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高一数学上册全册教案

时间:2013-07-18


长风破浪会有时

高中数学新人教必修一全套学案
§1.1 集合(1) 一、知识归纳: 1、 集合:某些 的对象集在一起就形成一个集合,简称集。 元素:集合中的每个 叫做这个集合的元素。

?列举法: 2、集合的表示方法 ? ?描述法:
二、例题选讲: 例 1、观察下列实例: ① 小于 11 的全体非负偶数;
2



?有限集: ? 3、集合的分类 ?无限集: ?空集: ?
②整数 12 的正因数;

③抛物线 y ? x ? 1 图象上所有的点; ④所有的直角三角形; ⑤高一(1)班的全体同学; ⑥班上的高个子同学; 回答下列问题: ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集. 例 2、用适当的方法表示以下集合: ⑴平方后与原数相等的数的集合;⑵设 a, b 为非零实数, ⑶不等式 2 x ? 6 的解集;

a a

?

b b

可能表示的数的取值集合;

⑷坐标轴上的点组成的集合;

⑸第二象限内的点组成的集合; ⑹方程组 ? 三、针对训练: 1.课本 P5 第 1 题: 2.课本 P6 第 1、2 题 3.已知集合 A ? x | ax ? 2 x ? 1 ? 0
2

?x ? y ? 5 的解集。 ?x ? y ? 1

⑴若 A 中只有一个元素,求 a 及 A ;⑵若 A ? ?, 求 a 的取值范围。 §1.1 集合(2) 一、知识归纳: 4、集合的符号表示: ⑴集合用 表示,元素用 ⑵如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作: 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A ,记作: ⑶常用数集符号: 非负整数集(或自然数集) : 正整数集: 整数集: 有理数集: 5、 元素的性质: (1) (2) (3) 二、例题选讲: 例 3 用符号 ?与 ? 填空: ⑴0 ⑵3

?

?

表示。

实数集:

N* ; 3

Z ;0

N ; (?1) 0

N *; 3 ? 2

Q;

?2,3?; 3

??2,3??; ?2,3?

??2,3??; ?3,2?

??2,3??

4 3

Q。

例 4 (1)已知 A ? x 2 ? x ? 5 ,判断 a、 b 是否属于 A ? a ? (2)已知 A ? a, a , B ? ? , b? A ? B, 求 a, b 1 .
2

?

?

7 , b ? sin 42? ? tan 31?

?

?

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三、针对训练: 1.课本 P5 第 2 题 2.习题 1.1 3.已知: A ? y | y ? x 2 ? 1且x ? N ⑴0

?

? B ? ?( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 2 ?,用符号?与 ? 填空
A ; (1,2)
B ;2 B。

A ; 3 .5

A ; 10

A 。

⑵(0,0)

B; (1,1)

1.1 集合练习题 A组 1、用列举法表示下列集合: (1){大于 10 而小于 20 的合数} (2)方程组 ?

; 。

?x ? y ? 1
2 2 ?x ? y ? 9

的解集

2.用描述法表示下列集合: (1)直角坐标平面内 X 轴上的点的集合 (2)抛物线 y ? x ? 2x ? 2 的点组成的集合
2

; ; 。 。

1 有意义的实数 x 的集合 x ? x?6 2 3.含两个元素的数集 a, a ? a 中,实数 a 满足的条件是
(3)使 y ?
2
2 4. 若 B ? x | x ? x ? 6 ? 0

?

?

? ,则 3

?

B ;若 D ? ?x ? Z | ?2 ? x ? 3
C. 0 ? ? D. 0 ? N

? ,则 1.5

D。

5.下列关系中表述正确的是( A. 0 ? x ? 0
2

?

?

B. 0 ? ? 0,0?

? 6.对于关系:①3 2 ? x x ? 17 ;② 3 ∈Q;③0∈N; ④0∈ ? ,其中正确的个数是
A、4 B、3 7.下列表示同一集合的是( B. M ? ?1,2? C、2 ) D、 1

?

?



?

?

A. M ?(2,1),(3,2) ? ? C. M ? y | y ? x ? 1,x ? R
2 2

N ?(1,2),(2,3) ? ?
2

N ? ? y | y ? x ? 1,x ? N ? ? ? | D. M ? (x,y) y ? x ? 1,x ? R? N ? ? y | y ? x ? 1,x ? N ? ? 8.已知集合 S ? ?a, b, c ? 中的三个元素是 ?ABC 的三边长,那么 ?ABC 一定不是 (
2

N ? ?2,1?



A.锐角三角形 B.直角三角形 9.设 a、b、c 为非 0 实数,则 M ? A、{4}

C.钝角三角形

D.等腰三角形

a b c abc 的所有值组成的集合为( ) ? ? ? a b c abc
C、{0}

10. 已知 x | x ? mx ? n ? 0, ?m, n ? R? ? ?? 1,?2?,求 m , n 的值.
2

?

B、{-4}

?

D、 {0,4,-4}

11.已知集合 A= ? x ? N ?

? ?

12 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A. 6? x ?

2 12.已知集合 A ? x | ax -3x -4=0,x ? R (1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围,

?

?

(2)若 A 中至多只有一个元素,求实数 a 的取值范围。
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B组 1.含有三个实数的集合可表示为 ? a,

? b ? ,1? ,也可表示为 ?a 2 , a ? b, 0? ,求 a 2006 ? b2007 的值。 ? a ?

2.已知集合 A ? ?x | ax ? b ? 1? , B ? ?x | ax ? b ? 4? ,其中 a ? 0 ,若 A 中元素都是 B 中 元素,求实数 b 的取值范围。

3*. 已知数集 A 满足条件 a ≠1,若 a ? A ,则

(1) 已知 2 ? A ,求证:在 A 中必定还有两个元素 (2) 请你自己设计一个数属于 A ,再求出 A 中其他的所有元素 (3) 从上面两小题的解答过程中, 你能否悟出什么 “规律” ?并证明你发现的这个 “规律” 。

1 ? A。 1? a

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参考答案 A 组: 1、 (1) ? ,14,15,16,18?; (2) ??5,?4?? 。 12

2、 (1) ??x, y ? | x ? R, y ? 0?; (2) ?x, y ? | y ? x 2 ? 2x ? 2 ; (3) x | x 2 ? x ? 6 ? 0 。 3、 a ? 0,2 。 4、? ;? 。 12、 (1) a ? ? B 组: 5—9、DCBDD。 10、 m ? 3, n ? 2 。

?

?

?

11、 A ? ?0,2,3,4,5?。

?

9 9 且a ? 0; (2) a ? ? 或a ? 0。 16 16

?a ? ?1 3 2006 ? b 2007 ? 1 . 2、 b ? ? 。 ;a 2 ?b ? 0 1? ? 3、 (1) A ? ?2,?1, ? ; (2)略; (3)A 的元素一定有 3k ?k ? Z ? 个。 2? ?
1、 ? §1.2 子集、全集、补集(1) 一、知识归纳: 1、子集:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的 元素都是集合 B 的元素,我们 就说集合 A 集合 B ,或集合 B 集合 A 。也说集合 A 是集合 B 的子集。 即:若“ x ? A ? x ? B ”则 A ? B 。 子集性质: (1)任何一个集合是 的子集; (2)空集是 集合的子集; (3)若 A ? B , B ? C ,则 。 2、 集合相等:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 的 元素都是集合 B 的元素, B。 同时集合 B 的 元素都是集合 A 的元素,我们就说 A B ,同时 B A ,那么 A ? B 。 即:若 A B ,并且 A B ,我们就说集合 A 是集 3、 真子集:对于两个集合 A 与 B ,如果 A B 的真子集。 合 性质: (1)空集是 集合的真子集; (2)若 A B , B C , 。 4、易混符号: ①“ ? ”与“ ? ” :元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ :{0}是含有一个元素 0 的集合,Φ 是不含任何元素的集合 5、子集的个数: (1)空集的所有子集的个数是 个 (2)集合{a}的所有子集的个数是 个 (3)集合{a,b}的所有子集的个数是 个 (4)集合{a,b,c}的所有子集的个数是 个 猜想: (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少? (2) ?a1 , a2 ?, an ? 的所有子集的个数是多少? 结 论 : 含 n 个 元 素 的 集 合 ?a1 , a2 ?, an ? 的 所 有 子 集 的 个 数 是 , 所有真子集的个数是 ,非空子集数为 ,非空真子集数为 。 二、例题选讲: 例 1 (1) 写出 N,Z,Q,R 的包含关系,并用文氏图表示 (2) 判断下列写法是否正确:Φ ? A ②Φ A ③ A ? A ④A A 例2 填空: Φ ___{0},0 Φ ,0 {(0,1)}, (1,2) {1,2,3},{1,2} {1,2,3} 例 3 已知 A = ?0,1,2,3? , A 的子集数为 则 ,A 的真子集数为 ,A 的非空子集数为 所有子集中的元素和是 ? 三、针对训练: 1、 课本 9 页练习;



2、已知 ?? ? A ? ? ,2,3,4?,则 A 有 1 1

个?

?1?

A ? ?1, 2,3, 4? ,则 A 有

个?

?1?

A

?1,2,3,4? ,则 A 有

个?

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3、已知 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x ax ? 1 ? 0 , B
2

?

?

?

?

A ,求 a 的值.

1.2 子集 全集 补集(2) 一、知识归纳: 1、全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的 个全集,全集通常用 U 表示。 2、补集:设 S 是一个集合, A 是 S 的子集,由 S 中所有 叫做 S 中子集 A 的补集。即: C S A ? 性质: C s ?C S A? ? ; CS S ? ; CS ? ? ,这个集合就可以看作一

A 元素组成的集合,
。 。

二、例题选讲: 例 1、若 S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CSA。 例 2、已知全集 U=R,集合 A ? x 1 ? 2 x ? 1 ? 9

?

?

,求 C U A

例 3、已知: S ? x ? 1 ? x ? 2 ? 8 , A ? x ? 2 ? 1 ? x ? 1 , B ? x 5 ? 2 x ? 1 ? 11 ,讨 论 A 与 C S B 的关系

?

?

?

?

?

?

三、针对训练: 1、课本 P10 练习 1、2 题 2、已知全集 U,A 是 U 的子集, ? 是空集,B=CUA,则 CUB= (A)M=CUP, (B)M=P, (C)M ? P, (D)M ? P.

3、设全集 U ?U ? ? ? ,已知集合 M , N , P 满足 M=CUN,N=CUP,则 M 与 P 的关系是( 4、已知全集 U ? x ?1 ? x ? 9 , A ? x 1 ? x ? a ,若 A ? ? ,则 a 的取值范围是(

,CU ? =

,CUU=

。 )

?

?

?

?



? A? a ? 9 , ? B ? a ? 9 , ?C ? a ? 9 , ? D?1 ? a ? 9 2 5、已知 U ? ?2,4,1 ? a? , A ? ?2, a ? a ? 2? ,如果 CUA={-1} ,那么 a 的值为
6、集合U={ (x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2} , } A={ (x,y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3} ,求 CUA. 1.2 子集、全集、补集练习题 A 组: 1.已知集合 P={1,2},那么满足 Q ? P 的集合 Q 的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D. 1 2.满足{1,2} ? A ? ?1,2,3,4,5? 条件的集合 A 的个数为( ) A.4 B.6
2



3.集合 A ? x | x ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R? 的所有子集的个数为( ) A.4 B.3 C.2 4.在下列各式中错误的个数是( ① 1? 0,1, 2 D.1 )

?

C.8

D.10

?

? ;② ?1? ??0,1, 2? ;③ ?0,1, 2? ? ?0,1, 2? ;④ ? ? ?0,1, 2? ;⑤ ?0,1,2? ? ?2,0,1? ?

A.1 B.2 C.3 D. 4 5.下列六个关系式中正确的有( )
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① ?a, b? ? ?b, a?;② ?a, b? ? ?b, a?;③ ?a, b? ? ?b, a?;④ ?0? ? ? ;⑤ ? ? ?0? ;⑥ 0 ? ?0? .
?

A.6个 B.5个 C.4个 D.3个及3个以下 6. 全集 U ? ?1, 2,3? , M ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 则CU M 等于 ( )

?

?

A. ?1?

B. ?1 2? ,

C. ?3?

D. ?2? ) C. P ? M
?

7. 知全集 S 和集合 M 、 N 、 P , M ? Cs N , N ? Cs P ,则 M 与P的关系是 ( A. M ? Cs P B. M ? P D. M ? P
?

8.已知全集 U ? ?3,5, 7? , 数集A ? ?3, a ? 7 ? , 如果CU A ? ?7? , 则a 的值为 ( ) A.2 或 12 B. –2 或 12 C.12 D.2 9.已知 U 是全集,集合 M,N 满足关系 M ? N ,则( ) 10.若 ?1, 2,3? ? A ? ?1, 2,3, 4? ,则 A ?
?

A、 CU M ? CU N

B、 CU M ? CU N

C、 M ? CU N

D、 M ? CU N

11.设全集 U ? R, A ? ?x | a ? x ? b? , Cu A ? ?x | x>4或x<3? ,则 a =______, b =______. 12. 设数集 A ? ?1, 2, a? , B ? 1, a 2 ? a , 若A ? B,求实数a的值。
2 2 13. 集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? 2 x ? a ? 1? 0? , B ? A, 求a的范围。

?

?

?

?

?

14.求满足 x | x 2 ? 1 ? 0, x ? R ? M ? x | x 2 ? 1 ? 0, x ? R 的集合M 的个数.
?

?

?

?

?

15. 已知集合 A ? ? x |1 ? x <4? , B ? ? x | x <a? , 若A ? B ,求实数 a 的取值集合.
?

16.若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B ? A,求由 m 的可取值组成的集合。

2 17. 设全集 I ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? 2a ? 1 , 2 , CI A ? ?5? ,求实数 a 的值。

?

?

?

?

x 18.已知全集 S ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,是否存在实数 a、b, M ? x ? S? ? ax ? b ? 0 , 使得
2

?

?

CS M ? ?1, 4,5,6?.
19.设 U ? R, A ? x ? R | ?1<x ? 5或x=6 , B ? ?x ? R | 2 ? x<5? 求 CU A , CU B和C A B

?

?

2 2 20.设全集 S ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , A ? x | x ? px ? q ? 0 , 若 CS A ? ? ,求 p 、 q .

?

?

?

?

B组 1. 知 S ? ?a, b? , A ? S , 则A与C A s 的所有有序组对共有 A. 1 组 B.2 组 C. 3 组 D.4 组

( )

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2.设S为非空集合,且 S ? ?1, 2,3, 4,5? ,求满足条件“若 a ? s ,则 6 ? a ? s ”的集合S。 *3.集合 S ? ?01 2,4, , A 是 S 的一个子集,当 x ? A 时,若 x ? 1 ? A ,且 x ? 1 ? A ,则 , 3,5? , 称 x 为 A 的一个“孤立元素” ,那么 S 中无“孤立元素”的 4 元子集的个数是( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 参考答案 1—9、ACAA BCBA A。 10、 A ? ? ,2,3,4?。 11、 a ? 3, b ? 4 。 12、 a ? ?1,0 。 1 13、 a ? 2 。 14、3. 17、 a ? 2 。 15、 ?a | a ? 4? 。 16、 ?m | ?3 ? m ? 3?。 18、 a ? ?5, b ? 6 。

19、 CU A ? ?x | x ? ?1或5 ? x ? 6或x ? 6?; CU B ? ?x | x ? 2或x ? 5?;

C A B ? ?x | ?1 ? x ? 2或x ? 5或x ? 6?。 20、 p ? 3, q ? 2 。

B 组: 1、D. 2、 ?3?, ? ,5?, ?2,4?, ? ,3,5?, ?2,3,4?, ? ,2,4,5?, ? ,2,3,4,5?。 3、C. 1 1 1 1 §1.3 交集、并集(1) 一、知识归纳: 1、交集定义:由所有属于集合 A 即: A ? B ? 2、并集定义:由所有属于集合 A 即: A ? B ? 性质: A ? A ? , A ?? ? , A ?? ? 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集。 。 属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的并集。 。 , A? B ? , A? B ? ; A ? ( CU A )= ; A ? ( CU A )= 。 。 。 。 ;A ? B= , 。

A? A ?
二、例题选讲:

例 1、设 A ? x x ? 2 , B ? x x ? 3 ,求 A ? B= 例 3、设 A ? ?4,5,6,8? B ? ?3,5,7,8? ,求 A ? B=

?

?

?

?

例 2、设 A ={x|x 是等腰三角形} B ={x|x 是直角三角形} , ,求 A ? B= 例 4、设 A ={x|x 是锐角三角形} B ={x|x 是钝角三角形} , ,求 A ? B= 三、针对训练: 1、课本 P12 练习 1——5 题;

? ? ? 3、设 A ? ?? x, y ? y ? ?4 x ? 6? ,

2、设 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 1 ? x ? 3 ,求 A∪B=

?

;A ? B= 。



B ? ?? x, y ? y ? 5 x ? 3? ,求 A ? B=

4、已知 A 是奇数集, B 是偶数集, Z 为整数集, 则 A ? B= ,A ? Z= ,B ? Z= ,A ? B= ,A ? Z= 5、设集合 A ? ?4, 2m ? 1, m 求实数 m 的值.

?

2

? , B ? ?9, m ? 5,1? m?,又 A ? B={9},

,B ? Z=

.

四、本课小结: 1、A∩B= 一、知识归纳:

; 2、A∪B= §1.3 交集、交集(2)



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1、交集性质: A ? A ? 2、 并集性质:A ? A ?

,A ?? ? ,A ? ? ?

,A ? B ? ,A ? B ?

; A ? ( CU A )= ;A ?( CU A ) = 。 , uB= C

, 。

3、 德摩根律: (课本 P13 练习 4 题) ( CU A ) ? ( CU B )= , CU A ) ? ( CU B )= ( 二、例题选讲: 例 1、 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? , A ? ?3, 4,5? ,B ? ?4,7,8? , CuA= 设 则

, uA) (C

? (CuB)= Cu(A ? B)=

例 2、已知集合 A ? y y ? x ? 4 x ? 5 , B ? x y ? 5 ? x ,求 A∩B,A∪B.
2

?

,(CuA) ? (CuB)= , Cu(A ? B)=



?

?

?



例 3 已知 A ? x ?2 ? x ? 4 , B ? x x ? a , (1) 当 A ? B ? ? 时,求实数 a 的取值范围; (2) 当 A ? B ? B 时,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

三、针对训练: 1、课本 P13 练习 1—3 题

2 2 2、已知 A= ?3, a , a ? 1 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A ? B ? ??3? ,求 A ? B

?

?

?

?

3、若集合 M、N、P 是全集 S 的子集,则图中阴影部分表示的集合是( ) A. ( M ? N ) ? P B. ( M ? N ) ? P 4 、 设 M , P 是 两 个 非 空 集 合 , 规 定 M ? P ? ? x x ? M , 且x ? P? , 则 C. (M ? N ) ? CS P D. (M ? N ) ? CS P

N M P
第 9题

M ? ? M ? P 等于( ) ?
5、已知全集 U ? ?不大于20的质数? , A,B 是 U 的两个子集,且满足 则A? ;B ? 。

? A? M ,

? B ? P , ? C ? M?

, P

? D? M?

P

A ? ? CUB? ? ?3,5? , ? CUA? ? B ? ?7,19? , ? CUA? ? ? CUB? ? ?2,17? ,

四、 本课小结:1、交集的性质:2、并集的性质:3、德摩根律: 1.3 交集、并集练习题(1) A组 1. 设全集 I ? ?0,2,4? ,集合 A ? ?0,2, ,集合 B ? ?2,4? ,则 CI A ? CI B 等于( 1 3, , 1 3? , 3, A. ? B. ?4? C. ?0, 1? D. ?0,4? 1 , 2.设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I , 则下列各式中错误的是( ) A、 ? C A? ? B ? I I



? ? 3、已知 M ? x x ? a ? 3a ? 2, a ? R , N ? x x ? b ? b, b ? R ,则 M、N 的关系是( )
2 2

?

B、 ? C A? ? ? C B ? ? I C、 A ? ? C B? ? ? D、 ? C A? ? ? C B ? ? C B I I I I I I

?

?

?

B. M ? N? M C.M ? N D.不确定 2 2 4.已知集合 M ? ? y ? y ? x ? 1 , N ? ?? x, y ? ? x ? y ? 1? ,则集合 M ? N 中元素的个数 ?
是( ) 个数是( ) 5.已知集合 M ?(x,y)y ? x ?1 , N ? ? ? ? A、0 B、1 A、0 B、1

A. M ? N ? M

?? x, y ? ? x
C、2

C、2

2

? y ? 1? ,则集合 M ? N 中元素的
2

D、多个

D、多个

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6.P,Q 为两个非空实数集合,定义 p ? Q ? ?a ? b ? a ? P, b ? Q? P ? ?0, 2,5? , Q ? ?1, 2,6? , 7、全集 U={1,2,3,4,5},集合 A、B ? U,若 A ? B ? ?4? , ? C A? ? B ? ?2,5? ,则集合 B U 等于( ) 则 P+Q 中元素的个数是( ) A、9 B、8 C、7 D、6

A .?2, 4,5?
B、6
2

?

B.?2,3,5?
D、10

C.? 3 , 4? 5 ,

D.?2,3, 4?

8.满足 A ? B ? ?a1 , a2 ? 的集合 A、B 的组数为( ) A、5
2 ? ? 9.已知 M ? y y ? x ? 2 x ? 2, x ? R , N ? y y ? ? x ? 2 x, x ? R , 则 M ? N =

?

C、9

?

?

?

10.已知全集 U ? R , A ? ?x | ?1 ? x ?1 ? 2? , B ? ?x | x ? a ? 0,a ? R?

? , Cu A ? Cu B ? ?x | x ? 1 或 x >3 ? ,则 a ?________ 2 11.设集合 A ? ? x , 2 x ? 1, ?4? , B ? ? x ? 5,1 ? x,9? ,若 A ? B ? ?9? , 求 A ? B 。
? ? 12.设集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x x ? a ,若 A ? B ? ?, 求实数 a 的集合。

若 Cu A ? Cu B ? ?x | x 〈0

?

?

?

?

?2 13、 集合 A ? x x ? ax ? 1 ? 0, x ? R , B ? ?1, 2? , 且 A ? B ? A , ,求实数 a 的取值范围。

?

?

14.某班 50 个同学中有 32 人报名参加数学竞赛,有 25 人报名参加化学竞赛,有 3 人两样竞 赛都不参加,求: (1)数学竞赛和化学竞赛都参加的有多少人?(2)只参加一种竞赛的共有多少人?

B组 1.设集合 M ? ? x ? x ?

A .M ? N

k 1 k 1 ? ? ? ? ? , k ? Z ? , N ? ? x ? x ? ? , k ? Z ? ,则( 2 4 4 2 ? ? ? ? B .M ? N C . M ? N D. M ? N=?
? ?



2.若集合 A1 、A2 满足 A ? A2 ? A ,则称 ( A , A2 ) 为集合 A 的一种分拆,并规定:当且仅当 1 1 则集合 A ? {a1 , a2 , a3} 的不同分拆 A1 ? A2 时,( A1, A2 ) 与 ( A2 , A1 ) 为集合 A 的同一种分拆, 种数是( A.8 ) B.9 C.26 D.27

3.已知全集 U ?

y?4 ? ? ?? x, y ??x ? R, y ? R? , 集合 A ? ?? x, y ??x ? 2 ? 3? , ? ? B ? ?? x, y ? y ? 3x ? 2? , 求 ? C A? ? B 。 ?
U

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参考答案 A 组: 1—8:ABCA CBAC 9、 M ? N ? ?x | ?3 ? x ? 1?。 10、 a ? ? ?。 1 13、 ? 2 ? a ? 2 。

11、 A ? B ? ?? 7,?4,4,8,9? 。 12、 ?a | a ? ?1?。 14、 (1)10 人; (2)37 人。 B 组: 1-2:BD。 3、 ?CU A? ? B ? ??2,4??。 1.3 A组 1、已知 U ? ? ,2,3,4?, A ? 1 A. ? ,2? 1

交集、并集练习题(2) )

B. ? ,2,3,4? 1

?1,3,4?, B ? ?2,3,4?,那么 CU ( A ? B) ? (
C. ?
2

D. ? ? ?

2.已知集合 M={-1,1,2},N={y|y=x ,x ? M},则 M ? N 是( ) A. {1} B. {1,4} C.{1,2,4} D. ?

3.全集 U ? ?x | ?2 ? x ? 1?, A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0}, C ? {x | ?2 ? x ? 1} ,则 ( A. C ? A 4. 集合 M ? {x | x ? 1} ,P ? {x | x ? t} , M ? P ? ? , 若 则实数 t 应该满足的条件是 ( A. t ? 1 B. t ? 1 C. t ? 1 D. t ? 1 5.已知 A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x-y=1},则 A∩B=( ) A.{2, 1} B.{x=2,y=1} C.{(2,1)} D.(2,1) 6.设 I 为全集,S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集且 S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的 A.C ISI∩(S2∪S3)= ? B.S1 ? (C I S2∩C IS3) 7.已知集合 M ? ?直线? , N ? ?圆? ,则 M ? N 中的元素个数为( ) 8.全集 U ? ?1 2,4, , A ? B ? ?2? , Cu A ? B ? ?4? , Cu A ? Cu B ? ?15? ,则 ,3,5? ( ) ( )( ) , A.0 B.0,1,2 其中之一 C.无穷 D.无法确定 C.C ISI∩C IS2 ∩C IS3= ? D.S1 ? (C
I

) )

B. C ? CU A

C. CU B ? C

D. CU A ? B

S2∪C IS3)

A ? ____, B ? ____
9.某班参加数学课外活动小组有 22 人,参加物理课外活动小组有 18 人,参加化学课外活动 小组有 16 人,至少参加一科的课外活动小组的有 36 人,则三科课外活动小组都参加的同 学至多有________人。

? ?? 10.设 A ? x 2 x ? px ? q ? 0 , B ? x x ? ( p ? 2) x ? 5 ? q ? 0 ,若 A ? B ? ? ? ,求
2 2

?

?

?

?

A? B 。

?1 ? ?2?

2 11.集合 P={1,3,m}, Q ? m ,1 ,且 P ? Q ? ?1,3, m? ,求实数 m 的值。

?

?

12.已知 A ?

?? x, y ??y ? x

2

? x ?1 , B ?

?

?? x, y ??y ? ? x ? 4? ,求 A ? B 。
2

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13.若 A ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0}, B ? {x | ax ? 6 ? 0} ,且 A ? B ? A ,求由实数 a 组成的集 合

B组

1.设全集 U ? R , P ? ?x | (x) 0,x ? R? , Q ? ?x | g x) 0,x ? R? , f ? ( ?

S ? ?x | ? x) 0,x ? R? ,则方程 ( ?
A. P ? Q ? S B. P ? Q

2 f(x)+g2 x) ( ? 0 的解集为( ) ? x) ( C. P ? Q ? u S) D. P ? Q) S ( ? (C

2.设 P、Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? (a,b)|a ? P且b ? Q ,若 P ? ?1 2,4,5? , ,3,

?

?

Q ? ?3,5, ,则集合 P ? Q 中元素个数为( ) 4,6?
A. 5
4

B. 4

5

C.20

D.9 参考答案

A 组: 1—7、CADC CCA 8、 A ? ?2,3?, B ? ?2,4? ; 9、10;

?1 1 ? ?2 3 ? 11、 m ? ? 3 ,或 m ? 0 ; ? ? 3 7 ?? 12、 A ? B ? ??1,3?, ? ? , ?? ? 2 4 ?? ? 13、 a ? ?0,2,3?
10、 A ? B ? ? , ,?4? ; B 组: 1――2、CC

函数的概念学案 学习目标
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1、通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素,进一步巩固初中常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数) 的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念,能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力 教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念 教学难点 函数的概念、符号 y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题 1、在初中,甚至在小学我们就接触过函数,在实际生产生活中,函数也发挥着 重要的作用,那么,请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题 2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题,阅读课本 p15 实例(1)(2)(3) 、 、 ,进一步体会函数的概念 问题 3、在实例(1)(2)中是怎样描述变量之间的关系的?你能仿照描述一下实例 、 (3)中恩格尔系数和时间(年)之间的关系吗?

问题 4、分析、归纳上述三个实例,对变量之间的关系的描述有什么共同点呢? 函数的概念 一般地,设 A 、 B 是 __________ ____ ,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中 的 _ _ _ _ _ _ _ 个 数 x , 在 集 合 B 中 都 有 __________ _____ 和 它 对 应 , 那 么 就 称 一 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 __________ ________ 其中 x 叫做自变量,x 的 取值范围 A 叫做函数的 __________ ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合

? f ?x? | x ? A?叫做函数的 _______

问题 5、在实例(2)中,按照图中的曲线,从集合 B 到集合 A 能不能构成一个函数呢? 请说明理由 练习 1、 1、在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中,不可以确定 y 是 x 的函数的是(



x 3 (2) A ? ?x | x ? 0 ? , B ? R ,对应关系 f : x ? y 2 ? 3x
(1) A ? Z , B ? Z ,对应关系 f : x ? y ? (3) A ? R , B ? R ,对应关系 f : x ? y : x 2 ? y 2 ? 25 (4) A ? R , B ? R ,对应关系 f : x ? y ? x 2 2、下图中,可表示函数 y ? f ?x ? 的图像只能是( y y x y ) y

O

O B

x

O C

x

O D

x

A 三、区间的概念 阅读课本 p17 ,明确区间的概念

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练习 2、把下列数集转化为区间 (1) {x | ?1 ? x ? 2} (2) {x | 0 ? x ? 10} (3) {x | ?1 ? x ? 5} (5) ?x | x ? 9? (4) {x | x ? ?3}

(6) {x | x ? ?2} 四、填写下表

映射学案 本课重点:映射概念的理解,映射与函数的区别、联系;映射中两集合元素之间的对应关系 【预习导引】 1、 关于映射,下列说法错误的是 ( ) A. A 集合中的每个元素在 B 集合中都存在元素与之对应; B. “在 B 集合中存在唯一元素和 A 集合中元素对应”即 A 中的元素不 能对应 B 集合中一个以上的元素; C. A 集合中可以有两个或两个以上的元素对应 B 集合中的一个元素; D. B 集合中不可以有元素不被 A 集合中的元素所对应; 2、 判断下列对应是否为 A 集合到 B 集合的映射和一一映射? (1) A ? R, B ? R, x ? A, f : x ? x ; (2) A ? N , B ? N ? , x ? A, f : x ? x ? 1 ; (3) A ? x x ? 2, x ? Z , B ? y y ? 0, y ? Z , x ? A, f : x ? y ? x ? 2x ? 2 ;
2

(4) A ? ? ,2?, B ? ?a, b?, x ? A, f : x ? y ? ?b ? a ?x ? 2a ? b 1 教学过程:引入:初中所学的对应 1) 、对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的一点 P 和它对应; 2) 、对于坐标平面内的任何一个点 A,都有唯一的一个有序实数对(x,y)和它对应; 这节课就是在集合的基础之上重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应——
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?

?

?

?

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映射。 新课:1、观察讨论中接近概念 1) 、引例:观察以下几个集合间的对应,讨论特征 A A B A 开平方 9 4 1 一对多 ① 3 -3 2 -2 1 -1 1 2 3 4

B B 取倒数 1

1 2 1 3
一对一 ②
1 4

A
取绝对值

B

A
乘以 2

B

1 1 -1 2 -2 0 A 1 2 多对一 ③ B 0 2 3 一对一 ? A

④ B

1 2 3 4 5 6 ?

每人领自己的学生证 平方 3 -3 2 -2 1 -1 多对一 9 4 1 高 一 (9) 班 同 学 一对一 高 一 (9) 班 学生证

⑤ ⑥ 讲解:1) 、以上对应的特征:对于集合 A 中的任何一个元素,按照某种对应法则 f ,在集 合 B 中都有确定的一个或几个元素和它对应。具体为:一对多,一对一,多对一。 2) 、在这些对应中有那些是让A中元素就对应B中唯一的一个元素: (让学生仔细观察, 回答②③④⑤⑥) ②③④⑤⑥的共性:A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应,直观语言表述:A
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中的每个元素在 B 中的结果均唯一。 (由学生总结,教师补充整理引出映射定义) 定义 1:一般地,设A、B是两个集合,若按照某种对应法则 f,对于集合A中的任何一 个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应叫做集合A到集合B的映射, 记作 f:A→B。 (这种具有对应关系的元素也有自己的名称,引出象与原象的概念。 ) 定义 2:给定一个映射 f:A→B,且 a ? A,b ? B,若元素 a 与元素 b 对应,则 b 叫做 a 的 象,而 a 叫做 b 的原象。 (以②③④⑥具体说明谁是谁的象,谁是谁的原象) 。 2、映射定义剖析: 1) 、映射是由三部分构成的一个整体:集合 A、集合 B、对应法则 f,这一点从映射的符 号表示 f:A→B 可看出,其中集合 A、B 可以是数集、点集或其他集合,可以是有限集也可以 是无限集,但不能是空集。 (用引例说明) 2) 、映射 f:A→B 是一种特殊的对应,它要求 A 中的任何一个元素在 B 中都有象,并且 象唯一,即元素与元素之间的对应必须是“任一对唯一” ,不能是“一对多” 。如:引例中① 不是映射。又如:设 A={0、1、2} ,B={0、1、

1 1 } ,对应法则 f:取倒数,可记为 f:x→ , 2 x

因 A 中 0 无象,所以不是映射。 3) 、映射 f:A→B 中,A 中不同的元素允许有相同的象,即可以“多对一” ,如③。 4) 、映射 f:A→B 中,不要求 B 中每一个元素都有原象,如④。即若映射 f:A→B 的象集 为 C,则 C ? B。 5) 、映射是有顺序的,即映射 f:A→B 与 f:B→A 的含义不同。 3、概念的初步应用 1) 、例 1、设集合 A={a,b,c}, B={x,y,z},从集合 A 到集合 B 的对应方式如下图所示, 其中,哪几个对应关系是从集合 A 到集合 B 的映射? A B A B A B a b c ① A a b c B x y z x y z a b c ② A a b c B x y z x y z ③ a b c x y z

④ ⑤ 分析:判断两个集合之间的对应关系是否为映射的方法:根据映射的定义,对于集合 A 中的任意一个元素 a,在对应法则 f 的作用下,在集合 B 中有且只有一个元素 b 与之对应。符 合这个条件的就是从集合 A 到集合 B 的映射,否则就不是。 解:①②③所示的对应关系中,对于集合 A 中的任意一个元素,在对应法则 f 的作用下, 在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应,因此,它们都是从集合 A 到集合 B 的映射; 在④所示的对应关系中,对于集合 A 中的元素 b,没有指定集合 B 中的对应元素,因此, 它不是映射; 在⑤所示的对应关系中,对于集合 A 中的元素 a,在集合 B 中有两个元素 x、y 与之对应, 因此,它也不是因映射。 注:判断两个集合的对应关系是否为映射,关键在于抓住“任意” “唯一”这两个关键词, 一般性结论是:一对一,多对一是映射。 例 2:判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的映射 ①、A=R,B={x|x>0 且 x∈R},f:x→y=|x|
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解:∵0∈A,在法则 f 下 0→|0|=0 ﹡ ②、A=N,B=N ,f:x→y=|x-1|

?B ?

∴不是从集合 A 到集合 B 的映射

解:∵1∈A,在法则 f 下:1→|1-1|=0 B∴不是从集合 A 到集合 B 的映射 2 ③A={x|x>0 且 x∈R} ,B=R,f:x→y=x 2 解:对于任意 x∈A,依法则 f:x→x ∈R,∴该对应是从集合 A 到集合 B 的映射 注:映射是两个集合之间的一种特殊的对应关系,它要求集合 A 中任意一个元素 x,都可 以运用对应法则 f 实施运算,运算产生的结果 y 一定在集合 B 中,且唯一确定。 2) 、由学生自己举几个映射的例子,学生先评判,教师再点评 备用例子 ①A={

1 1 1 ,1,-2} ,B={3,2,1, ,0} f:x→y= +1,x∈A,y∈B 2 2 x

1、

②A=R,B=R,f:x→y=2x+1, x∈A,y∈B * ③A=N ,B={0,1}, f:除以 2 的余数 ④A={某商场的所有商品}B={商品的价格}f:每种商品对自己的价格 小结:①、映射是特殊的对应, 是“一对一”或“多对一”的对应 ②、映射与对应的关系如图所示 对 应 映 射

5、作业:习题 2、1 1、2、7、8 研究课题: 、对应与映射的区别是什么? (1) (2) 、设映射 f:A→B 中象集为 C,若集合 A 中有 m 个元素,象集 C 中有 n 个元素,则 m 与 n 的关系是什么? (3) 、设 A={a、b},B={c、d} ①、用图示法表示集合 A 到集合 B 的所有不同映射; ②、若 B={c、d、e},则 A 到 B 可建立多少个不同映射; 【随堂反馈】 1、 下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是 A、 A ? B ? N ? , 对应法则 : x ? x ? 1; f B、 A ? R, B ? ? ,2?, 对应法则f : x ? y ? ? 1 C、 A ? B ? R, f : x ? y ? ? x ; D、 A ? R, B ? x x ? 0 , f : x ? y ? x





?1, ( x ? 0) ?2, ( x ? 0)

?

?

2

2、 已知集合 P ? ?? 4,4?, Q ? ?? 2,2?下列对应 ? y, 不表示 P 到 Q 的映射 x 的是( ) A、 2 y ? x B、 y ?
2

1 ?x ? 4? C、 y ? 1 x 2 ? 2 D、 x 2 ? ?8 y 2 4

【课后检测】 1、 在给定的映射 f : ? x, y ? ? ? 2x ? y, xy ?? x, y ? R ? 的条件下,点 ? , ? 的原象是 (

?1 ?6

1? ? 6?



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?1 1? ?1 1? ? 1 2? B、 ? , ? ? 或 ? ? , ? ? ?6 6? ?3 2? ? 4 3? 1? ? 1 ?1 1? ? 2 1? C、 ? D、 ? , ? 或 ? - , ? ,? ? ? 36 6 ? ? 2 3? ? 3 4? 2、映射 f : A ? B 定义域 A 到值域 B 上的函数,下列结论正确的是(
A、 ? , ? A、A 中每个元素必有象,但 B 中元素不一定由原象; B、B 中元素必有原象, C、B 中元素只有一个原象; D、A 或 B 可以空集或不是数集;



3、给定映射 f : ? x, y ? ? ? x ? 2 y,2x ? y ? 在映射f作用下?31? ,的象是___

4、已知从 A 到 B 的映射是 f1:x ? 2x-1, 从B到C的映射是f2 : x ?

(选做)已知 f是集合 ? ? ,2?到自身的映射,则这样的映射有多少个?若是一一映射,即 A 1 这样的一一映射有多少个? 函数的表示法学案 预习: 【学习目标】 (1) 掌握函数的表示方法;

f ? x ? ? ______

1 , 从 A 到 C 的映射 x2

(2)通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理 解,同时为今后学习数形结合打好基础。
【自主学习】 1.列表法:通过列出 与对应 的表来表示 的方法叫做列表法 跟踪练 1:某种笔记本的单价是 5 元/个,买 x(x ? {1,2,3,4,)个笔记本需要 y 元,试 } 表示函数 y=f(x) 2.图像法:以 为横坐标,对应的 为纵坐标的点 (x)的图像,这种用“图形”表示函数的方法叫做图像法. 跟踪练 2:用图像法做跟踪练 1 跟踪练 3:作出函数(1)y= 的集合,叫做函数 y=f

2 x

(2)y=2x+1,x∈Z 且 x ? 2 的图象。

3.解析法(公式法) :用 来表达函数 y=f(x) ? A)中的 f(x) (x ,这种表达函数的方 法叫解析法,也称公式法。 跟踪练 4:用解析法做跟踪练 1

4.分段函数:在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着 这样的函数通常叫做 。
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跟踪练 5:课本例 4 跟踪练 6:国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算: 1. 信函质量不超过 100g 时,每 20g 付邮资 80 分,即信函质量不超过 20g 付邮资 80 分,信函 质量超过 20g,但不超过 40g 付邮资 160 分,依此类推; 2. 信函质量大于 100g 且不超过 200g 时,每 100g 付邮资 200 分,即信函质量超过 100g,但 不超过 200g 付邮资(A+200)分,(A 为质量等于 100g 的信函的邮资),信函质量超过 200g, 但不超过 300g 付邮资(A+400)分,依此类推. 设一封 x g(0<x≤200)的信函应付的邮资为 y(单位:分),试写出以 x 为自变量的函数 y 的解 析式,并画出这个函数的图象. 新课:

函数的三种表示方法: (1)解析法:把两个变量的函数关系,用一个 等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式。例如: s ? 60t 2 , A ? ? r 2 , y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) . 说明:①解析式法的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值 求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质; ②中学里研究的主要是用解析式表示的函数。 (2)列表法:列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如:数学 用表中的平方表、平方根表、三角函数表,以及银行里常用的“利息 表”(见课本 P53 页表 1 国民生产总值表) 。 说明:列表法的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时 函数的对应值。 (3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系。例如:气象台 应用自动记录器,描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数 关系的。 (见课本 P53 页图 2-2 我国人口出生变化曲线)
说明:图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况 例题讲解 例 1、某种笔记本每个 5 元,买 x ? {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y(元) ,试写出以 x 为 自变量的函数 y 的解析式,并画出这个函数的图像 解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 D y=5x,x ? {1,2,3,4}. 它的图象由 4 个孤立点 A (1, 5) B (2, 10) C (3, 15) C D (4, 20)组成,如图所示 B 例 2 国内投寄信函(外埠) ,邮资按下列规则计算: 1、信函质量不超过 100g 时,每 20g 付邮资 80 分,即信函质量不超过 A 20g 付邮资 80 分,信函质量超过 20g,但不超过 40g 付邮资 160 分,依次 类推; 2、信函质量大于 100g 且不超过 200g 时,付邮资(A+200)分(A 为 质量等于 100g 的信函的邮资) ,信函质量超过 200g,但不超过 300g 付邮资(A+400)分,依 此类推. 设一封 x g(0<x ? 200)的信函应付邮资为 y(单位:分) ,试写出以 x 为自变量的函数 y 的解 析式,并画出这个函数的图像

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解:这个函数的定义域集合是 0 ? x ? 200 ,函数 的解析式为

?80, x ? (0, 20], ?160, x ? (20, 40], ? ?240, x ? (40, 60], y?? ?320, x ? (60,80], ?400, x ? (80,100] ? ?600, x ? (100, 200].
它的图象是 6 条线段(不包括左端点) ,都平行于 x 轴,如图所示. 在上例中,函数对于自变量 x 的不同取值范围,对应法则也不同,这样的函数通常称为分 段函数。 y 注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数. 例 3、作出分段函数 y ? x ?1 ? x ? 2 的图像 解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:

?? ( 2 x ? 1) ? 3 y ? x ?1 ? x ? 2 = ? ? 2x ? 1 ?
作出图像如右图

x ? ?2 ? 2 ? x ?1 x ?1

o

x

例 4、作函数 y ? 2x2 ? 4x ? 3,(0 ? x ? 3) 的图象. 解:∵ ∴

0? x?3
这个函数的图象是抛物线 y ? 2 x2 ? 4 x ? 3

介于 0 ? x ? 3 之间的一段弧(如图). 四、课堂练习:课本第 56 页练习 1,2,3 补充练习: 1、画出函数 y=|x|= ?

?x ?? x

x ? 0, 的图象. x ? 0.
y _

解:这个函数的图象是两条射线,分别是第一象限和 第二象限的角平分线,如图所示. 五、小结 函数的三种表示方法及图像的作法

六、作业:作出函数 y ?| x 2 ? 2x ? 3 | 的函数图像 解: y ? ?

x _
6

?x ? 2x ? 3 2 ?? ( x ? 2 x ? 3)
2
2

x ? 2x ? 3 ? 0 x 2 ? 2x ? 3 ? 0
2

5

步骤: (1)作出函数 y= x ?2x?3 的图象 (2)将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向上 翻折(上方部分不变) ,即得 y=| x ?2x?3|的图象
2
-6 -4 -2

4

3

2

1

2

4

6

8

-1

-2

-3

-4

函数的单调性学案
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一、 【学习目标】 (自学引导:这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究,然后会运用函 数单调性解决题目.这节课的特点是符号较多,希望同学们课下做好预习.) 1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义; 2、掌握判断函数单调性的判断方法:定义法和图象法; 3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤. 课前引导:函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义? 二、 【自学内容和要求及自学过程】 观察教材第 27 页图 1.3-2,阅读教材第 27-28 页“思考”上面的文字,回答下列问题(自学 引导:理解“上升”“下降”的本质内涵,归纳出增函数的定义) 、 <1>你能描述上面函数的图像特征吗?该怎样理解“上升”“下降”的含义? 、 2 <2>对于二次函数 y=x ,列出表(1),完成表(1)并体会图象在 y 轴右侧上升; x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ? 2 f(x)=x ? ? 2 结论:<1>函数 y=x 的图象,从左向右看是___(上升、下降)的;函数 y=x 的图象在 y 轴 2 左侧是___的,在 y 轴右侧是___的;函数 y=-x 的图象在 y 轴左侧是___的, 在 y 轴右侧是___的;按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标 逐渐增大即函数的自变量逐渐增大;图象是上升的意味着图象上点的___(横、纵) 坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反 映了函数值随着自变量的增大而___; “下降”亦然;<2>在区间(0,+∞)上,任取 x1、 x2,且 x1<x2,那么就有 y1__y2(<,>),也就是有 f(x1) ___f(x2).这样可以体会用数 学符号刻画图象上升. 阅读教材第 28 页“思考”下面的内容,然后回答下列问题 (自学引导:同学们要理解增函数的定义,符号比较多,要一一的理解) 2 <3>数学上规定:函数 y=x 在区间(0,+∞)上是增函数.请给出增函数定义. <4>增函数的定义中, 把“当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2)”改为“当 x1>x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)”, 这样行吗?增函数的定义中,“当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋 势?函数图象有何特点? <5>增函数的几何意义是什么? 结论:<3>一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当___时,都有___,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 数;<4>增函数的定义:由于当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),即都是相同的不等号“<”, 也就是说前面是“<”,后面也是“<”,步调一致;“当 x1>x2 时,都有 f(x1)>f(x2)” 都是相同的不等号“>”,即前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简 称为:步调一致增函数;增函数反映了函数值随自变量的增大而增大;从左向右看,图 象是上升的;<5>增函数几何意义是从左向右看,图象是___(上升、下降)的; (自学引导:类比增函数的定义,切实理解减函数的含义.) 思考:<1>类比增函数的定义,请你给出减函数的定义; <2>函数 y=f(x)在区间 D 上具有单调性,说明了函数 y=f(x)在区间 D 上的图象有什么变化趋势? 结论:<1>一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当___时,都有___,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函 数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是___的.函 数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小;<2>函数 y=f(x)在区间 D 上,函数 值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小) ,几何意义:从左向右看,图象是__ _(___) (上升、下降)的; 阅读教材第 29 页第一段,然后回答下列问题 <7>你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗?试 述之. 三、讲授新课 2 1.引例:观察 y=x 的图象,回答下列问题(投影 1)
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问题 1:函数 y=x 的图象在 y 轴右侧的部分是上升的,说明什么? ?随着 x 的增加,y 值在增加。 问题 2:怎样用数学语言表示呢? ?设 x1、x2∈[0,+∞],得 y1=f(x1), y2=f(x2).当 x1<x2 时,f(x1)< f(x2). (学生不一定一下子答得比较完整,教师应抓住时机予以启发)。 2 结论:这时,说 y1= x 在[0,+∞]上是增函数。 (同理分析 y 轴左侧部分)由此可有: 2.定义: (投影 2) 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: f(x2).那么就说 f(x)在这个区间上是增函数(increasing function) 。 那么就是 f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

2

如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 ? x2 时都有 f(x1)< 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、2, x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2). x 当 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具

有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是 上升的,减函数的图象是下降的。 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 1、 〖说明〗 1) 。单调区间是定义域的子集; 2) 。若函数 f(x)在区间 D 上是增函数,则图象在 D 上的部分从左到右呈__趋势 若函数 f(x)在区间 D 上是减函数,则图象在 D 上的部分从左到右呈__趋势 3) 。单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法: ①定义; ②导数; ③复合函数单调性:同增则增,异增则减; ④图象 3、 常用结论: ①两个增(减)函数的和为___;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是__; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调 性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (III)例题分析 例 1.下图是定义在闭区间 ?? 5,5? 上的函数 y=f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一个区间上的单调性(课本 P34 例 1) 。 问题 3:y=f(x)在区间 ?? 5,?2? , ?1,3? 上是减函数;在区间 ?? 2,1? , ?3,5? 上是增函数,那么 在两个区间的公共端点处,如:x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数? 分析:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的 常数,因此没有增减变化,所以不存在单调性问题;另一方面,中学阶段研究的是连续函数 或分段连续函数,对于闭区间的连续函数而言,只要在开区间单调,则它在闭区间也单调。 因此在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以(要注意端点是否在定义域范围内) 。 说明:要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图上进行观察是一种常用而又粗略的方 法。严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。 例 2.证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 证明:设任意 x1、x2∈R,且 x1<x2. 则 f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2). ∴f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。

由 x1<x2 得 x1-x2<0.∴f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).

分析:判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:
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a.设 x1、x2∈给定区间,且 x1<x2; b.计算 f(x1)- f(x2)至最简; c.判断上述差的符号;

函数的奇偶性学案 ●知识梳理 1.奇函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) 〔或 f(x)+ f (-x)=0〕 ,则称 f(x)为奇函数. 2.偶函数:对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 〔或 f(x)- f(-x)=0〕 ,则称 f(x)为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的 必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶 函数之和. ●点击双基 1.下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①不对;②不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是 奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x)=0〔x∈(-a,a) 〕. 答案:A 2.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax3+bx2+cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,有 g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数. 答案:A 3.若偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α 、β 是锐角三角形的两个内角,且α ≠β ,则下列不等式中正确的是 A.f(cosα )>f(cosβ ) B.f(sinα )>f(cosβ ) C.f(sinα )>f(sinβ ) D.f(cosα )>f(sinβ ) 解析:∵偶函数 f(x)在区间[-1,0]上是减函数,∴f(x)在区间[0,1]上为增函 数.由α 、β 是锐角三角形的两个内角, ∴α +β >90°,α >90°-β .1>sinα >cosβ >0. ∴f(sinα )>f(cosβ ). 答案:B 4.已知 f x) ( =ax2+bx+3a+b 是偶函数, 且其定义域为 [a-1, , a=___________, 2a] 则 b=___________. 解析:定义域应关于原点对称, 故有 a-1=-2a,得 a=

1 . 3
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又对于所给解析式,要使 f(-x)=f(x)恒成立,应 b=0. 答案:

1 3

0

5.给定函数:①y=

1 (x≠0) ;②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+ x 2 ? 1 ). x

在这五个函数中, 奇函数是_________, 偶函数是_________, 非奇非偶函数是__________. 答案:①⑤ ② ③④ ●典例剖析 【例 1】 已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) D.f(2)<f(-1)<f(0) 剖析:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)在[-2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数, ∴f(x)在[0,2]上单调递增. 又 f(-1)=f(1) ,故应选 A. 答案:A 【例 2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1) ? (3)f(x)=

1? x ; 1? x

1? x2 ; | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x) ( x ? 0), (4)f(x)= ? ? x(1 ? x) ( x ? 0). 剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断. 解: (1)函数的定义域 x∈(-∞,+∞) ,对称于原点. ∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) , ∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. 1? x (2)先确定函数的定义域.由 ≥0,得-1≤x<1,其定义域不对称于原点,所以 f 1? x (x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)去掉绝对值符号,根据定义判断. ?1 ? x 2 ? 0, ?? 1 ? x ? 1, 由? 得? ?| x ? 2 | ?2 ? 0, ? x ? 0且x ? ?4. 故 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1] ,关于原点对称,且有 x+2>0.从而有 f(x)=
1 ? (? x) 2 1? x2 1 ? x2 1 ? x2 = ,这时有 f(-x)= =- =-f(x) ,故 f(x)为奇函数. x x x?2?2 ?x (4)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞) ,并且当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=(-x) [1-(-x) ]=-x(1+x)=-f(x) (x>0). 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x) (x<0). 故函数 f(x)为奇函数. 评述: (1)分段函数的奇偶性应分段证明. (2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 【例 3】 (2005 年北京东城区模拟题)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于 任意 x1、x2∈D,有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明;
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(3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. (1)解:令 x1=x2=1,有 f(1?1)=f(1)+f(1) ,解得 f(1)=0. (2)证明:令 x1=x2=-1,有 f[ (-1)?(-1) ]=f(-1)+f(-1).解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x) ,∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)解:f(4?4)=f(4)+f(4)=2,f(16?4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[ (3x+1) (2x-6) ]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组 ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, ? ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64 ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 0, 或? ?? (3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64,

1 ? ? x ? 3或x ? ? 3 , ?? 1 ? x ? 3, ? ? 或? 或? 3 ?x ? R . ?? 7 ? x ? 5 ? ? 3 ? 7 1 1 ∴3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3 评述:解答本题易出现如下思维障碍: (1)无从下手,不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性. (2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相 同,偶函数的单调性相反. 深化拓展
已知 f(x) 、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b) ,g(x)>0 的解集是(

a2 , 2

b b ) , >a2,那么 f(x) ?g(x)>0 的解集是 2 2 a2 b A.( , ) B.(-b,-a2) 2 2 a2 b b C.(a2, )∪(- ,-a2) D.( ,b)∪(-b2,-a2) 2 2 2 ? f ( x) ? 0, ? f ( x) ? 0, 提示:f(x) ?g(x)>0 ? ? 或? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0. b b ∴x∈(a2, )∪(- ,-a2). 2 2
答案:C 【例 4】 (2004 年天津模拟题)已知函数 f(x)=x+

p +m(p≠0)是奇函数. x

(1)求 m 的值. (2) (理)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的最大值和最小值. (文)若 p>1,当 x∈[1,2]时,求 f(x)的最大值和最小值. 解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x).

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∴-x-

p p +m=-x- -m. x x

∴2m=0.∴m=0. (2) (理) (ⅰ)当 p<0 时,据定义可证明 f(x)在[1,2]上为增函数.∴f(x)max= f(2)=2+

p ,f(x)min=f(1)=1+p. 2
p ]上是减函数,在[ p ,+∞)上

(ⅱ)当 p>0 时,据定义可证明 f(x)在(0, 是增函数. ①当

p <1,即 0<p<1 时,f(x)在[1,2]上为增函数,

∴f(x)max=f(2)=2+ ②当

p ,f(x)min=f(1)=1+p. 2

p ∈[1,2]时,f(x)在[1,p]上是减函数.在[p,2]上是增函数. p )=2 p .

f(x)min=f(

f(x)max=max{f(1) ,f(2)}=max{1+p,2+ 当 1≤p≤2 时,1+p≤2+ ③当

p }. 2

p p ,f(x)max=f(2) ;当 2<p≤4 时,1+p≥2+ ,f(x)max=f(1). 2 2

p >2,即 p>4 时,f(x)在[1,2]上为减函数,∴f(x) max=f(1)=1+p,f
p . 2 p (p>0)的单调性是一重要问题,利用单调性求最值是重要方法. x
函数的基本性质要点精讲

(x)min=f(2)=2+ (文)解答略.

评述:f(x)=x+

1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意 一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数 是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:

奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是
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增函数(减函数) ; 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映射 g : x →u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增 (或减) 函数, f(u)在 B 上也是增 y= (或减) 函数, 则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处 有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处 有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x), 则称 f(x)为周期函数;

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(2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?

T T ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小的正 2 2

数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函 数,且周期为

T |? |



四.典例解析 题型一:判断函数的奇偶性 例 1.讨论下述函数的奇偶性:

16x ? 1 ? 2 x (1) f ( x) ? ; 2x

?1n( x ? 1 ? x )(x ? 0) ? (2) f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ; ? ?1n( 1 ? x ? ? x )(x ? 0)

(3) f ( x) ? 1og2 ( 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? 1);

(4) f ( x) ?

a2 ? x2 (常数a ? 0); | x ? a | ?a
16? x ? 1 ? 2 ? x 1 1 ? 16x 16x ? 1 ? 2 x ? 2x ?1 ?1 ? 2x ? ?1 ? ? f ( x) , 2?x 16x 4x 2x
16x ? 1 ? 1 ? 4 x ? 4 ?x ? 1 ,显然 f (x) 为偶函数;从这可以 x 4

解: (1)函数定义域为 R,

f ( ? x) ?

∴f(x)为偶函数; (另解)先化简: f ( x) ?

看出,化简后再解决要容易得多。 (2)须要分两段讨论: ①设

x ? 0,? ? x ? 0, ? f (? x) ? 1n( 1 ? x ? x ) ? 1n
②设 x ? 0,? ? x ? 0,

1 ? ?1n( x ? 1 ? x ) ? ? f ( x); x ?1 ? x

1 ? ?1n( 1 ? x ? ? x ) ? ? f ( x) 1? x ? ? x ③当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f(-x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数; ? f (? x) ? 1n( ? x ? 1 ? ? x ) ? 1n
(3)? ?
2 ? ?1 ? x ? 0

?x ? 1 ? 0 ?
2

? x 2 ? 1 ,∴函数的定义域为 x ? ?1 ,

∴f(x)=log21=0(x=±1) ,即 f(x)的图象由两个点 A(-1,0)与 B(1,0)组成,这两点 既关于 y 轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数; (4)∵x2≤a2, ∴要分 a >0 与 a <0 两类讨论, ①当 a >0 时, ?

?? a ? x ? a ? 函数的定义域为 ?a,0) ? (0, a)], [( ?| x ? a |? a
a2 ? x2 ,∴当 a >0 时,f(x)为奇函数; x

?| x ? a |? 0,? f ( x) ?

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a2 ? x2 a a , 取定义域内关于原点对 称的两点x1 ? , x2 ? ? , ? x ? 2a 2 2 a a 3 3 ? f ( ) ? f (? ) ? ? ? 0,?当a ? 0时, f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数. 2 2 5 3 ?| x ? a |? 0,? f ( x) ?
点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定 义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定 义域不变) 。 例 2.(2002 天津文.16)设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=-|f(x) |;②y=xf(x2) ;③y=-f(-x) ;④y=f(x)-f(-x) 。 必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 答案:②④;解析:y=(-x)f[ (-x)2]=-xf(x2)=-y;y=f(-x)-f(x)=-y。 点评:该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型二:奇偶性的应用 例 3. (2002 上海春, 设 f x) 4) ( 是定义在 R 上的奇函数, 若当 x≥0 时,(x) f =log3 (1+x) , 则 f(-2)=____ _。 答案:-1;解:因为 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)= -f(x) ,设 x<0,所以 f(x)=-f(-x)=-f(1-x) ,所以 f(-2)=-log33=-1。 点评:该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域 上函数的取值。 例 4.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。 解:由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑: ①若 x∈[-2,0],-x∈[0,2], ∵f(x)为偶函数, ∴当 x∈[-2,0]时,f(x)= f(-x)=-2x-1, ②若 x∈[-4,-2 ) , ∴4+ x∈[0,2 ) , ∵f(2+x)+ f(2-x), ∴f(x)= f(4-x), ∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7; 综上, f ( x) ? ?

?2 x ? 7 ?? 2 x ? 1

(?4 ? x ?? 2) . (?2 ? x ? 0)

点评:结合函数的数字特征,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式。 题型三:判断证明函数的单调性 例 5. (2001 天津,19)设 a ? 0 , f ( x) ?

(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。

ex a ? 是 R 上的偶函数。 a ex

1 ex a x ? 。 解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ,即 x ? ae ? ae a ex 1 x 1 1 ∴ ( a ? )(e ? x ) ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a ? ? 0 ,∴ a ? ?1 , a e a ∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。 1 1 x x (2)(定义法)设 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e 1 ? e 2 ? x ? x 1 e e2 1 1 ? e x2 ? x1 ? (e x2 ? e x1 )( x1 ? x2 ? 1) ? e x1 (e x2 ? x1 ? 1) x2 ? x1 , e e
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由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 0, ex2 ? x1 ?1 ? 0 , 1 ? e ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。 (导数法)∵ a ? 1 , x ? (0, ??)

x2 ? x1

? 0,

1 1 (e x ) 2 ? 1 )? ? e x ? x ? ?0 ex e ex ∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数 http://www.ks5u.com/
∴ f ?( x) ? (e ?
x

点评:本题用了两种方法:定义法和导数法,相比之下导数法比定义法更为简洁。 例 6.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+ 讨论 F (x)的单调性,并证明你的结论。 解:这是抽角函数的单调性问题,应该用单调性定义解决。 在 R 上任取 x1、x2,设 x1<x2,∴f(x2)= f(x1),

1 , f ( x)

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? [ f ( x2 ) ? ? [ f ( x 2 ) ? f ( x1 )][1 ?

1 1 ] ? [ f ( x1 ) ? ] f ( x2 ) f ( x1 )

1 ], f ( x1 ) f ( x2 )

∵f(x)是 R 上的增函数,且 f(10)=1, ∴当 x<10 时 0< f(x)<1, 而当 x>10 时 f(x)>1; ① 若 x1<x2<5,则 0<f(x1)<f(x2)<1, ② ∴0< f(x1)f(x2)<1, ∴1 ?

1 <0, f ( x1 ) f ( x2 )

∴F (x2)< F(x1); ②若 x2 >x1>5,则 f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, 1 ∴1 ? >0, f ( x1 ) f ( x2 ) ∴ F(x2)> F (x1); 综上,F (x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数。 点评:该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点。 题型四:函数的单调区间 例 7. (2001 春季北京、安徽,12)设函数 f(x)= 区间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调性。 .解:在定义域内任取 x1<x2, ∴f(x1)-f(x2)=

x?a (a>b>0) ,求 f(x)的单调 x?b

x1 ? a x2 ? a ( x1 ? a)( x2 ? b) ? ( x1 ? b)( x2 ? a) ? ? x2 ? b x 2 ? b ( x1 ? b)( x2 ? b)

?

(b ? a)( x1 ? x2 ) , ( x1 ? b)( x2 ? b)

∵a>b>0,∴b-a<0,x1-x2<0, 只有当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时函数才单调. 当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时 f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)在(-b,+∞)上是单调减函数,在(-∞,-b)上是单调减函数.
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点评:本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的 定义求函数的单调区间。 例 8. (1)求函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x2 ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性。 解: (1)函数的定义域为 (??,1) ? (2,??) , 分解基本函数为 y ? log0.7 t 、 t ? x ? 3x ? 2
2

显然 y ? log0.7 t 在 (0,??) 上是单调递减的,而 t ? x ? 3x ? 2 在 (??,1), (2,??) 上分别
2

是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则: 所以函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 在 (??,1), (2,??) 上分别单调递增、单调递减。 (2)解法一:函数的定义域为 R, 分解基本函数为 g ? f (t ) ? ?t 2 ? 2x ? 8 和 t ? 2 ? t 。
2

显然 g ? f (t ) ? ?t ? 2x ? 8 在 (1,??) 上是单调递减的, (??,1) 上单调递增;
2

而 t ? 2? x
2

2

在 (??,0), (0,??) 上 分 别 是 单 调 递 增 和 单 调 递 减 的 。 且

2 ? x ? 1 ? x ? ?1 ,
根据复合函数的单调性的规则: 所以函数的单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) 。
2 2 2 解法二: g ( x) ? 8 ? 2(2 ? x ) ? (2 ? x ) ? ? x ? 2 x ? 8 ,
4 2

g ?( x) ? ?4 x3 ? 4 x , 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 , 令 g ?( x) ? 0 , x ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 (??, ?1), (0,1) ;单调减区间为 (1, ??), (?1, 0) 。
点评:该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五:单调性的应用 例 9.已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)]≥0。 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f[log2(x2+5x+4)]≥f(2)。 又∵f(x)为偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且 f(-2)=f(2)=0。 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤-2 ② 由①得 x2+5x+4≥4,∴x≤-5 或 x≥0 ③ 由②得 0<x2+5x+4≤

1 得 4

? 5 ? 10 ? 5 ? 10 ≤x<-4 或-1<x≤ ④ 2 2 由③④得原不等式的解集为 ? 5 ? 10 ? 5 ? 10 {x|x≤-5 或 ≤x≤-4 或-1<x≤ 或 x≥0 } 。 2 2 例 10.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞]上是增函数,是否存在实数 m,
使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0,

?

2

]都成立?若存在,求出符合条件的所

有实数 m 的范围,若不存在,说明理由。 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞]上是增函数, ∴f(x)是 R 上的增函数,于是不等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m), 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0。 设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数
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g(t)?=t2-mt+2m-2=(t- 在[0,1]上的最小值为正。

m 2 m2 )- +2m-2 在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数 g(t) 4 2

m <0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 ? m>1 与 m<0 不符; 2 m2 m 当 0≤ ≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=- +2m-2>0 ? 4-2 2 <m<4+2 2 , 4 2 ∴4-2 2 <m≤2http://www.ks5u.com/ m 当 >1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 ? m>1。 2
∴当 ∴m>2 综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2 2 。 另法(仅限当 m 能够解出的情况): cos2θ -mcosθ +2m-2>0 对于θ ∈[0, 等价于 m>(2-cos2θ )/(2-cosθ ) 对于θ ∈[0, ∵当θ ∈[0,

?
2

]恒成立,

?
2

]恒成立

?
2

]时,(2-cos2θ )/(2-cosθ ) ≤4-2 2 ,∴m>4-2 2 。

点评:上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。 题型六:最值问题 例 11. (2002 全国理,21)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值。 解: (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x) ,此时 f(x)为偶函数。 2 2 当 a≠0 时,f(a)=a +1,f(-a)=a +2|a|+1,f(-a)≠f(a) ,f(-a)≠-f(a) 。 此时函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。 (2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=(x- 若 a≤

1 2 3 ) +a+ 。 2 4

的最小值为 f(a)=a2+1。 若 a> f(a) 。

1 ,则函数 f(x)在(-∞,a)上单调递减,从而,函数 f(x)在(-∞,a)上 2
1 1 3 1 ,则函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤ 2 2 4 2 1 2 3 ) -a+ 。 2 4

②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+ 若 a≤- ≤f(a) 。 若 a>-

1 1 3 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞ ) 上的最小值为 f(- )= -a,且 f(- ) 2 2 4 2 1 ,则函数 f(x)在[a,+∞]上单调递增,从而,函数 f(x)在[a,+∞]上 2 1 3 时,函数 f(x)的最小值是 -a。 2 4

的最小值为 f(a)=a2+1。 综上,当 a≤- 当-

1 1 <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1。 2 2

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当 a>

1 3 时,函数 f(x)的最小值是 a+ 。 2 4

点评:函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题,如果平时注意知识的积累,对解 此题会有较大帮助.因为 x∈R,f(0)=|a|+1≠0,由此排除 f(x)是奇函数的可能性.运用偶 函数的定义分析可知,当 a=0 时,f(x)是偶函数,第 2 题主要考查学生的分类讨论思想、对 称思想。 例 12.设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1 )。 m ?1

(1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则 m∈M; (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值; (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1。 (1)证明:先将 f(x)变形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+ 当 m∈M 时,m>1,∴(x-m)2+m+ 故 f(x)的定义域为 R。 反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义,则只须 x2-4mx+4m2+m+ 令Δ <0,即 16m2-4(4m2+m+

1 ], m ?1

1 >0 恒成立, m ?1 1 >0。 m ?1

1 )<0,解得 m>1,故 m∈M。 m ?1 1 (2)解析:设 u=x2-4mx+4m2+m+ , m ?1
∵y=log3u 是增函数, ∴当 u 最小时,f(x)最小。 而 u=(x-2m)2+m+

1 , m ?1

显然,当 x=m 时,u 取最小值为 m+ 此时 f(2m)=log3(m+

1 , m ?1

1 )为最小值。 m ?1 1 1 (3)证明:当 m∈M 时,m+ =(m-1)+ +1≥3, m ?1 m ?1
当且仅当 m=2 时等号成立。 ∴log3(m+

1 )≥log33=1。 m ?1

点评:该题属于函数最值的综合性问题,考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来 进行处理。 题型七:周期问题 例 13.若 y=f(2x)的图像关于直线 x ? ( ) A.

a b 和 x ? (b ? a ) 对称,则 f(x)的一个周期为 2 2
C.

a?b 2

B. 2(b ? a)

b?a 2

D. 4(b ? a)

解:因为 y=f(2x)关于 x ?

a 对称,所以 f(a+2x)=f(a-2x)。 2

所以 f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x)。 同理,f(b+2x) =f(b-2x),
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所以 f(2b-2x)=f(2x), 所以 f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x)。 所以 f(2x)的一个周期为 2b-2a, 故知 f(x)的一个周期为 4(b-a)。选项为 D。 点评:考察函数的对称性以及周期性,类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则 处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称(a≠b) ,则这个函数是周期函数, 其周期为 2(b-a) 。 例 14 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 , 周 期 T ? 5 , 函 数

y ? f( x ( 1? x ? 1 ) )? 是奇函数 http://www.ks5u.com/又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, 在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ② y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; 求 ③ y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 求 解:∵f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数, ∴f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数, ∴f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴f (1) ? f (4) ? 0 。
② x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2) ? 5 (a ? 0) , 当
2 2 2 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2) ? 5 ? a(4 ? 2) ? 5 ? 0 ,

∴a ? 2, ∴f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) 。

( ? x ) 1 ③ y ?f x() 1 ? ? ∵
∴f (0) ? 0 ,

是奇函数,

又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,
2 ∴ 可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ? ?3 ,

k ∴ ? ?3 ,∴ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 当
从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x 。 ∴ 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 , 当 ∴f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 。 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

∴f ( x) ? ?

??3x ? 15,
2

4? x?6 6? x?9

?2( x ? 7) ? 5,



点评:该题属于普通函数周期性应用的题目,周期性是函数的图像特征,要将其转化成 数字特征。 五.思维总结 1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的 等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确 对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称 http://www.ks5u.com/这是函数具备奇偶性的必要条件。 稍加推广, 可得函数 f(x)的图象关于直 线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立 http://www.ks5u.com/函 数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映; 3.若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必
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要条件; 4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可 以判断函数的奇偶性。 5. 若存在常数 T, 使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立, 则称 T 为函数 f(x)的周期, 一般所说的周期是指函数的最小正周期 http://www.ks5u.com/周期函数的定义域一定是无限 集。 6.单调性是函数学习中非常重要的内容,应用十分广泛,由于新教材增加了“导数”的 内容,所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数的单调性问题,一 般求导解决,而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意,关于 复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析,严格的解答还是应该运用定义或求导解 决。 指数函数及其性质学案 一、学习目标: 1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 二、学法指导: 1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其 简单应用. 2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想 方法. 3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣 三、知识要点 1.指数函数的定义:函数 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义 域是 2.指数函数的图象和性质: y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质

a>1
图 象

0<a<1

(1) 定义域: (2)值域: (3)过点( ) ,即 x= 时,y= (4)在 R 上是函数 (4)在 R 上是 函数 四、教学过程: (一)复习: 引例 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,??. 1 个这样的细胞 分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分裂次数:1,2,3,4,?,x 细胞个数:2,4,8,16,?,y 性 质 由上面的对应关系可知,函数关系是 y ? 2 . 引例 2:某种商品的价格从今年起每年降低 15%,设原来的价格为 1,x 年后的价格为 y, 则 y 与 x 的函数关系式为 y ? 0.85x
x

在 y ? 2 , y ? 0.85x 中指数 x 是自变量,底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量的函数叫做指数函
x

数.

(二)新课讲解:
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1.指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R 探究 1:为什么要规定 a>0,且 a ? 1 呢? ①若 a=0,则当 x>0 时, a =0;当 x ? 0 时, a 无意义.
x x

②若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 a 无意义. 如 (?2) x ,这时对于 x= 等等,在实数范围内函数值不存在. ③若 a=1,则对于任何 x ? R, a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
x

x

1 1 ,x= ,? 4 2

为了避免上述各种情况, 所以规定 a>0 且 a?1 在规定以后, 对于任何 x ? R,a 都有意义,
x

且 a >0. 因此指数函数的定义域是 R,值域是(0,+∞). 探究 2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式 y= a 中, a 的系数是 1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y= a +k (a>0 且 a ? 1,k ? Z);有些函数看
x
x x

x

起来不像指数函数,实际上却是,如 y= a

?x

?1? (a>0,且 a ? 1),因为它可以化为 y= ? ? ,其中 ?a?

x

1 1 >0,且 ? 1 a a
2.指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数 y= 2 ,y= ? ? ,y= 10 ,y= ?
x

?1? ?2?
0 1 1

x
x

?1? ? 的图象. ? 10 ?
2 4 0.25 3 8 0.13 ? ? ?

x

列表如下: x ? -3 x ? 0.13 y= 2

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

?1? y= ? ? ?2?

x

?

8

x y= 10 y=
x

? ? ?

-1.5 0.03 31.62

-1 0.1 10

-0.5 0.32 3.16

-0.25 0.56 1.78

0 1 1

0.25 1.78 0.56

0.5 3.16 0.32

1 10 0.1

1.5 31.62 0.03

? ? ?

?1? ? ? ? 10 ?

x

?1? ?1? x 我 们 观 察 y= 2 , y= ? ? , y= 10 , y= ? ? 的 图 象 特 征 , 就 可 以 得 到 ?2? ? 10 ?
x

x

x

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y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
6

0<a<1
6 5 5

图 象
1

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

性 质

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

(三) .例题分析: 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%,画 出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半 (结果保留 1 个有效数字) 分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图,进 而求得所求 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y 经过 1 年,剩留量 y=1?84%=0.841; 经过 2 年,剩留量 y=1?84%=0.842; 1 ?? 一般地,经过 x 年,剩留量
3.5 3 2.5 2

y=0.84 根据这个函数关系式可以列表如下:

x

0.5

1.5

1

0.5

0
-0.5

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

x 0 1 2 3 4 5 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 用描点法画出指数函数 y=0.84x 的图象从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半 评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例 2 (课本第 81 页)比较下列各题中两个值的大小: ① 1.7 , 1.7 ; ② 0.8 解:利用函数单调性 ① 1 .7
2.5 3 2.5 3 ?0.1

6 0.35

, 0.8

?0.2



③ 1 .7

0.3

, 0 .9
x

3.1

5

4.5

4

3.5

与 1.7 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 ,当 x=2.5 和 3
x

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

时的函数值;因为 1.7>1,所以函数 y= 1.7 在 R 是增函数,而 2.5<3,所以,
-2 -1

1.7 2.5 < 1.7 3 ; ?0.1 ?0.2 x ② 0.8 与 0.8 的底数是 0.8,它们可以看成函数 y= 0.8 ,当 x=-0.1 x 和-0.2 时的函数值;因为 0<0.8<1,所以函数 y= 0.8 在 R 是减函数,而-0.1>-0.2,所以, 0.8 ?0.1 < 0.8 ?0.2 ; 0.3 3.1 0.3 3.1 ③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号:1.7 >1;0.9 <1;1.7 > 0.9
0.5 1 -0.5

2

3

4

5

6

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3.2

3

2.8

2.6

1.8

2.4

2.2

2

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

1.8

f?x? =

1.7x

1.6

1.2

1.4
1

1.2

1
0.8

0.8

0.6
0.6

0.4

0.2

0.4

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5
0.2

3.2

-0.4
-1.5 -1 -0.5 0.5 1

3
-0.2

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

f?x? = 0.9x

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

小结: 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪个 指数函数的两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 求下列函数的定义域、值域:
1

⑴ y ? 0.4 x ?1 ⑵ y ? 3 5 x?1 ⑶ y ? 2x ?1 分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象注意向学生指出函数 的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围 解(1)由 x-1≠0 得 x≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1} 由 1 ? 0 ,得 y≠1

x ?1

所以,所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1} 说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令 合图象直观地得到,以下两题可作类似处理 (2)由 5x-1≥0 得 x ?

1 ? t ,考察指数函数 y= 0.4t ,并结 x ?1

1 5 1 } 5

所以,所求函数定义域为{x| x ? 由 5x ?1 ≥0 得 y≥1 所以,所求函数值域为{y|y≥1} (3)所求函数定义域为 R

由 2 >0 可得 2 +1>1 所以,所求函数值域为{y|y>1} 通过此例题的训练, 学会利用指数函数的定义域、 值域去求解指数形式的复合函数的定义 域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性 五、课堂小练
2 4

x

x

⑴比较大小: (?2.5) 3 , (?2.5) 5 ⑵81 页练习 1 ⑶比较下列各数的大小: 1 ,
0

0.4 ?2.5 ,

2 ?0.2

, 2 .5

1.6

对数函数学案 学习目的:使学生理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象和性:对于函数 y= loga
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x

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当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数;a>1 时在(0,+∞)上是增函数。 学习重点:对数函数的定义、图象和性质。 学习难点:对数函数图象和性质的理解。 过程 一、复习提问 把指数函数 y=2 和 y= ? ? 写成对数式。
x

?1? ?2?

x

二、新课 一般地,我们把函数 y= loga (a>0,且 a≠1)叫对数函数(logarithmic function) 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) 。 研究函数 y= log 2 和函数 y= log 1 的图象和性质。
2

x

x

x

y= log 1 =- log2 ,设点(x,y)在 y= log 2 的图象上,则点(x,-y)在图象 y= log 1
2 2

x

x

x

x

上,而点(x,y)与(x,-y)关于 x 轴对称,所以 y= log2 的图象和 y= log 1 的图
2

x

x

象关于 x 轴对称。 (把 x=2 分别代入两个函数,可得 1 和-1) 函数 y= loga (a>0,且 a≠1)的图象和性质: (1)定义域: (0,+∞) ; (2)值域:R; (3)过定点(1,0)即 x=1 时,y=0; (4)当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数;a>1 时在(0,+∞)上是增函数。 *对比指数函数的图象和性质。 例 7、求下列函数的定义域: (1)y= log a (2)y= loga (1) log2 (2) log (3) log
3.4
x2

x

定义域为:{x∣x≠0} 定义域为:{x∣x<4}
8.5

( 4? x )

例 8、比较下列各组数中两个值的大小: , log2 (<)
2.7 1.8 0.3 , 5.1 , a

log0.3
5.9

(>) (a>0,且 a≠1) (a>1 时,<,0<a<1 时,>)

loga

分析:本题利用对数函数的性质来解决。注意(3)的分类讨论。 例 9、溶液酸碱度的测量。 + + 溶液酸碱度是通过 PH 画的。PH 的计算公式为 PH=-lg[H ] ,其中[H ]表 示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述 PH 的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子 的浓度之间的变化关系; + - (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H ]=10 7 摩尔/升,计算纯净水的 PH。
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解: (1)根据对数的运算性质,有

1 [H ? ] 1 1 + 在(0,∞)上,随着[H ]的增大, 减小,相应地, lg 也减小,即 PH 减 ? [H ] [H ? ]
PH=-lg[H ]=lg[H ] 1== lg
+ + -

小。所以随着[H ]的增大,PH 值减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸度 就越小。 + - - (2)当[H ]=10 7 时,PH=-lg10 7=7,所以纯净水的 PH 是 7。 纯净水的 PH 应该在 5.0――7.0 之间。 y=2x 中,x 是自变量,y 是因变量。若 y 是自变量,x 是因变量,x 是 y 的函数吗? 把 y=2x 由指数式写成对数式:x= log2 ?,对于 y∈(0,+∞)时,通过式子 x= log2 可知,x 在 R 中有唯一确定的值和它对应,因此,可以说若 y 是自变量,x 是因变量,x 是 y 的函数,这时我们说 x= log2 (y∈(0,+∞) )是函数 y=2x(x∈R)的反函数(inverse function). x= log2 习惯写成 y= log2
x y y



y

y

x

对数函数 y= log2 (x∈(0,+∞) )是指数函数 y=2x(x∈R)的反函数。 它们是互为反函数。 对数函数 y ? loga (a>0,且 a≠1)和指数函数 y ? a x (a>0,且 a≠1)互为反函数。
x

幂函数学案 基础过关 1. 幂函数的概念: 一般地, 我们把形如 的函数称为幂函数, 其中 是自变量, 常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 ; (2)当 ? ? 0 时,幂函数在 [0, ??) 上 ;当 ? ? 0 时,幂函数在 (0, ??) 上 (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 ;当 ? ? ?1,1,3, 时,幂函数是 是

; .

1 3

3.幂函数的性质: (1)都过点 ; (2)任何幂函数都不过 象限; (3)当 ? ? 0 时,幂函数的图象过 . 4.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧,按幂 指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布; (2)幂指数的分母为偶数时,图象只在 象限;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、 第二象限关于 轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限 关于 对称. 典型例题 例 1.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x
3 ?2

(2) y ? x 2
1

1

(3) y ? x
? 1 2

?2
1 1

(4) y ? x ? x (5) y ? x 2 ? x 解: (1)此函数的定义域为 R,
2

(6) f ( x) ? x 2 ? 3(? x) 4

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? f (? x) ? (? x)3 ? ? x3 ? ? f ( x)
∴此函数为奇函数. (2) y ? x ? x ∴此函数的定义域为 [0, ??) ? 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数. (3) y ? x
?2

1 2

?

∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??)

1 x2

? f (? x) ?

1 1 ? 2 ? f ( x) 2 ( ? x) x
?2

∴此函数为偶函数

1 x2 ∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??) 1 1 ? f ( ? x) ? ( ? x) 2 ? ? x 2 ? 2 ? f ( x) 2 (? x) x
(4) y ? x ? x
2

? x2 ?

∴此函数为偶函数

(5) y ? x 2 ? x

1

?

1 2

? x?

∴此函数的定义域为 [0, ??) ? 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数 (6) f ( x) ? x ? 3(? x) ?
1 2 1 4

1 x

x ? 34 ?x

?x ? 0 ?? ?? x ? 0

?x ? 0

∴此函数的定义域为 {0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数 变式训练 1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) y ? x (2) y ? x 3 (3) y ? x 4 (4) y ? x 5 (5) y ? x 2 分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式. 解: (1)定义域 R,值域 R,奇函数,在 R 上单调递增. (2)定义域 (??,0) ? (0, ??) ,值域 (0, ??) ,偶函数,在 ( ??, 0) 上单调递增,
5
? 4 5 ? 3 ? 1

在 (0, ??) 上单调递减. (3)定义域 [0, ??) ,值域 [0, ??) ,偶函数,非奇非偶函数,在 [0, ??) 上单调递增. (4)定义域 (??,0) ? (0, ??) ,值域 (??,0) ? (0, ??) ,奇函数,在 ( ??, 0) 上单调递减, 在 (0, ??) 上单调递减. (5)定义域 (0, ??) ,值域 (0, ??) ,非奇非偶函数,在 (0, ??) 上单调递减. 例 2 比较大小: (1) 1.5 ,1.7
?1
1 2 1 2

(2) (?1.2) ,(?1.25)
3 ?1 ?2

3

(3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4) 0.5 ,3 ,log3 0.5
3 0.5

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1 2
1 2 1 2

解: (1)∵ y ? x 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 ? 1.7 (2)∵ y ? x3 在 R 上是增函数,

?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2)3 ? (?1.25)3
(3)∵ y ? x ?1 在 (0, ??) 上是减函数,

5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25?1 ? 5.26?1 ; ∵ y ? 5.26x 是增函数, ?1 ? ?2 ,

? 5.26?2 ; ?1 ?1 ?2 综上, 5.25 ? 5.26 ? 5.26 3 0.5 (4)∵ 0 ? 0.5 ? 1 , 3 ? 1 , log3 0.5 ? 0 ,
∴ 5.26 ∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5 变式训练 2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
2 2 2

?1

(1) 2.5 3 ,(?1.4) 3 ,(?3) 3 (2) 0.16 ,0.5 ,6.25
? 3 4 ? 3 2 3 8
1

(3) ( ) 3 , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3
2 2 2

2 3

?

1

2 5

1

5 3

?

1

3 2

2

解: (1) (?1.4) 3 ? 2.5 3 ? (?3) 3
3

(2) 6.258 ? 0.5 (3) ( ) 2 ? ( )

?

3 2

? 0.16 4 ,
1 2 1

?

3

2 ? 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 33 3 2 m2 ?2 m?3 例 3 已知幂函数 y ? x ( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求 m 的值. 分析:幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函 数为奇函数.结合 m ? Z ,便可逐步确定 m 的值. 2 解:∵幂函数 y ? xm ?2m?3 ( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点, 2 5 5 3
∴ m ? 2m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ? 3 ;
2

1

?

1 3

∵ m ? Z ,∴ (m ? 2m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称,
2

∴ m ? 2m ? 3 是奇数,∴ m ? 0 或 m ? 2 .
2

变式训练 3:证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数. 分析:直接根据函数单调性的定义来证明. 证明:设 0 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 2 ? x2 2 ?
1 1

1

x1 ? x2 ?

x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 此函数在 [0, ??) 上是增函数
小结归纳

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1.注意幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质要熟练掌握 指数与指数幂的运算学案 一、学习目标: 1.理解分数指数幂的概念 ; 2. 掌握有理指数幂的运算性质; 3.会对根式、分数指数幂进行互化; 4.能够应用联系观点看问题 二、学法指导: 1.本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂,并给出了有理指数幂的运算性质在分 数指数幂概念之后,课本也注明“若 a>0, p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数” 2.在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形 归纳出 一般规律. 3. 在掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将其推广到实数范围内,但无须进行严格的推 证,由 此让体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. 三、知识要点
p

1.规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a ? n am ? a ? 0, m, n;N ? , n ? 1? ? ( 2 ) 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 是 a? n ? = .
m

m n

1 a
m n

?

1
n

am

? a ? 0,

2. 分数指数幂的运算性质: 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也 同样适用

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? r ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?
四、教学过程: (一)复习: (提问)

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

a m ? a n ? a m? n (m, n ? Z )
1.整数指数幂的运算性质:

(a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) (ab) n ? a n ? b n (n ? Z )
n

2.根式的运算性质:①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a. ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?

?a(a ? 0) . ?? a(a ? 0)
12

(二)新课讲解: 1.分数指数幂:
5

a10 ? a2 ? a 5 ? a ? 0?

10

3

a12 ? a4 ? a 3 ? a ? 0?

即当根式的被开方数能被根指数整除时, 根式可以写成分数指数幂的 形式;

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如果幂的运算性质(2) ? a k ? ? a kn 对分数指数幂也适用,
n

2 5 ?3 ?4 ? 2? ? 5? 例 如 : 若 a ? 0 , 则 ? a 3 ? ? a 3 ? a 2 , ? a 4 ? ? a 4 ? a5 , ? ? ? ?

3

4

∴ 3 a2 ? a 3

2

4

a5 ? a 5 .

4

即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数 幂的形式。 规定: (1)正数的正分数指数幂的意义是 a ? n am ? a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1? ; ( 2 ) 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 是
a? n ?
m

m n

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1? .

2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂 也同样适用 即

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? r ? 3?? ab ? ? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?

? 2? ? ar ?

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

说明: (1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用; (2)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没意义。 (三)例题分析: 例 1. 求值:
8 ,
2 3

100 ,

?

1 2

?1? ? ? , ?4?

?3

? 16 ? 4 ? ? . ? 81 ?

?

3

例 2. 用分数指数幂的形式表示下列各式 ? a ? o ? :
a2 ? a ,
2
2 1 2

a3 ? 3 a2 ,
2? 1 2

a a.

解: a ? a = a ? a ? a
3 3 2
3 2 3

?a ;

5 2

a ? a = a ?a ? a ;
1 2 3 ? ? ? 3 ?2 a a = ? a ? a2 ? ? ? a2 ? ? a4 . ? ? ? ? 1 1

11 3

例 3.计算下列各式的值(式中字母都是正数) .
1 5 1 1 ? 2 1 ?? ? ? ? (1) ? 2a 3 b 2 ?? ?6a 2 b 3 ? ? ? ?3a 6 b 6 ? ; ? ?? ? ? ?

? 1 ?3 ? (2) ? m 4 n 8 ? ; ? ?

8

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分析: (1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并 且要注意符号(2)题按积的乘方计算,而按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤
1 5 1 1 2 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ? ? 3 2 6 6 2 3 解 (1) 2a b ?? ?6a b ? ? ? ?3a b ? = ?2 ? ? ?6? ? ? ?3?? a 3 2 6 b 2 3 6 = 4ab0 ? 4a ; ? ? ? ? ?? ? ? ?
3 3 ? 1 ?8 ? ? 1 ? ? ?8 ? m2 2 ?3 4 4 (2) ? m n ? = ? m ? ? n ? = m n ? 3 . n ? ? ? ? ? ? 8 8 8

例 4.计算下列各式: (1) ? 3 5 ? 125 ? ? 4 5 (2)
a2 a 3 a2

? a ? 0? .

分析: (1)题把根式化成分数指数幂的形式,再计算 (2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算

解: (1)? 3 5 ? 125 ? ? 4 5 = ? 5 3 ? 5 2 ? ? 5 4 = 5 3 ? 5 4 ? 5 2 ? 5 4 = 512 ? 5 4 = 12 55 ? 5 4 5 ;
2 3 1
2 1 3 1 5 5

? ?

? ?

(2)

a2 a a
3 2

=

a2 a a
1 2 2 3

? a ? 6 a5 .

5 6

五、课堂小练
课本 P76 练习 1.用根式的形式表示下列各式(a>0)

a ,a ,a ,a
(1) 3 x 2
2 (3) 3 ( m ? n )

1 5

3 4

?

3 5

?

2 3

2.用分数指数幂表示下列各式:
3 (2) 4 ( a ? b) (a+b>0) 4 (4) ( m ? n ) (m>n)

(5)

p 6 ? q 5 (p>0)

(6)

m3 m

六、课堂小结: 1.学习了分数指数幂的概念和运算性质; 2. 会熟练的利用有理数指数幂的运算性质进行分数指数幂和根式的 运算。
方程的根与函数的零点学案 一、新课引入

考察几个一元二次方程及其相应的二次函数的关系 方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3;方程 x2-2x+1=0 与函数 y= x2-2x+1 方程 x2-2x+3=0 与函数 y=x2-2x+3,函数图象如上图,你能发现什么?
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二、新课 (1)当△>0 时,一元二次方程有两个不相等的实数根,相应的二次函数的图象与 x 轴有两个交点。 (2)当△=0 时,一元二次方程有两个相等的实数根,相应的二次函数的图象与 x 轴 有唯一的一个个交点。 (3)当△<0 时,一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图象与 x 轴无交点。 y 对于函数 y=f(x) ,我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫函数 y=f(x)的零点。 3 方程 f(x)=0 有实数根 2 ? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 1 ? 函数 y=f(x)有零点 2 观察二次函数 f(x)=x -2x-3 的图象,发现这个 -2 -1 0 1 2 -1 二次函数在区间(-2,1)上有零点 x=-1 而 f(-2)>0,f(1)<0,即 f(-2)?f(1)<0 -2 二次函数在区间(2,4)上有零点 x=3 -3 而 f(2)<0,f(4)>0,即 f(2)?f(4)<0 一般地,函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)?f(b)<0,那么函数 f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) , 使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 例 1、求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数。 分析:用计算机辅助作图象,可得函数在区间(2,3)内有零点,再观察图象在 (0,+∞)上是增函数,因此,该函数只有一个零点。 练习:填写下列表格

3

x

ax2 ? bx ? c ? 0
的根 △>0 △=0 △<0 交点

y ? ax2 ? bx ? c 与 X 轴的

用二分法求方程的近似解学案 学习过程 一、复习提问 什么是函数的零点?函数在区间(a,b)内有零点,则有什么性质? 二、新课 1、新课引入 中央电视台由李咏主持的节目《幸运 52》中有一项猜商品价格的游戏,首先给出 了商品价格的范围,如果是你,你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢?现实中 还有这种方法运用的实例吗? 一元二次方程可以用公式求根,但没有公式可用来求方程 lnx+2x-6=0 的根, 联系函数的零点与相应方程的关系,能否利用函数有关知识求出它的根呢? 2、取中点法求方程 lnx+2x-6=0 的根

1 (2+3)=2.5 2 1 f(2.5)?f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内, (2.5+3)=2.75 2
方程 lnx+2x-6=0 在区间(2,3)内有零点, f(2.5)?f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内。 如此下去,零点范围越来越小,当区间的端点的差的绝对值小于 0.01 时,可以将端点 作为零点的近似值。P105 表 3-2。 对于在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)?f(b)<0 的函数 y=f(x) ,通过
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不断把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫二分法 (bisection) 。 给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤: 1、确定区间[a,b] ,验证 f(a)?f(b)<0, 给定精确度 ε ; 2、求区间(a,b)的中点 x1; 3、计算 f(x1) ; (1)若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; (2)若 f(a)?f(x1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a,x1) ) (3)若 f(x1)?f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈(x1,b) ) 4、判断是否达到精确度 ε , :即若∣a-b∣<ε ,则达到零点近似值 a(或 b) ; 否则重复 2――4。 一般用计算机设计一定的程序来完成求零点。 例 2、借助计算机或计算器用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到 0.1) 。 作业:P108 1、2、3、4、5 几类不同增长的函数模型学案 学习过程 一、复习提问 写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式,你知道它们的变化规律吗? 二、新课 例 1、假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的 回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 y 请问,你会选择哪种投资方案? 140 解:设第 x 天所得回报是 y 元,则各方案的函数模型为: y=0.4?2x-1 120 + 方案一:y=40(x∈N ) ? + 100 ?y=10x 方案二:y=10x(x∈N ) 方案三:y=0.4? 2 (x∈N ) 方案一是常数函数,方案二是增函数,呈直线型 增长,方案三也是增函数,呈指数型增长,增长速度
x ?1


80 60 40 20 0

? ? ? ? ? ???? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ???
2 4 6 8

y=40

10 12 x

比其它 2 个方案快得多,称为“指数爆炸” 。 投资 5 天以下选方案一,投资 5――8 天选方案二,投资 8 天以上选方案三。 再看累计回报数表 P114。投资 8 天以下(不含 8 天) ,应选择第一种投资方案, 投资 8--10 天,应选择第二种投资方案;投资 11 天(含 11 天)以上,则应选择第 三种方案。 例 2、某公司为了实现 1000 万元利润目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方 案:在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随销 售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过 5 万元,同时奖金不超过 利润的 25%。现有三个奖励模型:y=0.25x,y= log2 +1,y=1.002x。其中哪个模型 能符合公司的要求? ? ? 分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数 不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%,由于公司总的利润目标为 1000 万元, 所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润,于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个 模型是否符合公司要求即可。 不妨先作函数图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算,确认结
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x

? ?

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果。 探究函数 y= 2 ,y= x ,y= log2 的增长速度。 x y=2 y=x
x

x

2

x

0.2 1.149 0.040
x

0.6 1.516 0.360 -0.737

1 2.000 1.000 0.000

1.4 2.639 1.960 0.485

1.8 3.482 3.240 0.848

2.2 4.595 4.840 1.138

2.6 6.063 6.760 1.379

3 8.000 9.000 1.585

3.4 10.556 11.560 1.766

2

y=log2

-2.322

14.000 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0.000 -2.000 -4.000

y=x 2 y=2 x 系列1 系列2 系列3

y=log 2 x 0 1 2 3 4

在区间(2,4) ,有 log2 < 2 < x

x

x

2

在区间(0,2)和(4,+∞)有 log2 < x < 2
x

x

2

x

可以在更大范围内观察函数 y= 2 ,y= x 的图象的增长情况。 一般地,对于指数函数 y= a (a>1)和幂函数 y= x (n>0) ,通过探索可以发 现,在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管 x 在一定范围内, a 会小于 x
x n x n x n x n

2

但由于 a 的增长速度快于 x ,因此总存在一个 x0 ,当 x> x0 时,就会有 a > x 。 同样地,对于对数函数 y= loga (a>1)和幂函数 y= x (n>0) ,在区间 (0,+∞)上,随着 x 的增大, loga 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与 x 轴平 行一样。尽管 x 在一定范围内, loga 可能会大于 x ,但由于 loga 的增长慢于 x , 因此总存在一个 x0 ,当 x> x0 时,就会有 loga < x 。 综上所述,在区间(0,+∞)上,尽管函数 y= a (a>1) 、y= loga (a>1) 和 y= x (n>0)都是增函数。但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上 随着 x 的增大,y= a (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y= x (n> 0)的增长速度,而 y= loga (a>1)的增长速度越来越慢。因此总存在一个 x0 ,当 x > x0 时, loga < x < a 。 作业:P127 3、4
x
n x x n n

x

n

x

x

n

x

n

x

n

x

x

x

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函数模型的应用实例学案 学习过程 一、复习提问 我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么? 二、新课 例 3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数 skm 与时间 th 的函数解析式,并作出檅应的图象。 解:(1)阴影部分面积为: 50?1+80?1+90?1+75?1+65?1=36 阴影部分面积表示汽车在 5 小时内行驶的路程为 360km。 (2)根据图有:

0? ?50t ? 2004     t ? 1 ?80(t ? 1) ? 2054   t ? 2 1? ? ? s ? ?90(t ? 2) ? 2134   t ? 3 2? ?75(t ? 3) ? 2224   t ? 4 3? ? ?65(t ? 4) ? 2299   t ? 5 4? ?
画出它的函数图象 P121。在解决实际问题过程中,函数 图象能够发挥很好的作用,因 此,我们应当注意提高读图的能力。本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。

例 4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可 以为有效控制人口增长依据。早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型:y= y 0 e rt ,其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t=0 时的人口数, r 表示人口的年平均增长率。 表 3-8 是 1950――1959 年我国的人口数据资料 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型 与实际人口数据是否相符; (2)如果按表 3-8 的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿? 分析:分别求出 1950 到 1959 年的每一年的增长率,再算出平均增长率,得到从 口增长模型 y=55196e0.0221t,作出原数据的散点图,作出模型的函数图象,可以看出 这个模型与数据是否吻合,用 Excel 电子表格作出图象展示给学生看。第二问中,13 亿是 130000 万人,将 y=130000 代入所求出的函数模型,即可用计算器算出大约要在 39 年后达到 13 亿人口。 例 5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进 价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上根据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解:由表中可知,销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 桶,设在进价的 基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,在此情况下的日均销售量为: 480-40(x-1)=520-40x(桶)
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由于 x>0,所且 520-40x>0,即 0<x<13 y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200, 0<x<13 由二次函数的性质,易知,当 x=6.5 时,y 有最大值。 所以只需将销售单价定为 11.5 元,就可获得最大的利润。 例 6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示: 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体 重 /kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 55.05 (1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重 ykg 与身高 xcm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。 (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么 这个地区一名身高为 175cm,体重为 78kg 的在我校男生的体重是否正常? 解: (1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图,根据点的分布特征,可 考虑用 y=a?bx 作为刻画这个地区未成年男性体重 ykg 与身高 xcm 关系的函数模型。 不妨取其中的两组数据(70,7.90)(160,47.25)代入 y=a?bx 得: ,
70 ? ?a ? 2 ?7.9 ? a ? b ,用计算器解得: ? ? 160 ?47.25 ? a ? b ?b ? 1.02 ?

47.25

这样,我们就得到一函数模型: y ? 2?1.02x 将已知数据代入上述函数解析式,或作出函数的图象,可以发现,这个函数模型 与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高 的关系。 (2)将 x=175 代入 y ? 2?1.02x ,得:

y ? 2? 1.02175 ≈63.98
由于 78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男生偏胖。 练习:P126 作业:P127 7、8、9

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