBC=180° -∠DBF=180°

-45° =135° , 1 CD=6 000×60=100(米), ∠D=180° -135° -30° =15° , 由正弦定理得 ∴BC= CD BC = , sin∠DBC sin∠D

CD· sin∠D 100×sin 15° = sin 135° sin∠DBC 6- 2 4 50? 6- 2? = 2 2 2

100× =

=50( 3-1)(米). AB 在 Rt△ABE 中,tan α=BE. ∵AB 为定长,

∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60° ,这时 BE⊥CD. 当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中, 3 EC=BC· cos∠BCE=50( 3-1)× 2 =25(3- 3)(米). 设该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟, 25?3- 3? 3- 3 EC 则 t=6 000×60= 6 000 ×60= 4 (分钟). (2)由(1)知当 α 取得最大值 60° 时,BE⊥CD, 在 Rt△BEC 中,BE=BC· sin∠BCD, ∴AB=BE· tan 60° =BC· sin∠BCD· tan 60° 1 =50( 3-1)×2× 3=25(3- 3)(米). 即所求塔高 AB 为 25(3- 3) 米. 规律方法 (1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念.

(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦 定理. (3)注意竖直线垂直于地面构成直角三角形. 【训练 2】 (2014· 宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门

洞拱顶 D 到其正上方 A 点的距离,他站在地面 C 处,利用皮尺量得 BC=9 米, 利用测角仪测得仰角∠ACB=45° ,测得仰角∠BCD 后通过计算得到 sin∠ACD= 26 26 ,则 AD 的距离为( ).

A.2 米 C.3 米 解析

B.2.5 米 D.4 米

设 AD=x,则 BD=9-x,CD= 92+?9-x?2,在△ACD 中应用正弦

CD AD 定理得 = , sin∠DAC sin∠ACD

92+?9-x?2 x 即 = , 2 26 2 26 所以 2[92+(9-x)2]=26x2, 即 81+81-18x+x2=13x2, 所以 2x2+3x-27=0, 即(2x+9)(x-3)=0,所以 x=3(米). 答案 C 考点三 【例 3】 测量角度问题

如图,在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向距 A 为( 3-1)海里的 B

处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船. 此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏 东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间 (注: 6≈2.449).

审题路线

分清已知条件和未知条件?设行驶 t 小时,则 CD,BD 可求?在

△ABC 中,用余弦定理求 BC,用正弦定理求 sin∠ABC?在△BCD 中,用正弦定 理求∠BCD?可推出 BD=BC?再求 t?回到实际问题中去. 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则

有 CD=10 3t(海里),BD=10t(海里). 在△ABC 中,∵AB=( 3-1)海里,AC=2 海里,∠BAC=45° +75° =120° , 根据余弦定理,可得 BC= ? 3-1?2+22-2×2×? 3-1?cos 120° = 6(海里). 根据正弦定理,可得 ACsin 120° sin∠ABC= = BC 3 2× 2 2 =2. 6

∴∠ABC=45° ,易知 CB 方向与正北方向垂直, 从而∠CBD=90° +30° =120° .

在△BCD 中,根据正弦定理,可得 sin∠BCD= BDsin∠CBD 10t· sin 120° 1 = =2, CD 10 3t

∴∠BCD=30° ,∠BDC=30° , ∴BD=BC= 6海里, 6 则有 10t= 6,t= 10 ≈0.245 小时=14.7 分钟. 故缉私船沿北偏东 60° 方向,需 14.7 分钟才能追上走私船. 规律方法 (1)对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三

角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解. (2)根据示意图, 把所求量放在有关三角形中, 有时直接解此三角形解不出来, 需要先在其他三角形中求解相关量. 【训练 3】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海 里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏 西 30° ,相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos θ 等于( ).

21 A. 7 3 21 C. 14

21 B. 14 21 D. 28

解析

如图所示,在△ABC 中,AB=40 海里,AC=20 海里,∠BAC=120° ,

由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos 120° =2 800,故 BC=20 7(海里).

AB 21 由正弦定理,得 sin∠ACB=BC· sin∠BAC= 7 . 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角, 2 7 故 cos∠ACB= 7 . 故 cos θ=cos(∠ACB+30° ) 21 =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 14 . 答案 B

1 . 解三角形实际应用问题的一般步骤是:审题 —— 建模 ( 准确地画出图 形)——求解——检验作答. 2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个平面上利用三角函数求值. 3.解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用 正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角 形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

教你审题 4——破解实际应用中的方向角问题 【典例】 如图,渔船甲位于岛屿 A 的 南偏西60° 方向? 的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔 船甲同时从 B 处出发沿 北偏东α的方向? 追赶渔船乙, 刚好用2小时追上? , 此 时到达 C 处.

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. [审题] 一审条件?:“南偏西 60° ”转化到△ABC 中,即∠BAC=120° ;

二审条件?:“北偏东 α”可得∠BCA=α; 三审条件?:“刚好用两小时追上”指|AC|=20 海里. 解 (1)依题意知,∠BAC=120° ,AB=12 海里,AC=10×2=20(海里),

∠BCA=α,在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120° =784. 解得 BC=28(海里). BC 所以渔船甲的速度为 2 =14(海里/时). (2)由(1)知 BC=28 海里,AB=12 海里,在△ABC 中,∠BCA=α,由正弦定 AB BC 理得sin α=sin 120° . 3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α= = 28 = 14 . BC [反思感悟] 本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系,这也是

解三角形问题在实际应用中的一个易错点,破解此类问题的关键在于结合图形正 确理解“南偏西”、“北偏东”等概念,把相关条件转化为三角形中的内角和边 长,然后利用正弦定理、余弦定理进行求解. 【自主体验】 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行, 30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏 东 70° , 在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东 65° , 那么 B, C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 解析 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30° ,∠ACB=45° , BC AB 根据正弦定理得sin 30° =sin 45° ,解得 BC=10 2(海里). B.10 3海里 D.20 2海里 ).

答案

A

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1. 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站北偏东 40° , 灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° 解析 ).

B.北偏西 10° D.南偏西 10°

灯塔 A,B 的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80° ,∠CAB=∠CBA= 50° ,则 α=60° -50° =10° ,即北偏西 10° . 答案 B

2.在某个位置测得某山峰仰角为 α,对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测 得仰角为 2α,继续在水平地面上前进 300 3 m 后,测得山峰的仰角为 4α,则该 山峰的高度为( A.300 m C.300 3 m ). B.450 m D.600 m

解析

如图所示,易知,在△ADE 中,∠DAE=2α,∠ADE=180° -4α,

AD=300 3 m,由正弦定理,得

900 300 3 sin 4α= sin 2α , 3 解得 cos 2α= 2 , 1 3 则 sin 2α=2,sin 4α= 2 , 3 所以在 Rt△ABC 中山峰的高度 h=300 3sin 4α=300 3× 2 =450(m). 答案 B

3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙 两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45° ,30° ,在水平面上测得电视 塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120° ,甲、乙两地相距 500 m,则电 视塔的高度是( A.100 2 m C.200 3 m 解析 ). B.400 m D.500 m

由题意画出示意图,设塔高 AB=h m,在 Rt△ABC 中,由已知得 BC=h m, 在 Rt△ABD 中,由已知得 BD= 3h m,在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2+ CD2-2BC· CDcos∠BCD,得 3h2=h2+5002+h· 500,解得 h=500(m). 答案 D

4.(2014· 广州调研)如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的 一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上, 石堤的倾斜角为 α,则坡度值 tan α 等于( ).

231 A. 5 231 C. 16 解析

5 B.16 11 D. 5

由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且

∠α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即 3.52=1.42 5 231 +2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得 cos α=16,所以 sin α= 16 ,所以 tan α sin α 231 =cos α= 5 . 答案 A

5.(2013· 哈尔滨模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m, 50 m, BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( ).

A.30° C.60° 解析

B.45° D.75°

依题意可得 AD=20 10 m,AC=30 5 m,又 CD=50 m,所以在△ AC2+AD2-CD2 ?30 5?2+?20 10?2-502 = 2AC· AD 2×30 5×20 10

ACD 中,由余弦定理,得 cos∠CAD= =

6 000 2 = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD=45° ,所以从顶端 A 看建筑物 6 000 2

CD 的张角为 45° . 答案 B

二、填空题 6. 在相距 2 千米的 A, B 两点处测量目标点 C, 若∠CAB=75° , ∠CBA=60° , 则 A,C 两点之间的距离为________千米. 解析 得 由已知条件∠CAB=75° , ∠CBA=60° , 得∠ACB=45° .结合正弦定理,

AB AC 2 AC = ,即sin 45° =sin 60° ,解得 AC= 6(千米). sin∠ACB sin∠CBA

答案 7.

6

(2013· 杭州一中测试)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏 东 30° 处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得 灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析 设航速为 v n mile/h,

1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2 n mile, ∠BSA=45° , 1 2v 8 2 由正弦定理,得 = ,∴v=32 n mile/h. sin 30° sin 45° 答案 32

8.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡前 进 1 000 m 后到达 D 处, 又测得山顶的仰角为 60° , 则山的高度 BC 为________m.

解析

过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30° ,故∠ADE=150° .

于是∠ADB=360° -150° -60° =150° .又∠BAD=45° -30° =15° , 故∠ABD=15° ,由正弦定理得 AB= = 1 000sin 150° sin 15° =500( 6+ 2)(m). ADsin∠ADB sin∠ABD

所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45° =500( 3+1)(m). 答案 500( 3+1)

三、解答题 9.如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的 两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB.



在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, BC CD = , sin∠BDC sin∠CBD

由正弦定理得 所以 BC=

CDsin∠BDC s· sin β = , sin∠CBD sin?α+β? stan θsin β . sin?α+β?

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=

10. (2014· 石家庄模拟)已知岛 A 南偏西 38° 方向,距岛 A 3 海里的 B 处有一艘 缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22° 方向行驶, 问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 小时能截住该走私船? ? 5 3 3 3? ?参考数据:sin 38° = 14 ,sin 22° = 14 ? ? ?



如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上一点,缉私艇

的速度为每小时 x 海里,则 BC=0.5 x,AC=5 海里,依题意,∠BAC=180° -38° -22° =120° , 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 120° ,

所以 BC2=49,BC=0.5 x=7,解得 x=14. 3 5× 2 AC· sin∠BAC 5 3 又由正弦定理得 sin∠ABC= = = BC 7 14 , 所以∠ABC=38° ,又∠BAD=38° ,所以 BC∥AD, 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶, 恰好用 0.5 小时截住该走 私船. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱, 为了测量喷水柱喷出的水柱的 高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏 东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是 ( ). A.50 m C.120 m 解析 B.100 m D.150 m

设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,

AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° ,即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案 A

2.如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° ,测得湖中 之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( ).

A.2.7 m C.37.3 m 解析 在△ACE 中,

B.17.3 m D.373 m

CM-10 CE CM-10 tan 30° = AE = AE .∴AE= tan 30°(m).

DE CM+10 在△AED 中,tan 45° = AE = AE , CM+10 CM-10 CM+10 ∴AE= tan 45°(m),∴ tan 30°= tan 45°, ∴CM= 答案 10? 3+1? =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1

C

二、填空题 3.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了 一条索道 AC.小明在山脚 B 处看索道 AC,此时张角∠ABC=120° ;从 B 处攀登 200 米到达 D 处,回头看索道 AC,此时张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 300 米到达 C 处.则石竹山这条索道 AC 长为________米.

解析

在△ABD 中,BD=200 米,∠ABD=120° .

因为∠ADB=30° ,所以∠DAB=30° . 由正弦定理,得 BD AD = , sin∠DAB sin∠ABD

200 AD 所以sin 30° =sin 120° . 所以 AD= 200×sin 120° sin 30° =200 3(米).

在△ADC 中,DC=300 米,∠ADC=150° , 所以 AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC=(200 3)2+3002-2×200 3 ×300×cos 150° =390 000,所以 AC=100 39(米).故石竹山这条索道 AC 长为 100 39米. 答案 100 39

三、解答题 4.(2014· 武汉二模)如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 千 米/时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距

汽车出发点 O 点的距离为 5 千米、距离公路线的垂直距离为 3 千米的 M 点的地 方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多 大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少千米?



作 MI 垂直公路所在直线于点 I,则 MI=3 千米,

4 ∵OM=5 千米,∴OI=4 千米,∴cos∠MOI=5.设骑摩托车的人的速度为 v 千米/时,追上汽车的时间为 t 小时. 4 由余弦定理,得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×5, 25 400 ?1 ? 即 v2= t2 - t +2 500=25? t -8?2+900≥900, ? ? 1 ∴当 t=8时,v 取得最小值为 30, 30 15 ∴其行驶距离为 vt= 8 = 4 千米. 故骑摩托车的人至少以 30 千米/时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾 15 驶摩托车行驶了 4 千米. 步骤规范练——解三角形 (建议用时:90 分钟) 一、选择题 1 sin2 35° -2 1 B.-2 D.1 1 sin2 35° -2

1.(2013· 山东师大附中月考)化简cos 10° =( cos 80° A.-2 C.-1

).

解析

1-cos 70° 1 1 -2 -2cos 70° 2 =cos 10° = 1 =-1. cos 10° cos 80° · sin 10° sin 20° 2 C

答案

π 3 2.(2014· 潮州二模)在△ABC 中,A=3,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 边 AC 的长为( A.1 C.2 解析 1. 答案 A ). B. 3 D. 2 1 1 3 3 由题意知 S△ABC=2×AB×AC×sin A=2×2×AC× 2 = 2 ,∴AC=

?π ? 3.(2013· 成都五校联考)已知锐角 α 满足 cos 2α=cos?4-α?,则 sin 2α 等于 ? ? ( ). 1 A.2 2 C. 2 解析 1 B.-2 2 D.- 2 π? π ? ? π π? ∵α∈?0,2?,∴2α∈(0,π),4-α∈?-4,4?. ? ? ? ?

π π ?π ? 又 cos 2α=cos?4-α?,2α=4-α 或 2α+4-α=0, ? ? π π ∴α=12或 α=-4(舍). π 1 ∴sin 2α=sin 6=2,故选 A. 答案 A

3 4.(2014· 中山模拟)已知角 A 为△ABC 的内角,且 sin 2A=-4,则 sin A-cos A=( ). 7 A. 2 1 C.-2 解析 7 B.- 2 1 D.2

3 ∵A 为△ABC 的内角,且 sin 2A=2sin Acos A=-4<0,∴sin A>0,

cos A<0,∴sin A-cos A>0.

7 又(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=4. 7 ∴sin A-cos A= 2 . 答案 A

5.(2013· 临沂一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2 A+sin2 C-sin2 B= 3sin Asin C,则角 B 为( π A.6 2 C.3π 解析
2 2 2

).

π B.3 5 D.6π a2+c2-b2 3ac 由正弦定理可得 a +c -b = 3ac,所以 cos B= = 2ac 2ac =

3 π ,所以 B = 2 6. 答案 A ).

6.(2013· 湛江二模)若三条线段的长分别为 3,5,7,则用这三条线段( A.能组成直角三角形 C.能组成钝角三角形 解析 1 =-2<0, 故 A 为钝角,即构成的三角形为钝角三角形. 答案 C B.能组成锐角三角形 D.不能组成三角形

设能构成三角形的最大边为 a=7,所对角为 A,则 cos A=

32+52-72 2×3×5

7.(2013· 安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b +c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=( π A.3 3π C. 4 解析 ). 2π B. 3 5π D. 6 5 由 3sin A=5sin B,得 3a=5b,∴a=3b,

7 代入 b+c=2a 中,得 c=3b.由余弦定理,

a2+b2-c2 1 2π 得 cos C= 2ab =-2,∴C= 3 . 答案 B

5 3 8.(2013· 东北三校联考)设 α,β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α+β)=5,则 cos β=( ). 2 5 B. 5 5 2 5 D. 5 或 25

2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 25 或 5 解析 α,β 都是锐角,

5 2 5 当 cos α= 5 时,sin α= 5 . 5 1 因为 cos α= 5 <2,所以 α>60° . 3 3 又 sin(α+β)=5< 2 , 所以 α+β<60° 或 α+β>120° . 显然 α+β<60° 不可能,所以 α+β 为钝角. 3 4 又 sin(α+β)=5,因此 cos(α+β)=-5, 所以 cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 4 5 3 2 5 -4 5+6 5 2 5 =-5× 5 +5× 5 = = 25 . 25 答案 A

9.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C.8 解析 B.9 D.5 1 化简 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2A-1=0,解得 cos A=5. ).

由余弦定理,知 a2=b2+c2-2bccos A,代入数据,得 b=5.

答案

D

π 10.(2013· 天津卷)在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC =( ). 10 A. 10 3 10 C. 10 解析 10 B. 5 5 D. 5

由余弦定理,得 AC2=BA2+BC2-2BA·

π BCcos B=( 2)2+32-2× 2×3cos4=5. ∴AC= 5,由正弦定理 BC AC = ,得 sin∠BAC sin∠ABC

π 2 3×sin 4 3× 2 BC· sin∠ABC 3 10 sin∠BAC= = = = AC 10 . 5 5 答案 C

二、填空题 π? ?π ? 3 ? π 11. (2013· 浙江五校联盟联考)已知 sin?4-x?=4, 且 x∈?-2,-4?, 则 cos 2x ? ? ? ? 的值为________. 解析 ?π ? ?π ? sin 2x=cos?2-2x?=1-2sin2?4-x? ? ? ? ?

1 ?3? =1-2×?4?2=-8, ? ? π? ? π ∵x∈?-2,-4?, ? ? π? ? ∴2x∈?-π,-2?. ? ? 3 7 ∴cos 2x=- 1-sin2 2x=- 8 . 答案 3 7 - 8

12.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为________.

解析

由△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,可得 B=60° ,又在△ABD

中,AB=1,BD=2,由余弦定理可得 AD= AB2+BD2-2AB· BDcos B= 3. 答案 3

13.(2013· 济宁期末考试)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 2 若 b=1,c= 3,C=3π,则 S△ABC=________. 解析 b c 1 因为 c>b, 所以 B<C, 所以由正弦定理得sin B=sin C, 即sin B= 3 2π sin 3

1 π π 2π π 1 1 =2, 即 sin B=2, 所以 B=6, 所以 A=π-6- 3 =6.所以 S△ABC=2bc sin A=2× 3 1 3 ×2= 4 . 答案 3 4

?π ? ?π π? 14.(2014· 天水模拟)f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1,x∈?4,2?,则 f(x)的最 ? ? ? ? 小值为________ . 解析 ?π ? f(x)=2sin2?4+x?- 3cos 2x-1 ? ?

?π ? =1-cos 2?4+x?- 3cos 2x-1 ? ? π? π π ?π ? ? =-cos?2+2x?- 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?,因为4≤x≤2, ? ? ? ? π? π? π π 2π 1 ? ? 所以6≤2x-3≤ 3 , 所以2≤sin?2x-3?≤1, 所以 1≤2sin?2x-3?≤2, 即 1≤f(x)≤2, ? ? ? ? 所以 f(x)的最小值为 1. 答案 1

三、解答题 1 15. (2014· 金华十校模拟)已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos2x-2, △ABC 三个 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(B)=1. (1)求角 B 的大小; (2)若 a= 3,b=1,求 c 的值.



3 1 (1)因为 f(x)= 2 sin 2x+2cos 2x=

π? ? sin?2x+6?, ? ? π? ? 所以 f(B)=sin?2B+6?=1, ? ? π ?π 13π? 又 2B+6∈?6, 6 ?, ? ? π π π 所以 2B+6=2,所以 B=6. (2)法一 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,

得 c2-3c+2=0,所以 c=1 或 c=2. 法二 a b 由正弦定理sin A=sin B,

3 π 2π 得 sin A= 2 ,所以 A=3或 A= 3 , π π 当 A=3时,C=2,所以 c=2; 2π π 当 A= 3 时,C=6,所以 c=1.所以 c=1 或 c=2. 16.(2013· 韶关调研)△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a, b,c,且满足 csin A- 3acos C=0. (1)求角 C 的大小; 2 7 (2)若 cos A= 7 ,c= 14,求 sin B 和 b 的值. 解 (1)由 csin A- 3acos C=0

得 sin Csin A- 3sin Acos C=0, ∵A 为△ABC 的内角,∴sin A≠0, ∴sin C- 3cos C=0, π 即 tan C= 3,所以 C=3. 2 7 21 (2)由 cos A= 7 ,得 sin A= 7 , ∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C

21 1 2 7 3 3 21 = 7 ×2+ 7 × 2 = 14 . b c 在△ABC 中,由正弦定理sin B=sin C, 3 21 14× 14 csin B 得 b= sin C = =3 2. 3 2 17.(2013· 潍坊一模)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小; →· → =3,求 b+c 的值. (2)若 a=1,AB AC 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得

sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B), 即 3sin Bsin A=cos Asin B,

3 π 所以 tan A= 3 ,故 A=6. π → → (2)由AB· AC=3,得 bccos 6=3,即 bc=2 3,① π 又 a=1,∴1=b2+c2-2bccos 6,② 由①②可得(b+c)2=7+4 3,所以 b+c=2+ 3. 18.(2013· 福建卷)如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90° ,OP=2 2, 点 M 在线段 PQ 上. (1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30° ,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小?并求出面积的最小值.



(1)在△OMP 中,∠OPM=45° ,OM= 5,OP=2 2,

由余弦定理得 OM2=OP2+MP2-2×OP×MP×

cos 45° , 即 MP2-4MP+3=0,解得 MP=1 或 MP=3. (2)设∠POM=α,0° ≤α≤60° , 在△OMP 中,由正弦定理得 所以 OM= OM OP = , sin∠OPM sin∠OMP

OPsin 45° OPsin 45° ,同理,ON= . sin?45° +α? sin?75° +α?

1 故 S△OMN=2×OM×ON×sin∠MON 1 OP2sin2 45° =4× sin?45° +α?sin?75° +α? = = 1 sin?45° +α?sin?45° +α+30° ? 1 ? 3 ? 1 ? sin?45° +α?? sin?45° + α ? + cos ? 45° + α ? 2 ?2 ? 1 3 2 1 sin ? 45° + α ? + +α?cos?45° +α? 2 2sin?45° 1 3 1 +2α)]+ sin?90° (90° +2α? 4 [1-cos 4 1 3 3 1 + sin 2 α + 4 4 4cos 2α . 3 1 ? 4 +2sin?2α+30° 1









因为 0° ≤α≤60° ,30° ≤2α+30° ≤150° , 所以当 α=30° 时,sin(2α+30° )的最大值为 1, 此时△OMN 的面积取到最小值. 即∠POM=30° 时 ,△OMN 的面积的最小值为 8-4 3.

创造并非逻辑推理之结果,逻辑推理只是用来验证已有的创造设想。 ——艾伯特· 爱因斯坦(1879~1955,美国物理学家) 学校要求老师在教育过程中要像艺术家那样,创造性地劳动。首先,老师应 该自己就曾在这样的学校中成长。其次,老师应该有极大的自由去选择教授内容 和教授方法。——爱因斯坦

(B(Z-160mm,80mm,)])]

第1讲 [最新考纲] 1.了解向量的实际背景.

平面向量的概念及其线性运算

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理 1.向量的有关概念

名称 向量

定义 既有大小又有方向的量;向量的 大小叫做向量的长度(或称模) 长度为零的向量;其方向是任意 的 长度等于 1 个单位的向量

备注 平面向量是自由向量

零向量

记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

单位向量 平行向量 共线向量

方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫 做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 0 与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等,不能比 较大小 0 的相反向量为 0

相等向量 相反向量

2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:a+b=b+ 加法 求两个向量和的 运算 平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向 量 减法 -b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 (1)|λa|=|λ||a|; 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (2)当 λ>0 时,λa 的 方向与 a 的方向相 同;当 λ<0 时,λa λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 三角形法则 a-b=a+(-b) 三角形法则 a. (2)结合律:(a+b)+c =a+(b+c)

的方向与 a 的方向相 反;当 λ=0 时,λa =0 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa. 辨 析 感 悟 1.对共线向量的理解 (1)若向量 a,b 共线,则向量 a,b 的方向相同.(×) (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c.(×) (3)(2013· 郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与 2a-b 1 共线,则 λ=-2.(√) 2.对向量线性运算的应用 → +BC → +CD → =AD → .(√) (4)AB → =1(AC → +AB → ).(√) (5)(教材习题改编)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,则AD 2 [感悟· 提升] 1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点可以不同,而

后者必须在同一直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为 两个平行向量可以移到同一直线上. 2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反;如 (1);二是

注重零向量的特殊性,如(2).

考点一 【例 1】 给出下列命题:

平面向量的有关概念

→ =DC → 是四 ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB 边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充 要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中真命题的序号是________. 解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

→ → ②正确.∵AB=DC, → |=|DC → |且AB → ∥DC →, ∴|AB 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; → ∥DC → 且|AB → |=|DC → |,因此,AB →= 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB →. DC ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同; 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b| 且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序 号是②③. 答案 ②③ 对于向量的概念应注意以下几条:

规律方法

(1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也 可以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量, 而平行向量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实 数,故可以比较大小. 【训练 1】 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;② 若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假 命题的个数是( A.0 C.2 解析 ). B.1 D.3 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相等,但方向不一定相

同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向, 二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3.

答案

D 考点二 平面向量的线性运算

【例 2】 (1) (2013· 四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD → +AD → =λ AO → ,则 λ=________. 交于点 O,AB

→ +PB → +PC → =AC →, (2)(2013· 泉州模拟)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且PA 那么一定有( ). → =2PB → B.CP → =2AP → D.PB

→ =2CP → A.PB → =2PB → C.AP 解析

→ +AD → =AC → =2AO → ,∴λ=2. (1)∵AB

→ +PB → +PC → =AC → =PC → -PA →, (2)∵PA → =-2PA → =2AP →. ∴PB 答案 (1)2 (2)D (1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边

规律方法

形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比 例等性质,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用. 【训练 2】 如图,

D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( → +BE → +CF → =0 A.AD → -CF → +DF → =0 B.BD → +CE → -CF → =0 C.AD

).

→ → → D.BD-BE-FC=0 解析 → =FE → ,BE → =DF → ,CF → =ED → ,而FE → +ED → +DF → =0,∴AD → 由题意知:AD

→ +CF → =0. +BE 答案 A 考点三 【例 3】 向量共线定理及其应用

(2013· 郑州一中月考)设两个非零向量 a 与 b 不共线.

→ =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b).求证:A,B,D 三点共线; (1)若AB (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 审题路线 → =BC → +CD → ?用 a,b 表示BD → ?得到BD →与 (1)由向量的加法,得BD

→ 的关系式?由向量共线定理,得BD → 与AB → 共线?再看是否有公共点?得到证明 AB 的结论. (2)假设存在实数 k?利用向量共线定理?列出方程?根据 a, b 是两个不共线 的向量?得出方程组?解得 k 值. (1)证明 → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b). ∵AB

→ =BC → +CD → =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB →. ∴BD → ,BD → 共线,又它们有公共点 B, ∴AB ∴A,B,D 三点共线. (2)解 假设 ka+b 与 a+kb 共线, 则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1. 规律方法 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与

三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a,b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,则向量 a,b 不共线. 【训练 3】 (2014· 西安模拟)已知向量 a,b 不共线,且 c=λa+b,d=a+(2λ

-1)b,若 c 与 d 同向,则实数 λ 的值为________. 解析 由于 c 与 d 同向,所以 c=kd(k>0),

于是 λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b. ?λ=k, 由于 a,b 不共线,所以有? ?2λk-k=1, 1 整理得 2λ2-λ-1=0,所以 λ=1 或 λ=-2. 又因为 k>0,所以 λ>0,故 λ=1. 答案 1

1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图 形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论. 2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解为位置(共线或不共线)与向 量等式之间所建立的对应关系.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向 量满足向量等式 b=λa,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.

方法优化 3——准确把握平面向量的概念和运算 【典例】 (2012· 浙江卷)设 a,b 是两个非零向量.( ).

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| [一般解法] a⊥b 不成立; 选项 B,若 a⊥b 且|a|=|b|,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|= 2|a|≠0,故|a+b| =|a|-|b|不成立; 选项 D,若 b=a,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=2|a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不 成立. 综上,A,B,D 都不正确,故选 C. (排除法)选项 A,若 b=-a,则等式|a+b|=|a|-|b|成立,显然

[ 优美解法 ] |b|)2,

( 数量积法 ) 把等式 |a + b|= |a|- |b|两边平方,得 (a + b)2 = (|a| -

即 2a· b=-2|a|· |b|, 而 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 , 所以 cos〈a,b〉=-1.又因为〈a,b〉∈[0,π], 所以〈a,b〉=π,即 a,b 为方向相反的共线向量.故 C 正确. [反思感悟] 部分学生做错的主要原因是:题中的条件“|a+b|=|a|-|b|”在

处理过程中误认为“|a+b|=|a-b|”,从而得到“a⊥b”这个错误的结论. 【自主体验】 → =a,OB → =b,OD 是 AB 边上的高,若AD → =λAB → ,则实数 λ 在△OAB 中,OA =( ). A. C. a· ?a-b? |a-b| B. a· ?b-a? |a-b| a· ?b-a? |a-b|2

a· ?a-b? |a-b|2 → =λAB → ,∴|AD → |=λ|AB → |. 由AD

D.

解析

a· ?a-b? a· ?a-b? → |=|a|cos A=|a|· 又∵|AD = , |a||b-a| |b-a| → |=|b-a|,∴λ= |AB 答案 C a· ?a-b? a· ?a-b? .故选 C. 2 = |b-a| |a-b|2

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.若 O,E,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → =OF → +OE → A.EF → =-OF → +OE → C.EF 解析 → =OF → -OE →. 由图可知EF → =OF → -OE → B.EF → =-OF → -OE → D.EF ).

答案

B ).

→ +CD → +EF → 等于( 2. (2014· 汕头二模)如图, 在正六边形 ABCDEF 中, BA

A.0 → C.AD 解析 →. =CF 答案 D

→ B.BE → D.CF

→ +CD → +EF → =DE → +CD → +EF → =CE → +EF → 因为 ABCDEF 是正六边形, 故BA

3.对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析

).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

若 a+b=0,则 a=-b,所以 a∥b.若 a∥b,则 a=λb,a+b=0 不一

定成立,故前者是后者的充分不必要条件. 答案 A

→ =a,OB → =b,OC → =c,OD → =d,且四边形 ABCD 4.(2013· 大连联考)已知OA 为平行四边形,则( A.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 解析 ). B.a-b-c+d=0 D.a+b+c+d=0

→ =DC → ,故AB → +CD → =0,即OB → -OA → +OD → -OC → =0,即 依题意得,AB

→ -OB → +OC → -OD → =0,则 a-b+c-d=0. 有OA 答案 A

→ =AB →+ 5.(2014· 兰州质检)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM → ,则△ABM 与△ABC 的面积比为( 3AC ).

1 A.5 3 C.5 解析

2 B.5 4 D.5

→ =AB → +3AC →, → -3AC → =2AD → -2AM →, → 设 AB 的中点为 D, 由 5AM 得 3AM 即 3CM → .如图所示,故 C,M,D 三点共线,且MD → =3CD → =2MD 5 ,也就是△ABM 与△ABC 3 对于边 AB 的两高之比为 3∶5,则△ABM 与△ABC 的面积比为5,选 C. 答案 C

二、填空题 6.(2014· 湖州月考)给出下列命题: → 的长度与向量BA → 的长度相等; ①向量AB ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → 与向量CD → 是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上. ⑤向量AB 其中不正确命题的序号是________. 解析 → 与BA → 为相反向量, ①中,∵向量AB

∴它们的长度相等,此命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量,则满足 a 与 b 平行,但 a 与 b 的方向不一定相同或 相反,∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必 定相同,∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错 误.

→ → ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是共线向量,则 A,B, C,D 四点不一定在一条直线上,∴该命题错误. 答案 ②④⑤

→ =a,AD → =b,AN → =3NC → ,M 为 BC 的中点,则MN →= 7.在?ABCD 中,AB ________.(用 a,b 表示) 解析 → =3NC → ,得 4AN → =3 AC → =3(a+b),AM → =a+1b,所以MN → =3(a 由AN 2 4

1 ? 1 1 ? +b)-?a+2b?=-4a+4b. ? ? 答案 1 1 -4a+4b

→ =2a+pb,BC → =a+b,CD → 8.(2014· 泰安模拟)设 a,b 是两个不共线向量,AB =a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为________. 解析 → =BC → +CD → =2a-b,又 A,B,D 三点共线, ∵BD

2=2λ, → =λBD → .即? ? ∴存在实数 λ,使AB ∴p=-1. ?p=-λ, 答案 -1

三、解答题 9.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a, 1 tb,3(a+b)三向量的终点在同一条直线上? 解 → =a,OB → =tb,OC → =1(a+b), 设OA 3

→ =OC → -OA → =-2a+1b,AB → =OB → -OA → =tb-a. ∴AC 3 3 → =λAB →. 要使 A,B,C 三点共线,只需AC 2 1 即-3a+3b=λ(tb-a)=λtb-λa. 又∵a 与 b 为不共线的非零向量,

2 ? ?-3=-λ, ∴有? 1 ? ?3=λt

2 ? ?λ=3, ?? 1 t = ? ? 2.

1 ∴当 t=2时,三向量终点在同一直线上. → =a, → =b, → =1BC →, → =1CD → 10. 如图, 在平行四边形 OADB 中, 设OA OB BM CN 3 3 . → ,ON → 及MN →. 试用 a,b 表示OM



→ =1BC → 由题意知,在平行四边形 OADB 中,BM 3

1→ 1 → → 1 1 1 =6BA =6(OA-OB)=6(a-b)=6a-6b, → =OB → +BM → =b+1a-1b=1a+5b. 则OM 6 6 6 6 → =2OD → =2(OA → +OB → )=2(a+b)=2a+2b, ON 3 3 3 3 3 → =ON → -OM → =2(a+b)-1a-5b=1a-1b. MN 3 6 6 2 6 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2013· 济南一模)已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重 1→ 1→ → =1? ?2OA+2OB+ 心, 动点 P 满足OP 3? A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 解析 1→ 1→ → → =1(OM → +2OC → )=1OM → 设 AB 的中点为 M,则2OA +2OB=OM,∴OP 3 3 → , 则点 P 一定为三角形 ABC 的( 2OC

)

).

2→ → → → → → +3OC,即 3OP=OM+2OC,也就是MP=2PC,∴P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个三等分点. 答案 B

→ =x 2.在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若AO → +(1-x)AC → ,则实数 x 的取值范围是( AB A.(-∞,0) C.(-1,0) 解析 ). B.(0,+∞) D.(0,1)

→ =λ BC → (λ>1),则AO → =AB → +BO → =AB → +λ BC → =(1-λ)AB → +λ AC →, 设BO

→ =x AB → +(1-x)AC → ,所以 x AB → +(1-x)AC → =(1-λ)AB → +λ AC → .所以 λ=1-x 又AO >1,得 x<0. 答案 A

二、填空题 → -OC → |=|OB → +OC → -2OA → |, 3. 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足|OB 则△ABC 的形状为________. 解析 → +OC → -2OA → =OB → -OA → +OC → -OA → =AB → +AC →, OB

→ -OC → =CB → =AB → -AC → ,∴|AB → +AC → |=|AB → -AC → |. OB 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形

三、解答题 → 4.在△ABC 中,E,F 分别为 AC,AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB → =b,试用 a,b 表示AG →. =a,AC



→ =AB → +BG → =AB → +λBE → AG

λ? → λ → → → + λ (BA → +BC → )=? ?1-2?AB =AB +2(AC-AB) 2 ? ?

λ → λ→ =(1-λ)AB+2AC=(1-λ)a+2b. → =AC → +CG → =AC → +m CF → =AC → +m(CA → +CB →) 又AG 2 → +mAB → =ma+(1-m)b, =(1-m)AC 2 2 m 1 - λ = ? ? 2, ∴? λ ? ?1-m=2, 2 → =1a+1b. 解得 λ=m=3,∴AG 3 3 第2讲 [最新考纲] 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 平面向量基本定理及坐标表示

知 识 梳 理 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
2 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|= x1 +y2 1.

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → =(x -x , → |= ?x -x ?2+?y -y ?2. ②设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则AB |AB 2 1 y2-y1), 2 1 2 1 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0.

辨 析 感 悟 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(×) (2)若 a,b 不共线,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2.(√) (3)(2013· 广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解, 有下列四个命题,请判断它们的正误: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c.(√) ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc;(√) ③给定单位向量 b 和正数 μ, 总存在单位向量 c 和实数 λ, 使 a=λb+μc; (√) ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μc.(×) 2.平面向量的坐标运算 → =(-3,2).(√) (4)(教材习题改编)已知点 A(2,1),B(-1,3),则AB x1 y1 (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成x =y .(×)
2 2

(6)(2013· 湘潭调研改编)已知向量 a=(4,x),b=(-4,4),若 a∥b,则 x 的值 为-4.(√) [感悟· 提升] 1. 向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中, 以原点为起点的向量

→ =a,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x, OA → =(x,y). y),但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA → 平行移动到O → → → → 当平面向量OA 1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x,y),但O1A1的 起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化. 2.两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的,如(1).二

是注意运用两个向量 a,b 共线坐标表示的充要条件应为 x1y2-x2y1=0,如(5).

考点一 【例 1】

平面向量基本定理的应用

如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,

→ =c,AN → =d,试用 c,d 表示AB → ,AD →. 已知AM



法一

→ =a,AD → =b, 设AB

1 ? → +NB → =d+? ?-2b?,① 则 a=AN ? ? 1 ? → +MD → =c+? ?-2a?.② b=AM ? ? ? 1?? ? 1 ?? 将②代入①,得 a=d+?-2??c+?-2a??, ? ?? ? ?? 4 2 2 ∴a=3d-3c=3(2d-c),③ 2 ? 1? 2 将③代入②,得 b=c+?-2?× (2d-c)= (2c-d). 3 3 ? ? → =2(2d-c),AD → =2(2c-d). ∴AB 3 3 法二 → =a,AD → =b. 设AB

因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN=2b,DM=2a, 1 c = b + ? ? 2a, 因而? 1 d = a + ? ? 2b 2 a = ? ? 3?2d-c?, ?? 2 b = ? ? 3?2c-d?,

→ =2(2d-c),AD → =2(2c-d). 即AB 3 3 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法

则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. → =1NC → → → 【训练 1】 如图,在△ABC 中,AN 3 ,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB 2→ +11AC ,则实数 m 的值为________.

解析

→ |=y,|PN → |=x, 设|BP

x → → =AN → +NP → =1AC → 则AP 4 -x+yBN,① → =AB → +BP → =AB → + y BN → ,② AP x+y → = x AB → + y AC →, ①×y+②×x 得AP x+y 4?x+y? 令 y 2 8 3 =11,得 y=3x,代入得 m=11. 4?x+y? 3 11 考点二 平面向量的坐标运算

答案

→ =a,BC → =b,CA →= 【例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB → =3c,CN → =-2b. c,且CM (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → 的坐标. (3)求 M,N 的坐标及向量MN 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)= (6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5), ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. → =OM → -OC → =3c, (3)设 O 为坐标原点,∵CM → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴M 的坐标为(0,20).

→ → → 又CN=ON-OC=-2b, → =-2b+OC → =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴ON ∴N 的坐标为(9,2), → =(9-0,2-20)=(9,-18). ∴MN 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.若已

知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想 的运用及运算法则的正确使用. 1 3 【训练 2】 (1)已知平面向量 a=(1,1), b=(1, -1), 则向量2a-2b=( A.(-2,-1) C.(-1,0) B.(-2,1) D.(-1,2) ).

→ =(2,4),AC → =(1,3),则 (2)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB → =( BD ). B.(-3,-5) D.(2,4)

A.(-2,-4) C.(3,5) 解析

3? 1 ?1 1? 3 ?3 (1)2a=?2,2?,2b=?2,-2?, ? ? ? ?

1 3 故2a-2b=(-1,2). → = AD → - AB → = BC → - AB → = ( AC → - AB → ) - AB → = AC → - 2 AB → = (1,3) - (2) 由题意得 BD 2(2,4)=(-3,-5). 答案 (1)D (2)B 考点三 【例 3】 平面向量共线的坐标表示

平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).

(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d 的坐标. 审题路线 (1)分别求出(a+kc)与 (2b-a)的坐标?利用向量平行的充要条件

列方程?解关于 k 的方程; (2)设 d 的坐标?根据已知条件列出方程组?解方程组, 得到 d 的坐标.



(1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),

由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 16 解得 k=-13. (2)设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1), 又 a+b=(2,4),|d-c|= 5, ?4?x-4?-2?y-1?=0, ?x=3, ?x=5, ∴? 解得? 或? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5, ?y=-1 ?y=3. ∴d 的坐标为(3,-1)或(5,3). 规律方法 a∥b 的充要条件有两种表达方式:

(1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R); (2)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 两种充要条件的表达形式不同.第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有 前提条件 b≠0,而第(2)种无 b≠0 限制. 【训练 3】 (1)(2013· 陕西卷)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实 数 m 等于( A.- 2 C.- 2或 2 ). B. 2 D.0

(2)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1), C(4,2),则点 D 的坐标为________. 解析 (1)∵a∥b,∴1×2=m×m,解得 m=± 2.

→ =2 AB →. (2)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,∴DC 设点 D 的坐标为(x,y),则 → DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), → =(2,1)-(1,2)=(1,-1), AB ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), ?4-x=2, ?x=2, ∴? 解得? 故点 D 的坐标为(2,4). ?2-y=-2, ?y=4, 答案 (1)C (2)(2,4)

1. 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则, 将向量进行 分解. 2. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示, 其中坐标运算法则是运算的关 键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而向量可以解决平 面解析几何中的许多相关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.

思想方法 4——方程思想在平面向量线性运算中的应用 → =1OA → ,OD → =1OB → 【典例】 如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 ,AD 与 BC 相交 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. 于点 M,设OA



→ =ma+nb,则AM → =OM → -OA → =ma+nb-a=(m-1)a+nb. 设OM

→ =OD → -OA → =1OB → -OA → =-a+1b. AD 2 2 → 与AD → 共线. 又∵A,M,D 三点共线,∴AM → =t AD →, ∴存在实数 t,使得AM 1 ? ? 即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+2tb. m-1=-t, ? ? ? t n=2, ? ? 即 m+2n=1.① 1? → =OM → -OC → =ma+nb-1a=? ?m-4?a+nb, 又∵CM 4 ? ? → =OB → -OC → =b-1a=-1a+b. CB 4 4

消去 t 得,m-1=-2n,

→ → 又∵C,M,B 三点共线,∴CM与CB共线. 1? → =t CB → ,∴? ?m-4?a+nb= ∴存在实数 t1,使得CM 1 ? ? 1 1 ? ?m- =- t1, ? 1 ? 4 4 t1?-4a+b?,∴? ? ? ? ?n=t1, 消去 t1 得,4m+n=1.② 1 3 → =1a+3b. 由①②得 m=7,n=7,∴OM 7 7 [反思感悟] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,

要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去. (2)利用向量共线建立方程组,用方程的思想求解. (3)本题难点是找不到问题的切入口,并且解题过程复杂,有一定的难度. 【自主体验】 1.设 e1,e2 是平面内一组基底,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基底 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb.

又 a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以 e1+e2=m(e1+2e2)+ n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2. 又 e1,e2 是平面内一组基向量, 2 m=3, ? ? m - n = 1 , ? 所以? 则? 1 ?2m+n=1, ?n=-3. ? 答案 2 3 1 -3

x? ? 2.已知向量 a=?8,2?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x= ? ? ________. 解析 x ? ? a-2b=?8-2x,2-2?,2a+b=(16+x,x+1), ? ?

?x ? 由题意得(8-2x)· (x+1)=?2-2?· (16+x), ? ?

整理得 x2=16,又 x>0,所以 x=4. 答案 4

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 温岭中学冲刺考试)若 e1,e2 是平面内的一组基底,则以下的四组向 量中不能作为一组基底的是( A.e1,2e2 C.-e1+e2,e1-e2 解析 答案 ). B.e1,e1-e2 D.e1+e2,e1-e2

-e1+e2 与 e1-e2 是一组共线向量,不能作为基底. C

→ =3a,则点 B 的坐 2.(2014· 揭阳二模)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB 标为( ). B.(7,14) D.(5,14)

A.(7,4) C.(5,4) 解析

→ =(x+1,y-5). 设点 B 的坐标为(x,y),则AB

x+1=6, ?x=5, → =3a,得? ? 由AB 解得? ?y-5=9, ?y=14. 答案 D

→ =x OA → +y OB → ,且BP → =2 3.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP → ,则( PA ).

2 1 A.x=3,y=3 1 3 C.x=4,y=4 解析

1 2 B.x=3,y=3 3 1 D.x=4,y=4

→ =OB → +BP → ,又BP → =2 PA → ,所以OP → =OB → +2BA → = OB → +2 由题意知OP 3 3

2→ 1→ 2 1 → → (OA-OB)=3OA+3OB,所以 x=3,y=3. 答案 A ).

4. (2013· 惠州模拟)已知向量 a=(-1,1), b=(3, m), a∥(a+b), 则 m=( A.2 C.-3 解析 =-3. 答案 C B.-2 D.3

a+b=(2,m+1),由 a∥(a+b),得(-1)×(m+1)-2×1=0,解得 m

→ =2PC → ,点 Q 是 AC 的 5.(2014· 许昌模拟)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP → =(4,3),PQ → =(1,5),则BC → 等于( 中点,若PA A.(-2,7) C.(2,-7) 解析 答案 ).

B.(-6,21) D.(6,-21)

→ =3 PC → =3(2 PQ → -PA → )=6 PQ → -3 PA → =(6,30)-(12,9)=(-6,21). BC B

二、填空题 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b的值为________. 解析 → =(a-2,-2),AC → =(-2,b-2), AB

依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以a+b=2. 答案 1 2

→ =(3,-4),OB → =(0,-3),OC → =(5-m,-3-m),若点 A, 7.已知向量OA B,C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是________. 解析 → =(-3,1),AC → =(2-m,1-m),若 A,B,C 能构成三角形, 由题意得AB

→ ,AC → 不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得 m≠5. 则AB 4 答案 5 m≠4

1 8.(2013· 江苏卷)设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=2AB, 2 → =λ AB → +λ AC → (λ ,λ 为实数),则 λ +λ 的值为________. BE=3BC.若DE 1 2 1 2 1 2 解析 → =DB → +BE → =1AB → +2BC → =1AB → +2(BA → +AC → )=-1AB → +2AC → 所以 λ DE 1 2 3 2 3 6 3 ,

1 2 =-6,λ2=3, 1 即 λ1+λ2=2. 答案 1 2

三、解答题 9.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时 它们是同向还是反向? 解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 法一 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ 使 ka+b=λ(a-3b),由(k

-3,2k+2)=λ(10,-4)得, ?k-3=10λ, 1 ? 解得 k=λ=-3, ?2k+2=-4λ. 1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行, 1 1 这时 ka+b=-3a+b=-3(a-3b). 1 ∵λ=-3<0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 法二 ∵ka+b 与 a-3b 平行,

1 ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=-3, 2 ? 1 ? 1 此时 ka+b=?-3-3,-3+2?=-3(a-3b). ? ? 1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. → =t OA → +t AB →. 10.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM 1 2

(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点都共线. (1)解 → =t OA → +t A→ OM 当点 M 在第二或第 1 2 B =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).

?4t2<0, 三象限时,有? ?2t1

...届高考数学第一轮复习细致讲解练:第三篇 三角函数、...

【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015高考数学第一轮复习细致讲解练:第三篇 三角函数解三角形_数学_高中教育_教育专区。第三篇 三角函数解三角形 第...

2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数与解三角形

2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。三角函数与解三角形 1.【2015 高考福建,文 6】若 sin ? ? ? A. 12 5 B. ? ...

2015年高考文科数学试题分类解析之三角函数与解三角形

2015年高考文科数学试题分类解析之三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。...? ? 于( A. 12 5 5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等 13 5 ...

2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解...

2018版高考数学大一轮复习第四三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用教师用书文新人教版_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 第四三角函数...

...高考总复习专项演练:第四章 三角函数、解三角形 4-4...

2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练:第四三角函数解三角形 4-4 Word版_数学_高中教育_教育专区。4-4 A 组 专项基础训练 (时间...

2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同...

2018版高考数学大一轮复习第四三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书文新人教版_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 第四...

...检测(三)三角函数与解三角形 Word版含答案

人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(三)三角函数与解三角形 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。温馨提示: 此套题为 Word ...

...高考总复习专项演练:第四章 三角函数、解三角形 4-7...

2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练:第四三角函数解三角形 4-7 Word版_数学_高中教育_教育专区。4-7 A 组 专项基础训练 (时间...

...高考总复习专项演练:第四章 三角函数、解三角形 4-3...

2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练:第四三角函数解三角形 4-3 Word版_数学_高中教育_教育专区。4-3 A 组 专项基础训练 (时间...

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作...

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第三三角函数解三角形 第四节_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业一、选择题 π 1.函数...