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高中数学选修4-4 简单曲线的极坐标方程(第二课时)


复习
1、极坐标系的四要素 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ? ? 0,? ? [0,2? ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x

x ? ? cos? , y ? ? sin?

1、半径为a的圆的圆心

坐标为(a,0)(a>0)的 圆的极坐标方程 ?=2a cos ? ...........(1) 2、以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标 方程

? ? r.........(2)

3.半径为a的圆的圆心坐标为 C ? a,?1 ? a>0)的 圆的方程

4、以 ? ?1 ,?1为圆心,r为半径的圆的极坐标方 ? 程 2 2 2

? ? 2a cos(? ? ?1 )........(3)

? ? 2 ??1 cos(? ? ?1 ) ? ? ?1 ? r ? ? 0........(4)

练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

?=2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ? (3)中心在(a,?/2),半径为a; ?=2asin ?

(4)中心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

4、圆?=10 cos( ? ? )的圆心坐标是 ( C ) 3 ? ? 2? C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 ,? ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 ? 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程,并把它化成直角坐标方程。 ? 解:?=4 cos(? ? ) ? 4sin ?
2 化为直角坐标系为? 2=4 ? sin ?
2 2 2 2

?

即x ? y ? 4 y   x ? ( y ? 2) ? 4

6、已知圆C1 : ? ? 2cos ? ,圆C2 : ? 2 ? 2 3? sin ? ? 2 ? 0, 试判断两圆的位置关系。
解:将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1,圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 ? 2所以两圆相外切。

7、从极点O作圆C:?=8cos ?的弦ON, 求ON的中点的轨迹方程。
M

N

解:如图,圆C的圆心(4, 0), 半径r ? OC ? 4,

O

C(4,0)

连结CM , M 是弦ON的中点 ? ? CM ? ON , 所以,动点M 的轨迹方程是?=4 cos ?

四 直线的极坐标方程:

思考:在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;

例1:

? ⑴求过极点,倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4

? ?

?
4

M

( ? ? 0)
o

? 4

x

5? (2)求过极点,倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。

5 ? ? ? ( ? ? 0) 4 ? (3)求过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ? ? ( ? ? 0) 和 ? ? ? ( ? ? 0) 4 4

?

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形

式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不
方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以

取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可
以表示为

??

?

4

( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。(学生们先自己尝试做) 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ? , ? ) M 为直线L上除点A外的任意一点, ? 连接OM 在 Rt ?MOA 中有 ﹚? OM cos ?MOA ? OA o A x 即

? cos? ? a

可以验证,点A的坐标也满足上式。
交流做题心得归纳解题步骤:

求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点;

3、连接MO;
4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程, 并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习1求过点A (a,?/2)(a>0),且平行于 极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系, 设点 M ( ? , ? ) 为直线L上除点

A
o

A外的任意一点,连接OM
在 Rt ?MOA 中有

? ﹚?

M x

IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ? sin ? =a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

课堂练习2 设点A的极坐标为 ( a , 0) ,直线 l 过点 A且与极轴所成的角为? ,求直线l 的极坐标方程。 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ? , ? ) 为直线 l 上异于A点的任意一点,连接OM, 在 ?MOA 中,由正弦定理 得 M


? a ? ? ﹚ ﹚? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) o A

?

x

化简得

? sin(? ? ? ) ? a sin?

显然A点也满足上方程

例3:设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ),直线 l 过点P且 与极轴所成的角为? ,求直线 l 的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? )为直线上除点P外 的任意一点,连接OM,则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1 设直线L与极轴交于点A。则在?MOP 中 ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 ) M ? 由正弦定理得 OM ? OP ?1 P sin ?OPM sin ?OMP ?1 ? ? ? 即 ﹚?1 ﹚ sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? ) o x A ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 显然点P的坐标也是上式的解。

练习3 求过点P(4,?/3)且与极轴夹角为?/6的直线 l 的 方程。

? sin(? ? ) ? 2
6

?

直线的几种极坐标方程 1、过极点

l

? ? ? 0( ? ? R)

o ﹚
?

?

M A M x

2、过某个定点垂直于极轴

? cos? ? a

o

﹚? A

3、过某个定点平行于极轴 o x ? sin ? =a 4、过某个定点 ( ?1 ,?1 ) ,且与极轴成的角度a M ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) ?
?1

? ﹚?

o

? ﹚1

P ? ﹚ x A

小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)求曲线的极坐标方程的步骤 (3)会求圆的极坐标方程 (3)会求直线的极坐标方程


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