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1.4


§4

逻辑联结词“且”“或”“非”

1.通过实例了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.

2.会判断含“且”、“或”、“非”的命题的真假.

1.对含“且”“或”“非”的命题真假的判断.(重点) 2.“且”“或”“非”在逻辑判断中的综合应用.(易混点)

1.命题是

指用

表达的,可以判断 语言、符号或式子



句.

真假

陈述 者说法有何不同?

2.矩形的对角线相等且互相平分;矩形有外接圆或有内切圆,想一想两

1.“p”且“q” 用“且”联结两个命题p和q,构成一个新命题“ ”.

当两个命题p和q都是真命题时,新命题“p且q”是 命题;在两个命题p 和q之中,至少有一个命题是假命题,新命题“p且q”是假命题. 真

p且q

2.“p”或“q” 用“或”联结两个命题p和q,构成一个新命题“ ”.

在两个命题p和q之中,至少有一个命题是真命题时,新命题“p或q”是真 命题;当两个命题p和q都是假命题时,新命题“p或q”是假命题. 3.非p 对命题 p 加以否定,就得到一个新命题 ,记作“ “ ”. 一个命题p与这个命题的否定綈p,必然一个是 命题,一个是 一个命题否定的否定仍是 . ”,读作 命题,

p或q

非p

綈p




原命题

1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( A.简单命题 B.“p或q”形式的复合命题

)

C.“p且q”形式的复合命题
D.“非p”形式的命题 答案: C

2.复合命题S具有“p或q”形式,已知“p且r”是真命题,那么命题S是 ( ) A.真命题 B.假命题 C.与命题q的真假有关

D.与命题r的真假有关
答案: A

3.用“或”、“且”、“非”填空,使命题成为真命题: (1)x∈A∪B,则x∈A________x∈B; (2)x∈A∩B,则x∈A________x∈B;

(3)若ab=0,则a=0________b=0;
(4)a,b∈R,若a>0________b>0,则ab>0. 答案: (1)或 (2)且 (3)或 (4)且

4.判断下列命题的真假: (1)2是偶数或者3不是质数; (2)对应边相等的两个三角形全等或对应角相等的两个三角形全等; (3)周长相等或者面积相等的两个三角形全等.

解析: (1)命题“2是偶数或者3不是质数”是由命题:
p:2是偶数;q:3不是质数 用“或”联结后构成的新命题“p或q”.

因为命题p是真命题,所以“p或q”是真命题.

(2)命题“对应边相等的两个三角形全等或对应角相等的两个三角形全等” 是由命题:

p :对应边相等的两个三角形全等; q :对应角相等的两个三角形全等用 “或”联结构成的新命题“p或q”.因为命题p是真命题,所以“p或q” 是真命题.
(3)命题“周长相等或者面积相等的两个三角形全等”是由命题:

p:周长相等的两个三角形全等;q:面积相等的两个三角形全等
用“或”联结起来构成的新命题“p或q”.因为命题p,q都是假命题,所 以“p或q”是假命题.

指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题. (1)96是48与16的倍数; (2)方程x2-3=0没有有理数解;

(3)不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1或x>2}.

[ 解题过程 ] 数.

(1) “p 且 q ” 形式,其中 p: 96 是 48 的倍数, q : 96是 16 的倍

(2)“非p”形式,其中p:方程x2-3=0有有理数解. (3)“p或q”形式,其中p:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1}, q:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2}.

1.将下列命题写成“p或q”“p且q”和“綈p”的形式: (1)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;

(2)p:能被5整除的整数的个位数一定为5,q:能被5整除的整数的个位数 一定为0.

解析: (1)p且q:菱形的对角线互相垂直且平分. p或q:菱形的对角线互相垂直或平分. 綈p:菱形的对角线不垂直. (2)p且q:能被5整除的整数的个位数一定为5且一定为0;

p或q:能被5整除的整数的个位数一定为5或一定为0;
綈p:能被5整除的整数的个位数不一定为5.

指出下列命题的真假. (1)命题:“不等式|x+2|≤0 没有实数解”; (2)命题:“-1 是偶数或奇数”; (3)命题:“ 2属于集合 Q,也属于集合 R”; (4)命题:“A (A∪B)”.

判断命题的真假,需根据命题真值表进行判断,即p与綈p真假
性相反,p或q,p且q真假性判断表等.

[解题过程] (1)此命题为“非p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数 解.因为x=-2是该不等式的一个解,所以命题p是真命题,即“非p”为 假命题,所以原命题为假命题. (2)此命题为“p或q”的形式,其中p:- 1是偶数,q:- 1是奇数.因为 命题 p 为假命题, q 为真命题,所以 “p 或 q ”为真命题,故原命题为真命 题.

(3)此命题为“p 且 q”的形式,其中 p: 2∈Q,q: 2 ∈R.因为 p 为假命题,q 为真命题,所以 p 且 q 为假命题, 故原命题为假命题. (4)此命题为“非 p”的形式,其中 p:A?(A∪B),因为 p 为真命题,所以“非 p”为假命题,故原命题为假命题.

2.分别指出下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“綈p”形式的命题的 真假. (1)p:6<6,q:6=6. (2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分.

(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点.
q:方程x2+x+2=0没有实根.

解析: (1)∵p为假命题,q为真命题, ∴p且q为假,p或q为真,綈p为真. (2)∵p为假命题,q为假命题, ∴p且q为假,p或q为假,綈p为真.

(3)∵p为真,q为真,
∴p且q为真,p或q为真,綈p为假.

(2011· 北京卷,4)若p是真命题,q是假命题,则( A.p∧q是真命题 C.? p是真命题 B.p∨q是假命题 D.? q是真命题

)

解析: q是假命题,故? q是真命题,故选D.

答案: D

写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题, 并判断其真假:

(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等.
(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解. (3)p:集合中元素是确定的,q:集合中元素是无序的.

(1)由逻辑联结词构造新命题时,可直接使用逻辑联结词,也可以不使用逻 辑联结词,只要使表达的意义明确即可. (2)判断新命题真假的步骤. 确定新命题类型→判断p,q的真假→利用真值表判断新命题的真假

[解题过程] (1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等, ∵q:有一组对边相等是假命题, ∴命题p∧q是假命题. p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等,

∵p:梯形有一组对边平行是真命题,
∴命题p∨q是真命题. 綈p:梯形没有一组对边平行,

∵p是真命题,
∴綈p是假命题.

(2)p∧q:-3与-1是方程x2+4x+3=0的解,是真命题. p∨q:-3或-1是方程x2+4x+3=0的解,是真命题. 綈p:-1不是方程x2+4x+3=0的解, ∵p是真命题,

∴綈p是假命题.
(3)“p∨q”:集合中的元素是确定的或是无序的,是真命题; “p∧q”:集合中的元素是确定的且是无序的,是真命题;

“綈p”:集合中的元素是不确定的,是假命题.

3.对于下列各组命题,利用“且”“或”“非”分别构造新命题,并判断 新命题的真假. (1)命题p:任何集合都有两个子集;命题q:任何一个集合都至少有一个真 子集; (2)命题p:等比数列的公比可以是负数;命题q:等比数列可以是等差数列;

(3)命题p:7<7,命题q:7=7.

解析: (1)p或q:任何一个集合都有两个子集或至少有一个真子集,假命 题.p且q:任何一个集合都有两个子集且至少有一个真子集,假命题.

綈p:任何一个集合不都有两个子集,真命题.
(2) p 或q:等比数列的公比可以是负数或等比数列可以是等差数列,真命 题.

p且q:等比数列的公比可以是负数且等比数列可以是等差数列,真命题.
綈p:等比数列的公比不是负数,假命题.

(3)p或q:7<7或7=7,真命题. p且q:7<7且7=7,假命题. 綈p:7≥7,真命题

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

非p 假 假 真 真

p或q 真 真 真 假

p且q 真 假 假 假

命题的否定形式与否命题是两个不同的概念,只有弄清它们之间的区别与 联系才不会出错. 区别:(1)概念:命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定;而否命题 则是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题. (2)构成:对于“若p,则q”形式的命题,其命题否定为“若p,则綈q”, 也就是不改变条件,只否定结论;而其否命题则为“若綈p,则綈q”.

(3)真值:命题的否定真值与原来的命题相反;而否命题的真值与原 命题无关.

(4)联系:它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是 一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”).

正面 词语 反面 词语

大于 (>)



都是

所有 的?

任意 个? 某个 不?

至少一 个? 一个也 没有?

?
?

不大 不都 至少一 不是 于( ≤ ) 是 个不?

【错解】

∴綈 p:函数 g(x)=-(5-2m) 为增函数, 5 ∴0<5-2m<1,∴2<m<2, ? 5? ∴实数 m 的取值范围是?2,2?. ? ?

◎已知命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若綈p为真,求实数m的 取值范围. x

∵命题 p:f(x)=-(5-2m)x 是减函数,

【错因】 本题错解中是由命题p,先求綈p(即命题p的否定).事实上,命 题f(x)=-(5-2m)x是减函数的否定,包括y=-(5-2m)x为增函数和它不 单调两种情形.为了避免出错,在处理这类问题时,一般应由p真得出参 数的取值范围,再求出其补集,即为綈p为真时参数的取值范围.
【正解】 由f(x)=-(5-2m)x是减函数,知5-2m>1, ∴m<2,∴当綈p为真时,m≥2, ∴实数m的取值范围是[2,+∞).

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