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例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

时间:2015-07-22


例说利用均值不等式求最值的几种技巧 沈亚妹 (绍兴市中等专业学校 312000)

在现行中学数学中, 利用均值不等式求函数最值 的问题,是一类值得重视的常用方法。但学生在利用 均值不等式求最值时,常常因为取不到等号,以致解 题受阻。 所以在解题过程中需要对函数进行适当的变 形。由于在变形过程中常要用到某些特定的技巧,因 而形成难点。本文拟就此介绍几种常用的技

巧。 一、乘方后使用均值不等式 将所得出的正函数平方,立方,……,n 次方, 然后再使用均值不等式求解。 例 1 已知 ? ? ?0,? ? ,求函数 (94 年全国数竞题) 解: ? ? ? ?0,? ?
? y2 ?
?y ? 1 ? cos? ? (1 ? cos? ) 2

y ? sin

?
2

? (1 ? cos ? )

的最大值。

1 ? cos ? ? (1 ? cos ? ) 2 2

=

1 ? (2 ? 2 cos ? ) ? (1 ? cos ? ) ? (1 ? cos ? ) 4
?
?y ? 4 3 9

1 ? (2 ? 2 cos? ) ? (1 ? cos? ) ? (1 ? cos? ) ? ? ? 4 ? 3 ? ?

3

=

16 27

当且仅当 2 ? 2 cos ? ? 1 ? cos ? 即 cos ? ? 1 时取
3

到等号。 所以
例2

y 的最大值为 4

3 9

有一浮标由三部分组成, 一个圆筒和两个相同的 圆锥, 其中每一个圆锥的高等于圆筒的高, 问当表 面积一定时,什么形状会有最大体积? (第一届普特南数竞题) 解:设圆筒的半径为 r , 高为
h ,那么

S ? 2? ? rh ? 2? ? r h 2 ? r 2

S 2 ? 4? 2 r 4 h? 4? ? rS

2 5 V ? ? ? r 2h ? ? ? r 2h ? ? ? r 2h ? 3 3
5 ? r ? ( S 2 ? 4? 2 r 4 ) 12 S

5 4 4 V4 ?( ) ? r ? ( S 2 ? 4? 2 r 4 ) 4 12 S

利用五个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数即可求得最大体积。 当且仅当 16? 等号。
2

r 4 ? S 2 ? 4? 2 r 4 ,

即r ?

4

S2 20? 2

时取到

此时进一步有 二、 引参后使用均值不等式

h?

2 2 r 5



有些和(积)不为常数的函数求最值时,可通 过引入参数后,再使用均值不等式求解。 例 3
2 2 求函数 y ? sin x ? cos x ?

1 的 sin 2 x ? cos 2 x

最小值。 解:引入待定参数 ? 、 ? ,且 ? + ? ? 4 ,则有

sin 2 2 x 4 sin 2 2 x ? ? y? ? ? ? ? 2 2 4 4 sin 2 x sin 2 x sin 2 2 x
sin 2 2 x ? ?2 ? 2 ? 4 sin 2 x

?
sin 2 2 x

?2 ??
4

?
sin 2 2 x

sin 2 2 x ? 2 ? 当且仅当 且 sin 2 x ? 1时 2 4 sin 2 x

取到等号,此时 ? ? 所以当 sin 例4 求函数

1 15 ,? ? 4 4
2

2 x ? 1时,y 有最小值为 17
4

y ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x ? 1在区间 ( 0 ,1)

上的最大值和取到最大值时的 x 的值。 (第十二届 希望杯竞赛题)

解:
x ? (0,1)

y ? x 3 ? 3x 2 ? 2x ? 1 ? x ? (2 ? x)(1 ? x) ? 1

引入两个正实数 ? , ? 后利用均值不等式
y? 1

??

? x ? (2? ? ?x)(? ? ?x)

?1

?

1 ? x ? (2? ? ?x) ? ( ? ? ?x) ? ? 3 ? ?? ? 3 ? ?

?1

x ? 2? ? ?x ? ? ? ?x

当且仅当 取到等号。

1? ? ? ? ? 0



此 时
x ? 1? 3 ? 3

? ? 2? 3



? ? 3 ?1



?0,1?

所 以 当 x ? 1?
1? 2 3 9

3 3

时, y 有最大值为

三、连续使用均值不等式 有些函数在求最值时, 需要几次使用均值不 等式进行放缩才能达到目的。 放缩时要保证几个 等号能同时成立。 例 5 在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角,

求它的外接圆半径和内切圆半径 R : r 的最小值 (86 年江苏竞赛题)

解: 设直角顶点处三条棱长分别为 x, y, z 那么由立 体几何知识易知:

R?

1 x2 ? y2 ? z2 2

r?

xyz xy ? yz ? zx ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2




R ? r

x2 ? y2 ? z2 ? ( xy ? yz ? zx ? x 2 y 2 ? y 2 z 2 ? z 2 x 2 ) 2 xyz

?

3

x2 y2 z2 2 xyz

? (3 ? x 2 y 2 z 2 ? 3 ? 3 x 4 y 4 z 4 )

=

3 3xyz ? 3xyz 2 xyz
3 3 ?3 2


=

3 3 ?3 2

当且仅当 x ? y ? z 时取到等号,所以 R : r 的最 小值为 例 6
3

a, b, c ? R ?

, 且

abc ? 1

, 试 求 (第 35 届

1 1 1 的最小值。 ? 3 ? 3 a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b)

IMO 试题改编) 解 :
b2c 2 ab ? ac ? ? bc ab ? ac 4
1 bc ? ba c2a bc ? ba ? ? ? ? ca 4 bc ? ba 4 b 3 (c ? a)
1 ca ? cb ? 4 c 3 ( a ? b)

?

1 ab ? ac ? 4 a 3 (b ? c)

=

=
3

a 2b 2 ca ? cb ? ? ab ca ? cb 4

三 式 相 加 得 :
? 1 (ab ? bc ? ca ) 2

1 1 1 ? 3 ? 3 a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b)

?

1 ? 3 ? 3 ab ? bc ? ca 2

=

3 2

当且仅当 a ? b ? c 时取到等号, 所以 y 的 最大值为 3
2