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选修4-4


选修4-4

2.3.1 直线的 参数方程

温故知新 请同学们回忆: 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
x y ? ?1 a b

y ? y1 x ? x1 两点式: ? y2 ? y1 x2 ? x1

r />
一般式: Ax ? By ? C ? 0( A, B不同时为零)

y2 ? y1 ? tan ? x2 ? x1

问题情景

已知一条直线过点M 0 ( x0, y0 ),倾斜角?,求这条 直线的方程.

解:直线的普通方程为y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) 把它变成y ? y0 ? sin ? ( x ? x0 ) cos ? y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: ? sin ? cos ? y ? y0 x ? x0 令该比例式的比值为t,即 ? ? t. sin ? cos ?

? x ? x0 ? t cos ? 整理,得到 ? ( t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?

解:在直线上任取一点M(x,y),则

M0 M ? ( x, y ) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0, y ? y0 )

设 e 是直线 l 的单位方向向量,则e ? (cos ?, sin ? )
因为M0 M // e,所以存在实数t ? R,使M0 M ? te,即

( x ? x0, y ? y0 ) ? t (cos ?, sin ? )
所以 x ? x0 ? t cos ?, y ? y0 ? t sin ? y
M(x,y)

即 x ? x0 ? t cos ?, y ? y0 ? t sin ?
M0(x0,y0)

所以,该直线的参数方程为 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

e

?
O

(cos ?, sin ? )
x

思考 我们是否可以根据 t 的值来确定向量 M 0 M 的方向呢? 我们知道,e 是直线 l 的单位方向向量,那么

它的方向应该是向上还是向下的?还是有时 向上有时向下呢?
y M(x,y)

e

?
O

(cos ?, sin ? )
x

由于? 是直线的倾斜角,因此,当 0 ? ? ? ? 时, sin ? ? 0,又因为 sin ? 表示 e 的纵坐标,所以 e 的纵坐标都大于0,那么 e 的终点就会都在第 一,二象限,所以 e 的方向就总会向上.

此时,若t ? 0,则 M 0 M 的方向向上; 若t ? 0,则 M 0 M 的方向向下; 若t ? 0,则 M 点与 M 0 重合.

探究思考

由M 0 M ? te,你能得到直线l 的参数方程中参数 t 的几何意义吗?

解: M0 M ? te, ?| M0 M | ? | te | ,

又因为 e 是单位向量, ? | e | ? 1, y 这就是 t 的几何 ?| M0 M | ? | t || e | ? | t | .
意义,要牢记 所以,直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M 到定点M0的距离. | t | = | M0M |
M0

M

e

O

x

探究思考

直线与曲线 f ( x, y ) ? 0交于M 1,M 2两点,对应的 参数分别为t1,t 2 . (1)曲线的弦M1 M 2的长是多少? (2)线段M1 M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少?

(1) | M1 M 2 | ?| t1 ? t 2 | ; t1 ? t 2 (2) t ? . 2

课堂练习

(p是基点,当p是AB的 中点时,点P的相应参数 值t=0)

? x ? x0 ? t cos ? 1. 直线 ? ( t为参数)上有参数 ? y ? y0 ? t sin a 分别为t1和t 2 对应的两点A和B,则A, B两点的 距离为 A. | t1 ? t 2 | C . | t1 | ? | t 2 | ( B ) B . | t1 ? t 2 | D. || t1 | ? | t 2 ||

?x ? 1? 1 t ? 2 3. 一条直线的参数方程是 ? ( t为参数), ? y ? ?5 ? 3 t ? 2 另一条直线的方程是x ? y ? 2 3 ? 0,则两直线的交 点与点(1, ? 5)间的距离是 ___________________ . 4 3

x ? a ? t cos ? 2.在参数方程 ( t为参数)所表示 y ? b ? t sin ? 的曲线上有 B, C 两点,它们对应的参数值分 别为t1、t 2,则线段BC的中点M 对应的参数值 是 (B ) t1 ? t 2 t1 ? t 2 | t1 ? t 2 | | t1 ? t 2 | A. B. C. D. 2 2 2 2

?

4.求直线l: 4 x ? y ? 4 ? 0与l1:x ? 2 y ? 2 ? 0及 直线l2: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0所得两交点间的距离.
5. 动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方 向的分速度分别是3cm/s和4cm/s,直角坐标 系的长度单位是1cm,点M的起始位置在点 M0(2,1)处,求点M的轨迹的参数方程.
9 17 14

?x ? 2? 3 t ? x ? 3t ? 2 ? 5 ( t为参数) ( t为参数) ? ? 4 ? y ? 4t ? 1 ? y ? 1? t ? 5

重要结论: 直线的参数方程可以写成这样的形式:

? x ? x0 ? at ( t为参数) ? ? y ? y0 ? bt
2 2

当 a ? b ? 1 时,t 有明确的几何意义,它表示 | t | ? | M0 M | , 此时我们可以认为 a ? cos ?, b ? sin ? . ? 为倾斜角. 当 a 2 ? b 2 ? 1 时,t 没有 明确的几何意义. 那么, 如何转化,可以使参 数具有几何意义呢?

标准形式为x ? x0 ?

a a ?b
2 2

t

y ? y0 ?

b a ?b
2 2

t

此时t才具有几何意义
t 的几何意义: 直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点 M到定点M0的距离.

? x ? 3 ? t sin200 B) ( 1 ) 直 线? ( t为 参 数 ) 的 倾 斜 角 是 ( 0 ? y ? t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600

? 2 (2 )直线 x ? y ? 1 ? 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 x ? 1? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t ? 2 ?

x =tsin 20°+3, 8. 直线 (t 为参数)的倾斜角是 y=-tcos 20° ( ) A.20° C .110° B.70° D.160°

[ 解析 ]

?x=t′cos110° +3 ? 直线的参数方程可化为 ? ? , ?y=t′sin110°

(t′为参数),它是直线的参数方程的标准形式,因此,直线 的倾斜角为 110° .
[答案] C

x =1+t, 9.直线 (t 为参数)的倾斜角为( y=2-t π A. 4 3 C. π 4 π B.- 4 3 D.- π 4

)

[解析] 消去参数 t 得 x+y=3,∴直线斜率 3 k=-1,∴倾斜角 α= π. 4 [答案] C

? ?x=- 2- 3.直线? ? ?y= 3+ 2t

2t

(t 为参数)上与点 P(-2,3) ) B.(-3,4) D.(-4,5)或(0,1)

的距离等于 2的点的坐标是( A.(-4,5) C.(-3,4)或(-1,2)

[解析] ∴t = ±

2 (3 ? 2 t ? 3) 2 = 2, d= ( - 2 ? 2t ? 2) ?

2 . 2 2 时,对应点为(-3,4), 2 2 时,对应点为(-1,2). 2

当 t=

当 t=- 故选 C.

[答案]

C

? ?x=2+3t, 1.直线? ? ?y=-1+t

(t 为参数)上对应 t=0,t=

1 两点间的距离是( A.1 B. 10

) C.10 D.2 2

[解析 ] 因为题目所给方程不是参数方程的标 准形式,参数 t 不具有几何意义,故不能直接由 1-0 =1 来得距离,应将 t=0,t=1 分别代入方程得到两 点坐标(2,-1)和(5,0),由两点间距离公式来求出距 离,即 ?2-5? +?-1-0? = 10.
[答案] B

2

2

例1. 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线 y ? x 2交于 A, B两点,求线段AB的长度和点M ( ?1, 2)到A, B 两点的距离之积.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
M(-1,2) y

O

B

x

例1. 已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线 y ? x 2交于 A, B两点,求线段AB的长度和点M ( ?1, 2)到A, B 两点的距离之积.
解:因为把点M的坐标代入直 线方程后,符合直线方程,所 A 以点M在直线上. 易知直线的倾斜角为 3? , 4 所以直线的参数方程可以写成: ? x ? ?1 ? t cos 3? ? 4 ( t为参数) ? ? y ? 2 ? t sin 3? ? 4
y

M(-1,2)

O

B

x

? x ? ?1 ? 2 t ? 2 即? ( t为参数) ?y ? 2? 2 t ? 2

y

A
M(-1,2)

把它代入抛物线方程y ? x ,
2

得t ? 2t ? 2 ? 0.
2

O

B

x

解得t1 ? ? 2 ? 10 ,t2 ? ? 2 ? 10 , 2 2 由参数 t 的几何意义得

| AB | ? | t1 ? t2 | ? 10 ,
| MA | ? | MB | ? | t1 | ? | t2 | ? | t1t2 | ? 2.

辨析: 例: 动点M作等速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方 向分速度分别为 9,12,运动开始时,点 M 位于 A(1,1),求点 M 的轨迹的参数方程.

?

x ? 1 ? 9t ( t为参数) y ? 1 ? 12t
请思考: 此时的t 有没有明确的几 何意义? 没有

x =4+4t, (1)设直线的参数方程为 y=5- 3t, ①求直线的直角坐标方程; ②化为参数方程的标准形式.

π (2)一直线过 P0(3,4),倾斜角 α= ,求此直线 4 与直线 3x+2y=6 的交点 M 与 P0 之间的距离.

? ?x= 3+ 2t, ? 2 [解析 ] 设直线的参数方程为? 2 ? y= 4+ t, ? 2 ? 将它代入已知直线 3x+ 2y- 6=0 得
? 3? ?3+ ?
? ? ?

? 11 2 2? 2? ? ? ? t + 2?4+ t ?= 6,解得 t=- 5 . 2 ? 2 ? ? ?
? 0? ? ? ? ? ? ? ?

11 2 ∴ MP = t = . 5

x ? t cos ? x ? 4 ? 2cos ? 7. 直线 ( t为参数)与圆 y ? t sin ? y ? 2sin ? (? 为参数)相切,则直线倾斜角? 为 ( A ) ? 5 ? ? 3 ? A. 或 B. 或 6 6 4 4 C . ? 或 2? D. ? ? 或 ? 5? 3 3 6 6

?

?

x ? 4 ? at 2 2 8. 若直线 ( t为参数)与曲线x ? y ? 4 x y ? bt ? 或 2? ?1 ? 0相切,则这条直线的倾斜角等于_______. 3 3

?

y x 例2 经过点M (2, 1)作直线l,交椭圆 ? ?1 16 4 于A, B两点. 如果点 M 恰好为线段AB的中点, 求直线l 的方程.
2

2

? x ? 2 ? t cos ? 解:设过点M (2, 1)的直线l 的参数方程为? ? y ? 1 ? t sin ? ( t为参数 )代入椭圆方程得

(3sin 2 ? ? 1)t 2 ? 4(cos ? ? 2sin ? ) t ? 8 ? 0 由 t 的几何意义知 | MA | ? | t1 | , | MB | ? | t 2 | ,因为点 M 在椭圆内,这个方程必有两个实根,所以 4(cos ? ? 2sin ? ) t1 ? t 2 ? ? . 2 3sin ? ? 1

t1 ? t 2 因为点M 为线段AB的中点,所以 ? 0,即 2 cos ? ? 2sin ? ? 0,于是直线 l 的斜率为 k ? tan ? ? ? 1 ,因此直线l的方程为 2 1 y ? 1 ? ? ( x ? 2),即x ? 2 y ? 4 ? 0. 2

小结: 1. 直线参数方程

? x ? x0 ? t cos ? ( t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

探究:直线的 参数方程形式 是不是唯一的

2. 利用直线参数方程中参数 t 的几何意义,简化 求直线上两点间的距离. 2 2

? x ? x0 ? at ( t为参数) ? ? y ? y0 ? bt

当a ? b ? 1时,

才具有此几何意义 |tt | = | M0M | 其它情况不能用.

3.注意向量工具的使用.

题型二 直线的参数方程的应用 【例
?x= 1+ 2t, ? 2】已知直线的参数方程为? ? ?y= 2+ t
2 2

(t

为参数),则该直线被圆 x + y =9 截得的弦长是多 少?

【分析】本题考虑使用参数方程标准形式中参数 t 的几何意义来做, 所以首先要把原参数方程转化为标准 ? ?x= 1+ 2 t′, ? 5 形式? ?y= 2+ 1 t′, ? 5 ?

再把此式代入圆的方程,整理

得到一个关于 t 的一元二次方程, 弦长即为方程两根之 差的绝对值.

? ?x= 1+ 2t, 【解析】 将参数方程? ? ?y= 2+ t

(t 为参数 )转化

? ?x=1+ 2 t′, ? 5 为直线参数方程的标准形式为 ? ?y=2+ 1 t′ ? 5 ?
? 为参数 ),并代入圆的方程,得? ?1+ ?
2

( t′

? ? ? 2 1 ?2 ? t′ ? +?2+ t′ ? 5 ? ? 5 ? ?

= 9,整理,得 5t′2+8t′- 4 5=0.

设方程的两根分别为 t′1、 t′2,则有 8 t′1+t′2=- ,t′1· t′2=- 4. 5 所 以 t′1-t′ = ? t′1+t′ 2?2- 4t′1t′2 = 64 12 5 + 16= , 5 5 12 5 即直线被圆截得的弦长为 . 5
? ? ? ? 2? ?

【评析】本题主要使用参数方程中两点的距离公 式,易错的地方是:将题目所给参数方程直接代入圆 的方程求解,忽视了参数 t 的几何意义.在使用参数 方程两点间的距离公式时,应是直线参数方程的标准 形式,才能使弦长为 t1-t2? ?.
? ? ? ?

变式训练 π 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x +y =4 相交于点 A 和点 B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.
2 2

π 1 [解析 ] (1)因为倾斜角 α= ,所以 sinα= , 6 2 ? 3 ?x= 1+ 2 t, 3 cosα= ,直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 1+ 1t. 2 ? 为参数 )

(t

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应 的 参 数 分 别 为 t1 , t2 , 则 点 A , B 的 坐 标 分 别 为
? A? ?1+ ? ? 3 1 ? 3 1 ? ? ? ? t1, 1+ t1?, B?1+ t2, 1+ t2?. 2 2 ? 2 2 ? ?

将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y2= 4,得
? ? ?1+ ? ? 1 ?2 3? ?2 t ? +?1+ 2t? = 4, 2 ? ? ?

整理,得 t2+ ( 3+1)t- 2= 0.

因为 t1,t2 是上式方程的解,所以 t1· t2=- 2. PB = 故 PA · = |t1t2|= 2. 所以点 P 到点 A、 B 两点的距离之积为 2.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

3 ? ?2 ?1 ? 2 t1? +?2t1? · 2 ? ? ?

? ? ? ?

3 ? ?2 ?1 ?2 t2 ? +?2t2? 2 ? ? ?

π 4.直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为 ,且交直 3
? MM 线 x-y-2=0 于 M 点,则 0? ?= __________. ? ? ?

[解析] 1 ? ?x= 1+ 2t, ? ?y= 5+ 3t 2 ?

由题意可得直线 l 的参数方程为

(t 为参数 ),代入直线方程 x- y- 2= 0,

1 ? 3? ? 得 1+ t-?5+ t ? -2=0,解得 t=-6( 3 + 2 ? 2 ? ?
? MM 1).根据 t 的几何意义可知 0? ?= 6( 3+ 1). ? ? ?

[答案]

6( 3+1)

例3 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处 生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动. 已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵 袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到 台风侵袭?

y
M

O

P

x

解:取O为原点,OP所在直线为x轴,建立直角坐标 系,如图,则点P的坐标为(300, 0),以O为圆心,250 km为半径作圆O,当台风中心移动后的位置M 在圆O 内或以圆O上时,城市O将受到台风侵袭.
圆O的方程为x ? y ? 250 ,设经过时间t 后,台风中心 M 的坐标为 ( x, y ),根据条件知台风中心 M 移动形成的 ? x ? 300 ? 40t ? cos135? 直线l的方程为? ( t为参数,t ? 0), ? y ? 40t ? sin135?
2 2 2

? ? x ? 300 ? 20 2t 即? ( t为参数,t ? 0). ? ? y ? 20 2t

当点M (300 ? 20 2t,20 2t )在圆O内或在圆O上时有 (300 ? 20 2t )2 ? (20 2t )2 ? 250 2, 解得 15 2 ? 5 7 ? t ? 15 2 ? 5 7 4 4 由计算器计算得,t 的范围约为2.0 ? t ? 8.6, 所以,大约在2h后该城市开始受到台风侵袭.

思考: 在例3中,海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时 间? 如果台风侵袭的半径也发生变化(比如:当前半径 为250km,并以10km/h的速度不断增大),那么 问题又该如何解决?

重要结论: 直线的参数方程可以写成这样的形式:

? x ? x0 ? at ( t为参数) ? ? y ? y0 ? bt
2 2

当 a ? b ? 1 时,t 有明确的几何意义,它表示 | t | ? | M0 M | , 此时我们可以认为 a ? cos ?, b ? sin ? . ? 为倾斜角. 当 a 2 ? b 2 ? 1 时,t 没有 明确的几何意义. 那么, 如何转化,可以使参 数具有几何意义呢?


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