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专题立体几何复习 高二理科用


专题立体几何复习
例 1、在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是 AB 的中点,D 是 CC1 上一点 (1)求证:A1B1//平面 DAB (2)求证:A1B1⊥DE
A1 C1

B1
j

D

A E B

C

例 2、如图,在三棱柱

ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,
A1

C1 B1

证明:AB1//平面 DBC1.

D A B

C

P

例 3.四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,PC⊥平面 ABCD,E 是 PA 的中点, 求证:平面 BDE⊥平面 ABCD.
E D C

A

B

三、配套练习 (一)选择题 1、两条异面直线是指 A、在空间内不相交的两条直线 B、分别位于两个不同平面内的两条直线 D、不同在任一平面内的两条直线

C、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线

2、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 A A、垂直 B、平行 C、相交不垂直 D、不确定

3、线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 与平面 ? 的位置关系是 A、 AB ? ? B、 AB ? ? C、由线段 AB 的长短而定 D、以上都不对

4、若直线 l // 平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 A、 l // a B、 l 与 a 异面 C、 l 与 a 相交 D、 l 与 a 没有公共点 )

5、已知直线 a,b,c 和平面 ? ,下列条件中,能使直线 a ? 平面 ? 的是( A、 a ? b, a ? c, b// ? , c// ? B、 a ? b, b// ? C、 a∩b=A, b ?

?

D、 a//b, b ?

?

(二)填空题 1、正方体的主视图和俯视图都是_______________. 2、 将边长是 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使得折起后 BD 的长为 a, 则三棱锥 D-ABC 的体积是_____________。 (三)解答题 1、如图,直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的高为 3,底面是 边长为 4 且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E 是 O1A 的中点( . 1) 求二面角 O1-BC-D 的大小; 的距离. (2) 求点 E 到平面 O1BC

2.如图 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB,PD 的中点。 (1)求证:AF//平面 PCE; (2)若二面角 P—CD—B 为 45°,AD=2,CD=3,求点 F 到平面 PCE 的距离。

3、如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90° , AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面 PBC⊥底面 ABCD,O 是 BC 中点,AO 交 BD 于 E. (1)求证:PA⊥BD; (2)求二面角 P-DC-B 的大小; (3)求证:平面 PAD⊥平面 PAB. D E A B

P

C O

4.( 广 东 省 2008 届 六 校 第 二 次 联 考 ) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 底 面 是 直 角 梯 形 ,

BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2AB , PA ? 底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD=AB=1.
(1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PDC 的体积 V.

5. 如 图 , 直 角 三 角 形 BCD 所 在 的 平 面 垂 直 于 正 三 角 形 ABC 所 在 的 平 面 , 其 中 DC? CB , PA ? 平面 ABC, DC=BC=2PA , E.F 分别为 DB.CB 的中点. (1)证明: AE ? BC; (2)求直线 PF 与平面 BCD 所成的角. D

P

E C F

A

B

立体几何复习课后练习 1.如图 1,一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个 正三角形构成的相同的图形, 俯视图是一个半径为 3 的圆 (包括圆心) . 则 该组合体的表面积(各个面的面积的和)等于( A. 15π B. 18π C. 21π ) D. 24π

2. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 左 右 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 体 积 为 。 3、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( ) (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)任意直线不相交 (D)无数直线不相交. 4、过直线 l 外两点作与 l 平行的平面,那么这样的平面( ) (A) 不存在 (B) 只有一个 (C)有无数个 (D) 不能确定 5、 如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行, 那么这两个平面的 位置关系是?( ) (A)平行 (B)相交 (C)平行或者相交 (D)不能确定 6、下列命题正确的是( ) (A)如果两个平面有三个公共点,那么它们重合 (B)过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 (C)在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 (D)如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行 7、给出命题:⑴垂直于同一直线的两个平面平行;⑵平行于同一直线的两个平面平行;⑶ 垂直于同一平面的两个平面平行;⑷平行于同一平面的两个平面平行;其中正确命题个数 有?( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 8、直线 l 与平面内 α 的两条直线都垂直,那么 l 与 α 关系是????????( ) (A)垂直 (B)平行 (C)斜交 (D)不能确定. 9、 “直线 l 与平面内?的无数直线都垂直”是“l⊥ α ”的?????????( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 10、过平面 α 外的一条斜线 l 作平面 β 垂直于 α,这样的平面 β 个数为??( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 11、过平面 α 外 A、B 两点有无数个平面与平面 α 垂直,那么??????( ) (A)AB∥α (B)AB 与 α 成 60 度角 (C)AB⊥α (D)A、B 到 α 等距离 12. 在直角梯形 PBCD 中, ?D ? ?C ?

?
2

, BC ? CD ? 2, PD ? 4 ,A 为 PD 的中点,如下

左图。 将 ?PAB 沿 AB 折到 ?SAB 的位置, 使 SB ? BC , 点 E 在 SD 上, 且 SE ? 如下右图。 (Ⅰ)求证: SA ? 平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E—AC—D 的正切值;

1 SD , 3

13. . 如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 以 正 三 角 形 ABC 为 底 面 的 直 棱 柱 被 平 面 DEF 所 截 而 得. AB ? 2, BD ? 1, CE ? 3, AF ? a , O 为 AB 的中点. (1)当 a ? 4 时,求平面 DEF 与平面 ABC 的夹角的余弦值; (2)当 a 为何值时,在棱 DE 上存在点 P ,使 CP ? 平面 DEF ?

14.已知斜三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , ?BCA ? 90 , AC ? BC ? 2,

A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,
又 BA1 ? AC1 ; (1)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (2)求 C1 到平面 A 1 AB 的距离; (3)求二面角 A ? A 1 B ? C 的余弦值;

15.如图,四棱锥 P—ABCD 底面是直角梯形,AB//CD,AB⊥AD,△PAB 和△PAD 是两个 边长为 2 的正三角形,DC=4,O 为 BD 中点,E 为 PA 中点。 (1)求证:PO⊥平面 ABCD; (2)求证:OE//面 PDC; (3)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.

P

E
A
O

B
C

D

16. 下列三个图分别是四棱锥 A ? BCEF 的直观图、侧视图和俯视图。直观图中,侧面 ABC ? 底面 BCEF ,M 为 AC 的中点,侧视图是等边三角形,俯视图是直角梯形,尺寸 如图所示。 (I)求证: BM // 平面AEF (II)求证; AE ? BM (III)求该四棱锥 A ? BCEF 的体积.

立体几何复习课后练习参考答案 1~11 C 3 C C C C B D B B C 12.解法一: (1)证明:在上左图中,由题意可知,

BA ? PD, ABCD 为正方形,所以在上右图中, SA ? AB, SA ? 2 ,
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,因为 SB ? BC ,AB ? BC, 所以 BC ? 平面 SAB,又 SA ? 平面 SAB 所以 BC ? SA,又 SA ? AB, 所以 SA ? 平面 ABCD.

1 1 AD ,连接 EO。因为 SE ? SD ,所以 EO//SA 所以 3 3 EO ? 平面 ABCD,过 O 作 OH ? AC 交 AC 于 H,连接 EH,则 AC ? 平面 EOH,所以 AC ? EH。所 2 4 以 ?EHO 为二面角 E—AC—D 的平面角, EO ? SA ? . 在 Rt ?AHO 中, 3 3
(2) 在 AD 上取一点 O,使 AO ?

?HAO ? 45?, HO ? AO ? sin 45? ?

EO 2 2 2 ?2 2, ? ? . tan ?EHO ? OH 3 2 3

即二面角 E—AC—D 的正切值为 2 2 .

解法二: (1)同方法一 (2)如图,以 A 为原点建立直角坐标系, A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) ,S(0,0,2) ,E(0, , 易知平面 ACD 的法向为 AS ? (0,0,2) 设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z )

2 4 ) 3 3

? 2 4 ?n ? AC ? 0 AC ? (2,2,0), AE ? (0, , ) 由 ? , 3 3 ? n ? AE ? 0 ?
?x ? 2 ?x ? y ? 0 ? 所以 ? ,可取 ? y ? ?2 所以 n ? (2,?2,1). ? y ? 2z ? 0 ?z ? 1 ?
所以 cos ? n, AS ??

n ? AS | n || AS |

?

2 1 ? 2?3 3

所以 tan ? n, AS ?? 2 2 ,即二面角 E—AC—D 的正切值为 2 2 . 13.(1)分别取 AB 、 DF 的中点 O 、 G ,连接 OC 、 OG .以直线 OB 、 OC 、 OG 分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, AF ? a ? 4 ,则 D 、 E 、 F 的坐 标分别为 D (1,0,1) 、 E (0, 3 ,3) 、 F (-1,0,4) , ∴ DE =(-1, 3 ,2) ,

DF =(-2,0,3) 设平面 DEF 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
由?

? 3 3 3 3 ?n ? DE ? ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 得 x ? z, y ? ? z ,可取 n ? ( ,? ,1) 2 6 2 6 ? ? n ? DF ? ?2 x ? 3 z ? 0

平面 ABC 的法向量可以取 m ? (0,0,1) ∴ cos m, n ?

m?n mn

?

1 9 1 ? ?1 4 12

?

30 ∴面 DEF 10

与面

ABC

夹角余弦值

30 . 10

(2)在(1)的坐标系中, AF ? a , DE =(-1, 3 ,2) , DF =(-2,0, a -1) . 因 P 在 DE 上,设 DP ? ? DE ,则

OP ? OD ? DP ? (1,0,1) ? ?(?1, 3,2) ? (1 ? ?, 3?,2? ? 1)
∴ CP ? OP ? OC ? (1 ? ?, 3?,2? ? 1) ? (0, 3,0) ? (1 ? ?, 3(? ? 1),2? ? 1) 于是 CP ? 平面 DEF 的充要条件为 ?

? ?CP ? DE ? ? ? 1 ? 3(? ? 1) ? 2(2? ? 1) ? 0 ? ? CP ? DF ? ?2(1 ? ? ) ? (a ? 1)(2? ? 1) ? 0

由此解得, ? ?

1 ,a ? 2 4

即当 a =2 时,在 DE 上存在靠近 D 的第一个四等分点 P ,使 CP ? 平面 DEF . 14. (1)∵A1 在底面 ABC 上的射影为 AC 的中点 D ∵BC⊥AC 且平面 A1ACC1∩平面 ABC=AC ∵AC1⊥BA1 且 BC∩BA1=B ∴平面 A1ACC1⊥平面 ABC ∴BC⊥AC1

∴BC⊥平面 A1ACC1

∴AC1⊥平面 A1BC ∴AC1⊥A1C

(2)如图所示,以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系 ∵AC1⊥平面 A1BC ∴四边形 A1ACC1 是菱形 C1(-1,0, 3 )
°

∵D 是 AC 中点∴∠A1AD=60 ∴A(2,0,0) A1(1,0, 3 ) B(0,2,0) ∴A 1 A =(1,0, 3 ) ∴?

AB =(-2,2,0)
令 z=1 ∴ n =( 3 , 3 ,1)

设平面 A1AB 的法向量 n =(x,y,z)

? ? x ? 3z ? ?x ? y

∵ C1 A 1 =(2,0,0)

∴ d ? C1 A1 ? n ? 2 21
n 7

∴C1 到平面 A1AB 的距离是 2 21
7

(3)平面 A1AB 的法向量 n =( 3 , 3 ,1) ∴ cos ? AC1 , n ?? AC1 ? n ? ? 7 7 AC1 ? n ∴ cos ? ? 7
7

平面 A1BC 的法向量 AC1 =(-3,0, 3 ) 设二面角 A-A1B-C 的平面角为 ? , ? 为锐角,

∴二面角 A-A1B-C 的余弦值为 7
7

18.(Ⅰ)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD ,

AB // DC ,∴四边形 ABFD 为正方形,
∵ O 为 BD 的中点,∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , ∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴

P

E
A B
O

AD2 ? AB2 ? 2 2 ,

, ? 2 PO ? PB2 ? BO2 1 AO ? BD ? 2 , D 2 2 2 2 在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO , ∵ AO BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)方法 1:连接 PF ,∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? 平 面 P D C , PF ? 平 面

F

C

P D C ,∴ OE // 平面 PDC . 方 法 2 : 由 ( Ⅰ ) 知 PO ? 平 面 A B C D ,又 A B? A D , 所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线, 以

P

E
A
O

B
y
F
C

D

x

它们做 x, y 轴,以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,由已知得:

1 1 2 A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0) F (1,1,0) , C (1,3,0) , E (? , ? , ), P(0,0, 2) , 2 2 2 1 1 2 则 OE ? (? , ? , ) , PF ? (1,1, ? 2) , PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) . 2 2 2 1 ∴ OE ? ? PF ∴ OE / / PF 2 ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC ,
∴ OE // 平面 PDC ; (Ⅲ) 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ , 则?

? ? n?PC ? 0

? ? ? n?PD ? 0 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 令 z1 ? 1,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2,0,1) ,又 CB ? (?2, ?2,0)

,即 ?

? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0

,解得 ?

? ? y1 ? 0 , ? ? x1 ? 2 z1

2 2 3 3 ,∴直线 CB 与面 PDC 所成角的正弦值为 . ? 3 3 3?2 2 16.解: (I)取 AE 的中点 N ,连结 MN , FN 在 ?ACE 中, M 为 AC 的中点 1 ? MN // CE且MN ? CE ? 1, 2 1 又BF // CE且BF ? CE ? 1, 2 ? MN // BF 且MN ? BF ? 四边形 BMNF 为平行四边形 ? FN // BM
则 sin θ ? cos ? n, CB ? ?

又FN ? 平面AEF BM ? 平面AEF ? BM // 平面AEF (II) ?BCE ? 90? 侧面 ?ABC ? 底面 BCEF ,? CE ? 平面 ABC ,? CE ? BM 又 ?ABC 是正三角形, M 为 AC 的中点,? BM ? AC 又AC ? CE ? C ,? BM ? 平面ACE ? AE ? BM (III)取 BC 的中点 O ,连结 AO , ?ABC 是边长为 2 的正三角形, ? AO ? BC, 且AO ? 3 又侧面 ABC ? 底面 BCEF ? AO ? 底面BCEF 1 1 1 ?VA? BCEF ? S梯形BCEF ? AO ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3 2


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