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第七讲 一元二次方程伟大定理

时间:2014-06-24


深圳市金牌文化

2008 年秋季

编号:MO9J07

第七讲
【知识要点】

一元二次方程

1.一元二次方程的概念.只含一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一 元二次方程的一般形式: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) .

2.一元二次方程根的差别式 ? ? b ? 4ac
2

(1) ? ? 0 ? 方程 (2) ? ? 0 ? 方程 (3) ? ? 0 ? 方程

实数根; 实数根; 实数根.

作用:不解方程判断一元二次方程根的情况,证明方程有无实根,有无相等的实数根;已知根的某 些条件确定方程中已知字母的取值范围. 3.一元二次方程的解法:①直接开方法;②配方法:先将二次项系数化为 1,再以一次项系数的一半进

? b ? b 2 ? 4ac 行配方;③公式法:方程一定要整理成一般形式再计算 ;④因式分解法:使二次项系数 2a
为正数,方程右边必须为 O 才可进行. 4.一元二次方程根与系数的关系 (1)若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根为 x1 , x 2 ,则 x1 ? x 2 ? ? (2)根据韦达定理和根的判别式可以讨论方程根的符号: ①当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0且x1 x2 ? 0 时,则两根 ?

b c , x1 x 2 ? ; a a

? ?若x1 ? x2 ? 0, 则两根 ? ?若x1 ? x2 ? 0, 则两根

?若x1 ? x 2 ? 0, 则两根 ? ? ②当 x1 x2 ? 0 时,则两根 ?若x1 ? x 2 ? 0, 则两根 ? ? ?若x1 ? x 2 ? 0则两根
③当 ? ? b ? 4ac ? 0 且 x1 x2 ? 1 时,则两根互为倒数.
2

(3)根与系数间常用关系式 ①两根互为相反数 ? b ? 0且? ? 0 ②两根互为倒数 ?
2 2

c ? 1且? ? 0 a

③ x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ④

1 1 x1 ? x2 ? ? x1 x2 x1 x2
( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
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⑤ x1 ? x 2 ?

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【经典例题】 例 1.若方程 (m2 ? 9) x m A、-3 类题练习: 关于 x 的方程 (m2 ? 3m ? 2) x m
2 2

2008 年秋季

编号:MO9J07

?2m?1

? (m ? 1) x ? 3m ? 0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值为(
C、3 或-1 D、-1

).

B、3

?5m?6

? (7 ? m) x ? 2 ? 0 是一元二次方程,则 m 的值为
). C、 ? 1 ? k ? 0 D、 k ? 0

.

例 2.关于 x 的方程 x 2 ? 2 k ? 1x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A、 k ? ?1 类题练习 练习 x 的一元二次方程 x 2 ? (2k ? 1) x ? k ? 1 ? 0 根的情况是( A、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 ) B、 k ? 0

B、有两个相等的实数根 D、无法判定

例 3.关于 x 的方程 k 2 x 2 ? (2k ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则当两根互为相反数时, k 的值为 ( ) A、1 B、-1 C、

1 2
).

D、不存在

类题练习 方程 3x ? 4 x ? k ? 0 有实数根,当两根的乘积最大时, k 的值为(
2

A、0
2

B、

4 9

C、

4 3

D、

16 3

例 4.若方程 4 x ? 8x ? k ? 0 两根的平方和等于 求(1) k 的值 (2)

5 . 2
(3) x1 ? x2 ;

1 1 ; ? x1 x 2

类题练习
2 已知 x1 , x 2 是方程 2 x ? mx ? 2 ? 0 的两根, x1 ? x 2 ?

3 ,求 m 的值. 2

例 5. 已知直角三角形两边的长恰好是方程 x ? kx ? 12 ? 0 的两个根 x1 , x2 , 且x1 ? x2 ? 1 .求 (1)k 的值;
2

(2)直角三角形第三边的长.

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类题练习

2008 年秋季

编号:MO9J07

已知方程 x ? 18x ? 65 ? 0 的两根恰好是一直角三角形两边的长,求直角三角形第三边的长.
2

【课堂练习】 一、选择题 1.下列是关于 x 的一元二次方程的是( A、 ( x ? 2) 2 ? (6 ? x) 2 C、 x ?
2

). B、 x 2 ? y ? 0 D、 ? x ? 6 x ? 2 x ? 12
2

1 ?0 x
).

2.方程 ( x ? 3) 2 ? 6 ? 2 x 的根是( A、 x ? ?3或x ? 1

B、 x ? 3或x ? ?1 C、 x ? 3或x ? 1

D、 x ? ?3或x ? ?1 ). D、2 ).

3.方程 2 x(kx ? 4) ? x 2 ? 6 ? 0 无实数根, k 的最小整数值为( A、-1
2

B、0

C、1

4.若方程 (k ? 1) x ? 2kx ? k ? 5 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值为( A、 k ? ?

5 4
2

B、 k ? ?

5 4

C、 k ? ?

5 4
).

D、 k ? ? 且k ? ?1

5 4

5.已知方程 2kx ? x ? k ? 0 有一个根是-1,则另一根为( A、

1 2

B、1
2

C、0

D、2 )

6.已知关于 x 的一元二次方程 x ? mx ? 2m ? 1 ? 0 两根的平方和为 7,则 m 的值为( A、5 二、填空题 1.方程 x ? 5 ? 0 的解是
2

B、-1

C、5 或-1

D、-5 或 1

. . . .

2.方程 2 x ? ax ? a ? 2 ? 0 有两个相等的实数根,则 a ?
2

3.关于 x 的方程 (k ? 1) x ? 4 x ? 5 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k
2

4.关于 x 的方程 2 x ? x ? m ? 0 的一个根是-1,则 m ?
2

,另一根为

三、解答题 1.已知 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,求 1 ? 2 x ? 3x ? 4 x 的值.
2 3 2

2.已知方程 8x ? (k ? 1) x ? k ? 7 ? 0 ,根据下列条件,分别求 k 的值.
2

(1)两根互为相反数; (2)两根互为倒数; (3)一根为零.

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深圳市金牌文化 一元二次方程作业
1、用直接开方法解下列方程: (1) 2 x ? 8 ? 0
2

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姓名
(2) ( x ? 5) 2 ? 36 ? 0

成绩
(3) ( x ? 4)(x ? 4) ? 8

2、用配方法解下列方程: (1) x ? 6 x ? 16 ? 0
2

(2) 2 x ? x ? 1 ? 0
2

(3) 2 x ? 5 x ? 1
2

3、 用公式法解下列方程: (1) 2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

(2) x ? 2 3x ? 3 ? 0
2

(3) 3 y 2 ? 5 y ? 1 ? 0

4、用因式分解法解下列方程: (1) 2 x ? 5x ? 2 ? 0
2

(2) ( x ? 3)(x ? 7) ? ?9 (3) (2 y ? 1) 2 ? 8(2 y ? 1) ? 15 ? 0

5、用恰当的方法解下列方程: (1) (4 x ? 2) ? x(2 x ? 1)
2

(2) x 2 ? ( 3 ? 2) x ? 2 3 ? 0

6、解关于 x 的一元二次方程: (1) x ? 2(m ? 3) x ? m ? 6m ? 8 ? 0
2 2

(2) (m ? 1) x ? 3x ? m ? 2 ? 0(m ? 1)
2

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