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高中数学选修2-3(人教A版)第三章3.1统计案例知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章统计案例 3.1回归分析的基本思想及其初步应用

一、学习任务 了解最小二乘法,会求两个具有线性相关关系的变量的回归直线方程,并利用回归直线方程进行预报.

二、知识清单
回归分析

三、知识讲解
1.回归分析 描述: 回归分

析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 线性相关系数 对于变量 X 与变量 Y 随机抽取到的 n 对数据 (x 1 , y 1 ),(x2 , y 2 ),?,(x n , y n ),利用相关系数 r 来 衡量两个变量之间线性关系,样本相关关系的具体的计算公式为

r=

? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?, n n 2 ? ) ∑ (y i ? y ? )2 √ ∑ (x i ? x
i=1 i=1

i=1

? )(y i ? y ?) ∑ (x i ? x

n

当 r > 0 时,表明两个变量正相关,当 r < 0 时,表明两个变量负相关. |r| 越接近于 1 ,表明两个变量的线性相关性越强,当 |r| > 0.632 时,我们有 95% 的把握认为两个变 量之间具有线性相关关系. |r| 接近于 0 ,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系. 随机误差 (1)随机误差:在线性回归模型 y = bx + a + e 中,a 、b 为模型的未知参数,e 是 y 与 y ^ = bx + a 之间的误差,通常 e 为随机变量,称为随机误差(random error). 它的均值 E(e) = 0 ,方差 D(e) = δ 2 > 0.这样线性回归模型的完整表达式为

{

y = bx + a + e, E(e) = 0, D(e) = δ 2 .

回归方程 y ^=^ ^ 是实际回归方程 y ^ = bx + a 的一个估计量.由于随机误差为 e = y ? y ^ bx + ^ a 中的 y ,所以 e ^ = y?y ^ 是 e 的估计量. (2)残差分析:对于样本点 (x1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ),?,(x n , y n ) 而言,它们的随机误差为

ei = y i ? bxi ? a, i = 1, 2, ? , n.
其估计值为 e ^i = y i ? y ^i = y i ? ^ ^ i 称为相应点 (xi , y i ) 的残 b xi ? ^ a ,i = 1 ,2 ,?,n,e 差(residual). 我们可以利用图形来分析残差特性.作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,这样作出的图形

为残差图.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度 越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. 还可以用 R 2 = 1 ?
i=1 n

^ i )2 ∑ (y i ? y
i=1

n

? )2 ∑ (y i ? y
n i=1

来刻画回归的效果.R 2 表达式中的 ∑ (y i ? y ? )2 为确定的数.因此
i=1

n

^ i )2 越小,即模型的拟合效果越好;R 2 越小,残差平方和越大, R 2 越大,意味着残差平方和 ∑ (y i ? y
即模型的拟合效果越差;R 2 越接近于 1 ,表示回归的效果越好. 例题: 下列结论正确的是(


①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. A.①② 解:C 由相关关系的有关概念得出. B.①②③ C.①②④ D.①②③④

假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元),有如下的统计资料:

x y

2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

若由资料可知 y 对 x 呈线性关系. (1)试求线性回归方程; (2)估计使用年限为 10 时,维修费用是多少? 解:(1)列表如下:

i xi yi xi y i x2 i
5 5 i=1 i=1

1 2 2 3 2.2 3.8 4.4 11.4 4 9

3 4 4 5 5.5 6.5 22.0 32.5 16 25

5 6 7.0 42.0 36

计算得 x ? = 4,y ? = 5, ∑ x2 i = 90 , ∑ x i y i = 112.3 .
i=1

于是 b =

?y ? ∑ xi y i ? 5x
i=1

5

? ∑ x2 i ? 5x

5

2

=

112.3 ? 5 × 4 × 5 90 ? 5 × 4 2

? ? bx ? = 5 ? 1.23 × 4 = 0.08 . = 1.23 ,a = y

所以,线性回归方程为 y = bx + a = 1.23x + 0.08. (2)当 x = 10 时,y = 1.23 × 10 + 0.08 = 12.38(万元),即估计使用 10 年时,维修费用约为 12.38 万元. 两个变量 x 和 y 的 7 组数据如下表所示:

x y

21 7

23 25 11 21

27 24

29 66

32 115

35 325

试判断 x 与 y 之间是否有线性相关关系? 解:由上表计算得

1 (21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 32 + 35) ≈ 27.4, 7 1 ? = (7 + 11 + 21 + 24 + 66 + 115 + 325) ≈ 81.3, y 7 ?= x
7 i=1 7 i=1 7 i=1

2 2 2 2 2 2 2 ∑ x2 i = 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 32 + 35 = 5414,

∑ xi y i = 21 × 7 + 23 × 11 + ? + 35 × 325 = 18542, ∑ y i2 = 7 2 + 112 + ? + 325 2 = 124393.
所以

r=

18542 ? 7 × 27.4 × 81.3 2948.66 i=1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?= ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ≈ 3520.92 = 0.8639. 7 7 √(5414 ? 7 × 27.4 2 ) × (124393 ? 7 × 81.3 2 ) √( ∑ x 2 ? 2 )( ∑ y i2 ? 7y ?2 ) i ? 7x
i=1 i=1

?y ? ∑ xi y i ? 7x

7

由于 r = 0.8639 > 0.632 ,所以x 与 y 具有线性相关关系. 关于 x 与 y 有如下数据:

x y

2 30

4 5 40 60

6 50

8 70

有如下的两个线性模型:(1)y ^ = 6.5x + 17.5,(2)y ^ = 7x + 17.试比较哪一个拟合效果更好. 解:由(1)可得残差如下表:

^i yi ? y ? ? yi y
所以

?0.5 ?20

?3.5 10 ?10 10

?6.5 0

0.5 20

^ i )2 = (?0.5)2 + (?3.5)2 + 102 + (?6.5)2 + 0.52 = 155, ∑ (y ? y ? )2 = (?20)2 + (?10)2 + 102 + 0 2 + 202 = 1000. ∑ (y i ? y
i=1 i=1 5

5

所以

R2 1 =1?

i=1 5

^ i )2 ∑ (y i ? y
i=1

5

? )2 ∑ (y i ? y

=1?

155 = 0.845. 1000

由(2)可得 y i ? y ? 的关系如下表: ^i 与 yi ? y

^i yi ? y ? yi ? y
所以

?1 ?20

?5 8 ?10 10

?9 0

?3 20

^ i )2 = (?1)2 + (?5)2 + 8 2 + (?9)2 + (?3)2 = 180, ∑ (y i ? y ? )2 = (?20)2 + (?10)2 + 102 + 202 = 1000. ∑ (y i ? y
i=1 i=1 5

5

所以

R2 2 =1?

i=1 5

^ i )2 ∑ (y i ? y
i=1

5

? )2 ∑ (y i ? y

=1?

180 = 0.82, 1000

2 2 2 由于 R 2 1 = 0.845 , R 2 = 0.82,0.845 > 0.82,所以 R 1 > R 2 ,所以(1)的拟合效果好于(2)的拟合 效果.

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