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初中数学《圆》全章讲义

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初中数学《圆》全章讲义 内容简介:1、圆的相关概念;2、垂径定理;3、圆心角、圆周角定理;4、与圆有关的位置关系; 5、切线及切线长定理;6、弧长及扇形面积。 【知识要点 1】 圆的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线) ; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线。 【知识要点 2】 点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? 2、点在圆上 ? 3、点在圆外 ? d ? r ? 点 C 在圆内; d ? r ? 点 B 在圆上; d ? r ? 点 A 在圆外; 【知识要点 3】 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点; r d d=r r d 第 1 页 共 1 页 【知识要点 4】 圆与圆的位置关系 外离(图 1) ? 无交点 ? d ? R?r ; 外切(图 2) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 相交(图 3) ? 有两个交点 ? R ? r ? d ? R ? r ; 内切(图 4) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 内含(图 5) ? 无交点 ? d ? R?r ; d R 图1 r R d r 图2 d R 图3 r d R d r r R 图4 图5 【知识要点 5】 垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论,即: ① AB 是直径 ② AB ? CD ③ CE ? DE ④ 弧 BC ? 弧 BD ⑤ 弧 AC ? 弧 AD A 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD C O A B C B D O E D 第 2 页 共 2 页 【知识要点 6】 圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相 等,弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论, 即:① ?AOB ? ?DOE ;② AB ? DE ; ③ OC ? OF ;④ 弧 BA ? 弧 BD A O D C E F B 【知识要点 7】 圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ ?AOB ? 2?ACB

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