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数学分析第七讲

时间:2012-12-30


第十二章 多元函数的微分学
第三学期 第7讲

§1. 偏导数与全微分
五. 高阶微分
对 z ? f ( x, y) 的一阶微分

dz ?

?z ?z dx ? dy ?x ?y

它仍是 x, y 的二元函数,若它可微,则它的微分称为 f ( x, y ) 的二阶微分, 记为

d 2 z ? d (dz )
一般地, k 阶微分的微分称为 k ?1阶微分,记为

d k ?1 z ? d (d k z ), k ? 1,2,3, ???
二阶及以上阶的微分统称为高阶微分.

注: dx, dy即?x, ?y 是独立于 x, y 的,故 d (dx) ? 0, d (dy) ? 0.

§1. 偏导数与全微分
1. 对 z ? f ( x, y) ,其二阶微分为

d 2 z ? d (dz )
? d( ?z ?z ?z ?z dx ? dy ) ? d ( dx) ? d ( dy) ?x ?y ?x ?y ?z ?z ) ? dy ? d ( ) ?x ?y

? dx ? d (

?2 z ?2 z ?2 z ?2 z ? dx ? ( 2 dx ? dy ) ? dy ? ( dx ? 2 dy ) ?x ?y?x ?x?y ?y ?2 z 2 ?2 z ?2 z 2 ? 2 dx ? 2 ? dxdy ? 2 dy ?x ?x?y ?y

§1. 偏导数与全微分
? ? 2.把 , 看成求偏导数的运算符号,并约定 ?x ?y

? 2 ?2 ? ? ?2 ? 2 ?2 ( ) ? 2 , ( )( ) ? , ( ) ? 2 , ??? ?x ?x ?x ?y ?x?y ?y ?y
则各阶微分公式可简写为: ? ? ? ? dz ? (dx ? dy ) z , d 2 z ? (dx ? dy ) 2 z , ?x ?y ?x ?y ?? 一般地,有

? ? ? dy )k z, k ? 1,2,3, ??? ?x ?y 3.对 n 元函数 u ? f ( x1 , x2 , ???, xn ) ,有 d k z ? (dx
d k u ? (dx1 ? ? ? k ? dx2 ? ??? ? dxn ) u, k ? 1,2,3, ??? ?x1 ?x2 ?xn

§1. 偏导数与全微分
例:设 u ? xyz, 求d 3u.

解:易知
? 3u ? 3u ? 3u ? 3u ? 3u ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ?x ?y ?z ?x ?y ?x?y 2 ? 3u ? 3u ? 3u ? 3u ? 2 ? ? 2 ? ?0 2 2 ?x ?z ?x?z ?y ?z ?y?z

?

? 3u ?1 ?x?y?z ? ? ? d 3u ? (dx ? dy ? dz )3 u ? 6dxdydz ?x ?y ?z

§1. 偏导数与全微分
例:设 z ? e x sin y, 求d k z.
解:
d k z ? (dx
k

? ? ? dy ) k z ?x ?y ? i ? ) (dy ) k ?i )(e x sin y ) ?x ?y

? (? Cki (dx
i ?0 k

? i e x i ? k ?i sin y k ?i ? ? Cki dx dy i k ?i ?x ?y i ?0 ? ? Cki e x sin( y ?
k ?0 k

k ?i ? )dx i dy k ?i 2

§1. 偏导数与全微分
x

例:设 z ? e y , 验证2 x
2

?z ?z ? y ? 0. ?x ?y
x

?z 1 y2 ?z 2 x y2 证明: ? e , ?? 3 e ?x y 2 ?y y ? ?z ?z 2 x y 2 x y2 2x ? y ? 2 e ? 2 e ? 0 ?x ?y y y
2

x

x

x

例:设 f ( x, y ) ?

1 ? sin x, 求df (0,1), df ( , 2). y2 4

解:
? ?

?f 1 ?f 2 ? 2 cos x, ? ? 3 sin x ?x y ?y y
df ? 1 2 cos xdx ? 3 sin xdy y2 y

df (0,1) ? dx,

? 2 2 df ( , 2) ? dx ? dy. 4 8 8

§1. 偏导数与全微分
例:函数 z ? f ( x, y) 满足
?z 1 ? ? sin y ? , ?x 1 ? xy f (0, y) ? 2sin y ? y 3 ,

求 f ( x, y ) 的表达式.

解:在 f x ( x, y ) ? ? sin y ?

1 两边对 x 积分,得到 1 ? xy

1 f ( x, y ) ? ? x sin y ? ln(1 ? xy ) ? g ( y ) y
将 f (0, y) ? 2sin y ? y3 代入上公式,得到

g ( y) ? 2sin ? y3
? 1 f ( x, y ) ? (2 ? x)sin y ? ln(1 ? xy ) ? y 3 . y

§1. 偏导数与全微分
例:设 f (r , t ) ? t ? e
解: 由于
? r2 4t

,确定? ,使

?f 1 ? ?f ? 2 (r 2 ) . ?t r ?r ?r

?f 1 ? (? t ? ?1 ? t ? ?2 r 2 )e ?t 4
2

?

r2 4t

,

?f 1 ? ? t ? ?1re ?r 2

?

r2 4t

? 2 ?f ?f ? f 3 1 (r ) ? 2r ? r 2 2 ? (? t ? ?1r 2 ? t ? ?2 r 4 )e ?r ?r ?r ?r 2 4 代入方程后可得

?

r2 4t

? t ? ?1 ? t ? ?2 r 2 ? ? t ? ?1 ? t ? ?2 r 2
3 解得? ? ? . 2

1 4

3 2

1 4

§1. 偏导数与全微分

作业 P154: 17(1)(2) , 19